Aula 3 - Matemática financeira - prof. victor

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Aula 3 – Matemática financeira 
Prof. Victor Gonçalves 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTO 
 
JUROS COMPOSTOS 
INTRODUÇÃO 
 Relembrando o que vimos 
Até agora já estudamos a linguagem dos juros simples. 
Nesta unidade iremos estudar a linguagem dos juros 
compostos: 
• Juros Compostos e suas aplicações; 
• Taxas equivalentes. 
Principal 
PV 
Coeficiente Montante 
FV 
X = 
INTRODUÇÃO 
Juros Simples: Dado um principal (PV), ele deverá 
render juros a uma taxa constante (i) por um 
determinado número de períodos (n), gerando um 
montante (FV). O juro produzido em determinado 
momento não rende mais juros. 
Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre 
são calculados sobre o capital inicial emprestado ou 
aplicado. 
Relembrando... 
JUROS COMPOSTOS - CONCEITO 
 Capitalização composta é aquela em que a taxa de 
juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido 
dos juros acumulados até o período anterior, ou seja, 
os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao 
capital inicial e passa a render juros também. 
Assim sendo, no transcorrer de cada período, o que 
era “à priori” Montante relativo a um determinado 
período, passa a ser o Principal no período seguinte. 
É o que popularmente chamamos de Juros Sobre Juros 
JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS 
Lembrando a fórmula de juros simples: FV = PV (1 + i * n) 
Vamos calcular o montante acumulado a cada período 
(n = 1) no regime de juros compostos 
S1 = P (1 + i * n) = P (1 + i * 1) S1 = P (1 + i) 
S2 = S1 (1 + i * n) = P (1 + i) * (1 + i * 1) S2 = P (1 + i)
2 
S3 = S2 (1 + i * n) = P (1 + i)
2 * (1 + i * 1) S3 = P (1 + i)
3 
S4 = S3 (1 + i * n) = P (1 + i)
3 * (1 + i * 1) S4 = P (1 + i)
4 
 
 
 
Sn = P (1 + i)
n 
JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS 
FV = PV * (1+ i)
n FÓRMULA DE 
JUROS COMPOSTOS 
ATENÇÃO !!! 
1 - O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa. 
2 - A taxa é quem define o período da capitalização. 
Exemplo: 5% ao mês em três meses (=15,76%) 
 é diferente de 15% ao trimestre. 
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
 Determinar o montante produzido por uma aplicação 
de R$ 25.000,00 que rende juros compostos de 4% 
ao mês durante 4 meses. 
 FV = PV * (1 + i )
n 
 FV = 25.000 * (1 + 0,04)
4 
 FV = 25.000 * 1,1699 
 FV = 29 246,46 
 Resposta: No regime de juros compostos, o 
montante acumulado ao final de 4 meses será de 
R$ 29.246,46 
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
 Determinar o montante produzido por uma aplicação 
de R$ 25.000,00 que rende juros simples de 4% ao 
mês durante 4 meses. 
 FV = PV (1 + i * n) 
 FV = 25.000 (1 + 0,04 * 4) 
 FV = 25.000 * 1,16 
 FV = 29 000 
 Resposta: No regime de juros simples, o 
montante acumulado ao final de 4 meses será de 
R$ 29.000,00 
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
CONCLUSÃO: 
• O mesmo capital rendeu R$ 29.246,46 na capitalização 
composta e R$ 29.000,00 na capitalização simples. 
• Os juros compostos remuneram MAIS um mesmo 
principal que os juros simples à mesma taxa, no mesmo 
período. 
POR QUÊ? 
Mês Saldo c/ juros simples Saldo c/ juros compostos Diferença
0 25.000,00R$ 25.000,00R$ -R$ 
1 25.500,00R$ 25.500,00R$ -R$ 
2 26.000,00R$ 26.010,00R$ 10,00R$ 
3 26.500,00R$ 26.530,20R$ 30,20R$ 
4 27.000,00R$ 27.060,80R$ 60,80R$ 
5 27.500,00R$ 27.602,02R$ 102,02R$ 
6 28.000,00R$ 28.154,06R$ 154,06R$ 
7 28.500,00R$ 28.717,14R$ 217,14R$ 
8 29.000,00R$ 29.291,48R$ 291,48R$ 
9 29.500,00R$ 29.877,31R$ 377,31R$ 
10 30.000,00R$ 30.474,86R$ 474,86R$ 
Taxa de juros 2%
Principal R$ 25.000,00
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
Mês Saldo c/ juros simples Saldo c/ juros compostos Diferença
0 25.000,00R$ 25.000,00R$ -R$ 
1 26.250,00R$ 26.250,00R$ -R$ 
2 27.500,00R$ 27.562,50R$ 62,50R$ 
3 28.750,00R$ 28.940,63R$ 190,63R$ 
4 30.000,00R$ 30.387,66R$ 387,66R$ 
5 31.250,00R$ 31.907,04R$ 657,04R$ 
6 32.500,00R$ 33.502,39R$ 1.002,39R$ 
7 33.750,00R$ 35.177,51R$ 1.427,51R$ 
8 35.000,00R$ 36.936,39R$ 1.936,39R$ 
9 36.250,00R$ 38.783,21R$ 2.533,21R$ 
10 37.500,00R$ 40.722,37R$ 3.222,37R$ 
Taxa de juros 5%
Principal R$ 25.000,00
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
Juros Simples X Juros Compostos
R$ -
R$ 25.000,00
R$ 50.000,00
R$ 75.000,00
R$ 100.000,00
R$ 125.000,00
R$ 150.000,00
R$ 175.000,00
R$ 200.000,00
R$ 225.000,00
R$ 250.000,00
R$ 275.000,00
R$ 300.000,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
meses
R$
Juros Simples Juros Compostos
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 
 CONCLUSÕES: 
 
