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GNE270 – Fenômenos de Transporte I Profa. Isabele Cristina BicalhoProfa. Isabele Cristina Bicalho DEG/UFLA 2018/1 GNE270 – Fenômenos de Transporte I • Conteúdo 2. Estática dos Fluidos 2.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos2.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 2.2 Variação de Pressão em um Fluido Estático 2.2.1 Barômetros 2.2.2 Manômetros 2.3 Empuxo e Estabilidade2.3 Empuxo e Estabilidade 2 – Estática dos Fluidos • O que é estática dos fluidos? A estática dos fluidos é ramo da MecFlu que trata dos problemas associados aos fluidos em repouso ou em Nestes casos, não existe movimento relativo entre as partículas de fluido e, portanto, não há tensões de cisalhamento; apenas tensão normal (pressão) está presente. • Aplicações problemas associados aos fluidos em repouso ou em movimento de corpo rígido. • Aplicações Cálculo de forças sobre objetos flutuantes ou submersos; Projeto de instrumentos para medição da pressão; Distribuição de pressão na atmosfera e nos oceanos; 3 2 – Estática dos Fluidos • Pressão (ou tensão normal) A pressão é definida como uma força normal por unidade de área. F N nFP A σ= = Ex: Pressão que uma pessoa exerce sobre o solo em função do seu peso: (1) [ ]2N Pam = 75 kg 150 kg 4 2 75 9,81 24,5 0,03 σ ⋅ = = = = pés mg NP kPa A m Apés = 0,03 m2 P = 24,5 kPa P = 49 kPa 2 – Estática dos Fluidos • Pressão absoluta e pressão manométrica (relativa) Os valores de pressão são estabelecidos em relação a um nível de referência.referência. vac atm absP P P= − man abs atmP P P= − 5 2 – Estática dos Fluidos • Pressão em um ponto A pressão é uma tensão normal que age sempre no sentido “para dentro” do corpo. Então, podemos representar a pressão em umdentro” do corpo. Então, podemos representar a pressão em um ponto do fluido como: A pressão em um ponto do fluido é a mesma para todas as direções. Se ela tem uma intensidade, mas não uma direção específica, ela é portanto, uma grandeza escalar. 6 2 – Estática dos Fluidos Considere um elemento de fluido em forma de uma pequena cunha em equilíbrio: xp y z∆ ∆ np s z∆ ∆ g Vρ ∆ 7 yp x z∆ ∆ Forças que agem sobre o elemento de fluido 2 – Estática dos Fluidos Aplicando a 2ª lei de Newton ao elemento nas direções x e y, temos: 0 : 0 0 : cos 0 x x x nF ma p y z p sen s z x y zF ma p x z p s z g θ θ ρ Σ = = ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆Σ = = ∆ ∆ − ∆ ∆ − = Analisando a geometria da figura, tem-se: Substituindo nas equações anteriores e simplificando: 0 : cos 0 2y y y n x y zF ma p x z p s z gθ ρ ∆ ∆ ∆Σ = = ∆ ∆ − ∆ ∆ − = cos θ θ∆ = ∆ ∆ = ∆x s y sen s peso do elemento de fluido Substituindo nas equações anteriores e simplificando: 8 0 0 2 x n y n p p yp p gρ − = ∆ − − = x n yp p p p= = = (2) no limite, quando o elemento tende a um ponto, ∆y→0 num ponto A pressão no fluido é constante em um ponto (a pressão é um campo escalar). 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos • A equação básica da estática dos fluidos Nosso primeiro objetivo será obter uma equação para calcular o campo de pressão em fluido estático.campo de pressão em fluido estático. Vamos aplicar a 2ª lei de Newton a um elemento de fluido diferencial de massa dm. dV dxdydzdm ρ ρ= = 9Elemento de fluido está em repouso 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos Para uma partícula de fluido, a 2ª lei de Newton fornece : A aceleração de um 0 0ρ ρ = = = → = = � � � � �dFdF dma dV a a dV Mas quais são as forças que podem estar atuando no elemento de fluido que se encontra em repouso? • Forças de campo (ou de ação à distância) A aceleração de um fluido estático é zero! BdF dm g dV g g dxdydzρ ρ= = = � � � � dV Considerando somente a força da • Forças de superfície 10 BdF dm g dV g g dxdydzρ ρ= = = � � � Forças de cisalhamento Forças de pressão Fluido estático! (ou de contato) Considerando somente a força da gravidade ou o peso do elemento! Num fluido em repouso, nenhuma força de cisalhamento pode estar presente. Então, a única força de superfície é a força de pressão. A pressão é um campo escalar, , e sua variação com a posição no fluido causa uma força líquida, que pode ser obtida 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos ( )p = p x, y, z, t a posição no fluido causa uma força líquida, que pode ser obtida pela soma das forças que agem nas seis faces do elemento de fluido. Primeiro, vamos considerar as forças que agem na direção x: ( )p dydz iɵ ( )pp dx dydz i x ∂ + − ∂ ɵ 11 ( )p dydz iɵ ( )p dx dydz i x + − ∂ Lembre-se que sempre a pressão atua SEMPRE contra a face! 