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Adriano Alberto 1 ENG285 Adriano Alberto Fonte: Hibbeler, R.C., Resistência dos Materiais 5ª edição; Beer 5ª Ed; Barroso, L.C., Cálculo Numérico (com aplicações) 2ª edição; slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr.; http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom- areas-circ.htm TORÇÃO � = G . � (material linear-elástico) � = �� . ��á� � = �� . ��á� �máx = � . �� �máx = Tensão de cisalhamento máxima do eixo, que ocorre na superfície externa. T = torque interno resultante que atua na seção transversal. J = momento de inércia polar da área da seção transversal [mm4 ou pol4] c = raio externo do eixo Adriano Alberto 2 � = � . � � � = Tensão de cisalhamento = distância intermediária J = � �� . ��� = � �� . (��� . ��)���� = 2� � �� . ������ ci = raio interno ce = raio externo J = �� . c 4 J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal circular maciça, logo: �máx = � �� . �� J = �� . (��� - ���) J = momento de inércia polar para eixo de seção transversal tubular (eixo vazado) dT = . dF dF = � . dA dA = 2� . . d � � = ��á� => � = f( ) = � . �!á" => dT = . {[� . �!á"] . (2� . . d )} = ��á� . 2� . 3 . d T = �� . ��á��� � �� . �� ���� Adriano Alberto 3 Transmissão de potência P = � . #$#% ; & = #$#% ; P = T . & [P] = [W] = [N.m/s] [&] = [rad/s] ; [f] = [Hz] 1 Hz = ' ���()* = �� +,# * 1 rad ≅ 1 raio & = 2� . f => P = 2� . f . T �adm = � . �� RESOLUÇÃO DA LISTA 3ª UNIDADE PROBLEMAS ENVOLVENDO ANÁLISE DE TENSÕES 1 a 3) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão normal e a tensão de cisalhamento que se exercem em um plano paralelo à linha a–a. Adotar o método de análise baseado nas equações de equilíbrio da parte sombreada do cubo elementar indicada. Adriano Alberto 4 1) Adriano Alberto 5 2) Adriano Alberto 6 3) Adriano Alberto 7 4 a 6) Determinar, para o estado de tensões indicado: a) os planos principais; b) as tensões principais; c) os planos de máxima tensão de cisalhamento; d) a máxima tensão de cisalhamento; e) as tensões normais atuantes nos planos de máxima tensão de cisalhamento. 4) .! = / 01 2 304 = 6,5 MPa R = 5(41 + 6,5)4 + (36)4 = 59,60075503 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 66,10075503 MPa .!í> = .! - R = - 53,10075503 MPa arctg(2?) = @A01 2 A,3 => $ = 18,57914839° (anti-horário) ?’ = 90º - 18,57914839° = 71,42085161° (horário) 2B = 90° - 2? => C = 26,42085161° (horário) B’ = 90° - 14,03624347° = 5) .! = 1@D,E 2 4D,A4 = 82,75 MPa R = 5(82,75 I 27,6)4 + .!á" = .! + R = 151,7100065 MPa .!í> = .! - R = 13,78999347 arctg(2?) = 01,0J4,D3/4D,A => $ ?’ = 90º - 18,44741165º = 71,55258835° (horário) 2B = 90° - 2? => C = 26,55258835° (horário) 63,57914839° (anti-horário) 82,75 MPa (41,4)4 = 68,96000653 MPa = ��á� 151,7100065 MPa 13,78999347 MPa = 18,44741165° (anti-horário) 71,55258835° (horário) = 26,55258835° (horário) Adriano Alberto 8 Adriano Alberto 9 B’ = 90° - 26,55258835° = 63,44741165° (anti-horário) 6) .! = / 14K 2 0K4 = - 40 MPa R = 5(40 + 40)4 + (150)4 = 170 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 130 MPa .!í> = .! - R = - 210 MPa arctg(2?) = 13K0K 2 0K => $ = 30,96375653° (horário) ?’ = 90º - 30,96375653° = 59,03624347° (anti-horário) 2B = 90° - 2? => C = 14,03624347° (anti-horário) Adriano Alberto 10 B’ = 90° - 14,03624347° = 75,96375653° (horário) 7 a 9) Determinar as tensões principais e os planos principais para o estado plano de tensões, resultante da superposição dos dois estados planos indicados. *** 7) Adriano Alberto 11 8) Para o primeiro estado de tensão: .! = MN2 K4 = OP� R = OP� Para o estado de tensão resultante: Adriano Alberto 12 .! = QRNS 2 RN . TUV (SW)S 2 RNS / RN . TUV (SW)S 4 = 4MN 4 = OP R = XY@MN4 + MN . Z[\ (4])4 I .K^ 4 + YMN . \_` (4])4 ^ 4 = = XYMN4 + MN . Z[\ (4])4 ^ 4 + (MN )0 4 . abcd(2?)e4 = X(MN )0 4 + 4 MN . MN . Z[\ (4])0 + (MN )0 4 . afgb(2?)e4 + (MN )0 4 . abcd(2?)e4 = X4(MN )0 4 + 4 (MN )S. Z[\ (4])0 = X(MN )4 4 . a1 + cos(2?)e = .K . X12Z[\(4])4 a�)*($)e� = '2klm(�$)� Logo: R = OP . cos$ Adriano Alberto 13 .1 = .! + R = .K + .K . cos? = OP . (1 + cos$) .4 = .! - R = .K - .K . cos? = OP . (1 - cos$) 2 . ?n = arctgo RN . Vpq (SW)SRNS 2 RN . TUV (SW)S r = arctgs \_` (4])1 2 Z[\ (4])t = arctgs4\_`] . uv]4 . ( uv])S t = arctg(tg?) => => $w = $� 9) Adriano Alberto 14 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. .! = JK 2 4K4 = 50 MPa R = 5(30)4 + (40)4 = 50 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 100 MPa .!í> = .! - R = 0 MPa arctg(2?) = 0K@K => $ = 26,56505118° (anti-horário) ?n = 26,56505118° + 45° = 71,56505118° (anti-horário) ?′n = 90º - 71,56505118° = 18,43494882° (horário) Adriano Alberto 15 10) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando: a) σy = 14 MPa; b) σy = 98 MPa. a) Para o estado plano: .! = 10 2 EA,34 = 55,25 MPa R = 5(55,2)4 + (55,25 I 14)4 = 68,91010448 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 124,1601045 MPa .!í> = .! - R = - 13,66010448 MPa Para os círculos internos: y1 = K / 1@,AAK1K00J 4 = - 6,83005224 MPa y4 = 140,1AK1K03 2 K4 = 62,08005225 MPa b) Para o estado plano: .! = EJ 2 EA,34 = 97,25 MPa R = 5(55,2)4 + (98 I 97 .!á" = .! + R = 152,4550949 .!í> = .! - R = 42,04490513 Para os círculos internos: y1 = K 2 04,K00EK31@ 4 = 21,02245256 y4 = 134,033KE0E 2 K4 = 76,22754745 MPa 97,25)4 = 55,20509487 MPa = ��á� 152,4550949 MPa 42,04490513 MPa 21,02245256 MPa 76,22754745 MPa = R = ��á� Adriano Alberto 16 Adriano Alberto 17 11) Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando: a) σy = +48 MPa; b) σy = – 48 MPa; c) σy = 0. Adriano Alberto 18 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. Para o estado plano: .! = 0J 2 K4 = 24 MPa R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa .!á" = .! + R = 64 MPa .4 = .! - R = - 16 MPa Para o estado tridimensional: .! = A0/4K4 = 22 MPa R = 64 - 22 = 42 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 64 MPa O�í{ = - 20 MPa Adriano Alberto 19 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. Para o estado plano: .! = / 0J 2 K4 = - 24 MPa R = 5(24)4 + (32)4 = 40 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 16 MPa .4 = .! - R = - 64 MPa = O�í{ Para os círculos internos: y1 = /4K / A04 = - 42 MPa y4 = 1A / 4K4 = - 2 MPa Adriano Alberto 20 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. Para o estado plano: .! = / @4 2 @44 = 0 MPa R = 32 MPa = ��á� = O�á� O�í{ = - 32 MPa Para os círculos internos: y1 = /4K / @44 = - 26 MPa y4 = @4 / 4K4 = 6 MPa 12) Determinar, para o estadode tensões indicado, a máxima tensão de cisalhamento. Adriano Alberto 21 Para o estado plano: .! = DK 2 K4 = 35 MPa R = 5(120)4 + (70 I 35)4 = 125 MPa = ��á� .!á" = .! + R = 160 MPa .!í> = .! - R = - 90 MPa Para os círculos internos: y1 = / EK 2 10K 4 = 25 MPa y4 = 1AK 2 10K4 = 150 MPa Adriano Alberto 22 PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO 13) Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze. Determinar: a) A máxima tensão de cisalhamento; b) A tensão de cisalhamento no ponto D que fica numa circunferência de 15 mm de raio desenhada na seção extrema do cilindro; c) A parcela do momento resistida pelo cilindro interior de 15 mm de raio. T = 3 kN.m a) ce = 30 mm = 0,03 m J = |4 . (0,03) 4 = 1,272 . 10-6 m4 �máx = @KKK . K,K@1,4D4 . 1K}~ = 70,755 MPa b) � = @KKK . K,K13 1,4D4 . 1K}~ = 35,377 MPa c) T = 4| . ��á� � @ . d => T’ = 4| . DK,D33 . 1K~ K,K@ � @ . d K,K13K = 4| . DK,D33 . 1K~ K,K@ . K,K13 0 = 187,552 N.m Adriano Alberto 23 . 100 = 1JD,334 @ KKK . 100 = 6,25 % 14) T = 2,4 kN.m a) �máx (AB) = ? TAB = TA = 2 400 N . m J = |4 . (0,027) 4 = 8,348 . 10-7 m4 �máx = 4 0KK . K,K4DJ,@0J . 1K} = 77,623 MPa b) �máx (BC) = ? TBC = TA + TB = (2 400 – 1 200) N . m = 1 200 N . m J = |4 . (0,022) 4 = 3,680 . 