Aula 2 (Equilíbrio de uma partícula)

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Notas de Aula : Mecânica Curso: Engenharia Civil ( 5° Semestre ) 
Professor: Douglas Esteves e-mail: matematyco2010@gmail.com 
 
 
Centro de Educação Superior de Brasília 
Centro Universitário Instituto de Educação Superior de Brasília 
Curso: Engenharia Civil 
Professor: Douglas Esteves 
 Disciplina: Mecânica 
 
Equilíbrio de uma Partícula 
 Condição de Equilíbrio de uma Partícula 
 Dizemos que uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso se originalmente se 
achava em repouso, ou quando tem velocidade constante se originalmente estava em movimento. Muitas 
vezes no entanto, o termo ‘equilíbrio’ ou mais especificamente ‘equilíbrio estático’ é usado para descrever um 
objeto em repouso. 
 Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a 1ª lei do movimento de Newton, segundo o 
qual a força resultante que atua sobre a partícula deve ser igual a zero. Essa condição é expressa 
matematicamente como: 
∑ 
 Onde ∑ é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula. 
 Essa equação não é apenas uma condição necessária para o equilíbrio, é também uma condição 
suficiente. Isso decorre da 2ª lei de Newton, a qual pode ser escrita como ∑ . como o sistema de 
forças satisfaz a equação então e portanto, a aceleração da partícula a= 0. Consequentemente a 
partícula se move com velocidade constante ou permanece em repouso. 
 Diagrama de corpo livre 
 Para aplicar a equação de equilíbrio, devemos considerar todas as forças conhecidas e 
desconhecidas que atuam sobre a partícula. A melhor maneira de fazer isso é pensar na partícula de forma 
isolada e livre do seu contorno. Um esboço mostrando a partícula com todas as forças que atuam sobre ela é 
chamado de diagrama de corpo livre (DCL) da partícula. 
 Exemplo de aplicação. 
 Faça o diagrama de corpo livre da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistemas de forças coplanares 
 Se uma partícula estiver submetida a um sistema de forças coplanares localizadas no 
plano x~y, como mostra a figura abaixo, então cada força poderá ser decomposta em suas 
componentes I e J. Para o equilíbrio, essas forças precisam ser somadas para produzir uma força 
resultante zero, ou seja. 
 
Para que essa equação vetorial seja satisfeita, as 
componentes x e y da força devem ser iguais a zero 
Portanto, 
∑ ∑ ∑ 
 
 
É importante notar que se a força tiver intensidade desconhecida, o sentido da seta da força 
no diagrama de corpo livre poderá ser assumido. 
 
Nesse caso, é assumido que a força incógnita F atua para a direita a fim de manter o 
equilíbrio. O verdadeiro sentido da foça F será obtido na resolução. 
 
Procedimento para análise 
 
Diagrama de corpo livre 
 - Estabeleça os eixos x, y com qualquer orientação adequada. 
 - Identifique todas as intensidades e direções das forças conhecidas e desconhecidas no diagrama. 
 - O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é assumido. 
 
- Aplique as equações de equilíbrio 
 
- Como a intensidade de uma força é sempre uma quantidade positiva, então, se a solução 
produzir um resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no 
diagrama de corpo livre (que foi assumido). 
 
 
 
 
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 Exemplo de aplicação. 
 
Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. Visando a especificação dos trechos 
de cabo AC e BC, determine as trações nos mesmos. 
 
 DCL 
 
 
Imposição do Equilíbrio 
 
 
 
 
 
 Sistema de Forças Tridimensionais 
 
 Já sabemos que a condição de equilíbrio de uma partícula é que ∑ . No caso de um 
sistema de forças tridimensionais como o da figura abaixo, devemos decompor as forças em suas respectivas 
componentes I, J , K, de modo que ∑ ∑ ∑ . 
 
 
 
Para satisfazer essa equação é necessário que: _Fx=0 _Fy=0 _Fz=0 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo de aplicação. 
 
Uma carga de 90N está suspensa pelo gancho mostrado na figura abaixo. Se a carga é suportada por dois 
cabos e uma mola com rigidez k=500N/m, determine a força nos cabos e o alongamento da mola para a 
condição de equilíbrio. O cabo AD está no plano x-y e o cabo AC nop plano x-z. 
 