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos Se a pressão na face esquerda do elemento diferencial é p, a pressão na face direita será: 2 2 0 0 02 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... 1! 2! f ff x f x x x x x x x ∂ ∂ = + − + − + ∂ ∂x x Então, a força líquida na direção x sobre o elemento é dada por: sx p pdF p dydz p dx dydz dxdydz∂ ∂ = − + = − ∂ ∂ R pp p dx x ∂ → = + ∂ 0 0 02( ) ( ) ( ) ( ) ...1! 2!f x f x x x x xx x = + − + − + ∂ ∂0x x De maneira semelhante, as forças líquidas dFsy e dFsz, são dadas abaixo: e 12 sxdF p dydz p dx dydz dxdydz x x = − + = − ∂ ∂ sy pdF dxdydz y ∂ = − ∂ sz pdF dxdydz z ∂ = − ∂ 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos Combinando as componentes da força de pressão na forma vetorial, tem-se: ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )S p p pdF dxdydz i dxdydz j dxdydz k x y z ∂ ∂ ∂ = − − − ∂ ∂ ∂ � Identificamos o termo entre parênteses como o vetor gradiente de p , que pode ser escrito como . ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ S S dF dxdydz i dxdydz j dxdydz k x y z p p pdF i j k dxdydz x y z = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ ∂ � ou grad p p∇de p , que pode ser escrito como . Note que não é a pressão, mas sim o gradiente de pressão (a taxa de variação da pressão com a distância), que causa uma força líquida no fluido! 13 ou grad p p∇ campo escalar campo vetorialS dF p dxdydz= −∇ � 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos A força total atuando sobre o elemento de fluido é então, a combinação das forças de campo e de superfície: ( ) ( )S BdF dF dF p g dxdydz p g dVρ ρ= + = −∇ + = −∇ +� � � � � O significado físico de cada termo é: ( ) ( )S B Da 2ª lei de Newton para um fluido estático 0 força líquida de pressão força de campo por ρ−∇ + = �p g ρ= −∇ + � �dF p g dV 0= 14 força líquida de pressão força de campo por 0 por unidade de volume unidade de volume + = p gρ∇ = �Lei da estática dos fluidos (3) A variação de pressão é devido ao peso do fluido 2.1 – A Equação Básica da Estática dos Fluidos As três componentes da Eq. (3) que devem ser satisfeitas são: ρ∂ =∂ x p g x direção x z Escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo z apontando ρ ρ ∂ ∂ =∂ ∂ =∂ y z x p g y p g z direção y direção z g� y x (4) ˆˆ ˆ0 0g i j gk= + −� Escolhendo o sistema de coordenadas com o eixo z apontando verticalmente para cima, teremos: 15 0; 0;p p p g x y z ρ∂ ∂ ∂= = = − ∂ ∂ ∂ dp g dz ρ γ= − ≡ − (5) Esta é a relação básica pressão-altura da estática dos fluidos. 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático • Variação de pressão em um fluido estático dp g dz ρ= − (5) Restrições: (1) Fluido estático (2) A gravidade é a única força de campo (3) O eixo z é vertical e voltado para cima dz A pressão num fluido estático uniforme continuamente distribuídovaria somente com a distância vertical e é independente da forma do recipiente. Ela é a mesma em todos os pontos em um dado plano horizontal e aumenta com a profundidade no fluido. 16 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático Ilustração: Vasos comunicantes • , pois estão a uma mesma profundidade na água • ( ) > ( ) • O ponto D tem pressão diferente de A, B e C, porque ele está em um fluido diferente,o mercúrio. 17 a b c dp p p p= = = A B C a b c dp p p p p p p= = = = = 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático • Pressão hidrostática nos líquidos Para determinar a variação de pressão, devemos integrar a Eq. (5) e aplicar condições de contorno apropriadas: p z É conveniente colocar o nível de referência na superfície livre e medir distâncias para baixo a partir dessa superfície como positivas: ( ) 0 0 0 0 p z p z dp g cte dp gdz p p g z z dz ρ ρ ρ= − = → = − → − = − h z z= − 18 0h z z= − 0p p p ghρ− = ∆ = (6) 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático Observando a Eq. (6) podemos afirmar: A pressão num líquido em repouso aumenta linearmente com a profundidade. Para =p p ρ= +atmp p gh Para 0 = atmp p 19 Para distâncias pequenas a moderadas, a variação da pressão com a altura é desprezível para os gases, por causa de sua baixa densidade. 