Aula 00 Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática (1)

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Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015
Teoria e exercícios comentados
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AULA 0:
5. Matrizes.
SUMARIO
Cronograma. ........................................................................................ 3
I. Matrizes..............................................................................................6
II. Mais Questões Comentadas.............................................................. 21
III. Lista das Questões Apresentadas.....................................................25
Receita Federal
Olá Pessoal!
O concurso da Receita Federal é, sem dúvida, um dos mais aguardados 
entre os concurseiros! E para você mandar bem nesse concurso, é 
FUNDAMENTAL se preparar com antecedência. Assim, você sai na frente 
dos seus concorrentes e não é pego de surpresa quando sair o edital!
Nossas aulas estão bem distribuídas até o fim do ano para que você possa 
se preparar com calma, sem correria! Assim, quando sair o edital em 2015, 
você só precisará revisar os conceitos aprendidos!
Este Curso está atualizado com todas as provas aplicadas pela ESAF 
em 2014: AFRFB 2014, MTUR 2014 e ATA 2014
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Meu nome é Felipe Lessa, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, 
aprovado no concurso de 2009 e é com muito prazer que venho até aqui 
para me apresentar e falar um pouquinho da minha trajetória até chegar 
aqui.
Sou engenheiro de telecomunicações formado pelo IME (Instituto Militar de 
Engenharia) na turma de 2004. Sou um desses apaixonados pela arte dos 
números e espero poder passar um pouco desse gosto para vocês. Afinal, 
dominar bem o Raciocínio Lógico é pré-requisito para ir bem em qualquer 
matéria. Lembro-me bem que, em 2010, no curso de formação para os 
aprovados na RFB, o instrutor perguntou quem era engenheiro e pude notar 
que mais de 60% dos aprovados levantaram a mão.
Por que os engenheiros se dão bem em concursos públicos? Porque são 
formados para pensar logicamente! Quantas e quantas vezes eu acertei 
questões de Direito sem saber do que ela se tratava mas apenas usando 
conceitos de raciocínio lógico. É isso que eu espero passar para você nesse 
curso, caro aluno!
Minha experiência em concursos públicos começou bem cedo: aos 14 anos. 
O Colégio Militar do RJ, pela primeira vez em sua história, resolveu abrir 
concurso para o Ensino Médio e ofereceu apenas 20 vagas...
Quando comecei a estudar, meu foco passou a ser unicamente este. E 
sempre que as pessoas me perguntavam quantas vagas tinham, eu 
respondia: Dezenove, pois uma já é minha!". Dito e feito! Fiz as quatro
provas do Colégio Militar e saiu o resultado: 1° LUGAR GERAL!!!!!
A essa hora, você deve estar pensando: "- Ih... Cara metido... Precisava 
encher a boca pra dizer que foi 01 do Concurso? Só quer saber de contar 
vantagem".
Mas não, caro amigo! Estou dizendo isso porque a partir de agora seu 
pensamento tem que ser este. Estude como se uma das n vagas já fosse 
sua e a cada um que perguntar quantas vagas tem para a RFB, responda: 
''- (n - 1), porque uma já é minha!"
Por fim, quero dizer mais uma vez que é um imenso prazer poder fazer 
parte desta seleta equipe do Estratégia Concursos e que me empenharei 
ao máximo para tentar fazer parecer fácil essa matéria da qual muitos 
fogem e têm medo: Racioc ín io Lóg ico-Q uantita tivo e Matem ática.
* * *
Voltando aos estudos, uma estratégia que utilizei e recomendo para 
aqueles que não têm muito tempo para frequentar aulas, como eu não
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tinha, pois trabalhava e fazia mestrado, é: fujam das aulas presenciais. 
Muitas vezes, o que um professor leva 3 horas explicando para uma turma 
de 80 alunos, você aprende em 30-40 minutos de estudo bem concentrado. 
Ah, mas é claro: é sempre bom ter um professor com quem você pode tirar 
suas dúvidas. Desta forma, você leva ao professor somente a sua dúvida e 
ganha tempo! No nosso curso, ainda temos os vídeos para ajudar!
