Lista APS3 01 1

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
UTFPR — Campus Pato Branco
Exerc´icios de Integrais
1. Determine a primitiva para cada func¸a˜o. Verifique suas respostas derivando.
(a) f(x) = 6x
(b) f(x) = x−4 + 2x+ 3
(c) f(x) =
1
2x3
(d) f(x) =
√
x+
1√
x
(e) f(x) =
1
3
x−
2
3
(f) f(x) = pi sin(pix)
(g) f(x) =
2
3
sec2
x
3
(h) f(x) = sec
pix
2
+ tan
pix
2
2. Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
(a)
∫
(x+ 1)dx
(b)
∫
(e−x + 4x)dx
(c)
∫
(
√
x+ 3
√
x)dx
(d)
∫ (
2√
1− y2 −
1
y
1
4
)
dy
(e)
∫ (
t
√
t+
√
t
t2
)
dt
(f)
∫
7 sin
θ
3
dθ
(g)
∫
(1 + tan2 θ)dθ
(h)
∫
cos θ(tan θ + sec θ)dθ
(i)
∫
cossec θ
cossec θ − sin θdθ
3. Diga se cada uma das fo´rmulas esta´ certa ou errada e justifique sua resposta.
(a)
∫
x sin xdx =
x2
2
sin x+ C
(b)
∫
x sin xdx = −x cosx+ C
(c)
∫
x sin xdx = −xcosx+ senx+ C
4. Calcule as integrais indefinidas:
(a)
∫
(x+ 3)dx
(b)
∫
(2x− 3x2)dx
(c)
∫
(x
3
2 + 2x+ 1)dx
(d)
∫
3
√
x2dx
(e)
∫
1
x3
dx
(f)
∫
x2 + x+ 1√
x
dx
(g)
∫
(x+ 1)(3x− 2)dx
(h)
∫
y2
√
ydy
1
(i)
∫ (
2
x
+ 3ex
)
dx (j)
∫
1− 2t3
t3
dt
5. Calcule as integrais indefinidas:
(a)
∫
(2 sin x+ 3 cosx)dx
(b)
∫
(1− cossec tcotan t)dt
(c)
∫
(sec2 θ − sin θ)dθ
(d)
∫
(tan2 y − 1)dy
(e)
∫
sinx
cos2 x
dx
(f)
∫
dy
cossecx, y
6. Suponha f(x) uma func¸a˜o conhecida e que queramos encontrar uma func¸a˜o F (x), tal que
y = F (x) satisfac¸a a equac¸a˜o
dy
dx
= f(x). As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o sa˜o as antiderivadas
de f(x). A equac¸a˜o
dy
dx
= f(x) e´ chamada de equac¸a˜o diferencial. Resolva as equac¸o˜es
diferenciais abaixo:
(a)
dy
dx
=
x+ 1√
x
, y(1) = 2
(b)
dy
dx
= sec2 t− sin t, y(pi
4
) = 1
7. Destermine a curva y = f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9, 4) e cujo coeficiente
angular em cada ponto e´ 3
√
x
8. Uma bola e´ jogada para cima com velocidade inicial de 64 metros por segundo de uma
altura inicial de 80 metros.
(a) Encontre a func¸a˜o posic¸a˜o escrevendo a altura s em func¸a˜o do tempo t.
(b) Quando a bola atinge o cha˜o?
9. Na Lua, a acelerac¸a˜o da gravidade e´ 1,6 m/s2. Uma pedra e´ solta de um penhasco na Lua
e atinge sua superf´ıcie 20 segundos depois. Qua˜o fundo ele caiu? Qual era a velocidade
no instante do impacto?
10. A velocidade mı´nima necessa´ria para que um objeto escape da forc¸a gravitacional da
Terra e´ obtida da soluc¸a˜o da equac¸a˜o
∫
xdx = −GM ∫ 1
y2
dy, onde v e´ a velocidade do
objeto lanc¸ado da Terra, y e´ a distaˆncia ao centro da Terra, G e´ a constante gravitacional
e M e´ a massa da Terra.
