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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ UTFPR — Campus Pato Branco Exerc´icios de Integrais 1. Determine a primitiva para cada func¸a˜o. Verifique suas respostas derivando. (a) f(x) = 6x (b) f(x) = x−4 + 2x+ 3 (c) f(x) = 1 2x3 (d) f(x) = √ x+ 1√ x (e) f(x) = 1 3 x− 2 3 (f) f(x) = pi sin(pix) (g) f(x) = 2 3 sec2 x 3 (h) f(x) = sec pix 2 + tan pix 2 2. Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando. (a) ∫ (x+ 1)dx (b) ∫ (e−x + 4x)dx (c) ∫ ( √ x+ 3 √ x)dx (d) ∫ ( 2√ 1− y2 − 1 y 1 4 ) dy (e) ∫ ( t √ t+ √ t t2 ) dt (f) ∫ 7 sin θ 3 dθ (g) ∫ (1 + tan2 θ)dθ (h) ∫ cos θ(tan θ + sec θ)dθ (i) ∫ cossec θ cossec θ − sin θdθ 3. Diga se cada uma das fo´rmulas esta´ certa ou errada e justifique sua resposta. (a) ∫ x sin xdx = x2 2 sin x+ C (b) ∫ x sin xdx = −x cosx+ C (c) ∫ x sin xdx = −xcosx+ senx+ C 4. Calcule as integrais indefinidas: (a) ∫ (x+ 3)dx (b) ∫ (2x− 3x2)dx (c) ∫ (x 3 2 + 2x+ 1)dx (d) ∫ 3 √ x2dx (e) ∫ 1 x3 dx (f) ∫ x2 + x+ 1√ x dx (g) ∫ (x+ 1)(3x− 2)dx (h) ∫ y2 √ ydy 1 (i) ∫ ( 2 x + 3ex ) dx (j) ∫ 1− 2t3 t3 dt 5. Calcule as integrais indefinidas: (a) ∫ (2 sin x+ 3 cosx)dx (b) ∫ (1− cossec tcotan t)dt (c) ∫ (sec2 θ − sin θ)dθ (d) ∫ (tan2 y − 1)dy (e) ∫ sinx cos2 x dx (f) ∫ dy cossecx, y 6. Suponha f(x) uma func¸a˜o conhecida e que queramos encontrar uma func¸a˜o F (x), tal que y = F (x) satisfac¸a a equac¸a˜o dy dx = f(x). As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o sa˜o as antiderivadas de f(x). A equac¸a˜o dy dx = f(x) e´ chamada de equac¸a˜o diferencial. Resolva as equac¸o˜es diferenciais abaixo: (a) dy dx = x+ 1√ x , y(1) = 2 (b) dy dx = sec2 t− sin t, y(pi 4 ) = 1 7. Destermine a curva y = f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) e cujo coeficiente angular em cada ponto e´ 3 √ x 8. Uma bola e´ jogada para cima com velocidade inicial de 64 metros por segundo de uma altura inicial de 80 metros. (a) Encontre a func¸a˜o posic¸a˜o escrevendo a altura s em func¸a˜o do tempo t. (b) Quando a bola atinge o cha˜o? 9. Na Lua, a acelerac¸a˜o da gravidade e´ 1,6 m/s2. Uma pedra e´ solta de um penhasco na Lua e atinge sua superf´ıcie 20 segundos depois. Qua˜o fundo ele caiu? Qual era a velocidade no instante do impacto? 10. A velocidade mı´nima necessa´ria para que um objeto escape da forc¸a gravitacional da Terra e´ obtida da soluc¸a˜o da equac¸a˜o ∫ xdx = −GM ∫ 1 y2 dy, onde v e´ a velocidade do objeto lanc¸ado da Terra, y e´ a distaˆncia ao centro da Terra, G e´ a constante gravitacional e M e´ a massa da Terra. Mostre que v e y esta˜o relacionados pela equac¸a˜o v2 = v20 + 2GM ( 1 y − 1 R ) , onde v0 e´ a velocidade inicial do objeto e R e´ o raio da Terra (Sugesta˜o: use o fato que se y = R enta˜o v = v0). 11. O fabricante de um automo´vel anuncia que ele leva 13 segundos para acelerar de 25 quiloˆmetros por hora para 80 quiloˆmetros por hora. Supondo acelerac¸a˜o constante, cal- cule: 2 (a) A acelerac¸a˜o em metros por segundo ao quadrado. (b) A distaˆncia que o carro percorre durante 13 segundos. 