10-7 m4 �máx = 1 4KK . K,K44@,AJK . 1K} = 71,739 MPa 15) Adriano Alberto 24 JCD = | 4 . [(0,040) 4 - (0,034)4] = 1,922 . 10-6 m4 40 . 106 = . K,K0K 1,E44 . 1K}~ => TCD = 1 922 N . m JAB = | 4 . (0,028) 4 = 9,655 . 10-7 m4 55 . 106 = . K,K4J E,A33 . 1K} => TAB = 1 896,518 N . m Tadm = TAB = 1 896,518 N . m Ângulo de Torção ∅ = � �(�)#��(�).P Para torque e área da seção constantes: ∅ = �� Para mudança de área e/ou torque e/ou G: Adriano Alberto 25 ∅ = ∑ �� 16) G = 80 . 109 Pa a) T(3 m) = (- 20 -5) kN.m = - 25 kN.m = - 25 000 N.m �máx = 43 KKK . K,K3KYS^. (K,K3K) = 127,324 MPa b) T(1m a 2 m) = - 5 – 20 + 100 => T(2m) = 75 000 N.m T(0 m a 1 m) = - 5 – 20 + 100 - 35 => T(1m) = 40 000 N.m ∅(1 m a 2m) = D3 KKK . 1YS^. (K,KJK) . JK . 1K = 0,01457107 rad ∅(0 m a 1m) = 0K KKK . 1YS^. (K,KJK) . JK . 1K = 7,771237456 . 10 -3 rad ∅Total = 0,01457107 rad + 7,771237456 . 10-3 rad = 0,022342307 rad 17) G = 75 . 109 Pa ; P = 450 N ; �adm = 30 . 106 Pa ; BC = 0,610 m ; AB = 0,380 m Deflexão máxima de A = 0,002 m S = ∅ . r => 0,002 = ∅ . 0,380 => ∅ = 5,263157895 . 10-3 rad T = 0,380 . 450 = 171 N.m Adriano Alberto 26 30 . 106 = 1D1 . S . => c 3 = 1D1 0D 14@ JJE,J => c = 0,015366854 m => d = 30,733708 mm (não serve) 5,263157895 . 10-3 = 1D1 . K,A1K YS^. ( ) . D3 . 1K => 5,263157895 . 10-3 . c4 = 8,854107794 . 10-10 => c = 0,020252311 m => d = 40,50462335 mm (ok) 18) G = 80 . 109 Pa ; �máx(AB) = 120 . 106 Pa ; ∅C/A = - 0,018 rad no sentido de T1 T1 = ? ; T2 = ? T2 + T1 + T3 = 0 120 . 106 = Q . K,KJ S . (K,KJ) => T3 = - 96 509,72632 N.m ∅C/A = ∅B/A + ∅C/B ∅B/A = / EA 3KE,D4A@4 . @YS^. (K,KJK) . JK . 1K = - 0,05625 rad -0,018 = -0,05625 + ∅C/B => ∅C/B = 0,03825 rad 0,03825 = (S/ EA 3KE,D4A@4) . 4 YS^. (K,K3K) . JK . 1K => T2 = 111 530,4662 N.m T2 + T1 + T3 = 0 => T1 = -111 530,4662 + 96 509,72632 = - 15 020,73988 N.m Adriano Alberto 27 ***19) Os binários, aplicados, como mostrado, ao eixo de aço (G = 80 GPa) da figura, produzem uma tensão tangencial máxima de 80 MPa e torcem o extremo livre de 0,014 rad. Determine os momentos torques T1 e T2. G = 80 . 109 Pa ; �máx = 80 . 106 Pa ; c = 0,050 m ∅T = ∅1 + ∅2 = - 0,014 rad L1 = 0,6 m ; L2 = 0,3 m T1 = ? ; T2 = ? ∅ = J = |4 . c 4 ∅1 = . K,AYS^. (K,K3K) . JK . 1K ; ∅2 = S . K,@ YS^. (K,K3K) . JK . 1K 7,639437268 . 10-7 . T1 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = - 0,014 (I) �máx = . = �máx = S . Q Adriano Alberto 28 80 . 106 = (2 S) S . (K,K3K)Q => T1 + T2 = 15 707,96327 (II) T1 = 15 707,96327 - T2 7,639437268 . 10-7 . (15 707,96327 - T2) + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014 => 0,012 - 7,639437268 . 10-7 . T2 + 3,819718634 . 10-7 . T2 = 0,014 => T2 = 5 235,987756 N.m => T1 = 15 707,96327 - T2 = 10 471,97551 N.m Obs: como os dois torques são aplicados no mesmo sentido, eles possuem o mesmo e sinal e, o somatório dos dois é igual a |15 707,96327 N.m| Resp. da lista: 19) T1 = 10470 N.m ; T2 = 5240 N.m 20) ∅ = � �(�)#��(�).P ; J = �� . (��� - ���) Determinando o raio menor: 4 = � => rmenor = S 4 = 4 T(x) = T ; J(x) =? Adriano Alberto 29 4/ = 4/ " => ce = 2r – �+ / (S) = / " => ci = r – �+� J(x) = �� . [(2r – �+ ) 4 - (r – �+�) 4] (a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4 J(x) = |4 . [(16r 4 – 4 . 8r³ . " - 4 . 2r . "Q . Q Q + 6 . 4r² . "S . S S + " . ) – (r4 – 4r³ . "4 - 4r . "Q . Q JQ + 6r² . "S . S 0S + " . 1A )] = = | 4 [(16r 4 – 32r4 . " - 8r 4 . "Q Q + 24r 4 . "S S + r 4 . " ) – (r 4 – 2r4 . " - r 4 . 1 4 . " Q Q + r 4 . @ 4 . " S S + r 4 . 1 1A . " )] = = | . 4 [(16 – 32 . " - 8 . "Q Q + 24 . " S S + " ) – (1 – 2 . " - 1 4 . " Q Q + @ 4 . " S S + 11A . " )] = | . 4 [16 – 32 . " - 8 . "Q Q + 24 . " S S + " ) – 1 + 2 . " + 1 4 . " Q Q - @4 . " S S - 11A . " ] = = | . 4 [15 – 30 . " – 7,5 . "Q Q + 22,5 . " S S + 13 1A . " ] = | . 4 [15 – x . @K – x 3 . D,3 Q + x2 . 44,3 S + 131A . . 