Mostre que v e y esta˜o relacionados pela equac¸a˜o v2 = v20 + 2GM
(
1
y
− 1
R
)
, onde v0 e´
a velocidade inicial do objeto e R e´ o raio da Terra (Sugesta˜o: use o fato que se y = R
enta˜o v = v0).
11. O fabricante de um automo´vel anuncia que ele leva 13 segundos para acelerar de 25
quiloˆmetros por hora para 80 quiloˆmetros por hora. Supondo acelerac¸a˜o constante, cal-
cule:
2
(a) A acelerac¸a˜o em metros por segundo ao quadrado.
(b) A distaˆncia que o carro percorre durante 13 segundos.
12. Calcule as integrais indefinidas usando as substituic¸o˜se dadas.
(a)
∫
x sin(2x2)dx, u = 2x2
(b)
∫
28(7x− 2)−5dx, u = 7x− 2
(c)
∫
9x2dr√
1− r3dr, u = 1− r
3
(d)
∫ √
x · sin2(x 32 − 1)dx, u = x 32 − 1
(e)
∫
cossec2 (2θ) · cotan (2θ)dθ,
(i) use u = cotan (2θ)
(ii) use u = cossec (2θ)
13. Calcule as integrais fazendo a substituic¸a˜o adequada.
(a)
∫
e2xdx
(b)
∫
x(2− x2)3dx
(c)
∫
cos(8x)dx
(d)
∫
x2e−2x
3
dx
(e)
∫
x2 sec2(x3)dx
(f)
∫
dx
ex
(g)
∫
e
√
y
√
y
dy
(h)
∫
sin2(3x) cos(3x)dx
14. Calcule as integrais:
(a)
∫ √
3− 2sds
(b)
∫
θ
4
√
1− θ2dθ
(c)
∫
1√
x(1 +
√
x)2
dx
(d)
∫
r2
(
r3
18
− 1
)5
dr
(e)
∫
4dt
t(1 + ln2 t)
(f)
∫
sin(2t+ 1)
cos2(2t+ 1)
dt
15. Se voceˆ na˜o souber qual substituic¸a˜o deve fazer tente reduzir a integral passo a passo,
usando uma primeira substituic¸a˜o para simplificar um pouco a integral e depois outra
para simplificar um pouco mais. Experimente fazer as substituic¸o˜es a seguir depois tente
sozinho:
(a)
∫
18 tan2(x) sec2(x)
2 + tan3(x)
dx
(i) a = tan(x), seguida por x = u3 e depois por w = 2 + v
(ii) u = tan3(x) seguida por v = 2 + u
(iii) u = 2 + tan3(x)
(b)
∫
(2r − 1) cos(√3(2r − 1)2) + 6√
3(2r − 1)2 + 6 dr
3
(c)
∫
sin
√
θ√
θ cos3
√
θ
dθ
16. Que valores de a e b maximizam o valor de
∫ b
a
(x− x2)dx?
17. Calcule as integrais.
(a)
∫ 1
0
(x2 +
√
x)dx
(b)
∫ 3pi
4
pi
4
cossecx, θ · cotan θdθ
(c)
∫ 1
0
xex
2
dx
18. Determine as derivadas calculando a integral e diferenciando o resultado e depois difer-
enciando a integral diretamente.
(a)
d
dx
∫ √x
0
cos tdt (b)
d
dx
∫ sinx
1
3t2dt
19. Determine
dy
dx
.
(a) y =
∫ x
0
√
1 + t2dt
(b) y =
∫ 0
√
x
sin t2dt
(c) y =
∫ x 13
1
et
3+1dt
20. Use uma substituic¸a˜o para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Funda-
mental do Ca´lculo para calcular a integral.
(a)
∫ 1
0
(1− 2x)3dx
(b)
∫ pi
0
sin2
(
1 +
θ
2
)
dθ
(c)
∫ pi
0
sin2
x
4
cos
x
4
dx
21. Esboce a regia˜o cuja a´rea com sinal esta´ representada pela integral, defina e calcule a
integral usando uma fo´rmula apropriada de geometria onde for necessa´rio.
