INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTATÍSTICA DE DADOS GEOLÓGICOS MULTIVARIADOS

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Introdução à análise estatística de dados 
geológicos multivariados 
 
 
 
 
 
 
PAULO M. BARBOSA LANDIM 
Professor Emérito da Universidade Estadual Paulista/UNESP 
Professor Voluntário do Depto. Geologia Aplicada, UNESP/Rio Claro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2010 
 
Reprodução autorizada desde que citada a fonte 
Norma 6023-2000/ABNT ( http://www.abnt.org.br): 
LANDIM, P.M.B. Introdução à análise estatística de dados geológicos multivariados. 
DGA,IGCE,UNESP/Rio Claro, Texto Didático 15, 229 pp., 2010. Disponível em 
<http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/textodi.html>. Acesso em:.... 
 
Dúvidas, questões, sugestões, etc. sobre o texto deverão ser encaminhadas para o endereço 
plandim@rc.unesp.br, as quais serão sempre bem recebidas 
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ÍNDICE 
 
01. INTRODUÇÃO…………………………………………………………………………….. 03 
 
02. NOÇÕES DE ÁLGEBRA MATRICIAL……………………………………………….. 13 
 
03. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA………………………………………………….... 34 
 
04. ANÁLISE DE AGRUPAMENTOS......................................................... 59 
 
05. ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS........................................ 77 
 
06. ANÁLISE DE FATORES................................................................... 98 
 
07. ANÁLISE DE CORRESPONDÊNCIAS (ANÁLISE DE ASSOCIAÇÕES)..... 111 
 
08. ANÁLISE DISCRIMINANTE.............................................................. 124 
 
09. INTRODUÇÃO À GEOESTATÍSTICA.................................................. 142 
 
10. CLASSIFICAÇÃO REGIONALIZADA................................................... 169 
 
11. GEOESTATÍSTICA MULTIVARIADA................................................... 184 
 
12. ANEXO: MATRIZ DE DADOS ........................................................... 205 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 1. INTRODUÇÃO 
 
