Prova de Funções

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CDI0001 (turma: ) PROVA II 16/10/2015
Prof. Helder Geovane Gomes de Lima
Nome do(a) aluno(a):
ˆ Identifique-se em todas as folhas.
ˆ Mantenha o celular e os demais equipamentos eletrônicos desligados durante a prova.
ˆ Justifique cada resposta com cálculos ou argumentos baseados na teoria estudada.
ˆ Resolva (integralmente) apenas os itens de que precisar para somar 10,0 pontos.
1. (0,5) Dê exemplos de funções 𝑓, 𝑔 : R→ R tais que [𝑓(𝑔(𝑥))]′ ̸= 𝑓 ′(𝑥)𝑔′(𝑥). Faça as contas
para mostrar que realmente são diferentes.
2. (1,0) Seja 𝑓(𝑥) =
102𝑥
ln(10)
. Determine uma fórmula para 𝑓 (𝑛), a derivada de ordem 𝑛 de 𝑓 .
3. (0,5) Calcule a derivada de 𝑦 = senh(𝑥) cosh(𝑥) + sen(cos(ln(𝜋 + 1))).
4. (2,0) Uma escada de 250𝑐𝑚 de comprimento está apoiada em um muro vertical. Se a
extremidade inferior da escada se afasta do muro na razão de 3𝑐𝑚/𝑠, então com que
rapidez está descendo a extremidade superior no instante em que o pé da escada está a
70𝑐𝑚 do muro?
5. (1,5) Mostre que se 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 sen(𝑥) então vale 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 0, sendo 𝑦′ e 𝑦′′,
respectivamente, as derivadas de primeira e segunda ordem da função indicada.
6. (1,5) Utilize uma aproximação linear para estimar o valor de
√
26.
7. (2,5) Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada implicitamente pela equação 𝑒(𝑦
2·𝑥) = 𝑥− 𝑦. Calcule 𝑓 ′(0).
8. (2,5) Determine a equação da reta normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) em 𝑥 = 𝜋/4.
Respostas e observações
1. Dê exemplos de funções 𝑓, 𝑔 : R → R tais que [𝑓(𝑔(𝑥))]′ ̸= 𝑓 ′(𝑥)𝑔′(𝑥). Faça as contas
para mostrar que realmente são diferentes.
Há inúmeras funções para as quais isso ocorre. Por exemplo:
ˆ Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥, então:
[𝑓(𝑔(𝑥))]′ =
[︀
(3𝑥)2
]︀′
=
[︀
9𝑥2
]︀′
= 18𝑥 ̸= 6𝑥 = 2𝑥 · 3 = (𝑥2)′ · (3𝑥)′ = 𝑓 ′(𝑥)𝑔′(𝑥).
ˆ Se 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) e 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥, então:
[𝑓(𝑔(𝑥))]′ = [sen(𝑒𝑥)]′ = cos(𝑒𝑥)𝑒𝑥 ̸= cos(𝑥) · 𝑒𝑥 = (sen(𝑥))′ · (𝑒𝑥)′ = 𝑓 ′(𝑥)𝑔′(𝑥).
2. Seja 𝑓(𝑥) =
102𝑥
ln(10)
. Determine uma fórmula para 𝑓 (𝑛), a derivada de ordem 𝑛 de 𝑓 .
Como [102𝑥]
′
= [102𝑥 · ln(10) · 2] = 2 ln(10) · 102𝑥, tem-se
𝑓 ′(𝑥) =
2 ln(10) · 102𝑥
ln(10)
= 2 · 102𝑥
𝑓 (2)(𝑥) = 2 · [︀102𝑥]︀′ = 2 · [︀2 ln(10) · 102𝑥]︀ = 22 ln(10) · 102𝑥
𝑓 (3)(𝑥) = 22 ln(10) · [︀102𝑥]︀′ = 22 ln(10) · [︀2 ln(10) · 102𝑥]︀ = 23 ln(10)2 · 102𝑥
Pode-se concluir que a derivada de ordem 𝑛 será 𝑓 (𝑛)(𝑥) = 2𝑛 ln(10)𝑛−1 · 102𝑥.