 
 Solução: 
 Primeiro devemos fazer o diagrama de corpo livre(DCL) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- O alongamento da mola poderá ser determinado depois que descobrirmos o valor da força que atua sobre ela. 
 
- Fazendo a decomposição das forças nos eixos temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Usando a condição equilíbrio temos: 
 
∑ 
 
 
 
∑ 
∑ 
 
Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
 
 1) Determine o ângulo θ e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilíbrio estático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o semáforo de 12kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine as forças necessárias nos cabos AB e AC da figura para manter a esfera D de 20kg em 
equilíbrio. Dados: F =300N e d = 1m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Consideremos um caixote de 75 kg ilustrado na figura abaixo. Este caixote estava entre dois prédios e está 
agora sendo colocado sobre um caminhão, que o removerá. O caixote é suportadopor um cabo vertical, unido 
em A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prédios, em B e C. Deseja-se determinar a tração em 
cada uma das cordas AB e AC. 
 
 
 
5) determinar o valor de F e do ângulo α na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Determinar o valor da força F em cada uma das situações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) O sistema da figura abaixo está em equilíbrio, com a corda do centro exatamente na horizontal. O bloco 
A pesa 40 N , o bloco B pesa 50 N e o ângulo Φé de 35º. Determine: 
a) a tensão T1; 
b) a tensão T2; 
c) a tensão T3; 
d) o ângulo ө. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8)Uma Lâmpada de 42,6 Kg está suspensa por fios, como mostra a figura. O anel tem massa desprezível. 
Quanto vale a tensão T1? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9)Para figura abaixo encontre o valor da massa e das tensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um bloco de massa m = 40 kg é escorado contra o teto de uma edificação, através da aplicação de uma força 
oblíqua F, como indicado na figura abaixo. Sabendo- se que este escoramento deve suportar o peso p = 8,8. 10
3
 N, 
devido ao teto, calcule o valor mínimo de F, em unidades de 10
3
 N.( considere g = 10m/s
2
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11)O corpo M representado na figura pesa 80 N e é mantido em equilíbrio por meio da corda AB e pela ação da força 
horizontal F de módulo 60 N. A intensidade da tração na corda AB, suposta ideal, em N, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12)No esquema abaixo, AC e BC são cordas inextensíveis, de massas desprezíveis, que prendem, ao teto AB, o lustre L 
de peso 100 N. Sabendo-se que a corda AC mede 3,0 m e corda BC mede 4,0 m, podemos afirmar que as forças de 
tração nas cordas AC e BC têm intensidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Se o bloco B da figura pesa 1 kN e o bloco C pesa 0,5 kN, determine o peso requerido do bloco D e o 
ângulo para o equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14) Determine o alongamento nas molas AC e AB para o equilíbrio do bloco de 2 Kg. As molas são 
mostradas na posição de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 ) Determine a força envolvida em cada cabo usado para suportar a caixa de 100 kg na posição de 
equilíbrio mostrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16) Determine a tração desenvolvida nos cabos AB, AC e AD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17)Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F necessários para o equilíbrio do ponto O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18)Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. Determine as forças de tração nos cabos 
AC e AD e a intensidade da força vertical F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19)Determine a deformação necessária em cada mola para manter a caixa de 20kg na posição de equilíbrio. 
Cada mola tem comprimento de 2m sem deformação e rigidez k = 300N/m. 
 
 
 
20)Determine a força necessária em cada um dos três cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8 
toneladas. OBS: considerar o eixo z a partir do gancho, o que estiver abaixo do gancho tem valor negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21)Determine a força necessária que atua ao longo do eixo de cada uma das três escoras para suportar o bloco 
de 500kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) 
 
 
 
 
19) 
 
ESTEVES, Douglas. Notas de aula de Equilíbrio de Ponto Material: Condição de Equilíbrio. 13 feb. 2014, 07 mar. 
2014. 26 p. Notas de Aula. Material retirado do livro: Mecânica para Engenheiros ( estática) 12ª ed do Hibbeler.. 
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