0] ∅ = 4� . . 4 � "a15 – x . 30 – x3 . 7,5 3 + x2 . 22,5 2 + 1516 . 4 . 4e K => Pela regra dos trapézios: I = � (y0 + y1) ; h = x1 – x0 Adriano Alberto 30 I = � "a15 – x . 30 – x3 . 7,5 3 + x2 . 22,5 2 + 1516 . 4 . 4e K y = 1a15 – x . 30 – x3 . 7,5 3 + x2 . 22,5 2 + 1516 . 4 . 4e ; x0 = 0 ; x1 = L h = L – 0 = L y0 = 1 a15 – 0 . 30 – 03 . 7,5 3 + 02 . 22,5 2 + 15 16 . 4 . 04e = ' ' y1 = 1 a15 – L . 30 – L3 . 7,5 3 + L2 . 22,5 2 + 15 16 . 4 . 4e = 1 13/@K/D,3244,32(¢~) = '£ 'Logo: I = 4 ( 1 13 + 1A 13) = '¤ �P => ∅ = 4� . . 4 . 1D@K = '¤�' . � . . +� Cálculo da Equação Geral: ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d ¥/¦ = ¥/ " => ce = a – � (, I §) / = / " => ci = c – � (� I #) J(x) = �� . {[a – � (, I §)]4 - [c – � (� I #)e4} (a - b)4 = (a – b)² . (a – b)² = (a² - 2ab + b²) ( a² - 2ab + b²) = a4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4 (a - b)3 = (a – b)² . (a – b) = (a² - 2ab + b²) ( a – b) = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3 Adriano Alberto 31 J(x) = |4 . {¨0 - 4 . ¨@ . " (¨ I ©) - 4 . ¨ .[ " (¨ I ©)e@ + 6 . ¨4 . . [ " (¨ I ©)e4 + [ " (¨ I ©)e0 - {f0 - 4 . f@ . " (f I ª) - 4 . f .[ " (f I ª)e@ + 6 . f4 . . [ " (f I ª)e4 + [ " (f I ª)e0}} = | 4 . {¨0 - 4 . ¨@ . " (¨ I ©) - 4 . ¨ . " Q Q [a 3 - 3a2b + 3ab2 – b3e + 6 . ¨4 . "SS [¨4 – 2ab + b²e + " . [a 4 - 4a³b – 4ab³ + 6a²b² + b4] - {f0 - 4 . f@ . " (f I ª) - 4 . f . " Q Q . . [c3 – 3c2d + 3cd2 – d3e + 6 . f4 . "SS [f4 – 2cd + d²e + " . [c 4 – 4c³d – 4cd³ + 6c²d² + d4] }} => J(x) = |4 . {¨0 - x [0¥ /0¥Q¦ ] - x³ [ 0¥/14¥Q¦214¥S¦S/0¥¦Q Q ] + x² [ A¥/14¥Q¦2A¥S¦S S ] + + x4[¥/0¥Q¦/0¥¦Q2A¥S¦S2¦ ] - {f0 - x [0 /0 Q ] - x³ [ 0 /14 Q214 SS/0 Q Q ] + + x² [A /14 Q2A SSS ] + x 4[ /0 Q/0 Q2A SS2 ]}} ∅ = � "J(x)K Pela regra dos trapézios: I = � (y0 + y1) ; h = x1 – x0 I = � "J(x)K y = 1J(x) ; x0 = 0 ; x1 = L h = L – 0 = L y0 = ' � � (¬�I k�) Adriano Alberto 32 y1 = 1S (®/ 0¥20¥Q¦/ 0¥214¥Q¦/14¥S¦S20¥¦Q2A¥/14¥Q¦2A¥S¦S2 ¥/0¥Q¦/0¥¦Q2A¥S¦S2¦/ Z20 /0 Q20 /14 Q214 SS/0 Q/A 214 Q/A SS/ 20 Q20 Q/A SS/) => y1 = ' � � (¯�I ��) I = 4 ( 1 π 2 (a4I c4) + 1 π 2 (b4I d4) ) = � ( ' (¬�I k�) + ' (¯�I ��) ) => ∅ = . | ( 1(®/ Z) + 1(³/ ´) ) ce2 = a ; ce1 = b ; ci2 = c ; ci1 = d ∅ = � . � ( '(kµ�)�/ (k¶�)� + '(kµ')�/ (k¶')� ) [Equação Geral] Fazendo ce2 = a = 2r ; ce1 = b = r ; ci2 = c = r ; ci1 = d = 4 ∅ = . | ( 1(1A·/ ·) + 1(·/ ¸~) ) = . | ( 1 13· + 1 ¢¸~ ) = . | ( 1 13· + 1A 13 ) = = . | ( 1D 13) = '¤� ' . . � . +� (confere com o resultado anterior) Fazendo c= d = 0 e a = b = ce2 = ce1 = ce: ∅ = . | ( 1(®/ K) + 1(®/ K) ) = . | . 4® = YS^ . ( ) . = = � Y��^ . �� . [cilindro maciço] Fazendo c= d = ci2 = ci1 = ci e a = b = ce2 = ce1 = ce: Adriano Alberto 33 ∅ = . | ( 1(®/ Z) + 1(®/ Z) ) = . | . 4(®/ Z) = YS^ . a( S) – ( S)e . = � Y��^ . (��� – ���) . [cilindro vazado] Resposta da lista: �¹�� . � . . +� Obs: Os cálculos efetuados para a determinação da equação geral estão corretos. Logo, a diferença da resposta da lista se deve ao fato dela estar errada ou não interpretei corretamente o desenho para poder atribuir os valores corretos de a, b, c, d em relação a r. 21) ∅ = � (")".K = 4|.. . � º()ªK T(x) = ? �→ T(x) = (L – x ) . q => ∅ = 4|.. . � a¼L – x ½. qe ªK = 4¿ |.. . � ¼L – x ½ ªK => ∅ = 4¿|.. . (Lx - " S 4 ) � K => ∅ = 4¿|.. . (4 - S4 ) => ∅ = 4¿|.. . S4 => ∅ = À . � �..�� 22) Adriano Alberto 34 ∅ = � (")".K = 4|.. . � º()ªK T(x) = ? �→ ¿ = ¿(") " => q(x) = ¿ . " T(x) = (L - x) a¿2¿(")e4 = (L - x) a¿ 2 Á . � e4 = a¿(/") 2 Á(Â}�) . � e4 = ÁÂ(Â}�) à Á�(Â}�) Â4 = ÁÂS} ÁÂ� à ÁÂ� } Á�S Â4 = ÁÂS } Á�S Â4 = À(� / ��) � ∅ = 4|.. . � Ä( 2 I 2) 2 ªK = ¿|.. . � (4 I 4)ªK => ∅ = ¿|.. . (L².x - " Q @ ) � K => ∅ = ¿|.. . (L².L - Q @ ) => ∅ = ¿|.. . (4 Q @ ) => ∅ = �À���..�� Obs: Na lista a resposta é ∅ = À���..�� . Acredito que minha resposta está correta. ___ _____ ______ Adriano Alberto 35 Cálculo para o caso de uma distribuição invertida, com zero na região engastada e q na outra extremidade: ∅ = � (")".K = 4|.. . � º()ªK T(x) = ? �→ T(x) = (/").