A aplicação de métodos quantitativos em Geologia é muito antiga e dois 
exemplos emblemáticos podem ser citados. Agrícola (1556) utilisou trigonometria 
para mapeamento mineiro, como visto em seu clássico De Re Mettalica e, quando 
do início da Geologia como ciência moderna, Charles Lyell em 1830 ao classificar 
os estratos terciários da Bacia de Paris, o fez baseado na presença relativa de 
espécies recentes de moluscos, num procedimento estratigráfico-estatístico. A 
partir desse início, porém, a Geologia permanece qualitativa e puramente 
descritiva e apenas nos anos 20 do século passado é que o enfoque quantitativo 
começa a se tornar mais presente. Assim nessa época William C. Krumbein propõe 
a amostragem geológica em bases probabilísticas e introduz os modelos 
“processo-resposta”. O entendimento das relações de causa-e-efeito para a 
explicação dos processos geológicos leva Andrei Vistelius, no início dos anos 40, a 
iniciar a formulação da chamada Geologia Matemática. Em que pese essas 
iniciativas, entre outras, a Geologia até há bem pouco tempo, era freqüentemente 
considerada uma ciência baseada em interpretações puramente qualitativas dos 
fenômenos geológicos. Nos últimos 40 anos, porém, tem sido notável a mudança 
da fase descritiva para a utilização de métodos quantitativos, principalmente nas 
diversas áreas da Geologia Aplicada. Na área mineral, com destaque para a do 
petróleo, onde a interpretação geológica, alem de estar fundamentada em 
conceitos científicos, precisa ter aplicação econômica, observa-se uma marcante 
tendência quantitativa que vem possibilitando avanços importantes principalmente 
no uso de técnicas espaciais. Um consistente relato sobre a quantificação em 
Geologia encontra-se em MERRIAM (2004). 
Nas últimas décadas, graças a avanços tecnológicos tanto em termos 
computacionais como em equipamentos de laboratório e de campo mais 
refinados, tem sido intensa a obtenção de dados geológicos quantitativos. A sua 
análise, porem, esta muito aquém dessa imensa quantidade de informações 
coletadas. Basta ver os relatórios de pesquisa e mesmo os bancos de dados com 
um grande número de matrizes de informações não trabalhadas. Verbas e tempo 
são gastos com essa coleta que precisa ser devidamente manuseada e para essa 
análise dos dados o emprego de técnicas estatísticas multidimensionais torna-se 
 4
uma ferramenta fundamental. Isto porque, como os fenômenos geológicos são 
resultantes de diversos fatores condicionantes, o seu entendimento é facilitado 
quando o estudo é submetido a um tratamento quantitativo multidimensional. 
Deve ser enfatizado, porem, que a pura utilização de técnicas estatísticas, e hoje 
em dia bastante facilitada graças à vasta disposição de programas 
computacionais, não é condição suficiente se o estudo não for embasado num 
sólido conhecimento geológico. 
No caso de uma única variável ter sido medida em amostras, no sentido 
geológico, a análise de tais dados é feita por intermédio da estatística univariada. 
Se porém valores de diversas variáveis forem obtidos em cada uma das amostras, 
as técnicas para a análise desses dados são fornecidas pela estatística 
multivariada ou multidimensional. Tal análise estatística de mensurações múltiplas 
efetuadas sobre uma amostra fornece um melhor entendimento na razão direta do 
número de variáveis utilizadas e permite considerar simultaneamente a 
variabilidade existente nas diversas propriedades medidas. 
Os resultados de análises de dados uni ou bi variados podem se apresentar 
na forma de gráficos em 1D, 2D e mesmo 3D, de fácil compreensão. No caso 
porem de, por exemplo, 10 variáveis o resultado ocorre num espaço a 10 
dimensões, concebível apenas de um modo abstrato. Uma das funções, porem, 
dos métodos multivariados é, ao apresentar os resultados, ser capaz de reduzir a 
dimensão dos dados tornando possível um melhor entendimento gráfico a duas ou 
três dimensões. 
Entre os métodos mais utilizados em Geociências destacam-se a análise de 
agrupamentos , a análise das componentes principais e a análise discriminante. 
 A análise de agrupamentos é utilizada quando se deseja explorar as 
similaridades entre indivíduos (modo Q) ou entre variáveis (modo R) definindo-os 
em grupos, considerando simultaneamente, no primeiro caso, todas as variáveis 
observadas em cada indivíduo e, no segundo, todos os indivíduos nos quais foram 
feitas as mesmas medidas. Segundo esse método, procura-se por agrupamentos 
homogêneos de itens representados por pontos num espaço n-dimensional em um 
número conveniente de grupos relacionando-os através de coeficientes de 
similaridade ou de distância. 
 5
 A análise das componentes principais procura interpretar a estrutura de um 
conjunto de dados multivariados, tanto em modo “Q” como em modo “R”, a partir 
da respectiva matriz de variâncias-covariâncias ou de correlações, pela obtenção 
de “autovalores” e “autovetores”. Consiste numa transformação linear das "m" 
variáveis originais correlacionadas entre si em "m" novas variáveis ortogonais e 
não deve ser confundida com a análise fatorial, segundo a qual supõe-se que as 
relações existentes dentro de um conjunto de "m" variáveis seja o reflexo das 
correlações de cada uma dessas variáveis com "p" fatores, mutuamente não 
correlacionáveis entre si, sendo "p" menor que "m". A matriz de carregamentos de 
cada variavel nas componentes principais, ao ser multiplicada pela matriz original 
de dados, fornece a matriz de contagens (scores) de cada caso em relação às 
componentes principais. 
 A análise discriminante é aplicada quando em relação a um indivíduo, sobre 
o qual tenham sido feitas diversas medidas, é necessário decidir à qual de dois ou 
mais possíveis grupos, o mesmo pertence. A idéia básica é substituir o conjuntooriginal das diversas mensurações por um único valor Di, definido como uma 
combinação linear delas. Para fornecer um único valor os termos são adicionados 
nessa função linear e esta transformação é realizada de tal modo a fornecer a 
razão mínima entre a diferença entre pares de médias multivariadas e a variância 
multivariada dentro dos dois grupos. Conhecido os Di's, estes serão comparados 
com um certo Do , ou seja, o valor situado, ao longo da linha expressa pela 
função discriminante, a meio caminho entre os centros dos grupos, com a 
finalidade de verificar a qual deles os indivíduos pertencem. 
 A utilidade dos métodos multivariados pode ser apresentada em termos 
geométricos. Assim, observações univariadas podem ser assinaladas sobre uma 
linha reta e se essa linha for dividida em intervalos de classes e contando o 
número de observações em cada intervalo, um histograma poderá ser construído. 
Esse histograma irá requerer duas dimensões para a sua representação. 
Observações bivariadas podem ser assinaladas em um sistema de dispersão a 
duas dimensões. Se o diagrama for dividido em celas, o número de observações 
em cada cela pode ser contado e o respectivo histograma construído. Esse 
histograma requer três dimensões e pode ser representado por um mapa de 
 6
isovalores. Observações trivariadas podem ser assinaladas em um gráfico de 
dispersão a três dimensões e a configuração nos pontos no espaço definirá uma 
elipsóide. Se o espaço tri-dimensional for dividido em cubos os números de 
observações dentro de cada figura geométrica poderão ser contados e obtida a 
distribuição de freqüências. Para a construção do respectivo histograma quatro 
dimensões serão necessárias. Em observações com quatro ou mais variáveis não é 
possível a representação gráfica segundo os métodos comuns, embora MERTIE 
(1949) tenha proposto para tanto complicados hipertetraedros. 
 Utilizando, assim, a interpretação geométrica em três dimensões para 
observações trivariadas, os seguintes exemplos de procedimentos em estatística 
multidimensional podem ser apresentados: 
a) na análise de agrupamentos procura-se por grupos em que as distâncias ao 
respectivo centróide sejam minimizadas e as distâncias entre centróides dos 
grupos sejam maximizadas; 
b) na análise das componentes principais é verificado se as observações 
multivariadas ocupam um número de dimensões igual ao número de variáveis 
medidas inicialmente e para tanto os eixos do elipsóide devem ser sispostos de 
tal modo a colocar o centro do elipsóide coincidente com o centro do sistema de 
coordenadas; 
 c) na análise discriminante localizam-se os centros dos elipsóides e calcula-se a 
distância entre pares de centros de elipsóides; 
 Como salientado por DAVIS (1986), os métodos multivariados são 
poderosos, permitindo o pesquisador manipular diversas variáveis 
simultaneamente. São, porém, bastante complexos, tanto na sua estrutura teórica 
como na metodologia operacional. Em alguns casos os testes estatísticos a serem 
utilizados exigem requisitos muito rígidos e em outros, muitas vezes quando quer 
relacioná-los com problemas reais, não apresentam base estatística teórica e 
desse modo impossibilidade de testes de significância. De qualquer modo, são 
métodos extremamente promissores para a análise de dados geológicos tendo em 
vista que normalmente a maioria das situações geológica envolve um conjunto 
complexo de fatores atuando no sistema, sendo impossível isolá-los e estudá-los 
isoladamente. 
 7
 Exemplos de situações que apresentam dados multivariados são comuns 
em Geociências, como: análises geoquímicas de elementos maiores e/ou 
elementos traços; caracteres morfológicos medidos em fósseis; características 
físicas de rochas sedimentares, como distribuição granulométrica, porosidade, 
permeabilidade; conteúdo mineralógico em rochas; variáveis fluviais, como 
descarga, material em suspensão, profundidade, sólidos dissolvidos, pH e 
conteúdo em oxigênio; características geotécnias de solos e rochas; bandas 
espectrais em imagens de satélites, etc.. Em alguns casos trata-se de simples 
extensão de problemas ligados à estatística univariada e outros pertencem, 
todavia, a uma nova classe de problemas. 
Esses métodos clássicos da análise estatística multivariada não levam, 
porém, em consideração a localização dos pontos de amostragem, nem as suas 
relações espaciais e também não refletem as diferenças quanto o suporte das 
amostras ou com relação ao suporte da região onde o estudo esta sendo 
realizado. A metodologia geoestatística univariada, de recente aplicação, tem 
essas propriedades, mas não é capaz de tratar da correlação espacial entre 
diversas variáveis. Ferramentas se tornaram, então, necessárias para incorporar 
essas importantes feições e daí a necessidade de métodos estatísticos que 
enfoquem a análise espacial de dados geológicos multivariados. 
Para tanto duas soluções tem sido apresentadas: uma, adaptativa, 
procurando, a partir dos resultados dos métodos clássicos, verificar se os mesmos 
apresentam uma organização espacial significativa e outra, específica, 
desenvolvendo metodologia própria para esta problemática, com destaque para a 
a cokrigagem e a krigagem fatorial. 
Caso as amostras, no sentido geológico, sejam georreferenciadas os grupos 
resultantes da análise de agrupamentos/modo Q poderão ser submetidos a uma 
verificação espacial para a constatação de algum padrão de distribuição espacial 
desses grupos. De modo idêntico os “scores”, calculados a partir da análise das 
componentes principais ou da análise de fatores, que tenham suas coordenadas 
geográficas conhecidas poderão fornecer mapas de distribuição ou de tendência 
espacial. A análise discriminante pode ser aplicada para avaliar e comparar 
alterações ocorridas a intervalos de tempo indicando que variáveis mais 
 8
contribuíram para essas mudanças. São adaptações de métodos estatísticos 
multivariados procurando modelar espacial ou cronologicamente fenômenos 
geológicos. Isso, porém, somente é possível se as amostras da matriz de dados 
multidimensionais apresentarem perfeitamente conhecidas as suas coordenadas 
geográficas. 
 A cokrigagem é um procedimento geoestatístico segundo o qual 
diversas variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na 
correlação espacial entre si. É uma extensão multivariada do método da krigagem 
quando, para cada local amostrado, obtém-se um vetor de valores em lugar de um 
único valor. A aplicação da cokrigagem torna-se bastante evidente quando duas ou 
mais variáveis são amostradas nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio 
espacial e apresentam significativo grau de correlação. Valores ausentes não se 
tornam problemáticos, pois o método deve ser usado exatamente quando uma 
das variáveis apresenta-se sub-amostrada em relação às demais. Essa variável é 
conhecida como “primária” e as demais como “secundárias”. O objetivo é, 
portanto, melhorar a estimativa da variável sub-amostrada utilizando aquelas mais 
densamente amostradas. 
No caso da krigagem fatorial deve-se efetuar: 1) modelagem de 
corregionalização das variáveis usando o denominado modelo linear de 
corregionalização: todos os p(p + 1)/2 variogramas diretos e cruzados das p 
variáveis são modelados por uma combinação linear dos N´s variogramas 
padronizados para um mesmo alcance (sill); nesta modelagem supõe-se que o 
comportamento espacial das variáveis é o resultado da interação de diferentes 
processos atuando independentemente a diferentes escalas espaciais; 2) analise 
da estrutura de correlações entre as variáveis, levando em consideração as 
diferentes escalas, com aplicação daanálise das componentes principais; um 
“círculo de correlações” entre as variáveis originais e os dois mais importantes 
fatores regionalizados é utilizado para resumir as relações entre as variáveis a 
cada escala espacial; 3) estimação das relações entre os fatores regionalizados e 
variáveis, como componentes espaciais, a diferentes escalas por cokrigagem, 
para, finalmente, mapeà-los. 
 9
 Em qualquer das circunstâncias citadas a preocupação é com: 
Descrição dos dados: os dados precisam ser explorados, tanto espacial 
como cronologicamente, em sua estrutura multidimensional para o seu 
entendimento e constatação de eventuais valores anômalos que possam mascarar 
tal estrutura. Existem a disposição, graças à moderna tecnologia computacional, 
ferramentas gráficas que permitem a visualização simultânea de amostras no 
espaço e/ou no tempo e as primeiras idéias a respeito da estrutura 
multidimensional podem começar a surgir a partir dessas exibições gráficas. 
Interpretação: os produtos gráficos obtidos a partir das informações 
numéricas são avaliados levando em consideração tanto o conhecimento já 
adquirido com dados similares como fatos científicos relacionados às variáveis sob 
estudo. A interpretação da estrutura espacial ou temporal, as associações e as 
relações casuais entre variáveis devem, então, ser organizadas num modelo que 
se ajuste aos dados. 
Estimação: A modelagem, se correta, não apenas descreve o fenômeno 
nos locais amostrados, mas pode se tornar válida para interpolações em locais ou 
intervalos de tempo adjacentes, não amostrados, representando um passo alem 
com relação às informações contidas nos dados numéricos. Na verdade este é o 
grande desafio da análise multivariada de dados espaciais, a estimação de valores 
para situações de previsão quantitativa. 
A pretensão deste texto, escrito de maneira a mais simples possível, por 
um Professor de Geologia, é apresentar uma introdução aos métodos estatísticos 
multidimensionais que possam ser aplicados na análise de dados, sem uma 
abordagem matemática complexa, porem sempre, que possível, com um enfoque 
espacial e que permita ao usuário iniciar-se na Geologia Quantitativa. Não 
pretende ser um livro-texto detalhado. Pressume-se que os leitores tenham um 
conhecimento básico de estatística descritiva, alem de dominar conceitos simples 
de álgebra matricial e familiaridade com manuseio de computadores pessoais. Os 
exemplos são voltados às Geociências, mas a metodologia pode perfeitamente ser 
utilizada em outras áreas que disponham de dados com estas mesmas 
características, ou seja, multivariados e regionalizados. 
 10
Existe à disposição uma variedade muito grande de livros e pacotes 
computacionais e entre os principais livros textos que tratam de métodos 
quantitativos em Geologia podem ser citados: MILLER & KAHN (1962), SOKAL & SNEATH 
(1963), KRUMBEIN & GRAYBILL (1965), KOCH & LINK (1971), DAVIS (1973, 1986 E 2002), 
JORESKOG, KLOVAN & REYMENT (1976) , LE MAITRE (1982), HOWARTH & SIDING-LARSEN 
(1985), SWAN & SANDILANDS (1995), GRIFFITH & AMRHEIN (1997), REYMENT & SAVAZZI 
(1999) E WACKERNAGEL (2003). Em Geologia, principalmente em Geoquímica, é 
comum a existência de variáveis cuja soma é constante, isto é, quando os dados 
são composicionais apresentando-se os valores em porcentagem ou em razão. 
Nestes casos surgem problemas que acarretam resultados distorcidos. Existem, 
porém, diversas técnicas estatísticas para contornar tais situações como expostas, 
entre outros, em CHAYES & KRUSKAL (1966), CHAYES (1971), AITCHISON (1986), 
BARCELÓ ET AL. (1996), AITCHISON (1997) e PAWLOWSKY-GLAHN & OLEA (2004). 
 Existem tambem diversos softwares estatísticos de aplicação geral, bem 
elaborados e completos como SAS, S-Plus, Statistica, Systat, todos em constante 
atualização. Dois outros, bastante amigáveis, para serem utilizados, e com boa 
saida gráfica, são o MVSP e o Xlstat, este baseado no aplicativo Excel®. Um 
pacote desenvolvido no Brasil voltado para aplicações em Ciências Biológicas e 
Médicas é o Bioestat e um outro proveniente da Noruega, com aplicações em 
Paleontologia, é o PAST, ambos obtidos gratuitamente nos endereços 
mizayres.bel@orm.com.br e http://folk.uio.no/ohammer/past 
Alem disso na revista “Computers & Geosciences”, editada pela 
International Association for Mathematical Geology, freqüentemente são 
apresentados programas listados e/ou executáveis descarregáveis a partir do 
endereço www.iamg.org. 
 
 
 11
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
AGRICOLA, G. (1556) – De Re Metallica: Froben, Basel (traduzido do Latim por Hoover, 
H.C., Hoover, L.H. 1912 e publicado por Dover Publ., New York, 1950) 
 
AITCHISON, J. (1986) – The Statistical Analysis of Compositional Data: Chapman and 
Hall. Reprinted in 2003 with additional material by the Blackburn Press. 
 
AITCHISON, J. (1997) – The one-hour course in compositional data analysis or 
compositional data analysis is easy, in Pawlowsky Glahn V., ed., Proceedings of the Third 
Annual Conference of the International Association for Mathematical Geology: CIMNE, 
Barcelona, p. 3-35. 
 
AYRES, M.; AYRES JR., M.; AYRES, D. L. & SANTOS, A. S. (2000) – BioEstat 2.0: 
aplicações estatísticas nas áreas das ciências biológicas e médicas: Sociedade Civil 
Mamirauá, MCT-CNPq, mizayres@zaz.com.br 
 
BARCELÓ, C., PAWLOWSKY, V. & GRUNSKY, E. (1996) – Some aspects of transformations 
of compositional data and the identification of outliers : Math. Geology, 28:501-518 
 
CHAYES, F. (1971) - Ratio Correlation: A Manual for Students of Petrology and 
Geochemistry: University of Chicago Press. 
 
