Apostila Integral Definida

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INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
2 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
3 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Calcular a área, utilizando a integral definida, da região delimitada entre o eixo x e a função: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, no intervalo de 1 até 3, conforme o gráfico abaixo. 
4 
 
 
𝐴 = ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥²|1
3 +
3
1
𝑥|1
3 = (9 − 1) + (3 − 1) = 10 𝑢. 𝑎. 
 
Geometricamente faríamos A = Aretângulo + Atriângulo= 2 × 3 + (
2×4
2
) = 6 + 4 = 10 𝑢. 𝑎. 
 
2) Achar a área sob a parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥² de 0 até 2, conforme o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Achar a área sob a função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ de - 2 até 2, conforme o gráfico abaixo. 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções: 𝑦 = 𝑥², 𝑦 = −𝑥 + 2 𝑒 𝑦 = 0, 
conforme o gráfico abaixo: 
 
6 
 
 
 
 
5) Calcular a área, utilizando a integral definida, da região delimitada entre o eixo x e a função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥, no intervalo de 1 até 3, conforme o gráfico abaixo. 
 
 
Exercícios: 
1) Calcular as integrais definidas: 
𝑎) ∫ (𝑥3 + 3𝑥 − 1)𝑑𝑥 =
2
0
 
𝑏) ∫ (
𝑥³
3
− 2𝑥2 + 7𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
2
−2
 
7 
 
𝑐) ∫ (𝑥 + √𝑥
4 ) 𝑑𝑥
1
0
= 
𝑑) ∫ (1 − 𝑥4)𝑑𝑥
1
0
= 
𝑒) ∫ 𝑥 ∙ √𝑥2 + 1 𝑑𝑥 =
1
0
 
 𝑓) ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
=
2) Calcule a área sob o gráfico de cada função no intervalo indicado. Esboce o gráfico da 
função: 
𝑎) 𝑦 =
1
3
𝑥3, 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−1,2] 
𝑏) 𝑦 = 1 − 𝑥2, 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−1, 1] 
𝑐) 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5, 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [1,3] 
 
 
ÁREAS ENTRE CURVAS 
 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
8 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
9 
 
 
 
𝐴 = ∫ [𝑥 + 1 − (𝑥2 − 1)]𝑑𝑥 + ∫ [𝑥2 − 1 − (𝑥 + 1)]𝑑𝑥
3
2
2
0
 
3) Calcule a área da região delimitada pelas funções 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = √𝑥. 
 
Exercícios: 
1. Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e calcule sua área, em 
cada caso abaixo: 
 
𝑎) 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑒 𝑦 = 9 − 𝑥² 𝑑𝑒 𝑥 = −1 𝑎 𝑥 = 2. 
𝑏) 𝑦 = 2 − 𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥² 
𝑐)𝑦2 = 𝑥 𝑒 𝑥 − 2𝑦 = 3 
𝑑) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑒 𝑦 = 𝑥² 
 
 
 
 
10 
 
VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
2) Esboce a região delimitada pelo gráfico da função 𝑦 = 𝑥² entre y = 0 e y = 4 e calcule o volume 
do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo y. Esboce o sólido aproximado típico. 
 
3) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos das funções 
𝑦 = 6 𝑒 𝑦 = 𝑥 + 1 em torno do eixo x de 1 até 4. Faça um esboço da região e do sólido aproximado 
típico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Exercícios: 
1) Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico de cada 
função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo x. 
 
𝑎) 𝑦 = 3𝑥2, [−1, 3] 
 
𝑏) 𝑦 = √9 − 𝑥2, [−1, 3] 
 
2) Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas em 
torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares. 
𝑎) 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = 2𝑥, 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
𝑏) 𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑒 𝑦 = −𝑥 + 3, 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
𝑐) 𝑥 = 𝑦2𝑒 𝑥 − 2 = 𝑦, 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
 
 Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos 
caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os 
pontos finais dos segmentos. 
 
Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em relação a x) 
são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela 
fórmula: 
 
 
Exemplo 1: 
Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4√2) 
Se isolarmos y: 
 
Logo, 
   dxxfsab
b
a 
2
'1 
2
3
3 24 xxy 
2
1
3' x
dx
dy
y 
13 
 
 
O comprimento do arco será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determinar o comprimento de arco da curva descrita por 𝑦 =
𝑥
2
+ 1 , com x no intervalo [0, 3] . 
2) Calcule o comprimento segmento da reta 𝑥 + 3𝑦 = 4 do ponto (-2, 2) ao ponto (4,0). 
 
