Exemplo de Viga Cisalhamento e Flexão

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EXEMPLOS DE VIGAS – CISALHAMENTO E FLEXÃO 
Januário Pellegrino Neto1 
2
 Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá – CEUN-IMT; 
 Professor Assistente do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 
 
1. Introdução 
O objetivo destes exemplos é a aplicação dos conceitos das seções 17 e 18 da NBR 6118:2014. Vigas 
de concreto armado, isostática e contínua, submetidas às solicitações tangenciais e normais em 
aplicações simples de projeto são estudadas. Com o intuito de apresentar um roteiro prático para o 
projeto de estruturas de concreto armado, serão desenvolvidos três exemplos: 
I. Cisalhamento devido à força cortante numa viga isostática; 
II. Dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua; 
III. Dimensionamento e detalhamento de uma viga submetida à torção. 
 
2. Exemplo I - Cisalhamento devido à força cortante numa viga isostática 
Para a viga simplesmente apoiada, cujo esquema estrutural e diagrama de força cortante estão 
indicados na figura 2.1, considera-se classe de agressividade II, concreto C25 (fck=25MPa) e aço CA50 
(fyk=500MPa). 
 
Figura 2.1 – Esquema estrutural e diagrama de Vk da viga V1(20/80). 
O concreto C25 atende a seção 7 da NBR 6118:2014 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adota-
se um cobrimento c=3,0cm, especificado na tabela 7.2. Admite-se altura útil d=72cm (d=0,9h). 
O estudo do cisalhamento devido à força cortante será desenvolvido de acordo com a seção 17 da 
NBR 6118:2014, verificando-se o estado-limite último (17.4.2) no cálculo da resistência (17.4.2.1) e 
admitindo-se o modelo de cálculo I (17.4.2.2). Devem-se verificar, simultaneamente, as seguintes 
condições: 
V1 (20/80)
20202020
(20/40)
P1 P2
(20/40)
4,0 m3,0 m 3,0 m
100kN
20 kN/m
P1=200kN P2=200kN
200
140
40
100kN
200
140
40
Vk
(kN)
− verificação da compressão diagonal do concreto (biela de compressão) 
2Sd RdV V≤ , onde SdV é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; 
 2RdV é a força cortante resistente de cálculo à compressão. 
2 20,27Rd V cd wV f b dα= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ; 
2 1 250
ck
V
f
α = − e 
ckf , expresso em megapascal (MPa). 
− cálculo da armadura transversal 
3Sd RdV V≤ , 3RdV é a força cortante resistente de cálculo à tração diagonal.
3Rd c SwV V V= + , 0c cV V= , ��� = 0,6 ∙ 	�
� ∙ �
 ∙ �, 
,infctk
ctd
c
ff
γ
= , 
a parcela absorvida por mecanismos complementares ao da treliça; 
 0,9swSw ywd
AV d f
s
= ⋅ ⋅ ⋅ , 
a parcela resistida pela armadura transversal. 
Sendo wb a largura da seção, d a altura útil da seção, s o espaçamento entre estribos, ywdf é 
a tensão no estribo, considerando-o na vertical ( 90α = � ), ctdf a resistência à tração de 
cálculo do concreto e 
,infctkf a resistência à tração característica do concreto, explicitada na 
seção 8, item 8.2.5, por 
2/3 2/3
,inf ,0,7 0,7 0,3 0,21ctk ct m ck ckf f f f= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ , sendo ckf 
expresso em megapascal (MPa). 
Resultando para o cálculo da armadura transversal (estribo): 
0,9
sw Sd c
ywd
A V V
s d f
−
=
⋅ ⋅
. 
Para o dimensionamento e detalhamento das vigas de concreto armado, as disposições construtivas 
têm grande importância na execução e também para atender o modelo resistente de cálculo 
evitando rupturas frágeis. Assim sendo, deve-se respeitar a taxa de armadura mínima swρ , 
explicitada em 17.4.1.1.1, dada por: 
 
,0,2 ct mswsw
w ywk
fA
b s fρ = ≥ ⋅⋅ 
O diâmetro dos estribos ( tφ - bitola) e seu espaçamento longitudinal ( s ), são apresentados no item 
18.3.3.2: 
 5
10
w
t
b
mm φ≤ ≤ , 
 