Para preparar este curso de RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO E 
MATEMATICA P/ AFRFB 2015, tomei por base o EDITAL ESAF N° 18, 
DE 07 DE MARÇO DE 2014. Nosso curso apresentará, de um modo bem 
interativo, a teoria que cerca a matéria, muitos exercícios resolvidos da 
ESAF e Vídeo-Aulas que complementam o material escrito. Quando eu 
achar pertinente, trarei exercícios de outras bancas.
Por fim, quero deixar um recado: fiquem tranquilos! Não tenham medo da 
Lógica!
Absorvendo os conceitos que trarei neste Curso, você vai ver que ela pode 
ser sua melhor amiga em qualquer disciplina de qualquer concurso.
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Cronograma
O cronograma do curso está baseado nos itens do próprio Edital de 2014, 
mais ou menos na ordem em que aparecem, abrangendo todo o conteúdo 
cobrado nele.
Faremos assim:
AULA CONTEÚDO DATA
Aula 0 5. Matrizes. 05/06
Aula 1
1. Estruturas Lógicas - Associação Lógica / 
Verdades e Mentiras
15/06
Aula 2 1. Estruturas Lógicas - Lógica de Proposições 25/06
Aula 3 1. Estruturas Lógicas - Equivalência Lógica 05/07
Aula 4 2. Lógica de Argumentação 15/07
Aula 5 2. Lógica de Argumentação (Exercícios Extras) 25/07
Aula 6 3. Diagramas Lógicos 05/08
Aula 7
11. Compreensão e elaboração da lógica das 
situações por meio de: raciocínio sequencial; 
orientação espacial e temporal; formação de 
conceitos; discriminação de elementos
15/08
Aula 8
6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático - parte I: 
Numeração; Números Naturais: múltiplos, 
divisores, divisibilidade e restos; MDC e MMC
25/08
Aula 9
6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático - parte II: 
Números Fracionários; Operações com Frações; 
Dízimas Periódicas; Porcentagem
05/09
Aula 10
6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático - parte III: 
Aplicações e Operações com Inequações; 
Sequencias e Séries; Progressão Aritmética; 
Progressão Geométrica
15/09
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Aula 11
6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático - parte 
IV: Logaritmos; Radiciação e Potenciação; 
Fatoração Algébrica
25/09
Aula 12
6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático - parte V: 
Sistemas de Unidade; Razões e Proporções; 
Escalas; Divisão Proporcional; Regra de Três 
Simples ou Composta
05/10
Aula 13
6. Álgebra. 11. Raciocínio Matemático - parte 
VI: Teoria dos Conjuntos; Relações e Funções de 
primeiro e segundo grau
15/10
Aula 14 7. Combinações, Arranjos e Permutação 25/10
Aula 15
7. Combinações, Arranjos e Permutação - 
Exercícios de Análise Combinatória com 
Probabilidade
05/11
Aula 16
5. Matrizes, Determinantes e Solução de 
Sistemas Lineares.
15/11
Aula 17 4. Trigonometria. 25/11
Aula 18 9. Geometria Básica 05/12
Aula 19
10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, 
Desconto
15/12
Aula 20
10. Equivalência de Capitais, Anuidades
25/12
Aula 21 10 Sistemas de Amortização 31/12
Agora, chega de enrolação rsrsrs! 
Vamos a nossa Aula Demonstrativa?!?
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Estratégia
r n N r i i R < ; n < ;C O N C U R S O S
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I. Matrizes
Uma matriz, grosso modo falando, é uma tabela onde armazenamos 
números. Ela pode ser representada por parêntesis ou colchetes. Assim, 
seja a matriz A. Veja como ela pode ser representada:
Como toda boa tabela, uma matriz possui linhas e colunas. Identifique-as:
Outro conceito que devemos ter em mente sempre ao trabalharmos com 
matrizes é o de ordem da m atriz. A ordem de uma matriz nada mais é do 
que o seu tamanho, representado pela quantidade de linhas e colunas. 
Podemos afirmar que a matriz A do nosso exemplo inicial é de ordem 3x3 
(três por três), porque possui 3 linhas e 3 colunas. Representamos assim: 
A3x3, onde o primeiro 3 representa as linhas e o segundo 3, as colunas.