(a)
∫ 4
−1
xdx
(b)
∫ 2
0
(
1− x
2
)
dx
(c)
∫ pi
0
2dx
(d)
∫ 2
1
|2x− 3|dx
(e)
∫ 2
0
√
4− x2dx
(f)
∫ 1
0
(x+ 2
√
1− x2)dx
22. Ache a a´rea sob a curva y = f(x) no intervalo dado.
4
(a) f(x) = x3, [2; 3]
(b) f(x) =
√
x, [1; 9]
(c) f(x) = ex, [1; 3]
23. Determine a a´rea das regio˜es sombreadas:
(a)
(b)
(c)
24. Calcule a integral usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo.
(a)
∫ 0
−3
(x2 − 4x+ 7)dx
(b)
∫ 3
1
1
x2
dx
(c)
∫ 9
4
2x
√
xdx
5
(d)
∫ pi
2
−pi
2
sin θdθ
(e)
∫ pi
4
−pi
4
cosxdx
(f)
∫ 3
ln 2
5exdx
(g)
∫ 4
1
(
3√
t
− 5√t− t− 32
)
dt
(h)
∫ pi
2
pi
6
(
x+
2
sin2 x
)
dx
25. Use a fo´rmula da substituic¸a˜o para calcular as integrais.
(a)
∫ 0
−pi
4
(tanx · sec2 x)dx
(b)
∫ pi
0
(3 cos2 x · sinx)dx
(c)
∫ √7
0
t(t2 + 1)
1
3dt
(d)
∫ √3
0
4x√
x2 + 1
dx
(e)
∫ √3
−√3
4x√
x2 + 1
dx
(f)
∫ ln pi
2
ln pi
6
2ev cos(ev)dv
26. Esboce o gra´fico da func¸a˜o no intervalo dado. Depois integre a func¸a˜o no intervalo dado
e determine a a´rea da regia˜o entre o gra´fico e o eixo x.
(a) y = x2 − 6x+ 8, [0; 3] (b) y = 2x− x2, [0; 3]
27. Determine as a´reas das regio˜es compreendidas entre as curvas:
(a) y = x2 − 2 e y = 2
(b) y = x2 e y = −x2 + 4x
(c) y = x4 − 4x2 + 4 e y = x2
(d) y = 2 sinx e y = sin 2x 0 ≤ x ≤ pi
28. Determine a a´rea da regia˜o no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2,
a curva y =
1
x2
e o eixo x.
29. Determine a a´rea da regia˜o entre a curva y = 3− x2 e a reta y = −1.
30. Ache a a´rea total entre a curva y = x2− 3x− 10 e o eixo x no intervalo [−3; 8]. Fac¸a um
esboc¸o da regia˜o.
31. Calcule as integrais definida:
(a)
∫ 1
0
(2x+ 1)4dx
(b)
∫ 8
0
x
√
1 +Xdx
(c)
∫ pi
2
0
4 sin
x
2
dx
(d)
∫ pi
4
− 3pi
4
sin x cosxdx
(e)
∫ 1
0
dx√
3x+ 1
(f)
∫ 1
0
y2√
4− 3ydy
(g)
∫ e
0dx
x+ e
6
32. Esboce a regia˜o entre as curvas no intervalo dado e calcule a sua a´rea.
(a) y = x2, y =
√
x, x =
1
4
, x = 1.
(b) y = cos 2x, y = 0, x =
pi
4
, x =
pi
2
.
(c) x = sin y, x = 0, y =
pi
4
, y =
3pi
4
.
(d) y = 2 + |x− 1|, y = −1
5
x+ 7.
(e) y = x, y = 4x, y = −x+ 2.
(f) y = sinx, y = cos 2x, x = −pi
2
, y =
pi
6
.