¿(")4 ¿ = ¿(") /" => q(x) = ¿(/") => T(x) = (/"). Á(Â}�) Â4 => T(x) = ¿(S/ 4" 2 "S) 4 ∅ = 4|.. . � Ä( 2I 2 + 2) 2 ªK => ∅ = ¿|.. . � (4 I 2 + 4)ªK => ∅ = ¿|.. . (L².x – Lx² + "Q @ ) � K => ∅ = ¿|.. . (L².L – L.L² + Q @ ) => => ∅ = ¿|.. . Q @ => ∅ = À� ��..�� (resposta igual a da lista) PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO – TENSÕES EM PLANOS INCLINADOS Adriano Alberto 36 23) Determine o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado, tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a tensão normal de 70 MPa T ou a tensão tangencial de 75 MPa. .¥! = 70 MPa ; �¥! = 75 MPa Dint = 25 mm ; Dext = 50 mm Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. Adriano Alberto 37 �máx = ��� = � . �� Y��^ . (��� – ���) �máx = . YS^ . ( – ) => T = �Åá . YS^ . ( – ) = DK . 1K~ . YS^ .Æ (K,K43) – (K,K143)Ç K,K43 => => Tmáx = 1 610,679827 N.m *** 24) Para o eixo mostrado, determine: a) As tensões correntes no ponto A (na superfície da haste) sobre o plano B-B (o qual é normal à superfície da peça no ponto A e faz um ângulo de 40º com o eixo da mesma). Mostre essas tensões sobre um esboço ampliado da área elementar representando o ponto A; b) As máximas tensões normais ocorrentes no ponto A. Mostre essas tensões sobre um esboço representando a área elementar em torno de A. b) �máx = ��� = � . � Y��^ . �� = � Y��^ . �� �máx = 0| . 1KQ K,3| . (K,K3)Q => �máx = 64 . 'P£ Pa a) Adriano Alberto 38 Adriano Alberto 39 .1 = 64 . cos(10°) = 63,02769619 MPa �1 = 64 . sen(10°) = - 11,11348337 MPa Obs: Na resposta da lista, os sinais estão invertidos. Acredito que minha resposta está certa. ***25) Um cilindro maciço de aço (G = 80 GPa) com 1 m de comprimento é solicitado, torcendo de 0,03 rad. Se a tensão tangencial não excede 60 MPa, determine: a) O diâmetro permissível máximo para a peça; b) A tensão normal sobre um plano a-a, o qual é normal à superfície da peça no ponto A e tem uma inclinação de 3 para 4 com o eixo longitudinal quando a tensão tangencial máxima na peça é de 60 MPa. a) 60 . 10A = K,3| . ( )Q => T = £P . 'P£ . 0,5 . � . (�)� (I) 0,03 = AK .1K~ . K,3 .| . ( )Q . 1 K,3 . | . ( ) . JK . 1K => c = 0,025 m => D = 0,050 m = 50 mm Tmáx = 30 . 10A . � . (0,025)@ = 468,75 . � N.m b) Adriano Alberto 40 tg? = @0 => $C = 36,86989765° �$C = 73,73979529° 2?P = 90° - 73,73979529° = 16,26020471° �1 = 60 . sen(16,26020471°) = - 16,8 MPa .1 = 60 . cos(16,26020471°) = 57,6 MPa (compressão) Obs: Na lista consta Tração PROBLEMAS ENVOLVENDO TORÇÃO COMBINADA COM CARGA AXIAL 26) Adriano Alberto 41 27) Adriano Alberto 42 Adriano Alberto 43 Adriano Alberto 44 28) Adriano Alberto 45 29) Adriano Alberto 46 30) T – Taço – TAl = 0 ; ∅A = ∅Aço = ∅Al È . 4,30K YS^ . a(K,K@J)/ (K,K4J3)e . 4D,3 . 1K = ç . 4,30K YS^. (K,K4J3) . DA . 1K TAl . ((0,0285)0 . 76) = TAço . (a(0,038)0 I (0,0285)0e . 27,5) => TAl = 0,7818 . TAço 55 . 106 = �á�(ç) . K,K4J3 S . (K,K4J3) => Tmáx(aço) = 1 999,9408 N.m 41 . 106 = �á�(È) . K,K@J S . a(K,K@J)/ (K,K4J3)e => Tmáx(al) = 2 415,7534 N.m Logo: Taço = 1 999,9408 N.m ; TAl = 0,7818 . 1 999,9408 = 1 563,5537 N.m T = Taço + TAl = 3 563,4945 N.m ∅A = ∅Aço = ∅Al = 1 EEE,E0KJ . 4,30KYS^. (K,K4J3) . DA . 1K = 0,0645 rad = 3,696° 31) TC = 75 N.m ; G = 80 . 109 Pa a) �máx(CD) = ? b) ∅CD = ? ∅CD . 0,040 = ∅A . 0,060 => ∅CD = 1,5 . ∅A (I) F = K,KAK => T(engrenagem menor) = 0,040 . K,KAK Adriano Alberto 47 Obs: o torque de 75 N.m é distribuído para os dois eixos. Porém, faz-se o somatório dos torques apenas para o eixo CD. Acredito que não se possam somar diretamente torques de dois eixos diferentes. A parcela do torque que é transferida para a engrenagem maior, causa uma reação na engrenagem menor, porém não significa que a reação seja com um torque igual, devido às engrenagens serem de diâmetros diferentes. Como a força exercida é igual para as duas engrenagens, essa reação é igual a F . R(Eng. menor) (não o raio da engrenagem maior). A soma dessa reação com a parcela do torque que foi distribuída para o eixo CD (TCD) é igual ao torque de 75 N.m. TCD = 75 – 0,040 . F = 75 – 0,040 . K,KAK = 75 – 0,6667 . TA (II) ∅CD = (75 – 0,6667 . ºÊ) . 