Dessa forma, podemos escrever uma matriz na forma geral Amxn, o que 
significa que ela tem m linhas e n colunas.
Assunto de interesse relevante para provas de concurso é a identificação 
dos e lem entos da m atriz. Representaremos por aij, o elemento da linha i 
e da coluna j da matriz.
Assim, podemos escrever uma matriz mxn na sua forma genérica:
1 5 5 
9 8 7 
1 0 6
COLUNAS
LINHAS
Notação Geral
a l l a 12 ■" a ln
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Uma coisa que a ESAF adora é dar uma 
Formação"para os elementos da matriz. 
Exemplo: Seja a matriz A2x2, onde aij = i+j.
A = '2
3
3>
4>
"Lei de
Vamos praticar?
Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 (e mais 3 concursos)
Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas 
colunas, são dados por:
_ _ { ( i + Í ) 2>se i = j 
í} ( i 2 + j 2, se i * j
Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha 
i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de 
A3X2 é igual a:
a) 17
b) 15
c) 12
d) 19
e) 13
SOLUÇÃO:
A questão quer saber a soma dos elementos da primeira coluna da matriz 
A, ou seja: a ii + a2i + a3i
Pela lei de formação da matriz A: 
an = (1 + 1)2 = 4 
a21 = 22+12 = 5 
a31 = 32+12 = 10
Gabarito: Letra D
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Tipos de Matrizes
Passo a apresentar agora algumas "matrizes diferentes" antes de entramos 
nas operações com matrizes propriamente ditas.
Matriz Coluna: é a matriz formada por uma única coluna. Exemplo:
5^x1 —
4­
7
0
1
5J
Matriz Linha: é a matriz formada por uma única linha. Exemplo:
Aix6 = [2 4 6 0 1 4]
Matriz Quadrada: é a matriz que tem número de linhas igual ao número 
de colunas. Exemplo:
'2 4 6 0 ' 
1 3 1 2 
1 8 1 9
. 2624.
Na matriz quadrada, podemos identificar dois conceitos novos: a diagonal 
principal e a diagonal secundária. Os elementos que compõem a diagonal 
principal no exemplo abaixo são: 2, 3, 1, 4. Já a diagonal secundária é 
composta pelos elementos: 0, 1, 8, 2. Observe:
DIAGONAL DIAGONAL
SECUNDÁRIA PRINCIPAL
Matriz Diagonal: é a matriz quadrada em que todos os elementos fora da 
diagonal principal são iguais a zero. Exemplo:
A4x4
'2 0 0 0' 
0 3 0 0 
0 0 1 0 
. 0004.
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Matriz Triangular: é a matriz quadrada em que todos os elementos acima 
ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo:
'2 0 0 0' '2 9 9 8'
• 4^x4 _
3 3 o o 
7 1 1 o OU ^4x4 —
o 3 7 6 
o o 1 4
. 1 8 2 4 . . 0 0 0 4 .
Matriz Identidade: é a matriz onde os elementos da diagonal principal 
são iguais a um e os demais iguais a zero. A matriz identidade tem várias 
propriedades interessantes. Aguarde e verás...
Exemplo:
2^ f 1Vo 1)
/4 =
1 0 0 0 ' 
o 1 o o 
o o 1 o 
. 0001.
Matriz Transposta: a matriz transposta At de uma matriz A é uma nova 
matriz onde suas linhas são as colunas de A. Simples assim! Exemplo:
A
'2 4 6 0 ' 
1 3 1 2 
1 8 1 9
.2 6 2 4.
' 2 1 1 2 ' 
4 3 8 6 
6 1 1 2 
.0 2 9 4 .
Matriz Simétrica: diz-se que uma matriz é simétrica quando ela é igual a 
sua transposta (A=At ou aij=aji). Repare que os elementos das linhas e 
colunas de mesmo índice são iguais; a linha 1 é igual à coluna 1, e assim 
por diante. Exemplo:
[2 4 6 0 '
4 = 4 3 1 2
6 119 
.0 2 9 4.
