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INTRODUÇÃO E A PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Os livros de cálculo costumam conter um capítulo ou um apêndice dedicado a explicações de 
fatos básicos da matemática e que, em geral, são abordados no Ensino Médio das escolas 
brasileiras. O entendimento desses conceitos, e o uso correto deles em diversas situações, são 
condições necessárias para que o aluno da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I possa 
compreender conceitos específicos da disciplina, como o de derivada e integral, e possa aplicar 
esses conceitos na resolução de situações- problema relevantes. 
 
Por outro lado, percebe-se que, na maioria das vezes que o estudante apresenta dificuldades em 
resolver um problema de aplicação de limite, derivada ou integral, essa dificuldade não reside 
no entendimento dos conceitos específicos do cálculo diferencial e integral, mas sim na 
modelagem do problema, no seu equacionamento, na manipulação de expressões algébricas, ou 
na utilização de fatos elementares de trigonometria ou de geometria plana. 
 
Por essas razões, é extremamente importante que todos os estudantes da disciplina identifiquem 
suas próprias dificuldades com esses fatos elementares da matemática e se esforcem para 
superá-las ao longo do curso. Para auxiliar os estudantes nesse ponto, listamos uma relação de 
conceitos matemáticos que serão utilizados com muita freqüência durante o curso e cujo 
entendimento deve ser priorizado pelos estudantes. 
 
1. Números 
Operações com frações e números reais. Potenciação e radiciação. Raiz quadrada. 
Intervalos. Desigualdades. Valor absoluto. Reta numérica. Equações polinomiais. 
 
2. Álgebra Elementar. 
Produtos notáveis e fatoração. Operações com polinômios: soma, subtração, divisão. Raízes 
e igualdade de polinômios. Cálculo da decomposição de uma fração em soma de frações 
parciais. 
 
3. Geometria Analítica. 
Coordenadas de pontos no plano cartesiano. Distância entre pontos. Simetrias. Retas: 
equações, paralelismo e perpendicularidade. Equações da circunferência. Equação e gráfico 
de parábolas. Elipse dada pela sua equação reduzida. Hipérbole de equação 
x
y 1= . 
Translação de gráficos. 
 
4. Funções e gráficos. 
Definição de função, domínio e imagem. Determinação de domínio e imagem de funções 
reais. Funções pares e ímpares. Funções crescentes e decrescentes. Operações e 
composições de funções. Função exponencial. Função logarítmica. A exponencial e o 
logaritmo natural. Aplicações de exponencial e logaritmo. Funções trigonométricas: seno, 
cosseno, tangente. As funções que definem a parte superior, inferior e lateral de uma 
circunferência. 
 
5. Trigonometria 
Trigonometria nos triângulos. Lei dos senos e dos cossenos. O círculo trigonométrico. 
Graus versus radianos. Identidades trigonométricas. Aplicações de trigonometria. 
 
 
 
 2
 
 
 
ESTRATÉGIAS DE ESTUDO 
 
Apresentamos também as seguintes estratégias de estudo para essa parte inicial da disciplina 
Cálculo Diferencial e Integral I. 
 
(a) É extremamente importante que você possua algum livro de cálculo durante todo o semestre 
letivo. Então providencie um livro, fazendo um empréstimo na biblioteca ou com algum 
amigo, comprando o livro ou de outra forma qualquer. 
 
(b) Identifique as seções do seu livro que tratam dos conteúdos listados acima e LEIA essas 
seções, dando especial atenção para as definições, para as propriedades e para os exemplos 
resolvidos no livro. 
 
(c) Não acumule dúvidas. Assim que possível, durante o seu estudo, procure o seu professor ou 
os monitores para esclarecimentos de todas as suas dúvidas. 
 
(d) Resolva os exercícios do livro e compare suas soluções com as de outros alunos do curso. 
Caso você tenha dúvidas sobre algum exercício, procure o seu professor. 
 
(e) Resolva todos os exercícios listados a seguir. 
 
 
A lista de exercício a seguir aborda praticamente todos os conteúdos listados anteriormente. 
Esses exercícios devem ser obrigatoriamente resolvidos por todos os alunos das Turmas 
Especiais de Cálculo Diferencial e Integral I. 
 3
 