0,200YS^. (K,KKA) . JK . 1K => ∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (¤ I P, £££¤ . �� ) (III) ∅A = TA . 0,200YS^. (K,KKD3) . JK . 1K => ∅A = 5,03008252 . 10-4 . TA (IV) ∅CD = 1,5 . ∅A => ∅CD = 7,545123228 . 10-4 . TA (V) Igualando III e V: 1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667 . ºÍ) = 7,545123228 . 10-4 . TA TA = 1,627604166 . (75) - 1,085123697 . TA => TA = 58,54343922 N.m TCD = 75 - 0,6667 . ºÍ => TCD = 75 – 39,03091093 = 35,96908907 N.m �máx(CD) = @3,EAEKJEKD . K,KKA YS^. (K,KKA) = 106,0121912 MPa ∅CD = 1,2280474 . 10-3 . (75 I 0,6667 . 58,54343922) = 0,044171746 rad = 2,5309° 32) G = 80 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; T = 12 000 N.m ; L1 = 1,5 m ; L2 = 2 m Adriano Alberto 48 �máx = ? ; ∅ = ? ∅ = ; �máx = T2 + T1 = 12 000 N.m => T1 = 12 000 – T2 ∅2 - ∅1 = 0 => S . 4K,3 . | . (K,K0K) . JK . 1K - . 1,3K,3 . | . (K,K0K) . JK . 1K = 0 =>2 . T2 = 1,5 . T1 => 2 . T2 = 1,5 .( 12 000 – T2) => 2 . T2 = 18 000 – 1,5 . T2 => T2 = 5 142,857 N.m T1 = 6 857,143 N.m ∅ = ∅2 = ∅1 = S . 4K,3 . | . (K,K0K) . JK . 1K => ∅ = 0,0320 rad �máx(2) = S . = 3 104,J3D . K,K0K K,3 . | . (K,K0K) = 51 156 944,570 Pa �máx(1) = . = A J3D,10@ . K,K0K K,3 . | . (K,K0K) = 68 209 262,750 Pa = �máx 33) G = 80 . 109 Pa ; ci = 0,025 m ; ce = 0,050 m ; T = 13 000 � N.m ; L1 = 2 m ; L2 = 3 m �máx = ? ∅ = ; �máx = Adriano Alberto 49 T2 + T1 = 13 000 � N.m => T1 = 13 000 � – T2 ∅2 - ∅1 = 0 => S . @K,3 . | . a(K,K3K)/ (K,K43)e . JK . 1K - . 4K,3 . | . (K,K3K) . JK . 1K = 0 => 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . T1 => 4,074366543 . 10-6 . T2 = 2,546479089 . 10-6 . (13 000 � – T2) => 4,074366543 . 10-6 . T2 = 0,104 - 2,546479089 . 10-6 . T2 => T2 = 15 707,96327 N.m => T1 = 13 000 � – 15 707,96327 => T1 = 25 132,74123 N.m ∅ = ∅2 = ∅1 = . 4K,3 . | . (K,K3K) . JK . 1K => ∅ = 2,546479089 . 10-6 rad �máx(2) = S . K,K3K = 13 DKD,EA@4D . K,K3K K,3 . | .a(K,K3K)/ (K,K43)e = 85 333 333,34 Pa �máx(1) = . = 43 1@4,D014@ . K,K3K K,3 . | . (K,K3K) = 128 000 000 Pa = �máx 34) GBronze = 40 . 109 Pa ; ci = 0,050 m ; ce = 0,075 m ; GAço = 80 . 109 Pa ; c = 0,025 m ; L = 2 m ; T = 67 000 � . 0,3 = 20 100 � N.m ∅ = ? ∅ = ; �máx = Adriano Alberto 50 TBronze + TAço = 20 100 � N.m => TBronze = 20 100 � – TAço ∅AB = ∅Bronze = ∅Aço => Ï . 4 K,3 . | . a(K,KD3)/ (K,K3K)e . 0K . 1K = ç . 4 K,3 . | . (K,K43) . JK . 1K => 1,253651244 . 10-6 . TBronze = 40,74366543 . 10-6 . TAço => 1,253651244 . 10-6 . (20 100 � – TAço) = 40,74366543 . 10-6 . TAço => 0,079163076 - 1,253651244 . 10-6 . TAço = 40,74366543 . 10-6 . TAço => TAço = 1 884,95607 N.m => TBronze = 20 100 � – 1 884,95607 = 61 261,05627 N.m ∅AB = ∅Bronze = ∅Aço => ∅AB = 1 JJ0,E3AKD . 4K,3 . | . (K,K43) . JK . 1K = 0,076800019 rad 35) GAço = 80 . 109 Pa ; GBronze = 40 . 109 Pa ; c = 0,040 m ; LAço = 1,5 m ; LBronze = 2,5 m ; �adm(Aço) = 130 . 106 Pa ; �adm(Bronze) = 40 . 106 Pa ∅ = ; �máx = TAço + TBronze = T => TAço = T – TBronze (I) ∅Bronze - ∅Aço = 0 => Ï . 4,3K,3 . | . (K,K0K) . 0K . 1K - ç . 1,3K,3 . | . (K,K0K) . JK . 1K = 0 Adriano Alberto 51 => 5 . TBronze = 1,5 . TAço => 5 . TBronze = 1,5 .( T – TBronze) => 5 . TBronze = 1,5 . T – 1,5 . TBronze => 6,5 . TBronze = 1,5 . T => T = £, ', . TBronze (II) TAço = T – TBronze => TAço = A,3 1,3 . TBronze - TBronze => TAço = 'P � . TBronze (III) �adm(Bronze) = Ï . => 40 . 106 = Ï . K,K0K K,3 . | . (K,K0K) => TBronze = 4 021,238597 N.m �adm(Aço) = ç . => 130 . 106 = ç . K,K0K K,3 . | . (K,K0K) => TAço = 13 069,02544 N.m (IV) Verificando (IV) em (III): TAço = 1K @ . 