Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA Beniamin Achilles Bondarczuk FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 1 Prezado aluno, Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear do conteúdo. Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a respeito de cada item. Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo. A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados devido a seu valor em relação à temática principal em discussão. A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na disciplina. Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel. Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento. Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu aprendizado! Bons estudos! FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 2 Fundamentos da Mat. Financeira e Estat. Aplicada - Apostila Apresentação O mundo dos negócios não deveria se dissociar da academia e vice-versa. Desde a Administração Científica de Taylor até os dias de hoje, o mundo empresarial tem buscado suporte nas Ciências Exatas para resolver seus inúmeros problemas. O domínio de conceitos matemáticos, que abrange fenômenos tanto determinísticos quanto probabilísticos, vem-se evidenciando como competência básica para o profissional bem-sucedido. Pensando nesse contexto, esta disciplina introduz noções de Matemática Financeira e de Estatística Aplicada, que são essenciais para entender conceitos afins a essas áreas e solucionar problemas. O conteúdo está distribuído de modo uniforme: metade abordará o primeiro tema e a outra metade, o segundo, mas não é necessário entender aquele antes deste. Sendo assim, esta disciplina tem como objetivos: 1. Explicar conceitos fundamentais da Matemática Financeira; 2. Definir noções básicas de Estatística Aplicada. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 3 Aula 1: Juros e taxa de juros Introdução Você bem sabe que os empreendimentos, os negócios, as empresas, o governo, as pessoas, enfim, todos nós – querendo ou não – estamos inseridos em um sistema que regula as relações de troca com base em dinheiro. Nesse contexto, é muito importante entendermos as regras que regem o sistema financeiro e como ocorre o processo de transformação do valor ao longo do tempo. O domínio dessas normas pode ajudar um agente decisor na escolha do melhor caminho a ser trilhado no desenvolvimento de algum negócio. Afinal, a sobrevivência de um empreendimento está associada, muitas vezes, à habilidade de decisão do gerente, de forma oportuna e com base em estudos de viabilidade econômica. No núcleo de tudo isso, estão os conceitos de juros e taxa de juros – essenciais a este estudo. Nesta aula, portanto, daremos ênfase a tais noções. Objetivo: 1. Explicar noções básicas de juros simples e compostos; 2. Definir os conceitos de taxas de juros efetivas e nominais. Conteúdo Noções de Matemática Financeira Para darmos início a esta disciplina, vamos conhecer, primeiro, alguns conceitos básicos e os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 4 Comecemos pelo valor do dinheiro no tempo e pelos juros: elementos interligados e essenciais ao desenvolvimento do estudo dessa área do conhecimento. Vejamos o vídeo a seguir: Percebeu que quando você pede emprestado a alguém, por determinado período, algum bem ou dinheiro, é natural que lhe pague, ao fim desse prazo, alguma compensação financeira além do valor emprestado? Essa compensação pode ser: • Um aluguel – no caso de um bem; • Os juros – no caso de dinheiro. Termos utilizados na análise das situações Na análise das situações como a apresentada anteriormente, em que desejamos avaliar o dinheiro no tempo, é conveniente utilizarmos alguns termos. São eles: Principal Também chamado de capital inicial ou, simplesmente, capital. Trata-se do valor emprestado em alguma transação financeira. Remuneração do capital Definição atribuída aos juros. Os estudos dos mecanismos que regem sua formação e sua incorporação ao capital constituem a base principal da Matemática Financeira. Montante Soma dos juros com o capital em determinado período. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 5 Outro termo bastante utilizado é a capitalização. Vejamos o que o mesmo significa e suas ramificações: Capitalização Incorporação dos juros ao capital. Período de capitalização Intervalo de tempo decorrente entre cada capitalização. Sistemas ou regimes de capitalização: Juros simples Juros calculados sobre o capital inicial que se incorporam a ele ao fim de cada período de capitalização. Juros compostos Juros calculados sobre o montante do período anterior, que se incorporam ao capital ao fim de cada período de capitalização. Atenção A seguir, entenderemos melhor todos esses conceitos! FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 6 Juros: remuneração do capital Você sabe como os juros são fixados e como podemos obter seu valor em um período, em unidades monetárias? Vejamos: Taxa percentual e unidade de tempo Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo. Por exemplo: • 10% ao ano (a.a.); • 5% ao semestre (a.s.); • 2% ao mês (a.m.) etc. Valor por período Quando desejamos obter o valor dos juros de um período, em unidades monetárias, aplicamos a taxa de juros sobre o capital, conforme o exemplo a seguir: Capital aplicado -> R$ 100,00 Taxa de juros -> 6% a.a. Valor de juros ao final de um ano -> 6% x R$ 100,00 = (6/100) x 100,00 = R$ 6,00 Montante: valor do dinheiro no tempo Vejamos, a seguir, uma cena do filme O Auto da Compadecida: Na cena que acabamos de assistir, os personagens Chicó, Rosinha e João Grilo armaram um plano para utilizar o dinheiro que havia sido deixado para Rosinha, pela sua vó, como herança. Entretanto, eles não contavam com o fato de que a FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 7 unidade monetária daquele momento era diferente da unidade do tempo da avó de Rosinha, ou seja, o dinheiro não possuía mais valor algum. A partir do que vimos na cena e considerando o conceito de juros da Matemática Financeira a que nos referimos anteriormente, podemos perceber que hoje, 100 unidades monetárias NÃO SÃO iguais a 100 unidades monetárias em qualquer outra data! Vamos analisar, então, uma aplicação de capital na data de hoje: Capital aplicado -> R$ 100,00 Taxa de juros -> 6% a.a. Rendimento -> R$ 6,00 Montante gerado ao final de um ano -> R$ 106,00 De acordo com a ideia de que o valor do dinheiro muda ao longo dotempo, valores de datas diferentes são grandezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamente após sua movimentação para uma mesma data, com a respectiva aplicação de uma taxa de juros. Portanto, ao planejar o escopo de determinado projeto, um gerente estabelece, por exemplo, um cronograma físico-financeiro que leva em conta a progressão do capital ao longo do tempo, considerando como premissa determinada taxa de juros para fazer suas projeções. Juros simples No regime de capitalização a juros simples, a compensação financeira, ou seja, os juros são diretamente proporcionais: Ao valor do capital emprestado (C), dentro de um período – dia, mês, ano, semestre etc. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 8 À quantidade de períodos em que esse valor fica emprestado. Nesse regime, apenas o capital inicial – o principal – rende juros. Não se somam os juros do período ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Em outros termos, os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem novos juros. Exemplo Para fixarmos o conceito que vimos anteriormente, vamos analisar o exemplo a seguir? Crescimento de R$ 1.000,00 a juros simples de 6% a.a. Saldo do início do ano Um investimento de R$ 1.000,00 (mil unidades monetárias) é feito em um banco, no prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de juros simples. Juros do ano O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos dois anos da operação. Sendo assim, temos: Crescimento de R$ 1.000,00 a juros simples de 6% a.a. Saldo no final do ano Observando a evolução do dinheiro no tempo, podemos constatar que o crescimento do capital é linear, ou seja, os juros de cada ano são os mesmos. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 9 Fórmula de juros simples Uma vez que entendemos que, nos juros simples, o crescimento do capital ocorre de forma linear, de acordo com determinada taxa proporcional, podemos estabelecer uma fórmula que forneça um montante a partir de um capital inicial. Vejamos: Agora, considere a taxa percentual i = r/100. Nesse caso, temos a seguinte fórmula equivalente: Onde: j A letra representa os juros produzidos. C0 Essa variável representa o capital emprestado. r/100 Taxa de juros. n Número de meses. