Probabilidade e Eventos Aleatórios

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1- PROBABILIDADE
DEFINIÇÃO 1.1: Chamaremos de Experimento Aleatório (E) a algo que acontece sem que possamos prever com exatidão o resultado. 
EXEMPLOS: 
 E : escolha de um dos alunos de Bioestatística desta turma.
 E : lançamento de duas moedas
 E : lançamento de um dado
DEFINIÇÃO 1.2: Chamaremos de Espaço Amostral (S) associado ao experimento E o conjunto de todos os possíveis resultas
EXEMPLOS: Para os experimentos do exemplo acima temos
 S : Conjunto de todos os alunos da turma.
 S : {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K), onde K representa cara e C representa coroa}
 S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observação: Consideramos sempre E de tal forma que S seja finito
DEFINIÇÃO 1.3: Chamaremos de Evento de E qualquer subconjunto A de S 
DEFINIÇÃO 1.4: Dado um experimento E considerando o espaço amostral S, podemos definir uma função P com domínio em P(S) contradomínio no intervalo [0,1] satisfazendo: P(S)={conjunto dos subconjuntos de S}
 
P(ϕ)=0
P(S)=1
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Esta função é chamada Função Probabilidade
Estudaremos espaços amostrais cujos elementos individuais tem a mesma imagem (ou a mesma probabilidade) neste caso dizemos que todos os elementos têm a mesma probabilidade de ocorrer.
 Na prática para calcular P(A) usamos a formula P(A)= 
 onde N(A) representa o número de elementos de A e N(S) representa o número de elementos de S.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
DEFINIÇÃO 1.5: Dois eventos A e B de E são ditos mutuamente exclusivos se A∩B= ϕ
EXEMPLO: Para E : lançamento de um dado, temos S : { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sendo A : resultado ser um número par e B : resultado ser um número impar temos que A e B são mutuamente exclusivos. 
Escolha ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas sendo 13 cartas de cada naipe ( a saber Copas, Espadas, Ouro e Paus). Cada naipe contem três figuras (Dama, Rei e Valete).
Considere A : as cartas de copas e B : as cartas que não são figuras.
Neste caso temos P(A) = 
, P(B) = 
, P(A∩B) = 
 e P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)= 
Admitamos que em nossa turma de Bioestatística temos um total de 15 alunos dos quais 4 são mulheres. Desejamos formar uma equipe de três alunos. Vamos calcular a probabilidade de:
A : a equipe ser formada apenas por mulheres.
 Neste caso temos que :
 N(S) é a quantidade de grupos de 3 alunos que podemos formar com 15 alunos, que é dada por 
=
N(A) é a quantidade de grupos de 3 alunos que podemos formar com as 4 mulheres, que é dada por 
=
 Conclusão P(A)= 
=
B : a equipe não ter mulher
Neste caso temos que :
N(B) é a quantidade de grupos de 3 alunos que podemos formar com os 11 homens, que é dada por 
=
 Conclusão P(B)= 
=
C : a equipe ter pelo menos uma mulher
Neste caso temos que : S = BUC e B∩C = ϕ Portanto 1 = P(S) = P(B) + P(C) Daí P(C) = 1 - 
.
EVENTOS INDEPENDENTES
Motivação:
 Considere o experimento E: Lançamento de um dado, e os eventos:
A: O resultado obtido ser 6 B: O resultado obtido ser par C: O resultado obtido ser 6 sabendo-se que a face obtida tem valor par.
P(A)= 
 P(B)= 
 P(C)= 
 . Observe que C pode ser visto como A dado que B ocorreu, ou seja a probabilidade de C ocorrer corresponde a probabilidade de A ocorrer sabendo-se que (ou dado que) B ocorreu. Neste caso escrevemos C=A|B e lê-se o evento C é o Evento A dado que B ocorreu ou ainda P(C)=P(A|B)
DEFINIÇÃO 1.6: Dois eventos A e B de E são ditos Independentes se P(B|A)=P(B)
Formula para cálculo
 P(B|A) = 
 ou P(B|A) =
 
TEOREMA 1.1: (TEOREMA DO PRODUTO) Para dois eventos A e B de um experimento E, valem:
 
COROLÁRIO 1.1: Para dois eventos A e B de um experimento E, vale: A e B são independentes se, somente se 
 
EXEMPLO: Para E : lançamento de um dado e de uma moeda. Sejam A: o resultado obtido no dado ser 6 B: o resultado obtido na moeda ser cara. 
 Para este experimento temos S={ (1,C); (1,K); (2,C); (2,K); (3,C); (3,K); (4,C); (4,K); (5,C); (5,K); (6,C); (6,K) }
Observe que P(A)= 
 P(B)= 
 
 e que 
 
TEOREMA 1.2: (TEOREMA DA SOMA) Para dois eventos A e B de um experimento E, vale:
 
COROLÁRIO 2.2: Para dois eventos A e B de um experimento E, vale: A e B são mutuamente exclusivos se, somente se 
 
Podemos usar o corolário 0.1 para definir três eventos independentes.
DEFINIÇÃO 1.7: Três eventos A , B e C de E são ditos Independentes se 
, 
, 
 e 
TEOREMA 1.3: (TEOREMA DE BAYES) Sejam A1, A2, A3, ... An, n eventos mutuamente exclusivos tais que 
. Se conhecemos P(Ai) e P(B|Ai) onde B é um evento qualquer de S, então vale
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