4 021,238597 = 13 404,12866 N.m > 13 069,02544 N.m Logo, TAço = 13 069,02544 N.m Então: 13 069,02544 = 1K@ . TBronze => TBronze = 3 920,707632 N.m T = 13 069,02544 N.m + 3 920,707632 N.m => T = 16 989,73307 N.m Adriano Alberto 52 36) A máxima tensão ocorre quando o acoplamento se dá ao mesmo tempo da aplicação de T0. Se a retirada de T0 for no mesmo instante do acoplamento, a tensão em BC será zero. Se o segmento AB girou antes do acoplamento, é necessário saber o ângulo de giro. GBC = 80 . 109 Pa ; GAB = 40 . 109 Pa ; cAB = 0,050 m ; cBC = 0,025 m ; LAB = 2,0 m ; LAD = 1,2 m ; LDB = 0,8 m ; LBC = 1,0 m ; T0 = 15 000 N.m ∅ = ; �máx = TDC = TDB = TBC T0 = TAD + TDC = 15 000 N.m (I) ∅BC + ∅DB - ∅AD = 0 => . 1,KK,3. | . (K,K43) . JK . 1K + . K,JK,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K – . 1,4 K,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K = 0 => . 1,K . J K,3 . | . (K,K43) . JK . 1K . J + . K,J K,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K – . 1,4 K,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K = 0 => 8 . TBC + 0,8 . TDB – 1,2 . TDA = 0 => 8 . TBC + 0,8 . TDB = 1,2 . TAD => 8 . TDC + 0,8 . TDC = 1,2 . TAD => 8,8 . TDC = 1,2 . TAD (II) Substituindo II em I: Adriano Alberto 53 8,8 . TDC = 1,2 . (15 000 – TDC) => 8,8 . TDC + 1,2 . TDC = 18 000 => TDC = TDB = TBC = 1 800 N.m TAD = 13 200 N.m �máx(AD) = . => �máx(AD) = 1@ 4KK . K,K3K K,3 . | . (K,K3K) => �máx(AD) = 67 227 047,96 Pa �máx(DB) = . => �máx(DB) = 1 JKK . K,K3K K,3 . | . (K,K3K) => �máx(DB) = 9 167 324,722 Pa �máx(BC) = . => �máx(BC) = 1 JKK . K,K43 K,3 . | . (K,K43) => �máx(BC) = 73 338 597,78 Pa 37) a) �máx = ? TAB = 18 000 . � N.m - 8 000 . � N.m = 10 000 . � N.m TBC = - 8 000 . � N.m b) ∅D = ? ∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC ∅AB = . 4,KK,3 . | . (K,KJK) . JK . 1K ∅BC = ∅BC(Bronze) = ∅BC(Aço) = (Ï) . 1,3K,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K = (ç) . 1,3K,3 . | . a(K,KJK)/ (K,K3K)e . JK . 1K Adriano Alberto 54 => (Ï) . 1,3 . 11,1KD4 K,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K . 11,1KD4 = (ç) . 1,3 K,3 . | . a(K,KJK)/ (K,K3K)e . JK . 1K => 16,6608 . �ÐÑ(Ð+){Ò�) = 1,5 . �ÐÑ(�ç)) (I) TBC = - 8 000 . � N.m = ºÓÔ(Óu>ÕÖ) + ºÓÔ(Íçu) => �ÐÑ(Ð+){Ò�) = - 8 000 . � - �ÐÑ(�ç)) (II) Substituíndo II em I: 16,6608 . [ - 8 000 . � - ºÓÔ(Íçu)] = 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => - 418 731,5751 – 16,6608 . ºÓÔ(Íçu) = = 1,5 . ºÓÔ(Íçu) => �ÐÑ(�ç)) = - 23 056,89039 N.m �ÐÑ(Ð+){Ò�) = - 2 075,850835 N.m ∅D = ∅C = ∅AB + ∅BC = 1K KKK . | . 4,KK,3 . | . (K,KJK) . JK . 1K - 4 KD3,J3KJ@3 . 1,3K,3 . | . (K,K3K) . 0K . 1K = = 0,012207031 - 0,007929166116 = 0,004277864884 rad a) �máx[BC(Bronze)] = (Ï) . = 4 KD3,J3KJ@3 . K,K3KK,3 . | . (K,K3K) => �máx[BC(Bronze)] = 10 572 221,49 Pa �máx[BC(Aço)] = (ç) . = 4@ K3A,JEK@E . K,KJKK,3 . | .a(K,KJK) – (K,K3K)e => �máx[BC(Aço)] = 33 831 108,76 Pa �máx(AB) = . => �máx(AB) = 1K KKK . | . K,KJK K,3 . | . (K,KJK) => �máx(AB) = 39 062 500,00 Pa (resp) Eixos Sólidos Não Circulares Tabela �máx = ��' . ,§� ; a × b Obs: para a/b × 5 => c1 = c Tubos de Parede �méd = ��% . �� ; ∅ = � �� . ,§� . = c2 Tubos de Paredes Finas com Seções Transversais Fechadas Adriano Alberto 55 com Seções Transversais Fechadas Adriano Alberto 56 ∅ = ���� � . . % . ∮#* �A . tA = �B . tB (fluxo de cisalhamento) q = �méd . t Para seção circular (t constante): �méd = ���% . +�� ∅ = 0(|�S ) S . Ù . 2� . rm = ��� . +�� . % Para seção quadrada (t constante): �méd = ��% . ,�� ∅ = 0¥� . Ù . 4 . am = �,� � . % Para seção de triângulo equilátero (t constante): �méd = �% . ,�� . *�{£P ∅ = ¥� . K.D3 . Ù . 3 . am = ��,� � . % Adriano Alberto 57 38) a) �máx = 0,J1¥Q => 35 . 106 = 0,J1(K,K3)Q => T = 909,563 N.m ∅ = D,1K ¥ . => ∅ = D,1K . EKE,3A@ . K,@43 (K,K3) . 0K . 1K = 8,3953 . 