 
Área de uma Superfície de Revolução 
 
 Para calcularmos a área de uma superfície de revolução gerada ao fazer girar a parte da 
curva y = f(x) entre x = a e x = b, em torno do eixo x, utilizaremos a seguinte fórmula: 
 
𝑆 = ∫ 2𝜋𝑓(𝑥)√1 + (𝑓′(𝑥))²
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
Além disso, se g for não-negativa e x = g(y) for uma curva suave em [c, d], então a área da 
superfície gerada ao fazer girar a parte da curva x = g(y) entre y = c e y = d, em torno do eixo y, 
pode ser expressa como 
 
𝑆 = ∫ 2𝜋𝑔(𝑦)√1 + (𝑔′(𝑦))²
𝑑
𝑐
𝑑𝑥 = ∫ 2𝜋𝑥√1 + (
𝑑𝑥
𝑑𝑦
) ²
𝑑
𝑐
𝑑𝑦 
Exemplo: 
1) Ache a área da superfície gerada ao girar em torno do eixo x a parte da curva 𝑦 = 𝑥³ entre x = 0 e x = 1. 
dxxds  







2
0
2
2
1
31 dxx 
2
0
91
ux 91
dxdu 9
9
du
dx 
duu 
9
1 2
0
2
1
      11919
27
2
91
27
2
3
2
9
1
2
0
2
3
2
0
2
3
 xu
dxxdsab   







2
0
2
2
1
31
14 
 
Solução: uma vez que 𝑦 = 𝑥³ 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥², e portanto, a partir da fórmula a área S da superfície é: 
𝑆 = ∫ 2𝜋𝑦√1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) ²
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ 2𝜋𝑥³√1 + (3𝑥2)²𝑑𝑥
1
0
= 2𝜋 ∫ 𝑥³(1 + 9𝑥4)
1
2𝑑𝑥 =
1
0
 
{
𝑢 = 1 + 9𝑥4
𝑑𝑢 = 36𝑥³𝑑𝑥
𝑑𝑢
36
= 𝑥³𝑑𝑥
 
2𝜋 ∫ 𝑢
1
2 ∙
𝑑𝑢
36
=
2𝜋
36
∫ 𝑢
1
2𝑑𝑢 =
2𝜋
36
∙
𝑢
1
2+1
1
2
+1
𝑑𝑢 =
2𝜋
36
∙
2
3
(1 + 9𝑥4)
3
2]
1
0
1
0
1
0
=
𝜋
27
(10
3
2 − 1
3
2) =
𝜋
27
(10
3
2 − 1) ≈ 3,56 
 
Exercícios: 
1) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada 
por 𝑦 = √𝑥, em [1, 4]. 
 
2) Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, da curva 𝑦 = √4 − 𝑥2, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 
em torno do eixo x. 
 
TRABALHO 
 
O trabalho realizado por uma força variável F(x) na direção do eixo x, de x = a até x = b, é 
𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥
𝑏
𝑎
 
A unidade da integral será joules, se F estiver em newtons e x em metros, ou pés-libras, se 
F estiver em libras e x em pés. 
 
Exemplos: 
 
1) O trabalho realizado por uma força de 𝐹(𝑥) =
1
𝑥2
𝑁 ao longo do eixo x, de x = 1m a x = 10m é 
𝑊 = ∫
1
𝑥²
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 =
𝑥−2+1
−2 + 1
⌉
1
10
= −
1
𝑥
⌉
1
10
= −
1
10
− (−
1
1
) = −
1
10
+ 1 = 0,9𝐽 
 
15 
 
2) Uma mola cujo tamanho natural é de 15 cm exerce uma força de 45N, quando esticada até um 
comprimento de 20 cm. 
a) Ache a constante da mola (em N/m). 
b) Ache o trabalhorealizado ao esticar a mola 3 cm além do seu tamanho natural. 
c) Ache o trabalho realizado ao esticar a mola de 20 para 25 cm. 
 
Exercícios: 
 
1) Uma mola cujo tamanho natural é 0,2m exerce uma força de 30N quando esticada até o 
comprimento de 0,25m. 
a) Determine a constante da mola; 
b) Determine o trabalho realizado ao esticar a mola de 0,25m para 0,30m. 
 
2) Uma mola de 25cm de comprimento natural sofre uma distensão de 3,8cm sob um peso de 35N. 
Ache o trabalho realizado para distender a mola: 
a) de seu comprimento para 35,5cm. 
b) de 28cm para 33cm. 
 
ENERGIA 
 
Em física a expressão (
1
2
) 𝑚 ∙ 𝑣² é chamada de energia cinética de um corpo em movimento 
com velocidade v. Portanto, o trabalho realizado por uma força é igual a variação da energia cinética 
do corpo e podemos determinar o trabalho calculando essa variação. 
 
CENTRÓIDE 
 
 O centróide de uma região plana (R) é definido como o centro de massa da região. O centro 
de massa é o ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar. 
 As coordenadas (�̅�, �̅�) do centróide são dadas por: 
�̅� =
1
𝐴
∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑥 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 
16 
 
�̅� =
1
2𝐴
∫ [𝑓2(𝑥) − 𝑔2(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
 
Exemplos: 
1) Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva 𝑦2 = 2𝑥 e o eixo x, no 
intervalo [0,3]. 
 
Exercícios: 
 
1) Achar o centróide da figura entre as duas curvas 𝑦 = 𝑥3𝑒 𝑦 = √𝑥. 
 
2) Achar o centróide de uma semicircunferência de função 𝑦2 = 4 − 𝑥2 , no intervalo [−2, 2], 
sabendo que a área da região é igual a 2𝜋 𝑢. 𝑎.