12. Calcule as integrais indefinidas usando as substituic¸o˜se dadas. (a) ∫ x sin(2x2)dx, u = 2x2 (b) ∫ 28(7x− 2)−5dx, u = 7x− 2 (c) ∫ 9x2dr√ 1− r3dr, u = 1− r 3 (d) ∫ √ x · sin2(x 32 − 1)dx, u = x 32 − 1 (e) ∫ cossec2 (2θ) · cotan (2θ)dθ, (i) use u = cotan (2θ) (ii) use u = cossec (2θ) 13. Calcule as integrais fazendo a substituic¸a˜o adequada. (a) ∫ e2xdx (b) ∫ x(2− x2)3dx (c) ∫ cos(8x)dx (d) ∫ x2e−2x 3 dx (e) ∫ x2 sec2(x3)dx (f) ∫ dx ex (g) ∫ e √ y √ y dy (h) ∫ sin2(3x) cos(3x)dx 14. Calcule as integrais: (a) ∫ √ 3− 2sds (b) ∫ θ 4 √ 1− θ2dθ (c) ∫ 1√ x(1 + √ x)2 dx (d) ∫ r2 ( r3 18 − 1 )5 dr (e) ∫ 4dt t(1 + ln2 t) (f) ∫ sin(2t+ 1) cos2(2t+ 1) dt 15. Se voceˆ na˜o souber qual substituic¸a˜o deve fazer tente reduzir a integral passo a passo, usando uma primeira substituic¸a˜o para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais. Experimente fazer as substituic¸o˜es a seguir depois tente sozinho: (a) ∫ 18 tan2(x) sec2(x) 2 + tan3(x) dx (i) a = tan(x), seguida por x = u3 e depois por w = 2 + v (ii) u = tan3(x) seguida por v = 2 + u (iii) u = 2 + tan3(x) (b) ∫ (2r − 1) cos(√3(2r − 1)2) + 6√ 3(2r − 1)2 + 6 dr 3 (c) ∫ sin √ θ√ θ cos3 √ θ dθ 16. Que valores de a e b maximizam o valor de ∫ b a (x− x2)dx? 17. Calcule as integrais. (a) ∫ 1 0 (x2 + √ x)dx (b) ∫ 3pi 4 pi 4 cossecx, θ · cotan θdθ (c) ∫ 1 0 xex 2 dx 18. Determine as derivadas calculando a integral e diferenciando o resultado e depois difer- enciando a integral diretamente. (a) d dx ∫ √x 0 cos tdt (b) d dx ∫ sinx 1 3t2dt 19. Determine dy dx . (a) y = ∫ x 0 √ 1 + t2dt (b) y = ∫ 0 √ x sin t2dt (c) y = ∫ x 13 1 et 3+1dt 20. Use uma substituic¸a˜o para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Funda- mental do Ca´lculo para calcular a integral. (a) ∫ 1 0 (1− 2x)3dx (b) ∫ pi 0 sin2 ( 1 + θ 2 ) dθ (c) ∫ pi 0 sin2 x 4 cos x 4 dx 21. Esboce a regia˜o cuja a´rea com sinal esta´ representada pela integral, defina e calcule a integral usando uma fo´rmula apropriada de geometria onde for necessa´rio. (a) ∫ 4 −1 xdx (b) ∫ 2 0 ( 1− x 2 ) dx (c) ∫ pi 0 2dx (d) ∫ 2 1 |2x− 3|dx (e) ∫ 2 0 √ 4− x2dx (f) ∫ 1 0 (x+ 2 √ 1− x2)dx 22. Ache a a´rea sob a curva y = f(x) no intervalo dado. 4 (a) f(x) = x3, [2; 3] (b) f(x) = √ x, [1; 9] (c) f(x) = ex, [1; 3] 23. Determine a a´rea das regio˜es sombreadas: (a) (b) (c) 24. Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo. (a) ∫ 0 −3 (x2 − 4x+ 7)dx (b) ∫ 3 1 1 x2 dx (c) ∫ 9 4 2x √ xdx 5 (d) ∫ pi 2 −pi 2 sin θdθ (e) ∫ pi 4 −pi 4 cosxdx (f) ∫ 3 ln 2 5exdx (g) ∫ 4 1 ( 3√ t − 5√t− t− 32 ) dt (h) ∫ pi 2 pi 6 ( x+ 2 sin2 x ) dx 25. Use a fo´rmula da substituic¸a˜o para calcular as integrais. (a) ∫ 0 −pi 4 (tanx · sec2 x)dx (b) ∫ pi 0 (3 cos2 x · sinx)dx (c) ∫ √7 0 t(t2 + 1) 1 3dt (d) ∫ √3 0 4x√ x2 + 1 dx (e) ∫ √3 −√3 4x√ x2 + 1 dx (f) ∫ ln pi 2 ln pi 6 2ev cos(ev)dv 26. Esboce o gra´fico da func¸a˜o no intervalo dado. Depois integre a func¸a˜o no intervalo dado e determine a a´rea da regia˜o entre o gra´fico e o eixo x. (a) y = x2 − 6x+ 8, [0; 3] (b) y = 2x− x2, [0; 3] 27. Determine as a´reas das regio˜es compreendidas entre as curvas: (a) y = x2 − 2 e y = 2 (b) y = x2 e y = −x2 + 4x (c) y = x4 − 4x2 + 4 e y = x2 (d) y = 2 sinx e y = sin 2x 0 ≤ x ≤ pi 28. Determine a a´rea da regia˜o no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva y = 1 x2 e o eixo x. 29. Determine a a´rea da regia˜o entre a curva y = 3− x2 e a reta y = −1. 