2
2
0,6 30 , 0,67
7
0,3 20 , 0,67
d Rd
d Rd
d cm se V V
cm s
d cm se V V
⋅ ≤ ≤ ⋅
≤ ≤ 
⋅ ≤ > ⋅
, 
sendo que o espaçamento mínimo entre estribos deve ser suficiente para permitir a passagem do 
vibrador. Adota-se neste caso 7cm. 
Para a viga V1 de concreto C25 e aço CA50, swρ , 2Vα e 0,6 ctdf⋅ são necessários para a verificação 
do estado-limite último: 
 
2/3
,
0,7 (25)0,2 0,2 0,001026 0,10%
500
ct m
sw
ywk
f
fρ
⋅≥ ⋅ = ⋅ = = 
 2
251 1 0,90
250 250
ck
V
f
α = − = − = 
 
2/30,21 (25)0,6 0,6 0,77
1,4ctd
f MPa⋅⋅ = ⋅ = 
A tabela 2.1 indica estes valores para outros concretos usuais. 
 Tabela 2.1: Valores auxiliares ρsw,mín, αv2 e 0,6.fctd. 
fck (MPa) 20 25 30 35 40 
ρρρρsw,mín (%) 0,09 0,10 0,12 0,13 0,14 
ααααv2 0,92 0,90 0,88 0,86 0,84 
0,6.fctd (MPa) 0,66 0,77 0,87 0,96 1,05 
2.1. Verificação da compressão diagonal do concreto (biela de compressão) 
Para esta verificação basta verificar a maior força cortante na viga V1, Vk=200kN, portanto: 
1,4 200 280γ= ⋅ = ⋅ =Sd f kV V kN 
2 2
2,50,27 0,27 0,90 20 72 624,8 625
1,4
α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ≅Rd V cd wV f b d kN 
2Sd RdV V≤ , portanto está verificada a biela de compressão, e 
2
0,45 0,67 30 0,6 0,6 72 43,2= < ∴ = < ⋅ = ⋅ =Sd máx
Rd
V
s cm d cm
V 
2.2. Cálculo da armadura transversal (estribo) 
O dimensionamento da armadura transversal devido à força cortante em vigas de edifícios é feito 
normalmente de forma escalonada (degraus), tendo no máximo três trechos por vão. Em geral, 
armaduras concentradas para resistir às forças cortantes são localizadas nos trechos extremos do 
elemento e armadura mínima é disposta no trecho central. Para a viga V1 da figura 2.1, tem-se: 
− Trecho extremo – Vk=200kN 
1,4 200 280γ= ⋅ = ⋅ =d f kV V kN 
� � �
2/0,77
0,6 0,077 20 72 110,9= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
�����c ctd w
cm cmkN cmMPa
V f b d kN 
�
�
2
2
/
6,3 /10
280 110,9 6,0 8 / 16500,9 0,9 0,72 10 / 261,15
φ
φ
φ

− − 
= = = 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅

����	kN
sw d c
ywd
m
kN cm
c
A V V cm
c
s d f m
c
 
O diâmetro da armadura transversal (bitola) deve atender 
2005 20
10 10
w
t
b
mm mmφ≤ ≤ = = , e o 
espaçamento 7 30cm s cm≤ ≤ . O espaçamento pode ser calculado por 1100 2 s
sw
A
s
A
⋅ ⋅
= , onde 
1sA é a área de uma barra, utilizando-se 2 ramos, e swA a armadura calculada. Tem-se na tabela 
2.2 os cálculos das bitolas e espaçamentos possíveis. Excluindo-se φ5mm, pois s < smín = 7cm, e 
φ12,5mm, onde s >> smáx = 30cm, adota-se φ6,3c/10. 
 Tabela 2.2: Bitolas e espaçamentos. 
φφφφ (mm) 5 6,3 8 10 12,5 
As1 (cm
2) 0,20 0,315 0,50 0,80 1,25 
scalculado (cm) 6,7 < 7 10,5 16,7 26,7 41,7 > 30 
Sadotado (cm) ---- 10 16 26 ---- 
− Trecho central – Vk=40kN 
(Tabela 2.3) 
1,4 40 56 swd c
mín
f k
AV V V
s
γ  = = ⋅ = < ∴ 
 