CHAYES. F. & KRUSKAL, W. (1966) - An Approximate Statistical Test for Correlation 
between Proportions: Jour. Geology, 74: 692-702. 
DAVIS, J.C. (1973) - Statistics and Data Analysis in Geology: John Wiley and Sons. 
DAVIS, J.C (1986) - Statistics and Data Analysis in Geology: 2nd ed., John Wiley and Sons. 
DAVIS, J.C (2002) - Statistics and Data Analysis in Geology: 3rd ed., John Wiley and Sons. 
GRIFFITH, D.A. & AMRHEIN, C.G. (1997) – Multivariate Statistical Analysis for 
Geographers – Prentice Hall. 
HAMMER. O. & HARPER, D.A.T. (2004) – PAST. PAlaentological STatistics, versão 1.20. 
http://folk.uio.no/ohammer/past 
 
HOWARTH, R.J. & SINDING-LARSEN, R. (1985) - Multivariate analysis: in (G.J.S. Govett, 
ed.) “Statistics and Data Analysis in Geochemical Prospecting”, vol. 2:207-289, Elsevier. 
JORESKOG, K.G., KLOVAN, J.E. & REYMENT, R.A. (1976) - Geological factor analysis: 
Elsevier. 
KOCH JR, G.S. & LINK, .F. (1971) - Statistical analysis of geological data: vol. 2, John 
Wiley & Sons. 
KRUMBEIN, W.C. & GRAYBILL, F.A. (1965) - An introduction to Statistical Model in 
Geology: McGraw Hill Book. 
LE MAITRE, R.W. (1982) - Numerical Petrology. Statistical Interpretation of Geochemical 
Data: Elsevier. 
 12
MERRIAM, D. F. (2004) – The quantification of geology: from abacus to Pentium. A 
chronicle of people, places, and phenomena: Earth-Science Reviews, 67:55-89 
MERTIE JR, J.B. (1949) - Charting five and six variables on the bounding tetrahedral of 
hyper tetrahedral: Am. Mineralogist, 34:706-716. 
MILLER, R.L. & KAHN, J.S. (1962) - Statistical analysis in the geological sciences: John 
Wiley and Sons. 
MVSP – Multi-Variate Statistical Package: Kovach Computing Services, 
http://www.kovcomp.co.uk 
 
PAWLOWSKY-GLAHN, V., OLEA, R.A. (2004) – Geostatiitical Analysis of Compositional 
Data: I.A.M.G., Stud. Math. Geology n. 7, Oxford University Press 
REYMENT, R.A. & SAVAZZI, E. (1999) – Aspects of Multivariate Statistical Analysis in 
Geology - Elsevier. 
SAS – SAS Institute, http://www.sas.com 
SOKAL, R.R. & SNEATH, P.H.A. (1963) - Principles of numericaltaxonomy: W.H. Freeman. 
S-PLUS – Mathsoft, http://www.mathsoft.com 
STATISTICA – StatSoft Inc., http://www.statsoft.com 
SYSTAT – SPSS Inc., http://www.spss.com 
SWAN, A.R.H. & SANDILANDS (1995) – Introduction to Geological Data Analysis: 
Blackwell Science Ltd. 
WACKERNAGEL, H. (2003) – Multivariate Geostatistics. Springer. 
XLSTAT – AddinSoft SARL, http://www.xlstat.com 
 
 
 
 
 
 
 
 13
2. NOÇÕES DE ÁLGEBRA MATRICIAL 
 
 Os métodos estatísticos multivariados são normalmente baseados em 
manipulação de matrizes, porque os dados multidimensionais são apresentados 
nesse formato, o que, inclusive, facilita a confecção de algoritmos a serem 
utilizados por computador. 
[ ]










=
n,m2,m1,m
n,32,31,3
n,22,21,2
n,12,11,1
j,i
xxx
xxx
xxx
xxx
X
L
MOMM
L
L
L
 
 A álgebra matricial torna-se, portanto, uma ferramenta básica para o 
entendimento desses métodos e neste capítulo são apresentadas algumas noções 
elementares. Cada tópico é acompanhado por exemplos numéricos de pequenas 
dimensões. Maiores detalhes sobre álgebra linear podem ser encontrados, entre 
outros, em AYRES JR. (1962), DAVIS (1984), FERGUNSON (1988, cap. 6 e 7), GOLUB & 
VAN LOAN (1996) e HARVILLE (1997).. 
 
2.1. Matrizes e vetores 
 Matriz é um arranjo bidimensional constituído por elementos xij, onde i 
representa linha e j coluna. Normalmente as linhas são indivíduos ou casos ou 
objetos ou amostras, no sentido geológico, e as colunas, variáveis. 
 
[ ]










=
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
4,4
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
X 
 
 Se o número de linhas é igual ao número de colunas a matriz é conhecida 
como quadrada. [X] é, portanto, uma matriz quadrada. O número de linhas não 
precisa, porém, ser igual ao número de colunas, ou vice-versa: 
 
 14
[ ] [ ]








=

=
2,31,3
2,21,2
2,11,1
2,3
3,22,21,2
3,12,11,1
3,2
zz
zz
zz
Z
yyy
yyy
Y 
 [Y] é uma matriz com 2 linhas e 3 colunas e [Z] é uma matriz com 3 linhas 
e 2 colunas, sendo ambas retangulares. 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos fora da diagonal 
principal são todos iguais a 0 (zero): 
 
[ ]








=
33
22
11
x00
0x0
00x
X 
Matriz de identidade ou matriz unitária é uma matriz diagonal onde os 
elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais 0 (zero): 
 
[ ]








=
100
010
001
I 
O traço de uma matriz é a soma dos termos da diagonal principal, sendo 
definido somente para uma matriz quadrada 
 Uma matriz com apenas uma linha é chamada de vetor linha e uma matriz 
com apenas uma coluna é chamada de vetor coluna: 
 
[ ] [ ] [ ]








==
n
2
1
m11
y
y
y
Youx...xxX M
 
 
 Escalar é uma matriz com dimensões 1x1. 
 
2.2. Operações com matrizes 
Transposição: permuta linhas por colunas e vice-versa; representada por 
[ ]’, de modo que um elemento aij em [A] passa a ser aji em [A]’ 
 15
 








=








=
22935563
89784048
45122833
]'A[então,
228945
937812
554028
634833
]A[se 
Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada que é imutável quando 
transposta, de modo que [S]’ = [S]. 
. 
Adição e subtração: similar à álgebra linear. O número de linhas e de 
colunas precisa ser igual nas duas matrizes a serem adicionadas ou subtraídas 
 


=


++
++=

+


115
83
4723
3512
42
31
73
52
 
Multiplicação: para efetuar a multiplicação, por exemplo [A]*[B]=[C], o 
número de linhas em [B] deve ser igual ao número de colunas em [A]. O resultado 
em [C] terá o mesmo número de linhas que [A] e o mesmo número de colunas 
que [B] 
]C[]B[*]A[ lkjklj = 
A formula geral para determinar cada elemento em [C] é 
 
∑
=
=
r
1k
kjikij b*ac 
onde r é o número de colunas em [A] ou linhas em [B]. Isto significa que, por 
exemplo para c11, deve-se multiplicar a primeira linha em [A] vezes a primeira 
coluna em [B]; para encontrar c23 multiplicar a segunda linha de [A] pela terceira 
coluna de [B] 








=








+++
+++
+++
=










101734
142142
121938
)2*3()1*4()3*3()2*4()6*3()4*2(
)2*7()1*0()3*7()2*0()6*7()4*2(
)2*5()1*2()3*5()2*2()6*5()4*2(
236
124
*
34
70
52
 
 Importante notar que o resultado de [A]*[B] geralmente não é o mesmo 
que [B]*[A]: 
 16


=











5720
3712
34
70
52
*
236
124
 
 
Multiplicação por escalar: cada elemento da matriz é multiplicado pelo 
escalar 


=


219
153
73
52
*3 
 
Determinantes: número singular associado a uma matriz quadrada. O 
determinante da matriz [A] é representado por |A|. 
 Para uma matriz de dimensões 2x2 o determinante é calculado pelo 
produto dos elementos de uma diagonal menos o produto dos elementos da outra 
diagonal: 
 
)a*a()a*a(
aa
aa
21122211
2221
1211 −=


 
 
 
 Inverso de uma matriz 
 Como não há divisão em álgebra matricial, o procedimento adotado é 
utilizar o inverso da matriz. Na álgebra linear se A*B = C, para resolver A calcula-
se 
B
C
A = ou também 
B
1
*CA = . O inverso da matriz é análogo a 
B
1
. 
 O inverso de uma matriz [X] é representado por [X]-1 e para o seu cálculo é 
necessário satisfazer a condição [X]*[X]-1=[I]. Em algumas situações isso não é 
possível porque é encontrada uma divisão por zero durante o processo de 
inversão. Nesse caso, de impossibilidade de inversão, a matriz é conhecida como 
singular. 
 Esta é uma das mais importantes técnicas em álgebra matricial e essencial 
para a solução de sistema de equações simultâneas do tipo: 
[A]*[X]=[B], 
 17
onde [A] e [B] contém valores conhecidos e [X] valores desconhecidos a serem 
determinados. 
 Multiplicando ambos os lados da equação por [A]-1 
[A]-1*[A]*[X]=[A]-1*[B], 
Como [A]-1*[A]=[I], a equação se reduz para 
[X]=[A]-1*[B] 
 
Seja o seguinte sistema de equações onde se quer determinar x1 e x2 
04x1+10x2= 38 
10x1+30x2=110 
 
Em notação matricial: 


=





110
038
x
x
*
3010
1004
2
1 
 
Para encontrar os valores xi, basta inverter a matriz [A] e multiplicar o 
inverso pelo vetor coluna [B] 
O inverso de [A] é encontrado da seguinte maneira: 
 





10
01
3010
1004
 
 





10
025,0
3010
5,201
 
 



−


15,2
025,0
0510
5,201
 
 
 


−


2,05,0
025,0
010
5,201
 
 
 18



−
−


2,05,0
5,05,1
10
01
 
 
Verificação da inversão de matriz: 


=




−
−
10
01
3010
1004
*
2,05,0
5,05,1
 
 
Cálculo dos xi: 
 


=




−
−
3
2
110
038
*
2,05,0
5,05,1
 
 
x1=2 e x2=3 
 
2.3. Algumas matrizes especiais 
2.3.1. Matriz de coeficientes de correlação 
A matriz original de dados é constituída por m indivíduos (unidades de 
observação) e n variáveis, em que cada linha i representa um indivíduo e cada 
coluna j uma variável. 










