CALCULO INTEGRAL

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A velocidade é a derivada da função posição x = x(t) em relação ao tempo t. Qual é a distância (em metros) que um trem-bala percorre em 4 segundos se ele parte da posição x = 0 m e sua velocidade for dada por v = 4t3 - 3t2 + 2t?
A. 
208 m
Determine a função y=y(x) sabendo que dy/dx = x²+x^1/2.
Encontre o valor de f(x^2+4x^5-6)dx
A rede elétrica brasileira funciona através da corrente alternada, cuja tensão obedece uma função trigonométrica. Supondo que a derivada da tensão pelo tempo seja: dV/dt = 4cos(2t) e que a tensão tinha valor nulo quando a rede elétrica foi ligada, encontre a função da tensão.
C.  V(t) = 2sen(2t)
Se prendêssemos uma vareta em uma roda e colocarmos o sistema a girar, observaremos que a sombra que a vareta projeta no chão é uma função trigonométrica. Supondo que a função da velocidade da sombra seja dada por v(θ) = 4sen(θ) e que quando θ = 0º, a posição x da vareta é x(0°) = 0, qual é a função da posição que satisfaça as condições iniciais?
D.  X(θ)=-4cos(θ)+4
DESAFIO
As integrais indefinidas no cálculo matemático envolvem situações com funções em uma formulação mais complexa, tal que f'(x) = g(x). Esse processo poderá ser realizado em atividades da área da Agronomia, possibilitando resultados precisos aos agrônomos.
Suponha que você, agrônomo, está verificando todas as propriedades da região Sul que estão na sua demanda. Em umas das propriedades, verificou a danificação da plantação de milho por lagartas. Para verificar os dados precisamente, você utilizou a expressão y’ = 4 + 5t4 para observar a plantação danificada diariamente. Após a verificação, constatou-se que 50.000 m​​​​​​​2 (5 hectares) já estão danificados.
a) Quantos metros quadrados da lavoura estarão danificados em 7 dias?
b) Caso a proliferação esteja muito grande, que atitudes deverão ser tomadas?
Padrão de resposta esperado
a) O problema nos fornece a derivada y’ e o valor de y(0)=50000. Assim, calcula-se a integral para encontrar y e depois substituir t por 0 e y por 50.000 para encontrar a constante C.
y= ∫( 4+5t4)dt
y = 4t + t5 + C
Para encontrar C substiui-se t por 0. Assim:
50.000 = 4.0 + 05 + C
Logo C = 50.000
Assim:
y = t5 + 4t + 50.000
Agora, substitui-se t por 7 para encontrar a quantidade de lavoura danificada em 7 dias.
y = 75 + 4.7 + 50.000
y = 16807 + 28 + 50.000
y = 66835 m2
Logo, a plantação em 7 dias estará com 66.835 m2 danificados pelas lagartas.
b) Atitudes como o uso de inseticidas deverão ser utilizadas rapidamente, e caso o milho esteja numa altura que impossibilita a entrada do pulverizador agrícola gafanhoto, recomenda-se o uso do avião agrícola para aplicar o inseticida.
Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo queimando e ele definiu a velocidade do fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em segundos. Qual o espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s?
B. 680 m.
Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para observar o movimento da produção. Sabendo que o ponto (1,5) pertence à curva da equação f(x) e a sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o agricultor utiliza em seus cálculos?
C. y = 3x2/2 – 4x + 7,5.
Uma das formas de se calcular a integral é a partir da ideia de antiderivada, ou seja, encontrar uma função F(x) que ao ser derivada resulta em f(x). Nessas condições, a função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) com x em um intervalo dado. Assim, marque a alternativa correta.​​​​​​​​​​​​​​
No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s e o motorista visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o armazém. Dessa forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma desaceleração constante a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão chegou a zero?
C. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s.
Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal definido pela função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. Nessas condições, qual função define o custo total, sendo que o custo fixo é R$ 2.000,00?​​​​​​​​​​​​​​
A. 