⋅ 
Onde: 
� � � �
2 2
,
% / /
5 / 20
0,10% 0,10% 0,10 20 0,020 2,0
6,3 / 30
φρ φ
 
= ⇒ = ⋅ = ⋅ = =  
  
sw
sw mín w
cmmín cm cm cm m
cA b
cs
 Tabela 2.3: Bitolas e espaçamentos. 
φφφφ (mm) 5 6,3 8 
As1 (cm
2) 0,20 0,315 0,5 
scalculado (cm) 20 31,5 50 >> 30 
Sadotado (cm) 20 ~ 30 ---- 
 
2.3. Detalhamento da armadura transversal (arranjo dos estribos) 
A figura 2.2 apresenta o detalhamento dos estribos. A força cortante no trecho extremo foi 
considerada como sendo a reação de apoio, onde pode-se utilizar a força cortante na face do 
apoio (item 17.4.2.1), além da redução prescrita em 17.4.1.2.1, considerando a força cortante à 
distância d/2 da face de apoio. 
 
Figura 2.2 – Detalhamento da armadura transversal 
O detalhamento da armadura transversal (arranjo dos estribos) indicado na figura 2.2 mostra o 
arranjo em degraus assim como a alternativa da redução da cortante na seção à d/2 da face de 
apoio, Vk,d/2=188,8kN, que resulta: 
1,4 188,8 264,32γ= ⋅ = ⋅ =d f kV V kN 
�
�
2
2
/
6,3 /11
264,32 110,9 5,45 8 / 18500,9 0,9 0,72 10 / 291,15
φ
φ
φ

− − 
= = = 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅

������	kN
sw d c
ywd
m
kNcm
c
A V V cm
c
s d f m
c
 
Neste exemplo não há a necessidade de verificar a suspensão das cargas concentradas, pois como 
indicado no esquema estrutural da figura 2.1, são oriundas de dois perfis sobre a V1. 
 
V1 (20/80)
20202020
(20/40)
P1 P2
(20/40)
4,0 m3,0 m 3,0 m
100kN
20 kN/m
P1=200kN P2=200kN
200
140
40
100kN
200
140
40
Vk
(kN)
29 6,3c/10φ 14 6,3c/30φ 29 6,3c/10φ
280cm 280cm400cm
200
200
armação em degraus,
trecho central com armadura mínima
40
40
V =188,8d/2
d/2=36cm
V =188,8d/2
d/2=36cm
(26 6,3c/11)φ (26 6,3c/11)φ
14
14
7474
72 6,3 c=1,91mφ
c=2(14+74)+15=191cm
2G=15cm ( 6,3mm)φ
2.4. Exemplo I – Carga uniformemente distribuída 
Considera-se o mesmo exemplo I, com a carga equivalente uniformemente distribuída – 
p=40kN/m. Pretende-se discutir o detalhamento, a definição do trecho central de armadura 
mínima (identificando a cortante mínima) e considera-se a cortante extrema sem a redução na 
seção à d/2 da face - Vk=200kN. 
A figura 2.3 mostra o detalhamento da armadura, onde analogamente tem-se: 
1,4 200 280γ= ⋅ = ⋅ =d f kV V kN e 
2
6,0 6,3 /10φ= →swA cm c
s m
, 
�
2 /
2,0 6,3 / 30φ  = → 
 
sw
mín cm m
A
c
s
 e 
, ,
50 167,232,0 0,9 0,72 110,88 167,23 119,4 120
1,15 1,4
= ⋅ ⋅ ⋅ + = ∴ = = ≅d mín k mínV kN V kN 
 
 
Figura 2.3 – Detalhamento da armadura transversal – carga uniformemente distribuída 
 
 
 
V1 (20/80)
20202020
(20/40)
P1 P2
(20/40)
10,0 m
40 kN/m
P1=200kN P2=200kN
200
Vk,mín=120
200
Vk
(kN)
19 6,3c/10φ 21 6,3c/30φ 19 6,3c/10φ
2,0m 3,0m
200
200
120
armação em degraus,
trecho central com armadura mínima
180cm 180cm600cm
3. Dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua 
O dimensionamento e o detalhamento da viga contínua indicada na figura 3.1 é apresentado na 
sequência. É feito o estudo do cisalhamento devido à força cortante e a distribuição da armadura 
longitudinal de flexão considerando as seções 17 e 18 da NBR6118:2014. Para esta viga V1 adotou-se 
uma solução equilibrada com um nível de plastificação dos momentos negativos e o correspondente 
acréscimo dos momentos positivos. Considera-se classe de agressividade II, e materiais concreto C25 
(fck=25MPa) e aço CA50 (fyk=500MPa) (os mesmos materiais do exemplo I). Admite-se altura útil 
d=54cm (d=0,9h). 
 