=
n,m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
]j,iX[
L
MMMM
L
 
 
 Para o cálculo de uma matriz de coeficientes de correlação a seguinte 
seqüência deve ser obedecida: 
1. Encontrar para cada coluna a respectiva média e o desvio padrão: 
m
x
x jj
Σ= ; 
1m
m
)ix(
ix
S
2
2
j −
Σ−Σ
= ; 2ji ss = 
 
2. Encontrar o valor zij para cada observação: 
 19
 
 
 
3. A partir daí, constituir a matriz [ ]Z , também de dimensões mxn: 
 










=
n.m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3
n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
zzzz
zzzz
zzzz
zzzz
]Z[
L
MMMM
L
 
 
4. Encontrar o transposto da matriz [Z] 








=
n,mn,3n,2n,1
2,m2,32,22,1
1,m1,31,21,1
'
zzzz
zzzz
zzzz
]Z[ MMMM 
 
5. Multiplicando [Z]’ por [Z], encontrar a matriz [V], de dimensões nxn 
 [V] = [Z]’ [Z] 










=
2
n2n1n
n2
2
212
n121
2
1
vvvvv
vvvvv
vv...vvv
]V[
MMM
 
 
6. Finalmente, calcular a matriz de coeficientes de correlação, multiplicando o 
escalar 1m
1− por [V] 
[ ]








=−=
n,n2,n1,n
n,22,21,2
n,12,11,1
rrr
rrr
rrr
V
1m
1]R[ MMM
L
L
 
j
ij
ij s
jxxz
−=
 20
 
Exemplo 










=
444
345
321
432
321
]X[ 
Médias: x1=2,6; x2=3,0; x3=3,4 
Desvios padrão: s1 = 1,8; s2=1,0; s3=0,55 
[ ]










−
−−−
−
−−−
=
091,1000,1778,0
0727000,1333,1
727,0000,1889,0
091,1000,0333,0
727,0000,1889,0
Z 
 
[ ]








−−−
−−
−−−
=
091,1727,0727,0091,1727,0
000,1000,1000,1000,0000,1
778,0333,1889,0333,0889,0
Z | 
 
[ ]








=
967,3818,1808,0
818,1000,4889,3
809,0889,3074,4
V 
 
[ ]








=
000,1455,0202,0
455,0000,1972,0
202,0972,0000,1
R 
 
Cada elemento desta matriz se refere à correlação entre o par de variáveis 
em questão. 
 
2.3.2. Matriz de variâncias e covariâncias 
A matriz original de dados é constituída por m indivíduos e n variáveis, em que 
cada linha i representa um indivíduo e cada coluna j uma variável. 
 21










=
n.m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3
n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
]X[
L
MOMMM
L
L
L
 
 
 Para o cálculo de uma matriz de variâncias e covariâncias, a seguinte 
seqüência deve ser obedecida: 
1. Encontrar a média de cada coluna e subtrair esse valor de cada elemento: 
m
x
x jj
Σ= ; jij*ij xxx −= 










=
n.m3,m2,m1,m
n,33,32,31,3
n,23,22,21,2
n,13,12,11,1
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*]X[
L
MOMMM
L
L
L
 
 
2. Criar uma matriz de somas de quadrados e produtos cruzados [A], pela 
multiplicação de [X*]’ por [X*], de dimensões mxm. 
 








=
n,mn,3n,2n,1
2,m2,32,22,1
1,m1,31,21,1
'
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*x*x*x*x
*]X[ MMMM 
 
 
 [A] = [X*]’[X*] 










=
2
n2n1an
n2
2
212
n121
2
1
aaaa
aaaaa
aa...aaa
]A[
MMM
 
 
 22
3. Finalmente criar uma matriz de variâncias e covariâncias [S] multiplicando o 
escalar 
1n
1
− por [A] 
 [ ]








=−=
n,n2,n1,n
n,22,21,2
n,12,11,1
sss
sss
sss
A
1m
1]S[ MMM
L
L
 
 
 
Exemplo 










=
444
345
321
432
321
]X[ 
 
Médias: x1=2,6; x2=3,0; x3=3,4 
[ ]










−
−−−
−
−−−
=
6,00,14,1
4,00,14,2
4,00,16,1
6,00,06,0
4,00,16,1
*X 
 
[ ]








−−−
−−
−−−
=
6,04,04,06,04,0
0,10,10,10,00,1
4,14,26,16,06,1
*X | 
 
[ ]








=
2,10,18,0
0,10,40,7
8,00,72,13
A 
 
[ ]








=
30,025,020,0
25,000,175,1
20,075,130,3
S 
 23
 
Cada elemento da diagonal se refere à variância de uma variável e fora da 
diagonal à covariância entre o par de variáveis em questão. A soma dos elementos 
da diagonal é a variância total no sistema. 
Notar que a matriz de correlações é a matriz de variâncias e covariância 
com cada elemento dividido pelo produto dos desvios padrões das respectivas 
variáveis. A matriz de correlações é também a matriz de variâncias e covariâncias 
de variáveis padronizadas. 
 
2.3.3. Autovalores (eingenvalues) e Autovetores (eigenvectors) 
Este tópico é geralmente considerado de difícil entendimento dentro da 
álgebra matricial, não tanto pela maneira de cálculo, mas principalmente pelo 
entendimento que se possa ter de seu resultado. Uma interpretação geométrica 
como apresentada a seguir, baseada em GOULD (1967), pode ajudar a entender o 
significado de autovalores e autovetores. Considerando os valores de uma matriz 
como coordenadas de pontos num espaço multidimensional, autovalores e 
autovetores passam a ser propriedades geométricas do arranjo desses pontos. 
Seja um conjunto de 3 equações lineares: 
a11x1+a12x2+...+a1nxn=λx1 
a21x1+a22x2+...+a2nxn=λx2 
a31x1+a32x2+...+a3nxn=λx3 
Essas equações podem ser escritas em forma de matriz, onde [A], 
contendo os coeficientes aij’s, multiplicada por um vetor [X], de desconhecidos xi’s, 
é igual a este vetor [X] multiplicado por um escalar λ. 
[A][X] = λ[X], 
Para encontrar os valores de λi que satisfaçam a relação acima, a equação 
pode ser reescrita como: 
([A] – λ[I])[X] = 0, 
onde λ[I] é a matriz de identidade, de dimensões 3x3, multiplicada por λ: 
 24








λ
λ
λ
3
2
1
00
00
00
 
 
Cálculo das raízes da equação (autovalores) para uma matriz 3 x 3: 
(a11 – λ1)x1 + a12 x2 + a13x3 = 0 
a21x1 + (a22 – λ2)x2 + a23x3 = 0 
a31x1 + a32 x2 + (a33 – λ3)x3 = 0 
 
Como exemplo, seja a seguinte matriz de dados: 
 








158
237
324
421
 
Para essa matriz de dados é encontrada a seguinte matriz de coeficientes 
de correlação [A] 








−−
−
−
=
000,1913,0980,0
913,0000,1820,0
980,0820,0000,1
]A[ , 
com variância total no sistema: 1+1+1=3 e para o cálculo dos autovalores: 
 
0
000,1913,0980,0
913,0000,1820,0
980,0820,0000,1
]I[]A[
3
2
1
=








λ−−−
−λ−
−λ−
=λ− 
 
 Desenvolvendo: 
(1,000 - λ1)(1,000 - λ2)(1,000 - λ3) + (0,820)(- 0,913)(- 0,980) + (- 0,980)(0,820) 
(- 0,913) - (- 0,980)(1,000 - λ1)(- 0,980) - (1,000 - λ2)(- 0,913)(- 0,913) - 
(0,820)(0,820)(1,000 - λ3) = 
≅ (λ1 - 2,810)(λ2 - 0,188)(λ3 - 0,002) 
Os autovalores são iguais a: λ1 = 2,810; λ2 = 0,188; λ3 = 0,002 (soma = 3) 
e a porcentagem da variância total explicada por cada autovalor: 
 25
λ1 = (2,810/3)*100 = 93,66 
λ2 = (0,188/3)*100 = 6,27 
λ3 = (0,002/3)*100 = 0,07 
 
Para o cálculo dos correspondentes autovetores, calcular inicialmente as 
componentes do autovetor V1: 
(1,000 - 2,810)X1 + 0,820X2 - 0,980X3 = 0 
0,820 - (1,000 - 2,810)X2 - 0,913X3 = 0 
-0,980X1 - 0,913X2 - (1,000 - 2,810)X3 = 0 
 
X1 = - 1,000; X2 = - 0,974; X3 = 1,032 
V1 = - 1,000 
 - 0,974 
 1,032 
Padronização do autovetor V1 para o tamanho unitário 
Q = -12 + (-0,974)2 + (1,032)2 = 3,012 
Q = 1,735 
Vn1 = -1/1,735 = -0,58 
Vn1 = - 0,974/1,735 = - 0,56Vn1 = 1,032/1,734 = 0,59 
 
Para as componentes do autovetor V2: 
(1,000 – 0,188)X1 + 0,820X2 - 0,980X3 = 0 
0,820 - (1,000 – 0,188)X2 - 0,913X3 = 0 
-0,980X1 - 0,913X2 - (1,000 – 0,188)X3 = 0 
Vn2 = -0,60 
Vn2 = 0,79 
Vn2 = 016 
..... 
 
 
 
 26
 Autovetores 
Variáveis V1 V2 V3 
X1 -0.58 -0.60 0.56 
X2 -0.56 0.79 0.26 
X3 0.59 0.16 0.79 
 
 
Factor loadings (carregamento das variáveis nas componentes principais): 
)dentecorresponautovaloropadronizadautovetor( ∗ ) 
 
 F1 F2 F3 
X1 -0.97 -0.26 0.03 
X2 -0.94 0.34 0.01 
X3 1.00 0.07 0.04 
 
 
Em termos geométricos: 
 
Variáveis 
V1
V2
V3
-1
-0,5
0
0,5
1
-1 -0,5 0 0,5 1
Eixo F1: 94%
E
ix
o 
F2
: 6
%
 
 
 27
 
A matriz original de dados ao ser multiplicada pela matriz de autovalores 
fornecerá a matriz de pontuações (scores). 
 