30. Ache a a´rea total entre a curva y = x2− 3x− 10 e o eixo x no intervalo [−3; 8]. Fac¸a um esboc¸o da regia˜o. 31. Calcule as integrais definida: (a) ∫ 1 0 (2x+ 1)4dx (b) ∫ 8 0 x √ 1 +Xdx (c) ∫ pi 2 0 4 sin x 2 dx (d) ∫ pi 4 − 3pi 4 sin x cosxdx (e) ∫ 1 0 dx√ 3x+ 1 (f) ∫ 1 0 y2√ 4− 3ydy (g) ∫ e 0dx x+ e 6 32. Esboce a regia˜o entre as curvas no intervalo dado e calcule a sua a´rea. (a) y = x2, y = √ x, x = 1 4 , x = 1. (b) y = cos 2x, y = 0, x = pi 4 , x = pi 2 . (c) x = sin y, x = 0, y = pi 4 , y = 3pi 4 . (d) y = 2 + |x− 1|, y = −1 5 x+ 7. (e) y = x, y = 4x, y = −x+ 2. (f) y = sinx, y = cos 2x, x = −pi 2 , y = pi 6 . 33. A superf´ıcie de uma parte de uma ma´quina e´ a regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es y1 = |x| e y2 = 0, 08x 2 + k conforme mostra a figura abaixo. (a) Determine o valor de k se a para´bola e´ tangente ao gra´fico de y1. (b) Determine a a´rea da superf´ıcie desta parte da ma´quina. 34. Calcule as integrais usando a integrac¸a˜o por partes. (a) ∫ x cos 5xdx (b) ∫ ln(2x+ 1)dx (c) ∫ arctan 4tdt (d) ∫ sin−1 xdt (e) ∫ e2θ sin 3θdθ (f) ∫ pi 0 t sin tdt (g) ∫ 1 2 0 cos−1 xdx 35. Uma part´ıcula se move ao longo do eixo x com uma func¸a˜o velocidade v(t) = t2 · e−t. Ate´ onde ira´ a part´ıcula no tempo t = 0 ate´ t = 5? 36. O estudo das ondas de dentes de serra em engenharia leva a integrais da forma∫ pi ω − pi ω t sin(kωt)dt, onde k e´ um inteiro e ω e´ uma constante na˜o nula. Calcule a integral. 37. Calcule as integrais (a) ∫ cos3 2xdx (b) ∫ sin2 2t cos3 2tdt (c) ∫ sin x cos 3xdx (d) ∫ pi 6 0 sin 2x cos 4xdx (e) ∫ sec 2xdx (f) ∫ tan2 x sec2 xdx (g) ∫ pi 6 0 tan2 2xdx 7 38. A integral ∫ x x2 + 4 dx pode ser calculada ou por substituic¸a˜o trigonome´trica ou pela substituic¸a˜o u = x2 + 4. Calcule-a das duas maneiras e mostra que os resultados sa˜o equivalentes. 39. Use frac¸o˜es parciais para achar a integral. (a) ∫ 1 x2 − 1dx (b) ∫ 3 x2 + x− 2dx (c) ∫ 5− x 2x2 + x− 1dx (d) ∫ x2 + 12x+ 12 x3 − 4x dx (e) ∫ 2x3 − 4x2 − 15x+ 5 x2 − 2x− 8 dx 40. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a regia˜o. (a) y = 1 x , x = 1, x = 2, y = 0 em torno do eixo x. (b) x = 2 √ y, x = 0, y = 9 em torno do eixo y. (c) y = x3, y = x, x ≥ 0 em torno do eixo x. (d) y = x, y = √ x, em torno de y = 1. (e) y = x2, x = y2, em torno de y = −1. 41. Cada integral representa o volume de um so´lido. Descreva o so´lido. (a) pi ∫ pi 2 0 cos2(x)dx (b) pi ∫ 1 0 (y4 − y8)dy Coletaˆnea de exerc´ıcios elaborada pelos professores: • Dra. Dayse Batistus; • Msc. Ana Munaretto; • Msc. Cristiane Pendeza; • Msc. Adriano Delfino; Digitac¸a˜o: • Acadeˆmica Larissa Hagedorn Vieira Refereˆncia Bibliogra´fica: ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Ca´lculo. vol. 1. Traduc¸a˜o: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de ca´lculo, vol.1 e 2. 5a ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2002. 8 LEITHOLD, L. O ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol.1. 3a ed. Sa˜o Paulo: Harbra, 1994. LIMA, J. D. Apostila de Ca´lculo I. UTFPR, Pato Branco, 2008. STEWART, James. Ca´lculo. Vol. 2. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009. SWOKOWSKI, E. W. Ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol. 1. 2a ed. Sa˜o Paulo: Makron Books do Brasil,1994. THOMAS, G. B. Ca´lculo. Vol. 1. 10aed. Sa˜o Paulo: Person, 2002. 9
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