LISTA 1 
 
1. Calcule a área do retângulo de dimensões 
70
3 e 
48
7 . 
2. Considere o pentágono ABCDE de lados 
20
21;12;
6
7 === CDBCAB ; 
527 == EAeDE . 
a) Calcule o perímetro desse pentágono. 
b) Qual é o menor lado? 
3. Dê contra-exemplos para mostrar que as afirmações a seguir são falsas. 
a) 
b
d
c
d
bc
d +=+ , para quaisquer números reais a, b, c, com 0,0 \u2260\u2260 bc e . 
b) 
0\u2260+ bc
baba +=+ , para quaisquer números reais não-negativos a, b. 
c) aa =2 , para qualquer número real a. 
d) ayx
x
yax +=+
2
, para qualquer 0\u2260x . 
4. Se | a | = 2, quais são os possíveis valores para a? Represente na reta numérica o conjunto 
de todos os valores de a que satisfazem à igualdade dada. 
5. Em cada caso a seguir, determine todos os valores de x que satisfazem a relação dada e, 
também, represente na reta numérica todos esses valores de x: 
a) | x \u2212 3 | = 2 b) | x \u2212 3 | < 2 c) | x \u2212 3 | > 2 
6. Determine todas as raízes reais de cada equação a seguir: 
a) (2x \u2212 3)(4x2 \u2212 9)(x2 + 9) = 0; 
b) x3 \u2212 5x2 +6x = 0; 
c) (x2 \u2212 4x + 3)2 = 1. 
d) x(x \u2212 7)2 = 50x. 
7. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 
1
12
23 +
++=+
+
x
CBx
x
A
xx
x , para todo x 
real. 
8. Determine, se possível, os valores de A, B e C para que 
1)1(
1
2222
2
+
++=+
\u2212\u2212
x
CBx
x
A
xx
xx , para 
todo x real. 
9. Determine a para que a distância entre os pontos P = (a, 3) e Q = (5, 6) seja igual a 4. 
 
10. Para dar uma interpretação para o exercício 9, responda às seguintes perguntas: 
a) Que figura fica caracterizada pelos pontos da forma P = (a, 3)? 
b) Que figura fica caracterizada pelos pontos cuja distância a Q = (5, 6) é igual a 4? 
c) Utilizando os itens (a) e (b), dê uma interpretação para o exercício 9. 
 
Respostas: 2) b) CD 6) a) 
2
3± b) 0, 2, 3 c) 2, 22± d) 0, 257 ± 
 7) A =1, B = -1, C = 2 8) Não tem solução. 
 
 
 
 
 
 
 4
11. Determine os pontos sobre a reta de equação y = 2x \u2212 3 cujas distâncias ao ponto 
Q = (4, 5) sejam iguais a 
2
57 . 
12. Determine o centro e o raio da circunferência de equação . 
Explicite y em função de x e identifique a figura que cada uma dessas funções representa? 
036422 =\u2212+\u2212+ yxyx
 
13. Determine a equação da reta tangente à circunferência de equação no ponto Q 
de abscissa 3 sobre essa circunferência e que está no quarto quadrante. 
2522 =+ yx
 
14. Analise a resolução da equação e diga o que está errado. 
Sol. . Cancelando o x obtemos . Daí , o que 
nos fornece as raízes 
xxxx 2)3( 2 \u2212=\u2212
xxxx 2)3( 2 \u2212=\u2212 2)3( 2 \u2212=\u2212 xx 0232 =+\u2212 xx
2
13±=x , isto é, 1 e 2. 
15. Simplifique: 
a) 
22
22
\u2212\u2212
\u2212
xx
xx b) 
h
h 25)5( 2 \u2212+ c) 
16
8
4
3
\u2212
\u2212
x
x 
 
16. Resolva as desigualdades: 
a) b) \u22124x + 7 > 0 c) 012102 2 <\u2212+\u2212 xx 0
32
2
2 \u2264\u2212\u2212
\u2212
xx
x
 
d) 0
)1(
2.2)1(2
22
2
\u2265\u2212
\u2212\u2212
x
xxxx e) 2x x> + f) 
2
34
1
2
+
+\u2265+
\u2212
x
x
x
x 
g) 
2
1sen \u2265x , no intervalo [0, \u3c02 ] h) 
2
2sen
2
1 \u2264\u2264 x , no intervalo [0, \u3c02 ] 
 
17. Determine o valor de x no triângulo abaixo. 
 
18. Seja , calcule f(0), f(1) e f(2). 
\u23a9\u23a8
\u23a7
>
\u2264\u2212=
1,
1,1
)( 2 xsex
xsex
xf
 
19. Esboce o gráfico de y = |x \u2212 2| + |x + 6|. 
 
 
Respostas: 11) \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b 12,
2
15 e \u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b \u2212 2,
2
1 12) centro ( )3,2 \u2212 e raio 4. 
13) .6
4
3 += xy 16) c ) 21 \u2264<\u2212 x e ) x > 2 g ) 
6
7
6
\u3c0\u2264\u2264\u3c0 x 
h) 
46
\u3c0\u2264\u2264\u3c0 x ou .
6
7
4
3 \u3c0\u2264\u2264\u3c0 x 17) .14=x 18) ( ) ;10 =f ( ) ;01 =f ( ) .42 =f
 5
20. Encontre