2Variaveis Aleatorias

Prévia do material em texto

2- VARIÁVEIS ALETÓRIAS
DEFINIÇÃO 2.1: Sejam E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, com domínio S e contradomínio  é denominada Variável Aleatória. (V.A.)
EXEMPLO: 
 E : lançamento de duas moedas;
 S={(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)}
 X: número de caras (k) obtidas nas duas moedas.
Neste caso X assume valores 
 X=0 corresponde ao evento {(c,c)} cuja probabilidade é 1/4.
 X=1 corresponde ao evento {(c,k), (k,c)} cuja probabilidade é 2/4.
 X=2 corresponde ao evento {(k,k)} cuja probabilidade é 1/4.
DEFINIÇÃO 2.2: Quando os valores assumidos por X são isolados (por exemplo inteiros) a V.A. é dita discreta.
DEFINIÇÃO 2.3: A probabilidade de que a V.A. assuma um valor particular x (escolhido) na imagem de X, define uma função a qual chamaremos de função distribuição de probabilidade, e representamos por P(X=x) ou P(x).
Obs 1: Observe que P(x) está sempre entre 0 e 1.
Obs 2: Quando somamos P(x) para todos os possíveis valores de x na imagem de X o resultado é igual a 1. No exemplo anterior temos P(0)+P(1)+P(2)= 1/4 + 2/4 + 1/4 =1
 Quando usamos uma ou mais V.A. como parâmetro(s) para definir uma outra função esta será também uma V.A.
EXEMPLO: X1 e X2 representam cada uma (isoladamente) os resultados obtidos no lançamento de um dado:
 X=(X1, X2) representa o resultado obtido no lançamento de dois dados
 Y= X1 + X2 representa a soma dos resultados
 Z= O resto da divisão inteira do primeiro (X1) pelo segundo (X2)
 W=Min{(X1, X2)}
DEFINIÇÃO 2.4: A probabilidade de que a V.A. assuma valores menores ou iguais a um valor particular x (escolhido) na imagem de X, define uma função a qual chamaremos de função densidade acumumulada de probabilidade, e representamos por F(x)=P(X≤x) 
Obs 3: Observe que quando x é o maior valor de imagem de X então F(x)=1, pois F(x)=P(x1)+P(x2)+ ... +P(x) onde xi<x.
DEFINIÇÃO 2.5: Quando os valores assumidos por X não são isolados, isto é, os valores assumidos por X estão muito próximos a V.A. é dita contínua.
Obs 4: Para uma V.A. continua X vamos denotar por IX a imagem de X. (que é, na maioria das aplicações, um intervalo fechado)
 
DEFINIÇÃO 2.6: Seja X uma V.A. contínua. Uma função f definida em IX é dita uma função densidade de probabilidade se ela satisfaz:
f(x)≥0 para todo x em IX.
DEFINIÇÃO 2.7: Seja f uma função densidade de probabilidade definida em IX. Para quaisquer a<b com a e b em IX definimos
 P(a<X<b)= 
Obs 5: Das propriedades de integral segue-se que:
 
P(X=x0)=0
P(a≤X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X≤b)= P(a<X<b)
2.8 EXERCÍCIOS
 1-) No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias:
 X : Número de pontos conseguidos no primeiro dado
 Y : Número de pontos conseguidos no segundo dado
 
Construir a distribuição de Probabilidade através de uma tabela e de gráfico das seguintes variáveis aleatórias
A = X-Y
B = 2.Y
C = X.Y
D = Max{X,Y}
 
 Construir o gráfico da função distribuição de probabilidade acumulada das variáveis do item a)
Calcule as seguintes probabilidades:
	i) P(-3<A≤3)
	
	ii) P(0≤A≤4,5)
	
	iii) P(A>6)
	iv) P(C≤5,5)
	
	v) P(C=3)
	
	vi) P(1≤D≤4)
	vii) P(A≤8)
	
	viii) P(B≥11)
	
	ix) P(20≤C≤35)
	x) P(D=8)
	
	xi) P(-1<B<8)
	
	xii) P(3,5<C<34)
 2-) Uma variável aleatória discreta tem a distribuição de probabilidade dada por P(X)= 
 para x= 1, 3, 5, 7
Calcular o valor de K b) Calcular P(x=5)
 3-) Seja X a variável aleatória correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó
 Construir a tabela e traçar o gráfico de P(X)
 Construir a tabela e esboçar o gráfico de F(X)
 Calcular P(2≤X<6)
 Calcular F(8)
4-) Numa urna temos cinco bolas pretas e quatro bolas vermelhas. São retiradas aleatoriamente três bolas. Faça X a variável aleatória número de bolas pretas. Determine:
Encontre a tabela e trace o gráfico da distribuição de probabilidade de X
Encontre a tabela e trace o gráfico da distribuição de probabilidade acumulada de X
Calcule
 
	i) P(X ≤2)
	
	ii) P(X≤0)
	
	iii) P(1<X≤3)
	iv) P(2<X<3)
	
	v) P(X>-1)
	
	vi) P(X<5)
Determine: F(2,5) ; F(3) ; F(0,53) ; F(3,5) ; F(2) ; F(1) ; F(6) ; F(-0,5) 
 
3- DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
3.1 DISTRIBUIÇÃO DE “ BERNOULLI ”
 Seja E um determinado experimento e vamos chamar (x1=sucesso) um determinado resultado (que possivelmente nos interessa). Qualquer outro resultado que apareça vamos chamar de (x2= fracasso). Se admitirmos que P( X=x1) = p, temos então que P( X=x2) = q onde p+q=1
DEFINIÇÃO 3.1: Uma V.A. que satisfaz as condições acima é dita ter a distribuição de “ Bernoulli ”
Propriedades: Uma V.A. de Bernoulli satisfaz
 A média é µ=p
A variância é σ2=p.q
3.2 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
 Este modelo fundamenta-se em: n provas independentes com V.A de Bernoulli são realizadas. Y representa o número de sucessos das n provas. Nesse caso Y ter distribuição binomial e pode ser 0, 1, 2, 3, ... , n. Para esse modelo temos:
 P( Y=r ) = 
 onde p representa o número de sucessos.
OBS : 
Propriedades: Uma V.A. que tem distribuição binomial satisfaz
 A média é µ=n.p
A variância é σ2=n.p.q
3.3 EXERCÍCIOS
 1-) Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades
De Ocorrer 6 caras (105/512) 
De dar pelo menos duas caras (1.013/1.024)
De não dar nenhuma coroa (1/1.024)
De dar pelo menos uma coroa (1.023/1.024)
De não dar 5 caras e 5 coroas (193/256)
 2-) Admitindo-se que o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcular a probabilidade de um casal com 6 filhos ter quatro filhos homens e 2 mulheres. (15/64)
 3-) Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:
 Nenhuma menina (20)
 3 meninos (80)
 4 meninos (20)
 
 4-) Qual a probabilidade de se obter ao menos uma vez o valor 3 em n jogadas de um dado 
 5-) Estima-se que o time do São Paulo tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se o São Paulo jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de:
 O São Paulo vencer exatamente 3 partidas (80/243)
 O São Paulo vencer ao menos uma partida (242/243)
 O São Paulo vencer mais da metade das partidas (64/81)
 6-) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de:
 Acertar exatamente 2 tiros ? (80/243)
 Não acerta nenhum tiro ? (64/729)
 7-) Num teste do tipo certo-errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das questões ? 
 lembre-se 
 8-) Uma variável aleatória Y com distribuição normal tem função de distribuição acumulada dada por:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 Determine:
n (5)
p e q ( 2/3 1/3) 
a média de Y ( 10/3) 
a variância de Y ( 10/9) 
P(Y≥1) ( 242/243) 
P(2≤Y≤4) ( 200/243) 
 9-) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa compra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos:
 a) Nenhuma defeituosa 
 b) 3 defeituosas 
 lembre-se 
Mais do que uma boa. 
 3.4 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 Em algumas vezes conhece-se a quantidade de sucessos, mas se torna difícil e as vezes sem sentido determinar o número de fracassos ou o número total de provas.Exemplo 1 Durante um determinado tempo você conta os carros que por ali passam, porém o numero de carros que por ali não passam não pode ser contado.
Exemplo 2 Tome um rolo de Papel Higiênico, solte a ponta e durante um determinado tempo peça que alguém puxe a ponta você permitindo que o rolo desenrole. É possível contar quantos sinais de picotado passam, porém não tem como contar quantas vezes deixam de passar o sinal de picotado.
 Observe que em ambos os casos a medida que o tempo passa a probabilidade de x sucessos tende a aumentar.
Para encontrar a expressão que nos dá a probabilidade de x sucessos em um intervalo de tempo t, algumas hipóteses devem ser admitidas.
 H1: A probabilidade de X ser igual a x1 (sucesso) em um intervalo de tempo 
 é proporcional a 
 P( X=1 em um intervalo de tempo t= 
=p
 H2: A probabilidade de X ser maior que um em um intervalo de tempo t é igual a zero
 H3: A Probabilidade de X ser zero em um intervalo de tempo t é q = 1-p = 1-
 H4: As ocorrências de sucessos em intervalos são independentes.
Utilizando a distribuição binomial com 
 o que nos dá p=
 e q= 1 - 
 e usando conceitos de Cálculo 
Obtemos que
 P( X=n em um tempo t) = 
 onde e=2,7....
Propriedades: Uma V.A. que tem distribuição binomial satisfaz
 a) A média é µ=
 b) A variância é σ2=
3.5 EXERCÍCIOS
 1-) Uma fábrica de Pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média um estouro a cada 5.000 km.
Qual é a probabilidade de que num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu estourado ? (0,8784) 
Qual é a probabilidade de que um carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu (0,2020)
 
 2-) Certo sistema de apoio recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade de:
 Receber 4 chamadas num dia (0,168)
 Receber 3 ou mais chamadas num dia (0,5767)
 3-) A média de chamadas telefônicas numa hora é 3. Qual a probabilidade de:
Receber exatamente 3 chamadas numa hora ? (0,2241)
Receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos ? (0,658)
 4-) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2m por 2m ( 0,1952 )
 5-) Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000. Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido:
 0 ( 0,0183 )
1 ( 0,0732 )
2 ( 0,1464 )
2 ou mais suicídios ( 0,9085 )
 
 6-) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
 Nenhum erro
Exatamente 2 erros
 7-) Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora:
Atender exatamente dois cliente
Atender 3 clientes
_100841156.unknown
_143873096.unknown
_143874376.unknown
_143875016.unknown
_143875656.unknown
_1301926124.unknown
_143875336.unknown
_143874696.unknown
_143873736.unknown
_143874056.unknown
_143873416.unknown
_100842436.unknown
_100843076.unknown
_143872136.unknown
_100842756.unknown
_100841796.unknown
_100842116.unknown
_100841476.unknown
_100835456.unknown
_100840516.unknown
_100840836.unknown
_100840196.unknown
_66276284.unknown
_98117028.unknown
_98118948.unknown
_98118308.unknown
_66276604.unknown
_66275964.unknown