33. A superf´ıcie de uma parte de uma ma´quina e´ a regia˜o entre os gra´ficos das func¸o˜es y1 = |x|
e y2 = 0, 08x
2 + k conforme mostra a figura abaixo.
(a) Determine o valor de k se a para´bola e´ tangente ao gra´fico de y1.
(b) Determine a a´rea da superf´ıcie desta parte da ma´quina.
34. Calcule as integrais usando a integrac¸a˜o por partes.
(a)
∫
x cos 5xdx
(b)
∫
ln(2x+ 1)dx
(c)
∫
arctan 4tdt
(d)
∫
sin−1 xdt
(e)
∫
e2θ sin 3θdθ
(f)
∫ pi
0
t sin tdt
(g)
∫ 1
2
0
cos−1 xdx
35. Uma part´ıcula se move ao longo do eixo x com uma func¸a˜o velocidade v(t) = t2 · e−t. Ate´
onde ira´ a part´ıcula no tempo t = 0 ate´ t = 5?
36. O estudo das ondas de dentes de serra em engenharia leva a integrais da forma∫ pi
ω
− pi
ω
t sin(kωt)dt, onde k e´ um inteiro e ω e´ uma constante na˜o nula. Calcule a integral.
37. Calcule as integrais
(a)
∫
cos3 2xdx
(b)
∫
sin2 2t cos3 2tdt
(c)
∫
sin x cos 3xdx
(d)
∫ pi
6
0
sin 2x cos 4xdx
(e)
∫
sec 2xdx
(f)
∫
tan2 x sec2 xdx
(g)
∫ pi
6
0
tan2 2xdx
7
38. A integral
∫
x
x2 + 4
dx pode ser calculada ou por substituic¸a˜o trigonome´trica ou pela
substituic¸a˜o u = x2 + 4. Calcule-a das duas maneiras e mostra que os resultados sa˜o
equivalentes.
39. Use frac¸o˜es parciais para achar a integral.
(a)
∫
1
x2 − 1dx
(b)
∫
3
x2 + x− 2dx
(c)
∫
5− x
2x2 + x− 1dx
(d)
∫
x2 + 12x+ 12
x3 − 4x dx
(e)
∫
2x3 − 4x2 − 15x+ 5
x2 − 2x− 8 dx
40. Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas dadas
em torno das retas especificadas. Esboce a regia˜o.
(a) y =
1
x
, x = 1, x = 2, y = 0 em torno
do eixo x.
(b) x = 2
√
y, x = 0, y = 9 em torno do
eixo y.
(c) y = x3, y = x, x ≥ 0 em torno do eixo
x.
(d) y = x, y =
√
x, em torno de y = 1.
(e) y = x2, x = y2, em torno de y = −1.
41. Cada integral representa o volume de um so´lido. Descreva o so´lido.
(a) pi
∫ pi
2
0
cos2(x)dx (b) pi
∫ 1
0
(y4 − y8)dy
Coletaˆnea de exerc´ıcios elaborada pelos professores:
• Dra. Dayse Batistus;
• Msc. Ana Munaretto;
• Msc. Cristiane Pendeza;
• Msc. Adriano Delfino;
Digitac¸a˜o:
• Acadeˆmica Larissa Hagedorn Vieira
Refereˆncia Bibliogra´fica:
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Ca´lculo. vol. 1. Traduc¸a˜o: Claus I. Doering. 8 ed.
Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de ca´lculo, vol.1 e 2. 5a ed. LTC Editora, Rio de Janeiro,
RJ: 2002.
8
LEITHOLD, L. O ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol.1. 3a ed. Sa˜o Paulo: Harbra,
1994.
LIMA, J. D. Apostila de Ca´lculo I. UTFPR, Pato Branco, 2008.
STEWART, James. Ca´lculo. Vol. 2. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol. 1. 2a ed. Sa˜o Paulo: Makron
Books do Brasil,1994.
THOMAS, G. B. Ca´lculo. Vol. 1. 10aed. Sa˜o Paulo: Person, 2002.
9