“factor scores” = 








158
237
324
421
*








−
−−
79,016,059,0
26,079,056,0
56,060,058,0
 
 
 F1 F2 F3 
Obs1 2.10 0.45 0.03
Obs2 0.93 -0.35 -0.07
Obs3 -0.69 -0.51 0.06
Obs4 -2.34 0.41 -0.02
 
 
Em termos geométricos: 
 
Observações
A4
A3 A2
A1
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Eixo F1: 93.66 %
E
ix
o 
F2
: 6
.2
7 
%
 
 
 
 28
A orientação dos autovetores no espaço multivariado é determinada pela 
direção da máxima variância. Como a contribuição da variância para cada 
autovetor, em alguns casos, deve ser maximizada, há necessidade de rotação da 
matriz fatorial inicial. 
Matriz fatorial inicial: 
 Fatores 
 F1 F2 
 X1 0,966 -0,259 
 X2 0,940 0,340 
 X -0,997 0,070 
 
Para o cálculo do ângulo de rotação dos fatores, pelo critério varimax, o 
seguinte procedimento deve ser adotado: 
 
A rotação ortogonal de uma matriz de carregamentos [X], em um novo 
conjunto de coordenadas [X’], requer uma matriz operacional [T] 
[X’] = [T] [X] 
 





ΘΘ
Θ−Θ=



2
1
'
2
'
1
X
X
cossen
sencos
X
X
 
ângulo de rotação Θ = ?, para variavel “j” e fatores “p” e “q” 
 
 29
]/n)XX(2-)XX[(-)XX(2-)X-X(
]/nXX)X-(X[4-)X-(XX2X4 
4tan
J
2
JQJP
J
22
JQ
2
JP
J
2
JQJP
J
22
JQ
2
JP
J
JQJP
J
2
JQ
2
JP
J
2
JQ
2
JPJQJP
∑∑∑∑
∑∑∑
Σ=Θ 
2
JQ
2
JPJ XXU −= 
JQJPJ XX2V = 
∑=
J
JUA = 2,6222; A
2 = 6,8789 
∑=
J
JVB = -0,0001; B
2 = 0,0000 
∑ −=
J
2
J
2
J )VU(C = 1,6365 
∑=
J
JJ )VU(2D = -0,0797 
n/)BA(C
n/AB2D4tan 22 −−
−=θ = - 0,1592/- 0,6555 = 0,2429 
 
arctan 0,2429 = -166° 21’ = 4Θ; Θ = 41° 17’ 
sen Θ = - 0,6598 
cos Θ = 0,7515 
 



−
−=
7515,06598,0
6598,07515,0
]T[ 
 





−
−=



2J
1J
'
2J
'
1J
X
X
7515,06598,0
6598,07515,0
X
X
 
12121111
'
11 XTXTX += X’1j = (0,9656)(0,715) + (- 0,2590)(- 0,6598) = 0,894 
 
Matriz fatorial rotacionada: 
 Fatores 
 F’1 F’2 
 X1 0,894 0,447 
 X2 0,477 0,879 
 X3 -0,792 -0,609 
 30
 Em termos geométricos: 
 
Variáveis 
V3
V2
V1
-1,1
-0,6
-0,1
0,4
0,9
-1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9
Eixo F1: 94.30 %
E
ix
o 
F2
: 5
.7
0 
%
 
Variáveis depois da rotação 
varimax
V3
V2
V1
-0,94
-0,74
-0,54
-0,34
-0,14
0,06
0,26
0,46
0,66
0,86
-0,9
4
-0,7
4
-0,5
4
-0,3
4
-0,14 0,06 0,26 0,46 0,66 0,86
Eixo F1: 54.82
Ei
xo
 F
2:
 4
5.
17
 %
 
 
 
 
 
 
 31
 
Observações
A4
A3
A2
A1
-1,3
-0,8
-0,3
0,2
0,7
1,2
-1,3 -0,8 -0,3 0,2 0,7 1,2
Eixo F1: 94.30 %
E
ix
o 
F2
: 5
.7
0 
%
 
Observações depois da rotação 
varimax
A4
A3 A2
A1
-1,6
-1,1
-0,6
-0,1
0,4
0,9
1,4
-1,6 -1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9 1,4
Eixo F1: 54.82 %
Ei
xo
 F
2:
 4
5.
17
 %
 
 
 
 Gráfico mostrando o arranjo espacial dos pontos Xi, em 2D, antes e depois 
da rotação dos eixos F1 e F2: 
 
 32
 
 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
AYRES JR., F. (1962) – Schaum’s Outline of Theory and Problems of Matrices: Schaum 
Publ. Co. 
 
DAVIS, P.J. (1984) – The Mathematics of Matrices: R.E. Krieger Publ. Co 
 
FERGUNSON, J. (1988) – Mathematics in Geology: Allen & Unwin Ltd. 
 
GOLUB, G.H. & VAN LOAN, C.F. (1996) – Matrix Computations, 3rd. ed.: Johns Hopkins 
Univ. Press. 
 
GOULD, P. (1967) – On the geographic interpretation of eigenvalues: An initial 
exploration: Trans. Inst. British Geographers, n. 42, p. 53-86 
 
HARVILLE, D. A. (1997) – Matrix Álgebra from a Statistician’s Perspective: Springer 
 34
3. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 
 As relações entre duas variáveis "X", considerada independente, e "Y", 
considerada dependente, pode ser representada num diagrama de dispersão, com 
os valores yi em ordenada e os xi em abscissa. Cada par de valores xi,yi fornecerá 
um ponto e utilizando-se, por exemplo, o método dos desvios mínimos ao 
quadrado, pode-se calcular a equação de uma curva de tendência que melhor se 
ajuste à nuvem de distribuição de pontos. O modelo mais simples que pode ser 
adotado é o da análise de regressão linear que fornece a equação de uma reta: 
yi = αι + βxi + εi 
onde α e β são constantes desconhecidas a serem determinadas e ε representa 
toda a fonte de variabilidade em Y não explicada por X. Operacionalmente 
encontra-se a equação da reta para a previsão dos valores yi segundo: 
,bxay ii += 
onde a e b são os coeficientes que determinam a intersecção na ordenada e a 
inclinação da reta calculada. 
 Não é raro, porém, que o termo εi seja numericamente mais importante 
que a explicação motivada pela variável X, significando que outras variáveis 
devem ser incorporadas ao modelo a fim de explicar o comportamento de Y. O 
modelo exige então uma "análise de regressão linear múltipla”. A regressão 
múltipla é usada, portanto, para testar dependências cumulativas de uma única 
variável dependente em relação à diversas variáveis independentes. 
Alguns cuidados, porem, que devem ser tomados quando da utilização da 
análise de regressão: as relações entre as variáveis devem ser lineares; evitar um 
número inferior de casos em relação ao número de variáveis consideradas, sendo 
recomendado que tal relação seja da ordem de 10 a 20 vezes superior; evitar 
variáveis independentes redundantes, isto é, que tenham um alto coeficiente de 
correlação entre si; verificar, utilizando resíduos, a presença de valores anômalos. 
 O modelo geral é representado por 
inini11oi xxy ε+α++α+α= L 
 A análise de regressão múltipla linear de quaisquer n variáveis 
independentes sobre uma variável dependente, sendo expressa por: 
nini22i11oi XaXaXaaY ++++= L 
 35
 pode ser resolvida segundo: 
 
]Y[]A[]X[
yx
yx
yx
y
a
a
a
a
xxxx
xxxxx
xxxx
xxn
ini
ii2
ii1
i
n
2
1
o
2
nii1nini
nii2i1i2i2
nii1
2
i1i1
nii1










∑
∑
∑
∑
=




















∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
MM
L
MOMM
L
L
L
 
 Para a obtenção dos coeficientes ai a solução obedece à relação: 
]Y[]X[]A[ 1−= 
Os coeficientes “ai” são conhecidos como parciais de regressãoporque cada 
um deles fornece a taxa de mudança na variável dependente correspondente à 
respectiva variável independente, mantendo constantes as demais variáveis 
independentes. Esses coeficientes terão valores diferentes, para cada variável, dos 
coeficientes de regressão totais obtidos pela análise de regressão simples entre a 
variável dependente e apenas uma variável independente considerada por vez. Na 
análise de regressão linear múltipla são consideradas todas as possíveis interações 
entre a variável dependente e as diversas combinações com e entre as variáveis 
independentes. 
Sendo calculadas a soma de quadrados da variável dependente, a soma de 
quadrados devido à análise linear múltipla e a soma de quadrados dos desvios, 
pode-se obter uma indicação da validade do resultado por uma análise de 
variância, sendo m o número total de observações: 
Variação total: ( )[ ]∑ ∑− m/yiy=SQT 22i 
Variação devido à análise de regressão linear múltipla: ( )[ ]∑ ∑− /mi*y*y=SQR 22i 
Variação devido aos desvios ou resíduos: SQD = SQT - SQR 
Porcentagem de ajuste da superfície: R2 = ( SQR/SQT ) 100% 
 
 
 
 
 
 36
Fonte de 
variação g.l. 
Soma de 
quadrados 
Média 
quadrática Razão F 
Regressão n SQR MQR MQR/MQD 
Resíduos m-n-1 SQD MQD 
Total m-1 SQT 
 
 H0: α1= α2= α3=... αn=0 
 H1: pelo menos um α é diferente de 0 
 Ao recusar H0 e, portanto, aceitar H1, pode-se afirmar que as variáveis 
independentes “explicam” a variável dependente, mas não se pode afirmar qual 
variável é a mais importante. Ao afirmar, também, que a variância total de Y é em 
parte "explicada" pelas diversas variáveis X's e o restante pela variabilidade devido 
ao erro (ε ), fica implícito que o termo "explicada" tem apenas um significado 
numérico e não necessariamente um conhecimento, do tipo causa-efeito, sobre o 
porquê da relação existente. 
 Os tamanhos relativos dessas duas componentes de variância são 
obviamente de grande interesse quando da aplicação da análise de regressão 
múltipla. A proporção da variância de Y "explicada" por uma equação de regressão 
ajustada é representada pelo coeficiente de determinação R². 
 