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 10 Diante das fórmulas citadas anteriormente, você consegue dizer quais são as fórmulas derivadas que explicitam cada uma das variáveis que vimos? Simples! C0 i n Juros no período Voltemos para o exemplo numérico apresentado. Utilizando as fórmulas anteriores, concluímos que os juros nesse período são: A soma do capital com os juros produzidos em determinado período é denominada Montante (Cn), ou seja: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 11 Considerando o regime de juros simples, no qual j = C x i x n, temos: Portanto, nesse regime, obtemos os valores listados a seguir pelas expressões matemáticas correspondentes: Montante Capital período n Taxa i Atenção As fórmulas apresentadas valem para qualquer período, mas é necessário expressar a taxa r e o período n na mesma unidade de tempo. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 12 Juros compostos A capitalização composta ocorre quando os juros são capitalizados e passam a render novos juros. Sendo assim, os juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período, e não apenas sobre o capital inicial – principal – aplicado. Para fixarmos esse conceito, vamos analisar um exemplo? Um investimento de R$ 1.000,00 é feito em um banco, no prazo de dois anos, com uma taxa de juros de 6% a.a., no regime de juros compostos. O objetivo é obter o valor do saldo desse investimento no final de cada um dos dois anos da operação. Sendo assim, temos: Considerando os exemplos numéricos das aplicações nos regimes de juros, é possível observar que o dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. Além disso, no regime de juros compostos, cada valor é obtido a partir do anterior pela multiplicação de uma razão constante igual a: 1,06 (1,00 + 6%). Fórmula de juros compostos Agora que já entendemos a regra que orienta o regime de juros compostos – por meio do qual a taxa é aplicada sempre no período anterior –, podemos obter uma expressão matemática que forneça o montante a partir de determinado capital inicial em função da taxa e do período. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 13 Considere, então, as seguintes informações: Cn Montante ao fim de n períodos de capitalização no regime de juros compostos. C0 Capital no período em que ocorreu o empréstimo. i Taxa de juros. J n juros do período n. O montante C1 relativo ao primeiro período de capitalização é calculado da seguinte forma: C0 + J1. Isso equivale a aplicar a taxa i de juros simples durante um período ao capital C0. Sendo assim, temos: Esse mesmo raciocínio pode ser aplicado em períodos sucessivos, ou seja: Logo, ao fim de n períodos, o montante Cn pode ser dado pela seguinte fórmula: É possível, também, obter a expressão que fornece o capital inicial em função do montante Cn, da taxa i e do período n. Desse modo, temos: Revendo conceitos Após a definição das noções de montante e capital nos regimes de juros simples e compostos, que lhe permitiu familiarizar-se com notações alternativas utilizadas em bibliografias da Matemática Financeira, vamos conhecer outras acepções dos mesmos conceitos dentro da área. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 14 Você lembra das equações de juros simples e compostos que vimos anteriormente? Vejamos, agora, as formas alternativas como essas equações podem ser apresentadas: Note que, nessas equações, podemos substituir o conceito Montante (Cn) por Valor Futuro (VF) ou Future Value (FV)! Podemos substituir, também, o Capital, principal ou capital inicial (C0) = Valor Presente (VP) ou Present Value (PV)! Equivalência entre taxa de juros As informações financeiras que constam em contratos ou, até mesmo, na mídia são fornecidas fazendo referência à taxa de juros que nem sempre utilizam como referência um mesmo período. Para comparar e subsidiar uma decisão, em muitos casos, é necessário calcular a equivalência entre taxas em períodos diferentes, o que dá origem às taxas equivalentes. Essa abordagem é pertinente quando tratamos do regime de juros compostos. Tomemos, então, o exemplo da tabela a seguir: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 15 Observe que a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um rendimento igual a 33,1% a.t. – aplicada por um trimestre. Em outros termos, um mesmo montante pode ser obtido a partir de um capital inicial e de taxas distintas com períodos-base diferentes. Períodos de capitalização e tomado para análise Alguns problemas são apresentados com período de capitalização da taxa de juros diferente do período tomado para análise. Um exemplo seria obter o saldo de um empréstimo de R$ 1.000,00 por seis meses, considerando os juros de 46,41% ao quadrimestre. Uma das possíveis soluções é transformar a taxa quadrimestral em uma taxa mensal equivalente e aplicar a expressão matemática de juros compostos. Extrato Valor do empréstimo: R$ 1.000,00 Período: 6 meses Juros ao quadrimestre: 46,41%Vamos avaliar, então, um capital (VP) que evoluiu em quatro meses (VF): Podemos interpretar essa evolução a partir das seguintes taxas: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 16 Portanto, a expressão matemática genérica para a obtenção da equivalência é: onde: n = número de períodos de capitalização da taxa im de período-base m. m = número de períodos de capitalização da taxa in de período-base n. No problema exemplificado, o período-base pode ser o quadrimestre, e a aplicação da expressão anterior resulta em: Logo, o saldo do empréstimo de R$ 1.000,00 por seis meses, considerando os juros de 46,41% ao quadrimestre, é: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 17 Atividade proposta 1 Agora que você já sabe calcular a equivalência entre taxa de juros, vamos fazer uns exercícios! a) Uma taxa de 10% ao mês equivale a que percentagem ao quadrimestre (a.q.)? b) Uma taxa de 50% ao semestre equivale a que percentagem ao mês (a.m.)? Chaves de resposta: Taxas nominais e efetivas Você sabe o que são taxas nominais e efetivas e onde elas são aplicáveis? Vejamos: Taxas nominais O uso da expressão taxa nominal é aplicável no regime de juros compostos. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 18 Um exemplo seria considerar uma taxa de juros de 15% a.a., capitalizados mensalmente. Nesse caso, podemos observar que a taxa é anual, mas a capitalização é mensal. Listamos, aqui, algumas taxas nominais: • 12% ao semestre com capitalização bimestral; • 14% ao quadrimestre com capitalização trimestral; • 25% ao ano com capitalização semestral. Esse é o caso dos rendimentos da caderneta de poupança. Costuma-se informar que a poupança rende 6% a.a. mas também é usual ouvir que rende 0,5% a.m. Portanto, podemos expressar a taxa da caderneta de poupança em termos anuais da seguinte forma: 6% a.a. com capitalização mensal. Nesse contexto, as taxas devem ser divididas pelo número de períodos de capitalização (6% ÷ 12 = 0,5%), como se fossem taxas proporcionais de juros simples, apesar de serem capitalizadas por juros compostos. Taxas efetivas Já estamos cientes de que a utilização do termo nominal está associada a taxas de juros compostos como uma forma aproximada que simula um comportamento proporcional de juros simples. Em função disso, muitas vezes, é necessário saber mensurar o valor efetivo de determinada transação financeira, até porque muitos fatores o mascaram. Um deles é expressar a taxa praticada com referência nominal. Nesse caso, o custo efetivo será maior do que o expresso nominalmente. Um exemplo seria calcular o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com capitalização mensal. Com esse período de capitalização, precisamos dividir a taxa anual por 12, a fim de calcular quanto ela representa em termos mensais. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 19 Sendo assim, temos: 36% / 12 = 3% a.m. Logo, podemos obter o custo efetivo anual por meio do cálculo da taxa equivalente, ou seja: (1 + i)1 = (1,03)12 (1 + i) = 1,425761 i = 1,425761 - 1 i = 0,425761 ou 42,5761% a.a. Vamos aplicar o conhecimento que acabamos de adquirir através de um exemplo? Suponhamos que uma aplicação de R$ 10.000,00 tenha sido feita à taxa de 36 % a.a., capitalizada mensalmente. Vamos, agora, calcular o montante obtido no final do ano. A taxa de 36% a.a. é nominal, pois seu período anual é diferente do período de capitalização mensal. Logo, considerando a relação entre as unidades de tempo dessas taxas, a taxa efetiva da operação é proporcional à taxa dada. Em outros termos, como 1 ano = 12 meses, então, a taxa efetiva i será dada por: Portanto, o montante VF será obtido por: VF = 10.000 × (1 + 0,03)12 = 10.000 × 1,42576 = R$ 14.257,60 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 20 Atividade proposta 2 Antes de finalizarmos esta aula, vamos fazer uma atividade! Determinada empresa precisa de recursos por 12 meses. Ao pesquisar o mercado financeiro para resolver essa questão, a organização encontrou três alternativas de empréstimo que parecem ser atraentes. São elas: 1ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização semestral; 2ª – taxa de juros efetiva de 24% a.a.; 3ª – taxa de juros nominal de 24% a.a. com capitalização mensal. Com base no que estudamos ao longo desta aula, classifique, nesse contexto, as alternativas apresentadas da melhor para a pior. Chave de resposta http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS300/docs/a1_t18_ch ave_resposta.pdf Aprenda Mais Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a seguinte leitura: PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. cap. 2-6. Referências FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 2007. LEITE, M. S. Diversidade e saberes no ensino superior, 2005. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 21 PIMENTA, S. G.; ANASTASIOU, L. G. C. Do ensinar à Ensinagem. In: Docência no Ensino Superior, vol. I. São Paulo: Cortez, 2002. p. 201 a 243. RIBEIRO, M. L. O Ensino Universitário: um olhar sobre as representações de estudantes de Licenciatura, 2008. Exercícios de fixação Questão 1 Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros simples. Qual o montante que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9o trimestre? a) R$ 14.233,12 b) R$ 13.600,00 c) R$ 12.400,00 d) R$ 12.233,12 e) R$ 13.400,00 Questão 2 Um empresário resolveu aplicar R$ 10.000,00 em um banco que remunera seus depósitos a uma taxa de 4% a.t., no regime de juros compostos. Qual o montante que poderá ser retirado pelo empresário no final do 9° trimestre? a) R$ 14.233,12 b) R$ 13.600,00 c) R$ 12.400,00 d) R$ 12.233,12 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 22 e) R$ 13.400,00 Questão 3 Você precisa tomar um empréstimo de um ano a uma taxa de juros capitalizada anualmente. Logo, o melhor sistema de capitalização é o: a) Simples – dependendo do valor. b) Tanto faz – para taxas iguais. c) Composto – para taxas iguais. d) Simples – para taxas iguais. e) Composto – dependendo do valor. Questão 4 Você aplica uma quantia de 100.000,00 reais no prazo de cinco meses e tem como remuneração desse capital a quantia de R$ 11.240,00. Qual é a taxa de juros simples ao mês dessa operação? a) 2,50% b) 3,75% c) 2,25% d) 3,15% e) 2,15% Questão 5 Admitindo uma taxa de 8% a.m. em regime de juros compostos, em quantos meses um investimento duplicará? a) 3 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 23 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12 Questão 6 Em uma análise de investimentos, foi utilizada uma taxa nominal de 10% a.a. com capitalização trimestral. Nesse caso, qual é a taxa efetiva mensal equivalente? a) 0,182% a.m. b) 0,28105% a.m. c) 0,6361% a.m. d) 0,8265% a.m. e) 0,94033% a.m. Questão 7 Um investidor lhe pediu ajuda para calcular o montante acumulado no final de dois anos, em uma aplicação de R$ 10.000,00 à taxa de 12% a.a. com capitalização mensal. O montante a ser informado é: a) R$ 11.375,47 b) R$ 12.697,35 c) R$ 13.362,34 d) R$ 12.514,58 e) R$ 13.269,77 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 24 Questão 8 Uma empresa precisa avaliar a rentabilidade de um investimento, determinando o montante acumuladono final de quatro anos. Se o capital investido foi R$ 100.000,00, no regime de juros compostos, qual é o montante, considerando uma taxa de 6,134% a.s.? a) R$ 154.018,40 b) R$ 148.225,00 c) R$ 158.386,90 d) R$ 153.496,50 e) R$ 161.003,80 Questão 9 A fim de auxiliar um gerente de projeto, você foi consultado para calcular a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 9% a.a. com período de capitalização semestral. Sua resposta foi: a) 9,2025% a.a. b) 8,2810% a.a. c) 8,6361% a.a. d) 7,8265% a.a. e) 9,9403% a.a. Questão 10 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 25 Um empresário obtém um financiamento de 18.000,00 reais, sem entrada, para pagamento em uma única prestação, daqui a quatro meses, por R$ 20.350,00. Qual é a taxa anual de juros dessa operação, considerando que o regime de capitalização é composto? a) 38,2525% a.a. b) 43,2810% a.a. c) 44,5026% a.a. d) 39,8865% a.a. e) 42,9403% a.a. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 26 Aula 2: Fluxos de Caixa e descontos Introdução A administração bem-sucedida de finanças em negócios requer um amplo entendimento dos inúmeros processos que contêm atividades de pagamentos e de recebimentos de diversas naturezas ao longo de um período de tempo. Essas atividades caracterizam Fluxos de Caixa que podem ser administrados com o auxílio de softwares aplicativos específicos, planilhas eletrônicas e/ou calculadoras, e com a indispensável competência do profissional habilidoso que entende não só os princípios por traz das operações automatizadas como também sabe julgar e tirar proveito dos resultados apresentados. Esta aula apresenta, portanto, os fundamentos das operações em fluxos de caixa e os conceitos dos diversos tipos de desconto utilizados na matemática financeira. Dentro da análise de índices, existe a necessidade de entendimento de que não existe uma quantidade definida de índices a serem elaborados e considerados, mas também a necessidade de se entender o setor e muitas vezes a economia como um todo. A análise com a utilização de índices compreende o conceito efetivo de índice e sua funcionalidade dentro do processo de gestão. Nesta aula, examinaremos os índices de maneira detalhada e as informações que cada tipo de análise fornecer, possibilitando entender que o conjunto desses índices é uma ferramenta valiosa se bem utilizada. Objetivo: 1. Definir o conceito de Fluxo de Caixa e sua representação gráfica; 2. Examinar os tipos de desconto utilizados em Matemática Financeira. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 27 Conteúdo Fluxos de Caixa Você sabe o que significa Fluxo de Caixa? Antes de começarmos nossa aula, vejamos um vídeo que descreve, de maneira simples, esse conceito: Como vimos no vídeo, denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa, entre outros, de: • Empresas; • Investimentos; • Projetos; • Operações financeiras. O diagrama de fluxo de caixa é uma ferramenta importante para facilitar a compreensão de elementos da matemática financeira. Usualmente, as transações financeiras são representadas esquematicamente por diagramas ou por meio de planilhas (tabelas ou quadros). Fluxo de Caixa em Planilhas Para planejamento e controle financeiro é comum o uso de planilhas eletrônicas, uma vez que ao organizarmos as informações em linhas e colunas fica fácil a utilização dos recursos automáticos de cálculo. Vamos ver um exemplo! FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 28 Descrição Normalmente, as colunas são organizadas com a descrição da entrada ou saída no caixa nas primeiras colunas. Movimento e saldo Em seguida, uma coluna registra a quantia movimentada e a seguinte o saldo. Data Pode-se também registrar data, período ou outras informações julgadas importantes. Fluxo de Caixa em Diagramas Apesar da facilidade de cálculo dos fluxos de caixa representados em planilhas, muitas vezes é mais interessante trabalhar com a representação em diagramas. Essa abordagem facilita o entendimento de processos financeiros e auxilia o desenvolvimento de soluções de problemas. A convenção básica para a representação de fluxos de caixa em diagramas é utilizar setas orientadas para cima ou para baixo conforme se queira registrar respectivamente recebimentos (entradas) ou pagamentos (desembolsos). Essas setas podem estar dispostas acima ou abaixo da linha horizontal, que representa o tempo. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 29 Recebimentos As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima (acima ou abaixo da linha). Pagamentos As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para baixo (acima ou abaixo da linha). Elas indicam desembolso de caixa. Eixo horizontal A escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expresso em dias, semanas, meses, trimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, 2, 3, n, substituem as datas de calendários, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1º período e assim por diante. Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais, e os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período, FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 30 dependendo da convenção adotada. Nenhum valor deve ser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles não são contínuos. Veja um exemplo de diagrama de fluxo de caixa. Podemos representar da seguinte maneira a operação de compra de um bem no valor de $1000, para pagamento, com juros e sem entrada, em quatro prestações mensais de $ 300: Atenção Apesar de não ser essencial na representação, o comprimento das setas orientadas (vetores) no fluxo de caixa em diagrama pode ser proporcional ao valor movimentado. No exemplo, todas as prestações são representadas por setas de igual tamanho e o valor de compra é representado por uma seta maior, porém não proporcional às setas dos pagamentos. Transformando um fluxo de caixa em planilha em diagrama Agora, vejamos um exemplo de fluxo de caixa em planilha: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 31 Podemos representar esse movimento em um fluxo de caixa em diagrama. Mas como faremos isso? Para o registro, as datas originais podem ser simplificadas por uma representação em períodos enumerados a partir de zero (inicial). A correspondência entre o distanciamento entre as datas dos movimentos e a correspondente representação em períodos deve ser observada. Vejamos a seguir! A representação em diagrama do fluxo de caixa em planilha pode ser a seguinte: Atenção FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 32 Tanto na representação em planilha quanto na representação em diagrama o registro das movimentações reflete o momento das transações sem nenhuma análise do valor do dinheiro no tempo. Portanto, o saldo observado em uma representação em planilha não leva em conta o regime de juros aplicado, sendo uma simples soma algébrica das entradas menos as saídas. O fluxo de caixa é normalmente utilizado como base para o transporte das quantias nele contidas para uma determinada data (período) de interesse.Descontos A ideia de oferecer desconto, normalmente, está associada a ações de marketing que visam seduzir clientes para a compra de bens. Entretanto, nem sempre esses clientes têm o real entendimento do significado das taxas anunciadas. Basicamente, quando se fala em desconto no âmbito da Matemática Financeira, pensamos no tempo em que se encontra a base sobre a qual uma determinada taxa de desconto é anunciada (presente ou futuro) e no tipo de regime de capitalização (simples ou composto). Considerando o tempo presente como a base sobre a qual determinado desconto é oferecido, tratamos de analisar os cálculos associados no regime de juros simples e depois no de juros compostos. Desconto Por Dentro No regime de juros simples, a taxa de descon-to por dentro, ou taxa de juros i, é também conhecida como taxa de rentabilidade. Ela incide diretamente FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 33 sobre o valor presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros simples explicitando-se a taxa i. Vejamos: Expresso em unidades financeiras, o valor do desconto corresponde aos juros acumulados no tem-po pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro VF, ou montante, e o valor presente VP, ou principal, ou seja, desconto = VF - VP. O valor do desconto por dentro (Dd) é obtido multiplicando-se o valor presente VP pela taxa de desconto i e pelo prazo da operação n, obtendo-se: O valor presente é sempre a incógnita, sendo normal-mente conhecidos o valor futuro VF, o prazo n e a taxa de desconto i. Atenção Sabendo-se que Dd = VF - VP e obtendo-se VP a partir de VF = VP (1 + i x n) Tem-se: Exemplo prático em um regime de juros simples Considerando um regime de juros simples, vamos determinar o valor da taxa mensal de desconto por dentro usada em uma opera-ção de desconto de 2 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 34 meses de um título cujo valor de resgate é $12.000,00 e cujo valor do principal é $10.850,00? Vejamos as etapas a serem seguidas: Para determinarmos a taxa mensal, primeiramente precisamos identificar os dados do problema: VP = $10.850,00 VF = $12.000,00 n = 2 meses Em seguida, basta aplicar a fórmula que acabamos de ver: ou 5,30% ao mês. Exemplo prático em um regime de juros compostos No regime de juros compostos, como os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital e passam a render juros, a taxa de descon-to por dentro incide diretamente sobre o valor presente e pode ser obtida pela conhecida expressão dos juros compostos explicitando-se i: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 35 Determinar o valor do investimento que deve ser realizado com uma taxa de 2% ao mês no regime de juros compostos, que produzirá um montante acumulado ao fim de 12 meses de $1.000,00. Além do cálculo do valor do investimento, determinar também o valor do desconto por dentro. As etapas a serem seguidas são as mesmas que seguimos no exemplo de regime simples. Você está lembrado? O primeiro é identificar os dados do problema: n = 12 meses i = 2% ao mês VF = $1.000,00 Depois, aplicamos a fórmula: O desconto por dentro pode ser calculado diretamente pela definição: Desconto Por Fora Considerando o desconto por fora, no regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela aplica-ção da taxa de desconto d sempre incidindo diretamente sobre o valor futuro VF (ou montante), fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos (VF x d). Para n períodos temos: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 36 O valor presente VF, resultante do desconto por fora sobre o montante VF, durante n períodos, é obtido a juros simples utilizando-se as respectivas definições: Atenção É importante observar que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n e que o produto d x n não pode ser maior ou igual a 1 (não faz sentido ter VP ≤ 0). Exemplo prático 1 Agora, vamos ver um exemplo? Imaginemos uma operação de desconto de 90 dias, de um título com valor de resgate de $20.000,00 e com valor do principal igual a $16.850,00. Como faremos para determinar o valor da taxa mensal de desconto por fora utilizada na operação? Dados: VF = $20.000,00, VP = $16.850,00, n = 90 dias = 3 meses ou seja, 5,25% ao mês. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 37 Relacionamento das taxas Tendo sido apresentadas as expressões do cálculo de desconto por dentro e por fora no regime de juros simples, é possível relacionar as duas taxas e obter a seguinte expressão: Considerando o desconto por fora, no regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do período de desconto (VP). Assim, as seguintes expressões podem ser obtidas: Atenção Assim como foi observado no regime de juros simples, a unidade referencial de tempo da taxa de desconto por fora d deve coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. Dessa maneira, a expressão do desconto por fora no regime de juros compostos é: Df = VF - VP = VF - VF x (1 - d)n = VF x [1 - (1-d)n] Exemplo prático 2 Vamos ver um exemplo! Para um título com o valor de $100.000,00, com 90 dias para seu vencimento, que é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 38 por fora igual a 1,4% ao mês, o que devemos fazer para determinar o valor presente e o valor deste desconto? Clique nos títulos abaixo e descubra o resultado. Dados VF = $100.000,00 n = 90 dias = 3 meses d = 1,4% ao mês Equação VP = VF x (1-d)n = 100.000 x (1-0,014)3 = $95.858,53 Desconto por fora Df = VF - VP = 100.000 - 95.858,53 = $4.141,47 Atividade proposta Considerando uma taxa de 2% ao mês, no regime de juros compostos, é possível observar, conforme diagrama abaixo, que no final do terceiro mês são depositados $400,00. a) Determine o valor acumulado no final do sexto mês deste depósito; b) Que valor deveria ser investido no final do primeiro mês para que fosse obtido os $400,00 conforme o diagrama? Chave de resposta FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 39 O valor acumulado no final do sexto mês pode ser obtido diretamente utilizado a fórmula do Valor Futuro no regime de juros compostos com n=3, VP = 400,00 e i= 0,02: VF = 400,00(1 + 0,02)3 = $424,48 Para se obter os $400,00 no final do terceiro mês, o valor investido no final do primeiro mês pode ser obtido utilizando a fórmula do Valor Presente no regime de juros compostos com n = 2, VF = $400,00 e i = 0,02: Aprenda Mais Para saber como criar seu fluxo de caixa, assista ao vídeo a seguir: • https://www.youtube.com/watch?v=LTXawJF3Zfw Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 2 a 4 da obra a seguir: • PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed. Referências ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas, 2001, 6. ed. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 40 PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed. Exercícios de fixação Questão1 Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama e compare no final do sexto mês o saldo do caixa sem considerar juros com o saldo, considerando um regime de juros simples com taxa de 5% ao mês. a) Em módulo, há uma diferença de 70% entre o saldo com juros em relação ao sem; b) Em módulo, há uma diferença de 30% entre o saldo com juros em relação ao sem; c) Em módulo, há uma diferença de 50% entre o saldo com juros em relação ao sem; d) Em módulo, há uma diferença de 75% entre o saldo com juros em relação ao sem; e) Em módulo, há uma diferença de 25% entre o saldo com juros em relação ao sem. Questão 2 Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama e compare no final do sexto mês o saldo do caixa sem considerar juros com o saldo, considerando um regime de juros compostos com taxa de 5% ao mês. a) Em módulo, há uma diferença de 37% entre o saldo com juros em relação ao sem; b) Em módulo, há uma diferença de 45% entre o saldo com juros em relação ao sem; FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 41 c) Em módulo, há uma diferença de 32% entre o saldo com juros em relação ao sem; d) Em módulo, há uma diferença de 25% entre o saldo com juros em relação ao sem; e) Em módulo, há uma diferença de 18% entre o saldo com juros em relação ao sem. Questão 3 Considerando que no período zero o Valor Presente (VP) é a soma do transporte de todos os valores dos outros períodos no fluxo de caixa apresentado no diagrama abaixo, considerando um regime de juros simples de 6% ao mês, VP é igual a: a) $125,00 b) $112,27 c) $98,43 d) $104,14 e) $101,23 Questão 4 Considerando que no período zero o Valor Presente (VP) é a soma do transporte de todos os valores dos outros períodos no fluxo de caixa apresentado no diagrama abaixo, considerando um regime de juros compostos de 6% ao mês, VP é igual a: a) $104,14 b) $102,45 c) $99,46 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 42 d) $106,35 e) $101,23 Questão 5 Observe o fluxo de caixa apresentado no diagrama abaixo que descreve a dinâmica dos recebimentos mensais obtidos após investimentos. Considerando juros compostos de 8% ao mês, quando é que o saldo ficou igual a zero? a) Entre o 5º e o 6º mês; b) Entre o 6º e o 7º mês; c) Entre o 7º e o 8º mês; d) Entre o 8º e o 9º mês; e) Entre o 9º e o 10º mês. Questão 6 Determine o valor da taxa mensal de desconto "por dentro", a juro simples, que faz um investimento de $5.000,00 se transformar em $6.800,00, num prazo de 30 meses. a) 1,65% ao mês; b) 0,98% ao mês; c) 1,31% ao mês; d) 1,20% ao mês; e) 1,14% ao mês. Questão 7 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 43 Determine o valor do desconto "por dentro" obtido quando é realizado um investimento com uma taxa de 5% ao mês no regime de juros compostos, que produz um montante acumulado ao fim de 36 meses de $10.000,00. a) $6.892,14 b) $7.686,23 c) $5.744,46 d) $6.931,33 e) $7.764,28 Questão 8 Determine o valor do desconto "por fora" no regime de juros simples com a taxa de 1,4% ao mês de um título de $4.000,00 que vence em 90 dias. a) $168,00 b) $246,00 c) $157,00 d) $195,00 e) $216,00 Questão 9 Determine o valor do desconto "por fora" com taxa de 1,3% ao mês no regime de juros compostos de um título com o valor de $150.000,00 e com 120 dias para seu vencimento. a) $12.549,18 b) $8.943,37 c) $7.649,21 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 44 d) $5.372,55 e) $6.825,41 Questão 10 Considerando um ano comercial de 360 dias, determine a taxa anual de desconto "por fora" correspondente a taxa de desconto "por dentro" de 1,5% ao mês de um título com 30 dias a decorrer. a) 16,65% ao ano; b) 19,98% ao ano; c) 15,31% ao ano; d) 18,20% ao ano; e) 17,73% ao ano. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 45 Aula 3: Sistemas de amortização e Fluxo de Caixa Introdução As pessoas físicas e jurídicas periodicamente realizam pagamentos. A capacidade e/ou conveniência de realizá-los de uma única vez ou parceladamente é considerada no momento do fechamento de um negócio ou da assinatura de um contrato. Esta aula apresenta as regras utilizadas na matemática financeira para cálculos em série de pagamentos, assim como o cálculo de amortizações e equivalência de Fluxo de Caixa. Objetivo: 1. Descrever as séries de pagamentos utilizadas na matemática financeira; 2. Identificar o conceito de equivalência de fluxo de caixa e os sistemas de amortização comumente utilizados. Conteúdo Séries uniformes Inicialmente, desenvolveremos as fórmulas usadas nas soluções de proble-mas envolvendo séries uniformes de pagamentos ou recebi-mentos, no regime de juros compostos. As prestações, pagamentos ou recebimentos, são usualmente conhecidos como a abordagem do Modelo Price, na qual todas as prestações têm um mesmo valor, e normalmente são representadas pela sigla PMT. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 46 Atenção Fórmulas simplificadas para a capitalização e para o desconto de parcelas podem ser obtidas mediante a utilização da expressão para a soma de termos de uma progressão geométrica, que apresentaremos no decorrer desta aula. Obtendo o Valor Futuro correspondente Para entender melhor o que acabamos de ver, vamos considerar o fluxo de caixa a seguir que explicita um pagamento periódico, PMT, com o objetivo de se obter o Valor Futuro correspondente, VF, no final do período: O problema consiste em determinar o montante acumulado VF. Isso acontecerá no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações de uma série uniforme. Todas essas séries possuem o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos. A série uniforme PMT obedece à convenção de final de período, sendo, portanto, denominada uma Série Postecipada! Após exercício algébrico, transportando para o futuro cada prestação para o final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 47 Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VF: http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/a3_exemplos1.pdf para acessar alguns exemplos de exercícios resolvidos. Obtendo o Valor Presente correspondente Agora, vamos considerar o fluxo de caixa a seguir que explicita um pagamento periódico, PMT, com o objetivo de se obter o Valor Presente correspondente, VP, no início do período. A obtenção do VP a partir do pagamento periódico PMT consiste no desconto das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período e no regime de juros compostos. Da mesma maneira como no cálculo do VF, no cálculo do VP a série uniforme PMT obedece à convenção de final de período, sendo, portanto, denominada uma Série Postecipada. Após exercício algébrico, transportando para o presente cada prestação para o final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 48 Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VP: http://pos.estacio.webaula.com.br/Cursos/POS597/docs/a3_exemplos2.pdf para acessar alguns exemplos de exercícios resolvidos. Amortização Tendo sido apresentadas as fórmulas para calcular VF e VP nas séries de pagamentos, consideraremos o conceito de Amortização.Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde aos juros, ou seja, é a parte real que a dívida diminui: Estudo da amortização Observando, por exemplo, o último exercício resolvido, podemos estudar a amortização em cada um dos períodos. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 49 Observando os valores da coluna Amortização podemos perceber que a cada mês os valores seguem a mesma progressão da taxa do período, ou seja, 1%: Podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida a partir da primeira amortização pela fórmula: Ou seja, por exemplo, Conceito de Equivalência de Fluxos de Caixa Considerando uma determinada taxa de juros no regime composto, podemos afirmar que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes se seus Valores Presente (VP) forem iguais. Como estamos no regime de juros compostos, as verificações quanto à equivalência são feitas pela já conhecida fórmula que calcula os valores do fluxo para os períodos desejados. Planos Equivalentes de Financiamento A fim de estudar a equivalência de fluxos de caixa, vamos considerar a situação do exercício resolvido já apresentado (exemplo 2), no qual se determinou o valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 1%, FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 50 no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de $3.000,00. A equação utilizada foi a seguinte: Na condição desse problema, com prestações mensais iguais – Modelo Price, foi possível analisar mês a mês a composição do pagamento, contendo a parcela dos juros e da amortização. Vejamos: O Modelo Price costuma ser utilizado em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao consumidor. Considerando esse fluxo de caixa como exemplo, veremos, a seguir, outras três possibilidades de se pagar o financiamento mantendo-se as mesmas condições de juros e prazo! Outras possibilidades Uma primeira alternativa é considerar um único pagamento no final do prazo. Assim, a amortização da dívida também seria única. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 51 Observando a amortização nesse quadro, o financiamento de $3.000,00 é liquidado em um único pagamento de $3.153,03, no final do quinto mês, que inclui juros de $153,03. Outro fluxo de caixa equivalente possível, também com uma única amortização, seria pagar os juros no final de cada mês e a amortização no último mês. Observando esse quadro, o financiamento de $3.000,00 é liquidado em cinco pagamentos mensais de $30,00, correspondentes aos juros de cada mês, e mais um pagamento de $3.000,00, no final do quinto mês, para a amortização. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 52 Um outro fluxo de caixa equivalente é o que considera as amortizações constantes Sistema de Amortizações Constantes – SAC. Nesse caso, a amortização é obtida pela divisão do VP pelo prazo! Atenção Essa modalidade de pagamento é usualmente utilizada em operações de financiamento imobiliário e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral. Análise dos Planos Equivalentes de Pagamento Considerando as possibilidades apresentadas de fluxo de caixa, podemos verificar a equivalência, pois todos têm o mesmo valor presente de $3.000,00 se descontados na mesma taxa de 1% ao mês. Atenção FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 53 Ao observarmos as várias tabelas com os fluxos, notamos que, de acordo com o plano de pagamento, os valores pagos diferem, dando a impressão de não equivalência. No entanto, se reaplicarmos os juros sacados antes do prazo final nos respectivos planos na mesma taxa de 1% ao mês e realizarmos a soma, obteremos em todos os casos o valor que falta para chegar a $153,03. Juros Médios Considerando uma situação em que a taxa de juros não é conhecida mas sabe- se o valor fixo de uma prestação – Modelo Price, o VP e o prazo PMT = $618,12, VP = $3.000,00 e prazo de 5 meses, por exemplo. Para encontrar um valor aproximado para a taxa de juros pode-se proceder da seguinte maneira: Determinar o prazo médio do financiamento pela média aritmética do prazo com o número 1 (no exemplo, (5+1)/2 = 3 meses). Determinar a porcentagem total de juros em relação a VP (soma dos juros/VP), no exemplo, $90,60/$3.000,00 = 0,0302. Determinar os juros médios dividindo a porcentagem obtida no item 2 pelo prazo no item 1. No exemplo, 0,0302/3 = 0,010067 ou 1,0067% ao mês. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 54 Aplicando esse conceito no fluxo com Sistema de Amortizações Constantes teríamos: Percentual de juros = $90,00/$3.000,00 = 0,03 e, portanto, juros médios de 0,01 ou 1% ao mês. Atividade proposta Sabendo que: • PMT1 = $1.000,00; • PMT2 = $900,00; • PMT3 =$1.312,16. Determine a taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos, que faz com que os dois fluxos de caixa da figura abaixo sejam equivalentes. Aprenda Mais Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 6 e 8 da obra a seguir: • PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 55 Referências ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas, 2001, 6. ed. PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed. Exercícios de fixação Questão 1 Um banco financia automóveis em um prazo de três anos com uma taxa efetiva de 2% ao quadrimestre, no regime de juros compostos. Qual o valor da prestação quadrimestral de um automóvel cujo valor à vista é de $60.000,00? a) $9.433,12 b) $8.250,53 c) $7.350,93 d) $8.233,52 e) $7.455,07 Questão 2 Uma dívida deve ser liquidada em duas prestações quadrimestrais iguais a $1.500,00. Determine o valor do VP dessa dívida sabendo-se que o financiamento foi estabelecido com uma taxa de 2% ao mês no regime de juros compostos. a) $3.118,12 b) $3.021,57 c) $2.855,14 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 56 d) $2.933,12 e) $2.666,01 Questão 3 Um financiamento de $2.000,00 de VP deve ser amortizado em cinco prestações mensais iguais e sucessivas. A taxa de juros no financiamento é de 3% ao mês, no regime de juros compostos. Determine o valor da prestação mensal sabendo que o pagamento da primeira prestação deverá ocorrer no ato da liberação dos recursos. a) $501,37 b) $423,99 c) $467,14 d) $512,12 e) $489,54 Questão 4 Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco depósitos mensais de $600,00. Determine o valor do saldo acumulado no final do oitavo mês após o primeiro depósito. a) $3.242,28 b) $3.123,99 c) $3.567,14 d) $3.312,12 e) $3.489,54 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 57 Questão 5 Sabendo que uma caderneta de poupança oferece uma taxa de juros de 0,5% ao mês, no regime de juros compostos, determine o valor do depósito que acumule um montante de $12.000,00 no final de um ano, imediatamente após o último depósito. a) $942,28 b) $823,99 c) $967,14 d) $814,17 e) $972,80 Questão 6 Considere um financiamento de $3.800,00 contratado para pagamento em dez meses no qual se pagou de juros um total de $265,00. Determine os juros médios desse financiamento. a) 1,1823% ao mês; b) 1,2814%ao mês; c) 0,9831% ao mês; d) 1,2679% ao mês; e) 1,2503% ao mês. Questão 7 Considere os fluxos de caixa abaixo e determine X para que eles sejam equivalentes com uma taxa de juros de 12% ao ano. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 58 a) X= $4.798,47 b) X= $5.697,35 c) X= $4.972,34 d) X= $5.314,58 e) X= $5.064,45 Questão 8 Considere os fluxos equivalentes na figura abaixo e calcule a razão entre PMT1 por PMT2 com uma taxa de juros de 10% ao ano. a) 0,426543; b) 0,245642; c) 0,398192; d) 0,453675; e) 0,547234. Questão 9 O valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de $1.000,00 é de $206,04. Considerando o Modelo Price, o total de juros pagos é de: a) $30,20; b) $26,40 c) $32,25 d) $43,50 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 59 e) $54,60 Questão 10 Um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de $1.000,00 é negociado no modelo de amortizações constantes (SAC). Nesse caso, o total de juros pagos é de: a) $40,00; b) $56,30; c) $45,20; d) $30,00; e) $42,10. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 60 Aula 4: Análise de investimentos Introdução Os empreendedores bem-sucedidos são aqueles que, apesar de tomarem decisões que envolvem riscos, sabem avaliá-los objetivamente. Grande parte das decisões sobre investimentos envolvem cálculos inerentes à matemática financeira, utilizando conceitos e fórmulas para análise de possíveis linhas de ação na tomada de decisão. Nesta aula, apresentaremos algumas metodologias utilizadas na matemática financeira para análise de investimentos, assim como utilizaremos a calculadora HP 12C como ferramenta versátil na solução de diversos problemas. Objetivo: 1. Descrever metodologias para análise de investimentos; 2. Definir a calculadora HP 12C como ferramenta útil e prática para a solução de problemas de matemática financeira. Conteúdo Análise de investimentos Alguns critérios objetivos devem ser observados para que as avaliações possam indicar o melhor caminho a seguir para a análise de um projeto ou de alternativas de investimentos. Inicialmente, é importante observar que, para cada alternativa, os fluxos de caixa correspondentes devem ser conhecidos. Em projetos, obtemos os fluxos de caixa por várias maneiras. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 61 Uma vez conhecidas as receitas e os custos, construímos o fluxo de caixa esperado para um determinado projeto! FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 62 Receitas e custos No que diz respeito aos conceitos relacionados à análise de um projeto ou de alternativas de investimentos, podemos destacar dois importantes: Custo de oportunidade As análises precisam também incluir o chamado custo de oportunidade do capital. O custo de oportunidade é o retorno que se obteria se os recursos do projeto fossem aplicados na melhor alternativa possível ao projeto em questão, considerando que essa alternativa foi abandonada para que se realizasse o projeto. Taxa de atratividade Outro importante conceito correlacionado é o de taxa de atratividade. Considerando que é possível tomar empréstimos no mercado financeiro à taxa de juros de mercado para realizar empreendimentos ou que se possam aplicar os recursos nesse mercado a essa mesma taxa, esta é considerada a mínima taxa de atratividade para o empreendimento, pois reflete o custo de oportunidade do capital. Por essa razão, normalmente adotamos a taxa de juros de mercado para descontarmos fluxos de caixa. Alternativas de investimentos em empreendimentos Para compararmos alternativas de investimentos em empreendimentos, alguns critérios podem ser utilizados. São eles: • Critério do Valor Presente; • Critério da razão Benefício/Custo; • Critério da Taxa Interna de Retorno. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 63 A seguir, traremos de cada um desses critérios! Critério do Valor Presente O valor presente de um empreendimento é o Valor Presente (VP) do seu fluxo de caixa que é obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que reflita o custo de oportunidade do capital investido nesse empreendimento. Considerando o caso de uma única alternativa para o empreendimento, o VP de seu fluxo de caixa indicará a viabilidade desse empreendimento. Vejamos: VP > 0, empreendimento viável VP = 0, indiferente VP < 0, empreendimento inviável Caso o VP do empreendimento for maior ou igual a zero, podemos entender que, para a taxa de juros considerada, o valor que atribuímos hoje às suas receitas futuras é maior ou igual aos custos de sua implantação e de sua futura operação, representando portanto os lucros futuros na data atual. Logo, quanto maior for o VP, melhor o empreendimento. Atenção É comum utilizar o Valor Presente Líquido (VPL), na consideração de cálculo de viabilidade, pois este reflete a receita líquida do empreendimento. Cálculo do Valor Presente Considere o seguinte exemplo de cálculo do VPL em um projeto: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 64 O VPL de $8,41 indica o lucro do empreendimento no final do quinto ano. Como é maior do que zero indica a viabilidade, ou seja, a progressão das receitas supera a dos custos. Análise das alternativas de empreendimentos Quando existem alternativas de empreendimentos a serem analisadas temos de considerar se: As alternativas geram receitas iguais com custos distintos Essa condição se observa quando as receitas seguem um padrão bem definido em uma relação direta com os resultados esperados do projeto. Nesse caso, dispensamos o fluxo de receitas e nos concentramos na análise do fluxo de custos. A alternativa a ser escolhida é aquela que possui o menor VP, indicando menor custo. As alternativas geram receitas iguais com custos distintos Existindo lucro, a alternativa a ser escolhida é aquela que apresenta maior VP, indicando maior lucro esperado. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 65 Quando as alternativas apresentam receitas e custos distintos, é necessário ter uma base única de tempo (duração) para que comparações possam ser feitas. Alternativas com durações distintas não podem ser comparadas. Nesse caso, a saída é repetir as atividades com seus respectivos fluxos no tempo procurando um múltiplo comum, até que se consiga empreendimentos com a mesma duração. Outra abordagem para o caso de receitas e custos distintos é nivelar as durações das alternativas pela menor duração e calcular o valor residual das outras nessa data. Esse procedimento é aplicado quando a repetição do empreendimento para a busca do tempo múltiplo comum conduz a análise num horizonte de tempo tão grande que torna a abordagem pouco realista. Na prática, o que se faz é calcular o VP do resto do fluxo de caixa usando, para isso, a taxa interna de retorno do empreendimento ao invés da taxa de mercado. Critério da Razão Benefício/Custo A razão Benefício/Custo é a razão entre o VP das receitas pelo VP dos custos. Para sabermos se o empreendimento é viável, devemos considerar as seguintes alternativas: B/C > 1 Se a fração for maior do que 1, é porque o VP das receitas é maior, sendo portanto a situação desejável. Conclusão: empreendimento viável. B/C = 1 Se a fração for iguala 1, os VP da receita e custo são iguais, correspondendo a uma situação de indiferença entre realizar ou não o empreendimento. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 66 Conclusão: indiferente. B/C < 1 Se a fração obtida for menor do que 1 é porque o VP dos custos é maior, indicando que o empreendimento não deve ser realizado. Conclusão: empreendimento inviável. Critério da Taxa Interna de Retorno (TIR) A Taxa Interna de Retorno (TIR), é a taxa que torna o VP igual a zero, ou seja, indica o limiar da viabilidade de um empreendimento associado a um determinado fluxo de caixa. Como a expressão algébrica que indica o VP de um fluxo de caixa é um polinômio de grau n, em que n indica o fluxo de caixa mais distante da data de cálculo do VP, ao igualarmos a zero esse polinômio, temos uma equação que matematicamente admite n soluções. Normalmente, a taxa interna de retorno é uma referência. O empreendedor pode comparar a TIR com alguma taxa mínima aceitável, por exemplo, i<sub>0</sub>. Nesse caso, podemos analisar algumas situações: FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 67 Uso da calculadora HP-12C Agora, nós estudaremos os conceitos essenciais para o entendimento das operações financeiras da calculadora HP-12C, que é uma calculadora desenvolvida para atender às demandas de cálculos nas áreas financeira e estatística, capaz de efetuar operações matemáticas e buscar soluções otimizadas via algoritmos nela embutidos. Você conhece essa calculadora? Uma característica da HP-12C é a disposição de várias teclas especiais para cálculos: • Estatísticos Média, desvio-padrão, regressão linear. • Financeiros n, i, PV, PMT e FV. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 68 Características e Operações Básicas A calculadora dispõe de quatro memórias transitórias denominadas X, Y, Z e T. Elas operam como se fossem uma pilha de quatro valores e possuem as seguintes características: A primeira memória, a X, é sempre aquela cujo conteúdo aparece no visor. As memórias Y, Z e T atuam como se estivessem empilhadas nessa ordem em cima da memória X; Os conteúdos das memórias X e Y são utilizados em todas as operações aritméticas; Os conteúdos das quatro memórias são movimentados na sequência do empilhamento quando:• A tecla ENTER é acionada; • São efetuadas operações aritméticas (+,˗, ×, ÷); • São acionadas as teclas R, ou X><Y. O conteúdo de cada uma das memórias pode ser substituído nas movimentações. Por exemplo, quando o conteúdo da memória X é transferido para a memória Y, a Y passa a conter o valor existente em X, e essa continua com seu valor inalterado. Atenção Quando um número é digitado, ele passa a ocupar a memória X. Ao se acionar ENTER o conteúdo de X é transferido para Y, o de Y para Z, o de Z para T, e o conteúdo de T é descartado, ou seja, todos os conteúdos da pilha sobem um nível e o da memória T é perdido. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 69 Para tratar das quatro memórias transitórias da calculadora HP-12C, devemos destacar algumas teclas desse equipamento. Vamos ver quais são elas e para que servem? CHS A tecla CHS troca o sinal (change sign) do conteúdo da memória X. R A tecla R troca os conteúdos das quatro memórias, Y para X, X para T, T para Z e Z para Y. XY A tecla XY permuta os valores das memórias X e Y. CLX A tecla CLX limpa o conteúdo da memória X (clear X). FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 70 Tecla STO (store) É utilizada para armazenar e operar valores em 20 memórias fixas indexadas de 0 a 9 e de .0 a .9. Para armazenar um número em uma das memórias fixas, é preciso digitar o número, STO, e o endereço da memória. Por exemplo, se digitarmos 30, STO e 1, o número 30 será guardado na memória 1. Tecla RCL (recall) Serve para chamar os valores das 20 memórias fixas para o visor da calculadora. Para isso basta digitar o endereço da memória desejada após o RCL. +, ˗, ×, ÷ As teclas +,˗, ×, ÷ efetuam as operações aritméticas com o conteúdo das memórias X e Y utilizando a seguinte lógica: número1, ENTER, número2, operador. A operação é mostrada no visor. Atenção A maioria das teclas da HP-12C tem mais de uma função, o que pode ser observado nas cores amarela ou azul dos símbolos ou caracteres em várias teclas ou acima dessas. O acesso às funções é obtido pelas teclas amarela (f) e azul (g). Para realizarmos as funções amarela ou azul de cada tecla, basta que as teclas amarela (f) e azul (g) sejam, respectivamente, acionadas imediatamente antes de pressionar a tecla desejada. No que diz respeito à limpeza das memórias na HP-12C, essa FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 71 pode ser feita:• Pela tecla CLX (clear X); • Pela função amarela FIN (limpa as cinco memórias financeiras: n, i, PV, PMT e FV); • Pela função amarela REG (limpa de uma vez as memórias transitórias, fixas e financeiras). Vamos ver um exemplo de cálculo feito nessa calculadora? Teclas financeiras Como o objetivo nesta aula é utilizar a calculadora para solução de problemas financeiros, convém apresentar as convenções adotadas para as teclas financeiras: n Número de períodos de capitalização de juros para vários períodos. Os valores de n podem ser números inteiros ou fracionários. i FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 72 Taxa de juros por período de capitalização, expressa em porcentagem. PV Valor Presente (VP). PMT Valor de cada prestação de uma série uniforme que ocorre no final de cada período (série postecipada) ou no início de cada período (série antecipada). FV Valor Futuro (VF). Atenção Para realizar cálculos:• Para uma série postecipada é necessário ativar a função azul END. • Para uma série antecipada, é necessário ativar a função azul BEG. Nesse caso o visor mostra a palavra BEGIN para informar que a função está ativa. Informações básicas Ao utilizarmos a calculadora HP-12C, devemos estar atentos às seguintes informações: A calculadora interliga os cinco elementos financeiros seguindo as regras de juros compostos. Problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com a anulação do quinto elemento, que não participa do problema. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 73 Os valores monetários (PV, FV e PMT) devem ser registrados na calculadora sempre de acordo com a convenção de sinal, isto é, entradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo, e as saídas de caixa (pagamentos) sinal negativo. A calculadora HP-12C aceita o valor de n como um número inteiro ou fracionário, porém é necessário um procedimento adicional para assegurar que o tratamento do regime de juros compostos será feito no caso de n fracionário. Se nada for feito, a calculadora adotará para a parte inteira de n o regime de juros compostos e para a parte fracionária o regime de juros simples. Para garantir o tratamento no regime de juros compostos é acionar as teclas STO e EEX. O visor mostrará a letra C indicando que o cálculo será feito no regime de juros compostos. No caso de fluxos de caixa não homogêneos, ou seja, quando não há regularidade que justifique aplicação de séries de pagamentos/recebimentos, as cinco funções financeiras da HP-12C não são indicadas para o melhor aproveitamento dos cálculos. Essa situação é o caso da maioria dos fluxos de caixa de projetos para os quais normalmente calculamos VPL e TIR. O caminhoindicado é inserir o fluxo de caixa na memória da calculadora pelo uso das teclas azuis (acesso g) CF0 (fluxo no período zero) e CFj (demais fluxos a partir do período 1) e utilizar as funções financeiras NPV (Net Present Value – VPL) e IRR (Internal Rate of Return – Taxa Interna de Retorno). Atividade Proposta Pretende-se vender uma empresa com base em sua expectativa de ganhos futuros. Com base no quadro a seguir, que contém os custos e receitas esperados, partindo-se da premissa de que a taxa de atratividade do negócio é FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 74 de 15% e de que o menor valor de venda da empresa é representado pela sua expectativa de ganhos, calcule o seu VPL e interprete o resultado obtido. Chave de resposta Inicialmente, obtemos o fluxo de caixa correspondente: Utilizando a calculadora HP-12C: 40; CHS; g; CF0; 0; g; CFj; 10; g; CFj; 20; g; CFj; 20; g; CFj; 10; g; CFj; 20; g; CFj. Com o fluxo registrado podemos calcular o VPL: 15; i; f; NPV. O resultado do VPL é, portanto, $5.770.000,00. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 75 Aprenda Mais Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, sugerimos a leitura dos capítulos 6 ao 9 do seguinte livro: • PUCCINI, A. L. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. cap. 2-6. Referências ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas, 2001, 6.ª ed. PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed. Exercícios de fixação Questão 1 A fim de que seja tomada uma decisão quanto à venda de uma empresa calcule o VPL do fluxo de caixa a partir das informações abaixo. A taxa de atratividade é de 10% ao ano. a) 14,12 b) 12,53 c) 10,93 d) 16,89 e) 18,07 Questão 2 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 76 Dada a tabela a seguir com as receitas e os custos de um empreendimento, calcule a razão benefício/custo do mesmo considerando uma taxa de atratividade de 10% ao ano. a) 0,93 b) 0,97 c) 1,07 d) 1,34 e) 1,16 Questão 3 Dado o fluxo de caixa abaixo que representa um empreendimento e calcule sua respectiva Taxa Interna de Retorno (TIR). a) 27,56% a.a. b) 25,00% a.a. c) 26,32% a.a. d) 31,26% a.a. e) 30,72% a.a. Questão 4 Determine o VP do fluxo de caixa da tabela a seguir considerando uma taxa de juros de 12% a.a. a) $229,54 b) $223,99 c) $267,14 FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 77 d) $212,12 e) $289,55 Questão 5 Qual a TIR do projeto cujo fluxo de caixa está transcrito no quadro abaixo? a) 19,26% b) 23,48% c) 16,88% d) 21,65% e) 20,72% Questão 6 Utilizando a calculadora HP-12C, determine o Valor Presente de um financiamento com juros mensais de 2%, no regime de juros compostos, estabelecido em 10 prestações sucessivas mensais iguais a $2.000,00. a) $17.582,76; b) $17.729,27; c) $17.634,12; d) $17.965,17; e) $17.797,21. Questão 7 Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco depósitos mensais de $600,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine o valor do saldo acumulado no final do oitavo mês após o primeiro depósito. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 78 a) $3.242,28 b) $3.123,99 c) $3.567,14 d) $3.312,12 e) $3.489,54 Questão 8 A compra de um automóvel anunciado a $30.000,00 está sendo financiada em 36 prestações mensais de $1.295,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine a taxa efetiva mensal cobrada nesse financiamento, no regime de juros compostos. a) 2,84%; b) 2,73%; c) 2,61%; d) 2,58%; e) 2,43%. Questão 9 O preço à vista de um equipamento é igual a $13.700,00. O anúncio de venda desse equipamento é $3.700,00 de entrada mais 24 prestações mensais de $570,00. Utilizando a calculadora HP-12C, determine a taxa efetiva mensal de juros cobrada na parte financiada. a) 2,68%; b) 2,53%; c) 2,61%; FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 79 d) 2,58%; e) 2,43%. Questão 10 Considere o fluxo de caixa abaixo e utilizando a calculadora HP-12C calcule o VPL para uma taxa de desconto de 12% ao ano. a) $408,00; b) $565,30; c) $451,20; d) $417,02; e) $424,10. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 80 Aula 5: Probabilidade Introdução As situações-problema encontradas no dia a dia do profissional de negócios, em sua grande maioria, não se enquadram nos modelos dos fenômenos determinísticos analisados na física e na engenharia, nos quais observamos nítidas relações de causalidade, como, por exemplo, a variação de velocidade dos corpos atraídos para o centro da Terra (aceleração da gravidade). Nos casos em que é possível examinar relações entre variáveis, porém sem nítida relação de causalidade e com certo grau de aleatoriedade, a modelagem que relaciona as variáveis pode ser feita ao considerarmos o fenômeno como de natureza probabilística. Esta aula apresenta conceitos fundamentais de estatística descritiva e conceitos de correlação e regressão no tratamento de conjuntos de dados entre os quais se deseja estabelecer algum grau de relação. Objetivo: 1. Apontar os fundamentos de estatística descritiva; 2. Definir os conceitos de correlação e regressão e sua importância para as relações entre variáveis. Conteúdo Conceitos elementares: estatística, população e amostra Para iniciar nossos estudos, vamos entender as diferenças entre estatística, população e amostra? FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 81 Estatística É um resumo de dados. Os dados são necessários para gerar informações, tanto para aplicação estratégica quanto operacional, utilizadas para auxiliar na tomada de decisão. Entretanto, os dados brutos são apresentados de maneira desordenada e é necessário decodificá-los em informação e conhecimento. Para isso existem métodos científicos para a coleta, resumo e apresentação de dados que viabilizam análises objetivas para auxílio à solução de problemas. População É um grande conjunto sobre o qual desejamos colher informações. A população que seja considerada de interesse para algum estudo pode ser finita ou infinita, e pode estar mais ou menos acessível. Em alguns casos, é praticamente impossível ter acesso à totalidade do universo em questão. Amostra É um subconjunto de uma população utilizado para coletar dados quando é impraticável observar a totalidade do grupo. Se uma amostra é representativa de sua população de origem, é possível analisar certas características dessa população a partir de medidas colhidas na amostra. A parte da estatística que trata da representatividade chama-se inferência. A parte da estatística que procura somente descrever os dados, sem tirar conclusões sobre um grupo maior, é a estatística descritiva. Tratamento dos dados Essencialmente, o tratamento dos dados é feito em amostras. Para que seja mais fácil de identificar parâmetros de interesse, muitas vezes utilizamos gráficos que nos ajudam a destacar certas estatísticas calculadas. Planilhas eletrônicas com seus recursos gráficos são muito úteis para o cálculo e a apresentação de resultados de estatísticas. FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA 82 O cálculo de estatísticas é feito por meio de fórmulas matemáticas que buscam medir determinadas características de interesse.
Compartilhar