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático • Pressão hidrostática nos gases A variação da pressão em um fluido compressível pode ser avaliada pela integração da Eq. (5) considerando a massa específica comopela integração da Eq. (5) considerando a massa específica como uma variável. Nesses casos, equações de estado ou correlações para a massa específica são necessárias. Considerando que o gás se comporte como um gás ideal, tem-se: dp g dz ρ= − como função de p ou de z (5) Considerando que o gás se comporte como um gás ideal, tem-se: Introduzimos T como uma variável adicional. Então devemos fazer uma consideração para a temperatura. 20 ' ' ' m m pM ppV nR T pV R T M V R T RT ρ ρ= → = → = = → = 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático A temperatura atmosférica decresce linearmente com a altitude até uma elevação de aproximadamente 11 km. Para uma variação linear da temperatura com a altitude dada por, 0= −T T mz 21 2.2 – Variação de Pressão num Fluido Estático Obtemos a partir da Eq. (5): ( )0 pdp gdz gdz gdp R T m z T zR ρ= − − = − = − Separando as variáveis e integrando de z = 0, em que p = p0, até a elevação z, em que a pressão é p, temos: ( ) ( )0 0 0 0 00 1ln ln → = − → = − − − − − zp z p p p dp gdz gp T mz p R T mz R m T mzp g g mz 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ln ln ln 1 1 1 − = = − = − → = − = g g g mR mR mR T mzp g g mz p mR T mR T p mz mz Tp p p p T T T (7) 2.2.1 – Barômetros • Dispositivos de medição da pressão • O barômetro O barômetro mede a 0vp ≈ A B atm v Hg atm Hg p p p p gh p gh ρ ρ = = + = O barômetro mede a pressão atmosférica. z h= h B atmp p= 23 atm Hg atm Hg ou ph gρ = 0 0z = z atmp A B (8) 2.2.1 – Barômetros O comprimento e a área da seção transversal do tubo não tem efeito sobre a altura da coluna de fluido de um barômetro. 1 760 760 101325 atmp atm mmHg torr Pa = = = = = A atmosfera-padrão é definida como a pressão produzida por uma coluna de mercúrio com 760 mm de altura a 0°C (ρHg=13595 kg/m3) sob aceleração da gravidade padrão (g = 9,807 m/s2). 24 2.2.1 – Barômetros A pressão atmosférica em um lugar é simplesmente o peso do ar sobre aquela localidade por unidade de área de superfície. atmAltitude p→ 101,325 1000 89,88 2000 79,50 5000 54,05 10000 26,50 atm Nível do mar kPa m kPa m kPa m kPa m kPa = = = = = Declínio da patm com a altitude 25 10000 26,50 20000 5,53 m kPa m kPa = = Leva mais tempo para cozinhar em altitudes mais elevadas. Sangramento do nariz. Menor densidade do ar e menor disponibilidade de O2. Exemplo 1 • Exemplo 1) Determine a pressão atmosférica em uma localidade na qual a leitura barométrica é 740 mmHg e a aceleração gravitacional é g =leitura barométrica é 740 mmHg e a aceleração gravitacional é g = 9,805 m/s2. Considere que a temperatura do mercúrio seja de 10°C, na qual sua densidade é de 13570 kg/m3. • Solução: Aplique a Eq. (8)! 3 2 113570 .9,805 .740 . 1000atm kg m mp gh mmHg mmm s ρ= = 26 3 2 2 1000 98500 98500 98,5atm mmm s kgp Pa kPa m s = = = ⋅ Exemplo 2 • Exemplo 2) As infusões intravenosas em geral são movidas pela gravidade, pendurando-se o frasco com o fluido a uma altura suficiente parapendurando-se o frasco com o fluido a uma altura suficiente para contrabalançar a pressão do sangue na veia e forçar o fluido a entrar no corpo. Quanto mais alto o frasco for elevado, maior será a vazão do fluido. Frasco intravenoso 27 Exemplo 2 (a) Se for observado que as pressões do fluido e do sangue se equilibram quando o frasco está a 1,2 m acima do nível do braço, determine a pressão manométrica do sangue. (b) Se a pressão manométrica do fluido no nível do braço precisar ser de 20 kPa para que a vazão seja suficiente, determine a que altura o frasco deve ser colocado. Considere a densidade do fluido como 1020 kg/m3. SOLUÇÃO:SOLUÇÃO: Hipóteses: 1. O fluido intravenoso é incompressível. 2. O frasco está aberto à atmosfera. 28 Exemplo 2 (a) Observando que as pressões do fluido e do sangue se equilibram quando o frasco está a 1,2 m acima do nível do braço podemos escrever: p p ghρ= + (b) Para a pressão manométrica valer 20 kPa a altura do frasco deve ( ) , , 3 2 21020 9,81 1,2 12007,44 braço atm braço frasco man braço abs atm braço frasco man braço p p gh p p p gh kg m kgp m m s m s ρ ρ − − = + = − = = = Pa (b) Para a pressão manométrica valer 20 kPa a altura do frasco deve ser: 29 , 3 220000 1020 9,81 2 man braço braço frascop gh kg mPa h h m m s ρ − = = → =
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