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t>:
Matriz Antissimétrica: diz-se que uma matriz é antissimétrica quando a
sua transposta coincide com sua oposta (-A=At ou aij=-aji). Repare que os 
elementos das linhas e colunas de mesmo índice são opostos; a linha 1 é 
igual a "menos" a coluna 1, e assim por diante. Exemplo:
A =
1 2 3
- 2 4 - 1 
- 3 1 5
Questão 2: ESAF - AFRFB/2014
A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada 
por an = 0; a 12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; 
a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A 
seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 
deverão ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
e) -4; -2; -2; -2.
SOLUÇÃO:
Uma matriz antissimétrica é aquela cuja transposta coincide com sua oposta, 
ou seja,
At=-A
ou
Uij = -Q.]í
A matriz do enunciado é:
0 - 4 2 '
A = X 0 1 — z
y 2 z 0
Para que seja antissimétrica, precisamos ter:
x= -(-4)
y = - 2
1—z=— 2 z 
Logo,
x=4 
y= -2 
z=—1
Nosso matriz fica:
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Gabarito: Letra C
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0 - 4 2
4 0 2
- 2 - 2 0
Matriz Inversa: a matriz inversa (A-1) de uma matriz quadrada (A) é 
aquela que, multiplicada por esta, resulta na matriz identidade. Assim:
A -A-1 = I
Para achar a inversa de uma matriz 2x2, é só:
1. trocar de lugar os elementos da diagonal principal;
2. multiplicar por -1 os elementos da diagonal secundária;
3. Dividir os elementos pelo determinante de A (detA).
Veremos mais adiante o conceito de determinante mas, por ora, saiba 
que o determinante de uma matriz 2x2 é o produto dos elementos 
da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal 
secundária.
Assim:
Se A = ( a , entãoc d
d - b
 ^ . f d — detA detA
detA —c a ~ c a
detA detA
onde detA = ad — bc
O cálculo da inversa de matrizes de ordem superior a 2 é 
extremamente complicado e eu nunca vi cair em concurso! Como 
este é um curso voltado para o que cai em prova e não um 
doutorado em matemática, vou pular essa parte, ok? É suficiente 
para sua prova saber a inversa de uma matriz 2x2
Exemplo: Seja a Matriz A, calcule sua inversa:
Ora, basta seguir a nossa fórmula mágica:
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detA = 3 x 1 — 0x 6 = 3
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Operações com Matrizes
Adição/Subtração de Matrizes: Para somar ou subtrair matrizes, basta 
fazer a operação elemento a elemento.
Exemplo: Calcule o soma da matriz A com a matriz B.
Questão de prova que envolve os conceitos de soma de matrizes...
Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004 
Genericamente,qualquer elemento de uma matriz M pode ser 
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = ( a j e 
B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos 
elementos x31 e x 13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
SOLUÇÃO:
Sabemos que X31 = a3i + b3i
Pela lei de formação da matriz A, a3i= 3 2= 9
Pela lei de formação da matriz B, b31=(3 - 1) 2 = 4
Então, x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13
Sabemos também que x13 = a13 + b13 
Pela lei de formação da matriz A, a13=12=1 
Pela lei de formação da matriz B, b13=(1 - 3) 2 = 4 
Então, x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5
x31' x13 = 13'5 = 65
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Gabarito: Letra D
Multiplicação/Divisão de Matrizes por
multiplicar ou dividir matrizes por um número 
elemento a elemento.
Exemplo: Calcule o valor de 3xA:
A = (3
2) 
4 J
um número real: Para 
real, basta fazer a operação
/ 3 x 1 3 x2 \ _ / 3 6 \
V3x3 3x4J ~ V9 12)
Multiplicação de Matrizes: A multiplicação de duas matrizes A e B é um 
pouquinho mais complicada, mas nada impossível! Cada elemento (cij) da 
matriz C resultado do produto é formado pela multiplicação ordenada de 
cada elemento da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz 
B.
- Poxa vida, Professor! Não entendi nada!
- Eu sei, caro Aluno! É meio enrolado mesmo! Mas vamos fazer um exemplo 
para clarear as ideias...