SQT
SQR
total) (variância
regressão) de análise pela explicada Y de (variânciaR2 == , 
sendo a porcentagem de ajuste da superfície igual a R2 x 100. 
Valores de R2 estão no intervalo 0-1, fornecendo uma medida dimensional 
de quantidade do ajuste do modelo de regressão múltipla aos dados. Se o valor 
de R² for próximo de 1 isso significa que as diversas variáveis X's medidas são 
responsáveis quase que totalmente pela variabilidade de Y. Caso contrário, R² 
apresentará um valor próximo a zero. 
O R2 pode ser ajustado em função dos graus de liberdade: 
 
MQT
MQR1)R1(
nm
1m1R 22aj −=−−
−−= 
Embora a regressão múltipla seja multivariada no sentido de que mais de 
uma variável é medida simultaneamente em cada observação, trata-se na 
realidade de uma técnica univariada, pois o enfoque é apenas em relação à 
 37
variação da variável dependente Y, sem que o comportamento das variáveis 
independentes X’s seja objeto de análise. 
Uma das mais importantes aplicações da análise de regressão linear 
múltipla é a escolha, entre diversas variáveis independentes, daquelas mais úteis 
na previsão de Y. A questão se torna, então, saber se certas variáveis 
explanatórias podem ser retiradas, ou não, do modelo de regressão. 
O método mais usual para essa seleção é a regressão múltipla “passo-a-
passo” (stepwise multiple regression). O processo de seleção é iniciado com a 
adição da variável com a maior contribuição para o modelo. A partir daí são 
estabelecidas probabilidades limiares tanto para a retirada como para inclusão de 
novas variáveis ao modelo. Se uma segunda variável apresenta uma probabilidade 
menor do que a probabilidade "de entrada", ela é adicionada ao modelo. O 
mesmo para uma terceira variável. Após a terceira variável ser adicionado, o 
impacto da remoção de cada variável presente no modelo, depois de ter sido 
adicionada, é avaliada. Se a probabilidade é maior do que a probabilidade "de 
remoção", a variável é removida. O processo continua até que não haja mais 
variáveis que possam ser acrescentadas ou removidas. 
Outra maneira é calcular os valores de R2 segundo 2n-1 combinações, onde 
n é o número de variáveis independentes. Ao final verifica-se a contribuição de 
cada variável independente por comparações sucessivas entre os diversos 
resultados. 
3.1. Exemplos 
3.1.1. DAWSON & WHITTEN (1962), num estudo petrográfico sobre o complexo 
granítico da região de Lacorne, La Motte e Preissac, no Canadá, obtiveram valores 
para peso específico, quartzo, índice de cor (porcentagem de silicatos escuros ou 
máficos), feldspato, e as coordenadas N-S e E-W para cada ponto de amostragem 
(Matriz de dados 3.1., no Apêndice ao final do texto) . 
Para verificar se o peso específico pode ser previsto em função das outras 5 
variáveis, aplica-se a análise de regressão múltipla para a indicação das variáveis 
por ordem de importância nessa previsão. 
 38
Inicialmente é feita uma análise de regressão levando em consideração 
todas as 5 variáveis, consideradas independentes, e uma análise de variância para 
verificar a validade do modelo (Tabela 3.1.). 
A equação inicial encontrada é: 
Y = 4,0607 -0,0158X1 -0,0106X2 -0,0143X3 + 0,0080X4 -0,0006X5, 
com R2 = 0,9177 
 
Tabela 3.1. ANOVA 
Fonte de 
variação g.l. 
Soma de 
quadrados 
Médias 
quadráticas Razão F 
Teste F(0,05) 
Modelo 5 0,249 0,050 50 2,45 
Residuos 38 0,022 0,001 
Total 43 0,271 
 
Este resultado mostra que as 5 variáveis explicam 92% da variabilidade de 
Y e que o modelo pode ser aceito, pois a razão F encontrada, em confronto com o 
teste F crítico tabelado indica que essas variáveis reduzem significativamente a 
variação da variável dependente. 
O interesse, porém, é verificar a contribuição específica de cada variável, 
tendo em vista que há correlações entre as mesmas (Tabela 3.2.) 
 
Tabela 3.2. Matriz de coeficientes de correlação (Pearson) 
 Peso spc. Quartzo Cor Feldspato NS EW 
Peso spc. 1 -0,853 0,917 -0,369 0,571 0,684 
Quartzo -0,853 1 -0,840 -0,011 -0,389 -0,663 
Cor 0,917 -0,840 1 -0,532 0,403 0,655 
Feldspato -0,369 -0,011 -0,532 1 -0,147 -0,185 
NS 0,571 -0,389 0,403 -0,147 1 0,526 
EW 0,684 -0,663 0,655 -0,185 0,526 1 
 
Estabelecendo probabilidades limiares igual 0,10 tanto para a retirada 
como para a entrada de uma variável no modelo o seguinte resultado foi 
encontrado: 
No. de 
variáveis Variáveis 
Variável 
IN/OUT Status MQE R² 
1 Cor Máficos IN 0.00103 0.840
2 Cor / NS NS IN 0.00074 0.889
3 Cor/NS/Quartzo Quartzo IN 0.00064 0.906
4 Cor/NS/Quartzo/ Feldspato Feldspato IN 0.00058 0.917
 
 39
 
Parâmetros do modelo: 
 
Fonte Valor 
Erro 
padrão t 
Pr > 
|t| 
Intercepto 4.00673 0.59719 6.70934 < 0.0001 
Quartzo -0.01528 0.00599 -2.55232 0.01473 
Cor -0.01014 0.00599 -1.69193 0.09864 
Feldspato -0.01377 0.00601 -2.28959 0.02754 
NS 0.00767 0.00187 4.10426 0.00020 
EW 0.00000 0.00000 
Isto significa que as variáveis, em ordem de importância para a explicação 
do peso específico, são: cor, N-S, quartzo, feldspato, sendo praticamente nula a 
contribuição de E-W. 
Uma outra maneira para verificar essa ordenação, segundo KRUMBEIN & 
GRAYBILL (1965), é calcular os coeficientes R2s referentes às variáveis 
independentes, uma de cada vez e, em seguida, combinadas duas a duas, três a 
três e quatro a quatro. Esse procedimento fornece um número total de 
combinações da ordem de 25 – 1, isto é, 31. A seguir estão os coeficientes que 
apresentaram os maiores resultados(Tabela 3.3.): 
 
Tabela 3.3. Coeficientes de R2 
Variáveis R2s 
Cor 0,8404 
Quartzo 0,7277 
EW 0,4673 
NS 0,3258 
Feldspato 0,1364 
Cor+NS 0,8887 
Cor+Quartzo 0,8640 
Cor+Feldspato 0.8600 
Cor+EW 0,8526 
Cor+NS+Quartzo 0,9061 
Cor+NS+Feldspato 0,9034 
Cor+NS+EW 0,8896 
Quarzto+EW+Felspato 0,8750 
Cor+NS+Quartzo+Feldspato 0,9172 
Cor+NS+Quartzo+EW 0,9061 
Cor+NS+Quartzo+Feldspato+EW 0,9177 
 
A contribuição específica de cada variável independente, com vistas ao seu 
ordenamento por importância, é encontrada da seguinte maneira: a variável cor é 
a primeira a ser selecionada com 84,04% do total da soma de quadrados de Y a 
 40
ela atribuída; em seguida apresentam-se cor+NS com 88,87% e desse modo a 
variável NS é escolhida com a contribuição de 88,87 – 84,04 = 4,83% para a 
explicação de Y; de modo idêntico quartzo é escolhida como a terceira variável 
com 1,74%, resultado de 90,61 – 88,87; feldspato, como a quarta variável, com 
1,11%, resultado de 91,72 – 90,61 e, finalmente, EW com 0,05%. Desse modo, a 
explicação para o comportamento da variável peso específico é mostrada na 
Tabela 3.4.: 
 
Tabela 3.4. Contribuição específica de cada variável independente 
Máficos 84,04% 
N-S 4,83% 
Quartzo 2,24% 
Feldspato 0,61% 
E-W 0,05% 
 
 Esses resultados indicam novamente que, para a explicação do 
comportamento do peso específico, a variável mais importante é a cor, o que é 
coerente pois esta variável nada mais é que o resultado da presença de minerais 
máficos. Além disso, como a segunda variável em importância é a coordenada NS 
isso também esta a indicar que a variabilidade do peso específico ocorre mais ao 
longo dessa direção do que no sentido EW. 
 Como se tem à disposição a coordenada geográfica, o que não é muito 
comum nesse tipo de análise, pode-se examinar o comportamento espacial das 
três variáveis, quartzo, feldspato e cor, em confronto com a distribuição do peso 
específico (Figura 3.1). 
 Novamente é constatada, por simples comparação visual entre os mapas, a 
semelhança entre os mapas para peso específico e para cor. Também pode ser 
observada a maior variabilidade no sentido norte-sul para o peso específico e a 
relação inversa entre esta variável e quartzo, como já indicada pelo coeficiente de 
correlação. 
 
 
 
 
 41
 
Figura 3.1. Mapa com valores interpolados para as varáveis estudadas 
 
 42
3.1.2. Comparação entre mapas têm sido preocupação dos geólogos, pela sua 
utilidade na localização espacial e mesmo interpretação de qualquer banco de 
dados temático. Se existem, porém, diversos algoritmos à disposição para a 
confecção de mapas o mesmo não pode ser afirmado em relação à comparação 
entre mapas. Alguns trabalhos que tratam do assunto podem ser encontrados em 
BROWER & MERRIAM (1990, 1992) usando técnicas estatísticas; e HERZFELD & 
SONDERGARD (1988); HERZFELD & MERRIAM (1991) usando técnicas algébricas 
orientadas para uso em computador. Um interessante enfoque é apresentado por 
BROWER & MERRIAM (2001) que utilizam a análise de regressão múltipla para 
comparar mapas de contorno estrutural com finalidade de entender a história 
geológica de uma certa região. Se a variável considerada dependente for a 
camada mais jovem e as demais camadas as variáveis independentes, pode-se 
verificar qual delas teve maior influência na configuração dessa camada mais 
jovem. 
Utilizando essa idéia LEITE & LANDIM (2003) aplicaram a análise de regressão 
múltipla para quantificar a influência de diversas variáveis no comportamento da 
superfície potenciométrica de um aqüífero livre (superfície), considerada como 
variável dependente. As variáveis consideradas independentes foram cota do 
terreno (topografia), base da formação aqüífera ou cota do topo do basalto 
(basalto), espessura da formação aqüífera (espessura), e coordenadas UTM (X e 
Y). Esses valores foram obtidos a partir de 188 poços (Matriz de dados 3.2.). 
O local objeto do estudo compreendeu a área urbana do município de 
Pereira Barreto/SP, situada junto ao Reservatório de Três Irmãos, formado no rio 
Tietê, pela construção da barragem de mesmo nome, com extensão de 
aproximadamente 150 km. A cidade de Pereira Barreto situa-se na vertente sul de 
uma colina ampla, de topo aplainado, com altitude máxima de aproximadamente 
450 m, limitada ao sul pelo remanso do reservatório da barragem Três Irmãos no 
rio Tietê e a norte pelo remanso do reservatório de Ilha Solteira (rio Paraná) no 
tributário São José dos Dourados, em zona de transição dos grupos Caiuá e Bauru, 
com afloramentos de basaltos do grupo São Bento restritos às proximidades das 
margens do rio Tietê. A superfície potenciométrica do aqüífero livre na área 
ocupada pela cidade, anteriormente à formação do reservatório encontrava-se 
 43
entre os níveis 310-350 m, com profundidades máximas do nível d’água (N.A.) 
pouco superiores a 10 metros. 
 