3. Calcule a derivada de 𝑦 = senh(𝑥) cosh(𝑥) + sen(cos(ln(𝜋 + 1))).
Como sen(cos(ln(𝜋 + 1))) é apenas uma constante, a sua derivada é zero. Então:
𝑦′ = (senh(𝑥) cosh(𝑥))′+0 = (senh(𝑥))′ cosh(𝑥)+senh(𝑥)(cosh(𝑥))′ = cosh2(𝑥)+senh2(𝑥).
4. Uma escada de 250𝑐𝑚 de comprimento está apoiada em um muro vertical. Se a extre-
midade inferior da escada se afasta do muro na razão de 3𝑐𝑚/𝑠, então com que rapidez
está descendo a extremidade superior no instante em que o pé da escada está a 70𝑐𝑚 do
muro?
Se 𝑥 é a distância (em centímetros) entre o muro e o pé da escada, e 𝑦 a distância (em
centímetros) entre o chão e o topo da escada, então 𝑥2 + 𝑦2 = 2502. Derivando ambos
os membros da igualdade em relação a 𝑡 obtem-se 2𝑥 · 𝑥′ + 2𝑦 · 𝑦′ = 0, que equivale a
𝑦′ = −2𝑥
2𝑦
· 𝑥′ = −𝑥
𝑦
· 𝑥′.
Quando 𝑥 = 70𝑐𝑚, tem-se 702 + 𝑦2 = 2502 e portanto 𝑦 =
√
2502 − 702 = 10√252 − 72 =
10 · 24 = 240𝑐𝑚. Consequentemente, 𝑦′ = − 70
240
· 3 = −7/8 = −0, 875𝑐𝑚/𝑠.
5. Mostre que se 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 sen(𝑥) então vale 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 0, sendo 𝑦′ e 𝑦′′,
respectivamente, as derivadas de primeira e segunda ordem da função indicada.
Tem-se
𝑦′ = (𝑒𝑥 sen(𝑥))′ = 𝑒𝑥 sen(𝑥) + 𝑒𝑥 cos(𝑥) = 𝑒𝑥 [sen(𝑥) + cos(𝑥)]
𝑦′′ = (𝑒𝑥 [sen(𝑥) + cos(𝑥)])′ = 𝑒𝑥 [sen(𝑥) + cos(𝑥)] + 𝑒𝑥(cos(𝑥)− sen(𝑥)) = 2𝑒𝑥 cos(𝑥)
Consequentemente,
𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 2𝑒𝑥 cos(𝑥)− 2 (𝑒𝑥 [sen(𝑥) + cos(𝑥)]) + 2 (𝑒𝑥 sen(𝑥)) = 0.
2
6. Utilize uma aproximação linear para estimar o valor de
√
26.
Seja 𝑓(𝑥) =
√
𝑥, 𝑥0 = 25 e ∆𝑥 = 1. Então e 𝑓
′ =
1
2
√
𝑥
e tem-se:
√
26 =
√
25 + 1 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓 ′(𝑥0)∆𝑥
=
√
25 +
1
2
√
25
· 1 = 5 + 1
10
= 5 + 0, 1 = 5, 1.
7. Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) dada implicitamente pela equação 𝑒(𝑦
2·𝑥) = 𝑥− 𝑦. Calcule 𝑓 ′(0).
Derivando ambos os membros da equação em relação a 𝑥, resulta que
𝑒(𝑦
2·𝑥)(2𝑦𝑦′𝑥 + 𝑦2) = 1− 𝑦′.
Em particular, se 𝑥 = 0 tem-se 𝑒(𝑦
2·0)(2𝑦𝑦′ · 0 + 𝑦2) = 1 − 𝑦′, isto é, 𝑦2 = 1 − 𝑦′. Além
disso, o valor de 𝑦 correspondente pode ser obtido levando em conta que 𝑒(𝑦
2·0) = 0 − 𝑦,
ou seja, 𝑦 = −1. Assim, (−1)2 = 1− 𝑦′ implica que 𝑦′ = 0.
8. Determine a equação da reta normal ao gráfico de 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) em 𝑥 = 𝜋/4.
Tendo em mente que tan(𝜋/4) = 1, que 𝑓 ′(𝑥) = (tan(𝑥))′ = sec2(𝑥), e que
sec2(𝜋/4) =
1
cos2(𝜋/4)
=
1(︁√
2
2
)︁2 = 1(︀2
4
)︀ = 2,
conclui-se que a equação da reta tangente é 𝑦−1 = 2(𝑥−𝜋/4), ou seja, 𝑦 = 2𝑥+(1−𝜋/2).
3