Exemplo: Calcule o produto da matriz A pela matriz B.
Seja a matriz C o resultado do produto A-B. Cada elemento Cj será assim 
formado:
• C11 = a iib ii + ai2b2i
* - e 4 ) •
Cii = ix 0 + 2x3 = 6
• Ci2 = aiib i2 + ai2b22
‘ ■ ( 3 4) •
B = g 1)
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Estratégia
C O N C U R S O S
C12 = 1x1 + 2x1 = 3
• C21 = 321011 + S22Ò21
e B =
C21 = 3x0 + 4x3 = 12
• C22 = S21Ò12 + S22Ò22
C22 = 3x1 + 4x1 = 7
Logo, a nossa matriz C = A-B fica assim:
C11 c12 
C21 c22
6 3 
12 7
Entendido até aqui????
Nada melhor do que uma questão da ESAF para treinarmos um pouco!
Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004 
Sejam as matrizes
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , 
isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as 
matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x 12 é igual a
a) 2
b) 1/2
c) 3
d) 1/3
e) 1
SOLUÇÃO:
A primeira coisa a ser feita é o produto AB:
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3
2
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Teoria e exercícios comentados
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X = AB =
1 x 1 + 4x 1 1x 3 + 4x2 1 x4 + 4x 3 1x5 + 4x4
2 x 1 + 6x 1 2 x 3 + 6x2 2x4 + 6x3 2x5 + 6x4
3 x 1 + 3 x 1 3 x 3 + 3 x2 3 x4 + 3 x 3 3 x 5 + 3 x4.
/5 11 16 2 i \
AB = 18 1 8 2 6 3 4 I
\6 15 21 27 /
Nosso próximo passo é encontrar X, a transposta de AB:
X = (ABy
X 31
x 12
Í S ®
6
I 1 1 18 15
U 6 26 21
V21 34 27
16
8
2
Gabarito: Letra A
Para multiplicar matrizes, existe uma observação importante. Este 
produto só será possível quando o número de colunas da primeira 
matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
Exemplo: Sejam as matrizes A3x7 e B7x6. Verifique se o produto A ■ B é 
possível. Se sim, qual a ordem da matriz A ■ B?
Essa é muito fácil: Basta verificar se o número de colunas de A é igual ao 
número de linhas de B.
A 3 x7 ' B 7 x6
Como ambos são iguais a 7, o produto é possível sim! Para determinar a 
ordem da matriz resultado, tem um macete! Ela terá o mesmo número de 
linhas de A e o mesmo número de colunas de B
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A3x7 ' B7x6
Assim, a ordem da matriz resultado do produto A ■ B será 3x6.
Questão 5: ESAF - TFC/1997
Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), 
(3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 6 x 6
e) 12 x 12
SOLUÇÃO:
Questão fácil, típica de ordem de produto de matrizes!
Vamos por partes, o produto BC tem ordem:
B 3 x4 ' C4x2
Assim, a ordem da matriz resultado do produto B ■ C será 3x2. 
Agora, o produto A(BC) tem ordem:
A 2 x3 ' B C 3 x2
Assim, a ordem da matriz resultadp do produto A(BC) será 2x2. 
Agora, o produto [A(BC)]2 = [A(BC)] [A(BC)] tem ordem:
A(BC) 2x2 ■ A(BC) 2x2
Assim, a ordem da matriz resultado do produto [A(BC)]2 será 2x2.
Gabarito: Letra A
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r n N r i i R < ; n < ;C O N C U R S O S
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Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
1. Associativa: (A-B)-C = A-(B-C)
2. Distributiva: A-(B+C) = A'B + A 'C / (A + B)'C = A'C + B'C
3. Elemento Neutro: A-I = I-A = A, onde I é a matriz identidade.
4. (A.B) = BtiAt
5. A -A-1 = I
6. (A.B)-1 = B'1-A-1
Vamos ver como essas propriedades foram cobradas pela ESAF?
Questão 6: ESAF - AFTN/1998 
Sejam as matrizes:
E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz 
transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o 
valor de x é:
a ) -7/8
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
SOLUÇÃO:
A primeira coisa que devemos fazer é o produto AB. Se você reparar bem, 
antes de cair dentro das contas, perceba que a matriz A é a matriz 
identidade, ou seja, o produto dela por qualquer outra é igual a esta última. 