 
 
Figura 3.2. Mapa da superfície potenciométrica 
Os maiores coeficientes de determinação obtidos foram : 
Variável Coeficientes R2 
Topografia 0,814 
Topografia + Coord X 0,830 
Topografia + Coord X + Espessura do aquífero 0,833 
Topografia + Coord X + Espessura do aquífero + Coord Y 0,836 
Topografia + Coord X + Espessura do aquífero + Coord Y + 
Topo Basalto 
0,836 
 44
Com estes resultados, estabelece-se a contribuição específica de cada 
variável independente para a variabilidade da variável dependente H, isto é, 
superfície potenciométrica do aqüífero livre: 
 
Variável Contribuição 
Topografia 81,4% (0,814) 
Coordenada X 1,6% (0,830 - 0,814) 
Espessura do aquífero 0,3% (0,833 – 0,830) 
Coordenada Y 0,3% (0,836 – 0,833) 
Topo do basalto 0,0% (0,836 – 0,836) 
 
Analisando-se o peso de cada variável dependente observa-se que a 
variável Topografia do Terreno é a que melhor explica a variação da Superfície 
Potenciométrica, da ordem de 81,4%, fato esse já bem conhecido em 
Hidrogeologia. As demais variáveis apresentam pequenas interferências na 
variabilidade da potenciometria. 
Os resultados encontrados confirmam quantitativamente que a superfície 
potenciométrica do aqüífero livre se comporta, em linhas gerais, como a superfície 
topográfica do terreno. Observa-se, no entanto, que apesar da excelente 
correlação obtida no processo de comparação entre o mapa potenciométrico e o 
mapa topográfico, a variável Superfície Potenciométrica não é totalmente 
explicada pela variável Topografia do Terreno, ou seja, devem existir outros 
fatores que auxiliam no condicionamento desse comportamento. 
 45
 
Figura 3.3. Mapa da topografia local com pontos de amostragem. 
 Neste caso a análise de regressão múltipla foi efetuada a partir de 188 
pontos, com coordenadas X-Y. Pode-se, porém, efetuar este mesmo tipo de 
análise, comparando superfícies segundo metodologia encontrada no software 
IDRISI 3.2 (2001). Um exemplo pode ser encontrado em LOURENÇO & LANDIM 
(2004) 
 
3.3. Aplicação do modelo linear múltiplo à confecção de mapas: análise 
de superfícies de tendência. 
 A análise de superfícies de tendência é simplesmente um tipo de análise de 
regressão múltipla em que as variáveis independentes são as coordenadas 
geográficas E-W e N-S. 
 46
O comportamento espacial de variáveis mapeáveis pode ser mostrado com 
os valores distribuindo-se segundo curvas de mesmo valor, também conhecidas 
como isopletas. Tais mapas, como os topográficos ou os de isópacas, com linhas 
de mesma espessura de camadas, fornecem importantes informações, porém, em 
algumas situações os padrões de variação não se mostram muito claros devido a 
flutuações locais ou a valores anômalos. É comum nessascircunstâncias falar-se 
em tendências regionais que são mascaradas por anomalias locais. O método da 
análise de superfícies de tendência pode, então, ser utilizado para evidenciar tal 
situação, pois, segundo esse procedimento define-se, além das grandes e 
sistemáticas mudanças existentes na área, aquelas pequenas, aparentemente não 
ordenadas flutuações, que se impõem aos padrões mais gerais. Esta metodologia 
foi originalmente introduzida nas Ciências da Terra por OLDHAM & SUTHERLAND 
(1955), KRUMBEIN (1956,1959), GRANT (1957) e WHITTEN (1959). Esses Autores 
usaram o método para obter mapas gravitacionais, mapas estratigráficos, mapas 
de isópacas e mapas com atributos específicos em rochas sedimentares e ígneas. 
Desde então, o número de aplicações tem crescido significantemente e o método 
em si sido generalizado e refinado. 
 A análise de superfícies de tendência é uma técnica relativamente simples e 
muito útil quando os mapas de tendência e os respectivos resíduos podem ser 
interpretados a partir de um ponto de vista espacial ou então quando o número de 
observações é limitado de modo que a interpolação possa ser baseada nesses 
poucos dados. 
 Com a aplicação dessa análise consegue-se separar dados mapeáveis 
em duas componentes: uma de natureza regional, representada pela própria 
superfície, e outra que revela as flutuações locais, representadas pelos valores 
residuais. 
Se as coordenadas forem determinadas a partir de uma grade regular em 
que os intervalos são iguais segundo cada uma das duas direções e se existe a 
possibilidade da variação de zi ocorrer segundo um padrão cíclico, o modelo da 
análise das séries de Fourier pode ser aplicado. Se as observações, porém, não 
obedecem a uma periodicidade e são coletadas segundo uma grade regular é 
possível efetuar uma análise de tendência a partir de polinômios ortogonais. 
 47
 A coleta tendo sido feita, porém, de modo irregular, o que normalmente 
acontece em Geologia, o recurso a ser usado é o do método dos polinômios não 
ortogonais, tentando encaixar a preliminarmente uma superfície linear aos dados, 
em seguida uma quadrática, uma cúbica e assim por diante. O método usual para 
o ajustamento aos dados é o da regressão pelos mínimos quadrados. Em alguns 
casos, como em problemas de suavização, o interesse é pelo melhor ajuste aos 
dados e assim procura-se pela superfície de mais alto grau possível. Em outros, 
como na detecção de anomalias, o que interessa são os resíduos e calculam-se, 
então, superfícies de baixo grau com os respectivos mapas de resíduos positivos e 
negativos. 
 
3.3.1. Cálculo das superfícies 
 O modelo para a representação da superfície pelo método dos polinômios 
não ortogonais é: 
)y,x(e]...yayxaxayaxaa[)Y,X(z iii
2
i5ii4
2
i3i2i10i +++++++= , 
 onde )Y,X(zi é a variável mapeada em função das coordenadas xi e yi e 
)y,x(e iii representa os resíduos, ou seja, a fonte não-sistemática de variação. 
 A representação de uma superfície linear é dada por: 
ii2i10 eyaxaa)Y,X(z +++= 
 Para o cálculo dos coeficientes ai, dispõe-se os dados num sistema de 
equações normais, sendo resolvido por cálculo matricial: 
 
]Z[]A[]XY[
yz
xz
z
2a
1a
0a
yyxy
yxxix
yxn
ii
ii
i
2
iiii
ii
2
i
ii








∑
∑
∑
=
















∑∑∑
∑∑∑
∑∑
 
[XY] [A] = [Z] 
]Z[]XY[]A[ 1−= 
Para o cálculo do vetor de coeficientes [A] basta inverter a matriz [XY] e 
multiplicar esse resultado pelo vetor [Z]. 
 A superfície quadrática é representada por: 
 48
ieybiyixbxbybxbb)Y,X(iz
2
i54
2
i3i2i10 ++++++= , 
 e a determinação dos coeficientes b0, b1, b2, b3 ,b4 e b5 para a superfície 
de grau 2 torna-se: 
 












∑
∑
∑
∑
∑
∑












∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
=











 −
i
2
i
iii
i
2
i
ii
ii
i
1
4
i
3
ii
2
i
2
i
3
i
2
ii
2
i
3
ii
2
i
2
ii
3
i
2
ii
2
iii
2
i
2
ii
3
i
4
i
2
i
3
i
2
i
3
i
2
iii
2
i
2
iiii
2
iii
2
i
3
ii
2
ii
2
iii
2
iii
5
4
3
2
1
0
zy
zyx
zx
zy
zx
z
yyxyxyyxy
yxyxyxyxiyxyx
yxyxxiyxxx
yyxyxyyxy
yxyxxiyxxx
yyxxyxn
b
b
b
b
b
b
 
 As superfícies de grau superior a dois seguem o mesmo processo de 
desenvolvimento polinomial. 
 Alguns cuidados devem ser tomados quando da aplicação da análise de 
tendência: 
a) procurar tecer considerações apenas em relação à área coberta pelos pontos 
evitando as extremidades dos mapas, pois a extrapolação pode apresentar 
distorções; 
b) o número de pontos deve ser maior que o número de coeficientes do polinômio 
a ser calculado; 
c) o arranjo dos pontos, ainda que irregular, deve ser casual e razoavelmente bem 
distribuído, evitando agrupamentos; 
d) quando da inversão da matriz, por programas em microcomputador, podem 
ocorrer problemas com os resultados obtidos para superfícies de mais alto grau, 
isso porque em sistemas com valores de diversos dígitos, tipo UTM, a precisão 
computacional se deteriora exigindo formato de dupla precisão. Mesmo assim 
podem ocorrer limitações e, então, a solução é a transformação das 
coordenadas xi e yi, conforme as equações, que fornecem valores para as 
coordenadas entre 0 e 1 e não modifica a forma das superfícies: 
minmax
mini
xx
xx*x −
−= 
minmax
mini
yy
yy*y −
−= 
 
 
3.3.2. Verificação do ajuste das superfícies de tendência aos dados 
observados e intervalos de confiança 
 49
 Sendo computadas a soma de quadrados da variável dependente, a soma 
de quadrados devido à superfície polinomial e a soma de quadrados dos resíduos, 
pode-se obter uma indicação da validade da superfície de tendência calculada por 
uma análise de variância: 
variação total: ( )[ ]∑ ∑− n/yiy=SQT 22i 
variação devido à superfície calculada: ( )[ ]∑ ∑− n/i*y*y=SQP 22i 
variação devido aos resíduos ou desvios: SQR = SQT - SQP 
porcentagem de ajuste da superfície: R2 = ( SQP / SQT ) 100% 
 
Tabela 3.5. Análise de variância para verificação do ajuste de superfície 
Fontes de variação SQ g.l. MQ F 
Regressão polinomial SQP m MSP 
MSR
MSP 
Resíduos SQR n - m - 1 MSR 
T o t a l SQT n - 1 
 
 
m: número de coeficientes da equação polinomial, não contando o termo a0 
n: número de observações 
H0: variância dos dados estimados pela superfície encontrada é igual à variância 
dos dados originais, ou seja, não ocorre ajuste significativo da superfície aos 
dados. 
H1: variância dos dados estimados pela superfície encontrada é menor que a 
variância dos dados originais, ou seja, ocorre ajuste significativo da superfície aos 
dados. 
 