• Taxas de juros baixas e/ou períodos de capitalização 
curtos não provocam grandes distorções entre juros 
simples e compostos. 
 
• Trabalhando com taxas altas e/ou longos períodos 
mostram grandes diferenças entre os montantes 
produzidos por juros simples e compostos. 
PARA PENSAR 
 Os bancos utilizam taxas de juros simples ou 
juros compostos nas operações de cheque 
especial? Por quê? 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 
Ex 1 – Dados PV, n, i, achar FV 
 
 Um capital de R$ 100.000,00 estará aplicado à taxa 
de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 anos. 
Determinar o valor do montante dessa aplicação. 
1,5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados) 
 FV = PV * (1 + i)
n 
 FV = 100.000 * (1 + 0,05)18 
 FV = 100.000 * 2,4066192 
 FV= 240.661,92 
 Resposta: O montante é de R$ 240.661,92 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 
 Ex 2 – Dados FV, n, i, achar PV 
 
 A partir do montante de R$ 150.000,00, determinar o 
principal relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e 
taxa de juros compostos de 5% ao mês. 
 FV = PV * (1 + i )
n 
 150.000 = PV * (1 + 0,05)12 
 150.000 = PV * 1,7958563 
 PV = 150.000 / 1,7958563 = 83.525,61 
 Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83.525,61 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 
 Ex. 3 – Dados FV, n, PV, achar i 
 Conhecendo o montante R$ 172.000,00, o principal de 
R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa 
de juros mensal composta relativa ao empréstimo. 
 1 ano = 12 meses 
 FV = PV * (1 + i )n 
 172.000 = 100.000 * (1 + i)12 
 172.000/100.000 = (1 + i)12 
 1,72 = (1 + i)12 
 E agora? Como resolver? 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 
 Vamos lembrar da seguinte propriedade: (xa)
b
 = xa.b 
 Então aplicando a propriedade na equação ... 
 1,72 = (1 + i)12 
 1,72
1/12 = [(1 + i)12]
1/12
 
 1,72
1/12 = (1 + i)
12 * 1/12 
 1,72
1/12 = (1 + i)1 
 1,0462 = 1 + i 
 i = 1,0462 - 1 => i = 0,0462 
 Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m. 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 
 Ex. 4 –Dados FV, n, PV, achar i 
 Conhecendo o montante R$ 145.000,00, o principal de 
R$ 100.000,00 e o prazo de 1,25 anos, determinar a 
taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo. 
 1 ano = 12 meses 
 FV = PV * (1 + i )n 
 145.000 = 100.000 * (1 + i)15 
 145.000/100.000 = (1 + i)15 
 1,45 = (1 + i)15 
 1,02508 = 1 + i  i = 0,02508 = 2,51%