DESAFIO
As integrais são extremamente importantes para diversos cálculos aplicados, como por exemplo, em situações envolvendo o centro de massa dos objetos.
Muitas estruturas e sistemas mecânicos comportam-se como se suas massas estivessem concentradas em um único ponto, que é chamado de centro de massa. Saber o centro de massa dos projetos a serem desenvolvidos é de suma importância em determinados lugares, como onde ocorre terremotos com certa frequência e os prédios precisam ser resistentes, pois uma força externa é capaz mudar o centro de massa de lugar, provocando desequilíbrio de um edifício.
Considere a seguinte situação:
PADRAO DE RESPOSTA
Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral?​​​​​​​
3/2 x2 + x + C
​​​​​A solução para a integral
A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1,2] é:
C.  17.
Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida?
∫4dx.
Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu deslocamento depois de 10 segundos?​​​​​​​
R. 150m
DESAFIO
As integrais estão presentes em muitas áreas de conhecimento, assim como no nosso dia a dia. O deslocamento de uma partícula num dado intervalo de tempo, a área de uma região irregular, o aumento do número de bactérias ao final de um dado período são todas situações descritas via integral definida.
Suponha que você está em um carrinho de montanha russa que se desloca com velocidade descrita no gráfico a seguir.
O que se pode afirmar sobre sua posição nos instantes 0s e 8s?
Lembre-se que a função posição é a antiderivada da função velocidade. Desta forma, a área entre a função e o eixo x, dentro do intervalo dado, representa o deslocamento do carrinho neste intervalo. Observe que, no intervalo de 0 a 8 segundos, a área acima do eixo x é igual à área abaixo deste eixo:
Considere f(x) = x. Calcule R(f, P, C) para a partição P de [0,5;1,5] dada por P = ｛0,5; 1; 1,3; 1,5｝ e pontos intermediários C = {0,7; 1,2; 1,4}.
B. 0,99
Deduza a fórmula para a integral abaixo.
Dica: esboce um gráfico e utilize seu conhecimento entre a relação da integral e a área. 
R. 
Calcule integral definida abaixo utilizando o teorema obtido no exercício 2.
R. 8
Calcule a seguinte integral definida: 
A. 4
Sabendo que a fórmula da integral é ,​​​​​​
responda, utilizando o conceito de área com sinal, por que essa integral sempre resulta em zero. 
R. Resulta em zero porque a área com sinal se anula.
DESAFIO
No ensino médio, somos aprovados em física decorando inúmeras fórmulas. Quem nunca ouviu falar em MRU e MRUV? Por isso, chegou a hora de virar o jogo! Você vai mostrar, com a ajuda do Teorema Fundamental do Cálculo, que todas aquelas fórmulas são deduzidas de dois princípios básicos:
1º: Para variar-se a posição da partícula, é necessário haver velocidade (calculada pela derivada da função posição).
2º: Para variar-se a velocidade, é necessário haver aceleração (calculada pela derivada da função velocidade).
Dessa forma, deduza as equações da cinemática, para uma partícula em:
​​​​​​​​​​​​​​Dica: na hora de integrar, pode colocar as variáveis nos limites de integração. Elas se comportaram como constantes.
PADRAO DE RESPOSTA ESPERADO
No MRU, têm-se aceleração nula. Considerando o instante inicial t0 = 0 s
O teorema fundamental do cálculo (TFC) nos diz que:
R. A integral definida de uma função é igual a sua antiderivada calculada no limite de integração superior menos a antiderivada calculada no limite de integração inferior.
Usando o teorema fundamental do cálculo, qual o resultado da seguinte integral definida? ​​​​​​​
A. 203/6
Calcule a seguinte integral definida:
C. 
Calcule o valor da integral de sen(t) com limites [π ,3π/2 ] usando o TFC:
E. -1
Calcule a integral de:​​​​​​​​​​​​​​​
E.  2