 Na análise de tendência é usual calcular uma série de equações polinomiais 
de graus sucessivamente superiores e tentar adaptá-las aos dados. Nesse tipo de 
análise a soma de quadrados devido a regressão polinomial aumentará conforme 
aumentar o grau de superfície. Para verificar qual a contribuição dos sucessivos 
coeficientes parciais de regressão e fornecer uma medida do ajustamento aos 
dados devido a cada um dos incrementos da equação polinomial, é utilizada 
também a análise de variância. 
 Desse modo para a verificação de qual, entre duas superfícies, que melhor 
ajustou-se aos dados o seguinte teste é efetuado (DAVIS, 1986): 
 50
 
Tabela 3.6. Análise de variância para verificação da contribuição do incremento 
polinomialFontes de Variação SQ g.l. MQ F 
Regressão de grau “p” SQP k MSP 
Resíduos referentes à “p” SQR n - k - 1 MSR (1)MSP/MSR 
Regressão de grau “p+1” SQP1 m MSP1 
Resíduos referentes à 
“p+1” SQR1 n - m - 1 MSR1 (2) MSP1/MSR1 
Regressão devido ao 
incremento de “p” para 
“p+1” grau 
 
SQI=SQP1 - SQP 
 
m - k MSI (3) MSI/MSR1 
T o t a l SQT n - 1 
 
n: número de observações 
grau p: k coeficientes, não contando o termo a0 
grau p+1: m coeficientes, não contando o termo b0 
(1) teste de significância relativo à superfície de tendência de grau p 
(2) teste de significância relativo à superfície de tendência de grau p+1 
(3) teste de significância relativo à melhoria de ajuste da superfície p+1 em 
comparação com a superfície p 
H0: a contribuição do incremento polinomial para o ajuste aos dados é nula. 
H1: a contribuição do incremento polinomial para o ajuste aos dados é 
significativa. 
Na prática cuidados devem ser tomados em relação à aplicação destes 
testes estatísticos porque os mesmos somente fornecem resultados confiáveis 
quando os resíduos são estocasticamente independentes, o que nem sempre 
ocorre, pois freqüentemente os resíduos apresentam uma significante 
autocorrelação espacial. Ver uma discussão a respeito desse tema em AGTERBERG 
(1964, 1984a) e WATSON (1971). 
 Se considerado o modelo linear 
z(X,Y) = a00 + a10Xi + a01Yj+ eij , 
e assumindo que os eij tenham média zero, sejam não correlacionados e 
normalmente distribuídos com variância σ2, superfícies representando intervalos 
de confiança podem ser determinadas segundo: 
]s)y,x(QkF[)y,x(*z 2ji
2
ji α± 
 51
z*(xi,yj): valores estimados pela superfície de tendência; 
k: número de coeficientes da superfície, igual a 3 para o caso da linear; 
Fα: valor a ser comparado, com k e n-k graus de liberdade e nível de significância 
α 
n: número total de pontos utilizados para a obtenção da superfície. 
s2: estimativa da variância da população, estimada pela média quadrática; 
)y,x(Q ji
2 : valor a ser computado para pontos com coordenadas xi e yi 








= −
1
y
x]S][yx1[)y,x(Q
j
i
1
jiji
2 
[S]: matriz de somas não corrigidas de quadrados e produtos de zi 
 Geralmente a aplicação desta metodologia ocorre em situações em que se 
procura estudar o comportamento de uma única variável espacial, ou um único 
fenômeno, sobre uma determinada área. Existem, porém, situações mais 
complexas, tais como: 
a) distribuição de uma variável por diversas áreas diferentes como, por exemplo 
porcentagem de feldspatos em diversos corpos graníticos; 
b) distribuição de uma variável numa mesma área, porém a intervalos de tempo 
diferentes, por exemplo variação do diâmetro médio dos sedimentos em uma 
praia no transcorrer de um ano; 
c) distribuição de diversas variáveis, correlacionadas entre si, sobre uma mesma 
área com valores obtidos não necessariamente nos mesmos locais de 
amostragem, por exemplo, distribuição geoquímica de elementos-traço. 
 
 Nessas situações surge sempre a questão de como comparar as superfícies 
de tendência obtidas e para tanto existem alguns procedimentos para medir o 
grau de semelhança entre elas, os quais podem ser baseados em diferentes 
critérios. Ver a propósito LANDIM (2003). 
 Para o cálculo de superfícies de tendência existem na literatura diversos 
programas. O primeiro foi publicado por KRUMBEIN (1959) e entre os que se 
seguiram podem ser citados, entre outros, aqueles desenvolvidos por PEIKERT 
(1963); HARBAUGH (1964); FOX (1967), que trata da análise de dados vetoriais; 
 52
SAMPSON & DAVIS (1967); HARBAUGH & MERRIAM (1968); PFLUG (1976); CLARK (1977) e 
HAINING (1987). 
 
3.3.3. Exemplos 
São aqui apresentadas duas aplicações desta metodologia, a primeira 
quando se elaborou um mapa topográfico suavizado da região centro-sul do Brasil 
com vistas ao estudo da superfície Sul Americana (SOARES & LANDIM, 1976), e a 
segunda sobre a avaliação do impacto ambiental causado por uma pluma de 
contaminação em um corpo de água receptor (BERNARDI ET AL., 2001). 
No estudo sobre os depósitos cenozóicos na região centro-sul do Brasil, foi 
investigada a posição da superfície de cimeira denominada "Sul Americana" por 
KING (1956), onde os testemunhos mais elevados de sedimentação cenozóica 
ocorrem. Para tanto, foram escolhidos os pontos de maior altitude, na carta ao 
milionésimo dessa região do Brasil por cela de 1º x 1º, e a partir dessas cotas 
topográficas calculou-se superfícies de tendência desde grau 1 até grau 6 (Figura 
3.4. e Matriz de dados 3.3.). Nesse trabalho o interesse dos Autores era verificar, 
em escala regional, a configuração suavizada da Superfície Sul Americana. Os 
resultados para as superfícies de grau 1 até grau 5 estão na Figura 3.5. Os 
coeficientes de ajuste, R2, para cada uma das superfícies foram: 0,638 para grau 
1; 0,678 para grau 2; 0,750para grau 3; 0,816 para grau 4; 0,855 para grau 5. 
Na Figura 3.6. esta a superfície de grau 6, com R2 igual a 0,881, com a 
localização dos pontos, drenagem e algumas localidades associadas para facilitar 
a visualização geográfica da área estudada. 
 53
 
Figura 3.4. Mapa topográfico da Superfície Sul Americana e pontos com altitudes 
coletadas. 
 
 
 
 
 54
 
 
FIGURA 3.5. Mapas de tendência de graus 1 à 5 referentes às cotas topográficas da 
“Superfície Sul Americana”. 
 
Bolivia
Paraguai
Ponta Porã
Paranavaí
Londrina
Pres. Prudente
Araçatuba
Marília
S. J. Do R. Preto
Barretos
R. Preto
Campinas
Sorocaba São Paulo
Guaratinguetá
300 700
700
1100
400 600 800 1000 1200 1400 1600
7400
7600
7800
 
Figura 3.6. Configuração da “Superfície Sul Americana” suavizada pela análise de 
tendência de grau 6. 
 
 O outro exemplo de aplicação da análise de superfície de tendência foi 
verificar o impacto da emissão de um efluente no Rio Paraíba do Sul, nas 
 55
cercanias de Pindamonhangaba (SP), utilizando como variável a distribuição 
espacial de gêneros do plâncton (Matriz de dados 3.4.). A área estudada, com 
2.900 m de comprimento por 100 m de largura, corresponde à fase meandrante 
do rio, porem retificado no trecho estudado. Foram coletados 90 pontos 
distribuídos, em malha regular, com intervalos ao longo da coordenada “X”, 
paralela ao leito do rio, de 100 m e ao longo da coordenada “Y”, perpendicular ao 
canal, com intervalos de 50 m a partir da margem direita (0 m), localizando-se o 
ponto 50 na região central e o ponto 100 na margem esquerda. O efluente entra 
no receptor a 1.100 m a jusante do ponto zero. 
A superfície de tendência de primeiro grau mostrou uma tendência de 
aumento do número de gêneros da margem direita para a esquerda. Esta 
configuração está ligada à entrada do efluente, que fica na margem direita, como 
mostrado na Figura 3.7. O mapa de resíduos correspondente a essa superfície 
indica com clareza a distribuição espacial do número de gêneros antes da entrada 
do efluente e, principalmente, depois delimitando a pluma resultante dentro da 
malha de estudo e caracterizada por valores negativos (Figura 3.8.). 
 
 
FIGURA 3.7. Superfície de tendência de grau 1 mostrando a distribuição do numero de 
gêneros do plâncton diminuindo para a margem direita. Estão assinalados também os 
locais de coleta (•). 
 
 
FIGURA 3.8. Mapa de resíduos da superfície de 1o. grau. A região com valores positivos 
indica valores para o numero de gêneros do plâncton acima da media regional, 
representada pela curva 0, e valores negativos valores abaixo dessa média. 
 56
 
 O controle de agentes poluidores, pelos órgãos competentes,