Figura 3.1 – Esquema estrutural da viga V1(20/60) 
3.1. Verificação do estado-limite último – ELU – da força cortante 
De acordo com o roteiro do exemplo I, segue o dimensionamento abaixo e o detalhamento indicado 
na figura 3.2: 
− Verificação da diagonal de compressão 
(Biela de compressão) 
1,4 180 252SdV kN= ⋅ = 
2
2,50,27 0,90 20 54 468,6
1,4Rd
V kN= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 2 !Sd RdV V ok∴ < − 
− Armadura mínima 
(Vk,mín – Cortante mínima) 
�
2 /
2,0 5 / 20sw
mín cm m
A
c
s
φ  = → 
 
 
�
0,6
0,077 20 54 83,2
ctd
c
f
V kN
⋅
= ⋅ ⋅ = 
� � � �
2 2
,
( )/ ( / )
2,0 0,9 0,54 43,5 83,2
yd
d mín
d m kNcm m f kN cm
V = ⋅ ⋅ ⋅ + 
, ,
125,5 90d mín k mínV kN V kN= → = 
− Dimensionamento dos estribos 
 
� Vd = 1,4.180 = 252kN 
2252 83,2 8,0
0,9 0,54 43,5
swA cm
s m
−
= =
⋅ ⋅
 
8 / 12,5cφ 
(12,5cm é utilizado por ser 1/8m) 
 
� Vd = 1,4.120 = 168kN 
2168 83,2 4,0
0,9 0,54 43,5
swA cm
s m
−
= =
⋅ ⋅
 
5 /10
8 / 25
c
c
φ
φ



 
 
− Espaçamento máximo 
 
2
0,54 0,67 30Sd máx
Rd
V
s cm
V
= < ∴ = 
V1 (20/60)
40
V2
(20/40)
V3
(20/60) 1020203030 10
(20/60)
P1P1 P2
(20/40)
P3
(20/20)
5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m
V2=80kN
20 kN/m
40 kN/m
20 kN/m
V3=100kN
P1=120kN P2=300kN
V =120e V =180d
P1=120kN
M1=120kN.m
M2=200kN.m
(hiperestático)
O detalhamento na figura 3.2 não considera a necessidade de armadura de suspensão nos apoios 
indiretos das vigas V2 e V3 sobre a V1. 
 
 
Figura 3.2 – Detalhamento da armadura transversal – V1(20/60) 
 
Neste detalhamento observa-se a definição do trecho central de armadura mínima por meio da 
cortante mínima Vk=90kN, e os trechos extremos dos vãos com as cortantes Vk=120kN e Vk=180kN, 
sendo atendida a verificação da biela de compressão para a cortante máxima Vk=180kN – Vd=252kN. 
Analisando-se a armadura de suspensão das cargas oriundas dos apoios indiretos, verifica-se a 
necessidade de suspender estas cargas por armadura transversal calculada pela seguinte fórmula: 
 d dsusp
yd a yd
R h RA f h f= ⋅ ≤ , 
onde, 
 dR - força a ser suspensa, 
 h - altura da viga apoiada, 
 ah - altura da viga suporte, 
 ydf - resistência ao escoamento do aço, valor de cálculo. 
V1 (20/60)
40
V2
(20/40)
V3
(20/60) 1020203030 10
(20/60)
P1P1 P2
(20/40)
P3
(20/20)
5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m
V2=80kN
20 kN/m
40 kN/m
20 kN/m
V3=100kN
P1=120kN P2=300kN
V =120e V =180d
P3=120kN
M1=120kN.m
M2=200kN.m
(hiperestático)
120
60
20
120
180
120
20
80
V
(kN)
k
90
90
90
90
120 500 130 205 225 140
13 5c/10φ
(6 8c/25)φ
12 5c/20φ14 5c/10φ
(6 8c/25)φ
17 8c/12φ 5 15 5c/10φ
(7 8c/25)φ
26 5c/20φ
− Apoio indireto – V2(20/40) 
 