10-3 rad = 0,481° b) a = 0,070 m ; b = 0,035 m ; a/b = 2 Obs: utilizar tabela acima �máx = . ¥¦S => 35 . 106 = K,40A . K,KDK . (K,K@3)S => T = 738,3075 N.m ∅ = S . ¥¦Q . => ∅ = D@J,@KD3 . K,@43 K,44E . K,KDK . (K,K@3)Q . 0K . 1K = 0,500° 39) a = 0,019 m ; b = 0,0095 m ; a/b = 2 ; �máx = 100 . 106 Pa ; G = 79,3 . 109 Pa ; ∅máx = 15° = 0,2618 rad ; c1 = 0,246 ; c2 = 0,229 �máx = . ¥¦S => 100 . 106 = K,40A . K,K1E . (K,KKE3)S => T = 42,18285 N.m ∅ = S . ¥¦Q . => 0,2618 = 04,1J4J3 . �í K,44E . K,K1E . (K,KKE3)Q . DE,@ . 1K => Lmín = 1,8360 m Adriano Alberto 58 40) a = 0,030 m ; b = 0,020 m ; a/b = 1,5 ; G = 80 . 109 Pa ; L = 0,750 m ; ∅máx = 2° = 0,0349 rad ; c1 = 0,231 ; c2 = 0,1958 �máx = ? �máx = . ¥¦S = K,4@1 . K,K@K . (K,K4K)S => T = 2,772 . 10-6 . �máx ∅ = S . ¥¦Q . => 0,0349 = . K,D3K K,1E3J . K,K@K . (K,K4K)Q . JK . 1K => T = 174,9356 N.m �máx = 1D0,E@3A4,DD4 . 1K}~ = 63,1081 MPa (La respuesta soy yo!!!) 41) T = 300 N.m ; �adm = 60 . 106 Pa d = ? a) 60 . 106 = @KK S . Q => c = 0,014710 m = 14,710 mm d = 2 . c = 29,42 mm b) a = d ; b = d ; a/b = 1 ; �adm = 60 . 106 Pa ; c1 = 0,208 �máx = . ¥¦S => 60 . 106 = @KKK,4KJ . Q => d = 28,860 mm Adriano Alberto 59 c) a = 2d ; b = d ; a/b = 2 ; �adm = 60 . 106 Pa ; c1 = 0,246 �máx = . ¥¦S => 60 . 106 = @KKK,40A . 4Q => d = 21,660 mm 42) T = 90 N.m ; r1 = 0,027 m ; r2 = 0,030 m ; a = 0,0025 m ; b = 0,0035 m rm = (30 + 27)/2 = 28,5 mm = 0,0285 m �méd = 4Ù . Í� => �a(méd) = EK4 . K,KK43 . | . K,K4J3S = 7,054 MPa �b(méd) = EK4 . K,KK@3 . | . K,K4J3S = 5,039 MPa *** 43) T = 90 N.m ; r1 = 0,038 m ; r2 = 0,040 m ; a = 0,004 m ; b = 0,002 m Adriano Alberto 60 Atotal = (� � + Asegmento Obs: na questão r ≠ l Asegmento = Asetor - Atriângulo 2� ------ � . r2 ? ------- Asetor => Asetor = $ . +� � (? em radianos) Atriângulo = ? Diagonal do quadrado = l√2 = base do triângulo Dividindo o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos para calcular a altura h: Adriano Alberto 61 r2 = (Ü√44 )2 + h2 => h2 = r2 - ÜS 4 => h = X4 I Ü S 4 Atriângulo = XÜS4 . (4 I Ü S 4) = X( �. +� � I ( � � Cálculo de ?: No mesmo trângulo retângulo, obtemos: Fazendo ]4 = B vÖ>EK = È√SSvÖ>Ý => senB = Ü√4 4 => B = arcsen( Ü√4 4 ) => $ = 2 . arcsen( (√��+ ) Então, Asetor = r2 . arcsen( (√��+ ) Vamos agora calcular a área do segmento: Asegmento = Asetor - Atriângulo Adriano Alberto 62 => Asegmento = r2 . arcsen( (√��+ ) - X( �. +� � I ( � � Cálculo da área total: Atotal = ÜS 4 + Asegmento => Atotal = (� � + r 2 . arcsen( (√��+ ) - X( �. +� � I ( � � Obs: O arcsen tem que ser calculado em radianos Cálculo da área média: Am = (�� � + +�� . arcsen( (� . √��+� ) - X(� � . +�� � I (� � � rm = (40 + 38)/2 = 39 mm = 0,039 m lm = 55 – 2 – 1 = 52 mm = 0,052 m Logo, Am = 1,352 . 10-3 + (1,521 . 10-3) . (1,230959417) – 4,780041841 . 10-4 => Am = 2,746285089 . 10-3 m² Adriano Alberto 63 �méd = 4Ù . Í� => �a(méd) = EK4 . K,KK0 . 4,D0A4J3KJE . 1K}Q = 4,096 MPa �b(méd) = EK4 . K,KK4 . 4,D0A4J3KJE . 1K}Q = 8,193 MPa Testandoa validade da equação fazendo l = r: Atotal = S 4 + r 2 . arcsen( √44 ) - X S. S 4 I 0 = S 4 + r2 . | 0 - X 0 = 4 S2 | . S 0 - S 4 = 22+ � . 2 I 22 0 = � . +� � (ok) 44) t = 0,0015 m ; �adm = 2,5 . 106 Pa �méd = 4Ù . Í� am = 0,050 – 0,0015 = 0,0485 m ; bm = 0,020 – 0,0015 = 0,0185 m Am = am . bm + (am – bm) . bm = bm . (2am – bm) Am = 0,0185 . 0,0785 = 1,45225 . 10-3 m² 2,5 . 106 = �á� 4 . K,KK13 . 1,03443 . 1K}Q => Tmáx = 10,891875 N.m Adriano Alberto 64 45) t = 0,0032 m ; T = 339 N.m ; �adm = 3,45 . 106 Pa d = ? 3,45 . 106 = @@E 4 . K,KK@4 . Í� => Am = 0,01535326 m² Am = (d – 0,0032) . (3 . 0,051 – 0,0032) + 0,0635 . (0,051 – 0,0032) = 0,01535326 => (d – 0,0032) . 0,1498 + 0,0635 . 0,0478 = 0,01535326 => 0,1498 . d - 4,7936 . 10-4 + 3,0353 . 10-3 = 0,01535326 => d = 0,085429372 m => d = 85,429 mm Concentração de Tensão Torção Inelástica Tensão Residual
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