� �
1
2 2
2
1,4 80 40 1,72 (5 5 5 2 0,2 2,0 ) 5 5 /15(60 )
43,5 60
φ φ⋅= ⋅ = = ⋅ ⋅ = →
s
susp
ramos A
A cm cm c cm 
 
− Apoio indireto – V3(20/60) 
 
� �
1
2 2
2
1,4 100 60 3,22 (4 8 4 2 0,5 4,0 ) 4 8 / 20(60 )
43,5 60
φ φ⋅= ⋅ = = ⋅ ⋅ = →
s
susp
ramos A
A cm cm c cm 
 
A armadura de suspensão especial não precisa ser somada com os estribos existentes. Na figura 3.3, 
detalha-se a armadura de suspensão diminuindo-se os espaçamentos dos estribos nas regiões de 
suspensão, definidas como sendo ha /2 para cada lado do eixo da viga que se apoia, portanto, 60 cm 
no total. 
 
 
Figura 3.3 – Detalhamento da armadura transversal e de suspensão – V1(20/60) 
 
3.2. Verificação do estado-limite último – ELU – de flexão normal simples 
Neste item, apenas ilustra-se o detalhamento - distribuições transversal e longitudinal - das 
armaduras, sendo o detalhamento longitudinal somente das armaduras resistentes, segundo o item 
18.3 da NBR6118:2014. O resultado do dimensionamento está indicado na figura 3.4, onde 
V1 (20/60)
40
V2
(20/40)
V3
(20/60) 1020203030 10
(20/60)
P1P1 P2
(20/40)
P3
(20/20)
5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m
V2=80kN
20 kN/m
40 kN/m
20 kN/m
V3=100kN
P1=120kN P2=300kN
V =120e V =180d
P3=120kN
M1=120kN.m
M2=200kN.m
(hiperestático)
120
60
20
120
180
120
20
80
V
(kN)
k
90
90
90
90
30 30
(suspensão)
120 120 130 205 145 160
13 5c/10φ
(6 8c/25)φ
8 5c/20φ14 5c/10φ
(6 8c/25)φ
17 8c/12φ 5 23 5c/10φ
(10 8c/25)φ
17 5c/20φ
32060
30 30
(suspensão)
7 5c/20φ
5 5c/15φ 4 8c/20φ
60
consideram-se seções tipo T para o meio vão (armadura positiva) e retangulares para os apoios 
(armadura negativa). 
 
Figura 3.4 – Resultados do dimensionamento das armaduras de flexão – V1(20/60) 
 
Os seguintes dados foram considerados nos detalhamentos transversal e longitudinal: 
� concreto C25 (fck=25 MPa), aço CA50 (fyk=25 MPa), cobrimento c=3,0cm; 
� estribo φt=8,0mm, φvib+1=5cm, φmáx,agr=19mm 
� 38 ; 54 ; 40 ; 2,28 ; 2,0boa máb b h va cm a cm a cmφ φ= = = = =ℓℓ ℓ . 
bℓ - comprimento de ancoragem 
aℓ - comprimento de decalagem 
ha e va - espaçamento livre entre as faces das barras longitudinais, horizontal e vertical. 
O resultado do detalhamento, transversal (18.3.2.2) e longitudinal (18.3.2.3) está indicado na figura 
3.5. 
− Detalhamentotransversal 
(Alojamento na seção; bs é a distância livre entre faces internas dos estribos) 
O alojamento deve observar o disposto no item 18.2.1 da NBR6118:2014, atendendo a 
função estrutural como também as condições adequadas de execução. 
V1 (20/60)
40
V2
(20/40)
V3
(20/60) 1020203030 10
(20/60)
P1P1 P2
(20/40)
P3
(20/20)
5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m
V2=80kN
20 kN/m
40 kN/m
20 kN/m
V3=100kN
P1=120kN P2=300kN
V =120e V =180d
P1=120kN
M1=120kN.m
M2=200kN.m
(hiperestático)
120
200
M
(kN.m)
k
150
200
A =8,0cm
(4 16)
s
2
φ
A =14,5cm
(5 20)
s
2
φ
A =9,1cm
(5 16)
s
2
φ
A =12,2cm
(4 20)
s
2
φ
50
� 
h
hs
hs
e
eb
nennb
+
+
≤∴⋅−+⋅≥ φφ )1(
 (armadura inferior) 
� 
h
vibhs
vibhs
e
eb
nennb
+
+−⋅+
≤∴++⋅−+⋅≥ φ
φφφ )1(2)1()2( (armadura superior) 
 
 
 
� φφφφ16 (inf) φ40,4
3,26,1
3,24,13
==
+
+≤n φφφφ20 (inf) φ36,3
3,20,2
3,24,13
≅=
+
+≤n 
 
 
 
� φφφφ16 (sup) φ33,3
3,26,1
0,53,224,13
≅=
+
−⋅+≤n φφφφ20 (sup) φ30,3
3,20,2
0,53,224,13
==
+
−⋅+≤n 
 
Figura 3.5 – Resultados do detalhamento das armaduras de flexão – V1(20/60) 
− Alojamento longitudinal (Corte longitudinal das barras) 
A distribuição longitudinal das barras ancoradas por aderência (vide figura 18.3 da 
NBR6118:2014) indicada na figura 3.5 segue o estabelecido no item 18.3.2.3.1: prolonga-se 
10φ além do ponto de σs nula e bℓ onde se necessita de máxima eficiência da armadura - fyd. 
220
V1 (20/60)
40
V2
(20/40)
V3
(20/60) 1020203030 10
(20/60)
P1P1 P2
(20/40)
P3
(20/20)
5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m
V2=80kN
20 kN/m
40 kN/m
20 kN/m
V3=100kN
P1=120kN P2=300kN
V =120e V =180d
P1=120kN
M1=120kN.m
M2=200kN.m
(hiperestático)
120
200
M
(kN.m)
k
150
200
(4 16)φ
(5 16)φ
(5 20)φ
(2 grampos 10)φ
(4 16)φ (5 20)φ
(4 20)φ
(5 16)φ
1 20φ
2 20φ
2 20φc=480
c=355
c=296
ℓb=54 =108φ
10 =20φ
2 16φ
2 16φ
ℓb=54 =86φ
10 =16φ
1 16φ
2 16φ
2 16φ
265
454
847
2 20φ
2 20φ
627
407
223
150 40
200
150 173
148
ℓb=38 =61φ
10 =16φ 10 =20φ
ℓ
b
=38 =76φ
38
55
O diagrama de momento fletor decalado é dividido – na vertical – em partes iguais entre si, 
tantas quantas forem o número de barras a serem detalhadas. 
Verifica-se que 2 barras, ( )
, ,
2 1/ 3s apoio s vãoA Aφ = > , atende o requisito da quantidade de armadura 
de tração no apoio junto ao P3. A distância disponível para a ancoragem é dada por ����� = �� −
� = 20 − 3 = 17	��. Para ancorar a última biela de compressão, a área de aço necessária é de: 
2
,
1,4 1200,75 2,9
43,5
⋅≥ ⋅ = ⋅ =ℓ ds apoio
yd
a VA cm
d f . 
É preciso, ainda, verificar se as barras existentes se ancoram em �����. Para isso, calcula-se o 
comprimento necessário de ancoragem (9.4.2.5): 
,
, ,
,
2,9
0,7 38 2 24,50 22,8
2 3,15
s calc
b nec b b mín
s ef
A
cm cm
A
α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≥ =
⋅
ℓ ℓ ℓ 
Considerou-se α = 0,7 (presença de gancho) admitindo-se que se tenha cobrimento no plano normal 
ao do gancho maior ou igual a 3φ. 
Como o comprimento necessário para ancoragem é maior que que o comprimento disponível, 
adiciona-se grampos horizontais localizados para que o valor do As,ef seja aumentado e, por 
consequência, 
,b necℓ , diminuído. 
Impõem-se 
,b nec dispa=ℓ e encontra-se As,ef = 9,08 cm². Como já existem 6,3 cm² (2 φ20 mm) 
adicionam-se dois grampos horizontais, indicados na figura 3.5, em forma de “U” com φ 10 mm 
totalizando 3,2 cm² (2x2x0,8cm²), de comprimentos 38 38 1,0 38
b
cmφ= ⋅ = ⋅ =ℓ da face do apoio 
(ver Figura 3.5).