Assim, AB = B.
Logo, Y = B + C:
3 /5 - 7 /8
4 /7 25/4.
\ / O 0 \
) + ^3 / 7 - 2 9/4J
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Nosso próximo passo é calcular a transposta de Y (Yt). O que era linha vira 
coluna!
A soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y é:
1 + (- 1) = 0
Gabarito: Letra C
Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005
A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares 
e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto 
A'Z'B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, 
é igual a:
a) A-1 B C
b) A C-1 B-1
c) A-1 C B-1
d) A B C-1
e) C-1 B-1 A-1
SOLUÇÃO:
Na multiplicação de matrizes, não vale a propriedade comutativa, ou seja, 
a ordem em que são multiplicadas importa.
Sabemos que C = A Z B.
Temos que isolar a matriz Z. Para tanto, nessas questões, procuramos 
multiplicar sempre pela matriz inversa de outras matrizes. Você verá o 
porquê.
Vamos multiplicar à direita, em ambos os lados da igualdade, por B-1.
C B-1 = A Z B B-1
Ora, sabemos que o produto B B-1 é igual à matriz identidade:
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C B-1 = A Z I
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Como a matriz identidade é o elemento neutro desta multiplicação de 
matrizes, podemos escrever:
C B-1 = A Z
Para isolar a matriz Z na igualdade, multiplicamos à esquerda por A-1
A -1C B-1 = A -1A Z
Ora, sabemos que o produto A-1A é igual à matriz identidade:
A-1C B-1 = I Z = Z
Logo, Z = A-1C B-1 
Gabarito: Letra C
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II. Mais Questões Comentadas...
Questão 8: ESAF - MPOG/2003
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser 
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = ( a j e 
B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, então a 
soma dos elementos x31 e x 13 é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
SOLUÇÃO:
Sabemos que X31 = a3i + b3i 
Pela lei de formação da matriz A, a3i = 32 - 12 = 8
Pela lei de formação da matriz B, b31 = (3 + 1)2 = 16
Então, x31 = a31 + b31 = 8 + 16 = 24
Sabemos também que x13 = a13 + b13 
Pela lei de formação da matriz A, an = 12 - 32 = - 8
Pela lei de formação da matriz B, b13 = (1 + 3)2 = 16
Então, x13 = a13 + b13 = -8 + 16 = 8
x31 + x13 = 24 + 8 = 32 
Gabarito: Letra C
Questão 9: ESAF - Técnico/MPU/Administrativa/2004 
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes A = ( a j e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que 
bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual 
a:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
e) 6
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SOLUCAO:
Sabemos que S22 = a22 + b22 
Pela lei de formação da matriz A, a22 = 22 + 22 = 8
Pela lei de formação da matriz B, b22 =22 = 4
Então, s22 = a22 + b22 = 8 + 4 = 12
Sabemos também que s12 = a12 + b12 
Pela lei de formação da matriz A, a12 = 12 + 22 = 5
Pela lei de formação da matriz B, b12 =12 = 1
Então, s12 = a12 + b12 = 5 + 1 = 6
Gabarito: Letra D
Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001
A matriz S = sj, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes A = ( a j e B=(bj).
Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos 
elementos s31 e s13 é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
SOLUÇÃO:
Sabemos que s31 = a31 + b31 
Pela lei de formação da matriz A, a31=32+12=10 
Pela lei de formação da matriz B, b31 =2m3 m 1 = 6 
Então, s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16
Sabemos também que sn = an + bn 
Pela lei de formação da matriz A, a13=12+32=10 
Pela lei de formação da matriz B, b13=2-1 ■ 3 = 6 
Então, s13 = a13 + bn = 10 + 6 = 16
s31+ s13 = 16 + 16 = 32 
Gabarito: Letra E
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Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002
De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode 
ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = ( a j e 
B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij 
= (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz 
S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
SOLUÇÃO:
A questão quer saber a soma dos elementos da primeira Unha da matriz S, 
ou seja: su + s12 + s13
Sabemos que s11 = a11 + b11 
Pela lei de formação da matriz A, au = 12+12 = 2 
Pela lei de formação da matriz B, bu = (1 + 1)2 = 4 
Então, su = au + bu = 2 + 4 = 6
Sabemos que s12 = a12 + b12 
Pela lei de formação da matriz A, a12 = 12+22 = 5 
Pela lei de formação da matriz B, b12 = (1 + 2)2 = 9 
Então, s12 = a12 + bu = 5 + 9 = 14
Sabemos que s13 = a13 + b13 
Pela lei de formação da matriz A, a13 = 12+32 = 10 
Pela lei de formação da matriz B, bu = (1 + 3)2 = 16 
Então, s13 = a13 + bu = 10 + 16 = 26
su + s12 + s13 = 6 + 14 + 26 = 46
Gabarito: Letra D
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Questão 12: ESAF -TFC/1995
Dadas as matrizes A= B = ( )^ e X = (®), assinale os valores
de a e b, de modo que AX = B.
a) a=0 e b=1;
b) a = 1 e b=0;
c) a=0 e b=0;
d) a = 1 e b=1;
e) a = 0 e b=-1;
SOLUÇÃO:
A primeira coisa a ser feita é o produto AX. Perceba que A é 2x2 e X é 2x1. 
Logo, a ordem do produto AX será 2x1
AX
Igualando AX a B, temos:
AX
/ lxa + 2 xb\ _ a + 2 b
V Oxa + lxb) V b
< a+b 2 2) = (2; ) = B
Se as matrizes são iguais, é porque os elementos são iguais um a um. 
Logo, b = 1;
a+2b=2;
Substituindo o valor de b na equação acima, temos: 
a + 2x1 = 2 
a = 0
Gabarito: Letra A
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r n N r i i R < ; n < ;C O N C U R S O S
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III. Lista das Questões Apresentadas
Questão 1: ESAF - TSIET/Estradas/2013 (e mais 3 concursos)
Os elementos de uma matriz A3X2, isto é, com três linhas e duas 
colunas, são dados por:
Em que aij representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha 
i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 
é igual a:
a) 17
b) 15
c) 12
d) 19
e) 13
Questão 2: ESAF - AFRFB/2014
A matriz quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por
an = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 
= 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja 
uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão 
ser, respectivamente, iguais a:
a) 4; -2; -2; -2.
b) 4; -2; 2; -2.
c) 4; 2; -2; -2.
d) -4; -2; 2; -2.
e) -4; -2; -2; -2.
Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/Auditoria e Fiscalização/2004 
Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser 
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em 
que esse elemento se localizg. Uma matriz X = xij, de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e 
B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos 
elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
Questão 4: ESAF -Técnico MPU Administrativa/2004 
Sejam as matrizes
(í + j ) 2,se i = j 
i 2 + j 2, se i ^j
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r n N r i i R < ; n < ;C O N C U R S O S
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(i D * ■-<
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , 
isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes 
A e B. Assim, a razão entre x31 e x 12 é igual a
a) 2
b) 1/2
c) 3
d) 1/3
e) 1
Questão 5: ESAF - TFC/1997
Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), 
(3x4) e (4x2), então a expressão [A(BC)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 6 x 6
e) 12 x 12
Questão 6: ESAF - AFTN/1998 
Sejam as matrizes:
E seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz 
transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o 
valor de x é:
a) -7/8
Questão 7: ESAF - AFRE MG/2005
A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares 
e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto 
A'Z'B, onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, 
é igual a:
a) A-1 B C
b) A C-1 B-1
c) A-1 C B-1
d) A B C-1
e) C-1 B-1 A-1
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
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Questão 8: ESAF - MPOG/2003
Genericamente, qualquer elementode uma matriz M pode ser 
representado por mij, onde "i" representa a linha e "j" a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = ( a j e 
B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 - j2e que bij = (i + j)2, então o 
produto dos elementos x31 e x 13 é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
Questão 9: ESAF - Técnico/MPU/Administrativa/2004 
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes A = ( a j e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que 
bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 da matriz S é igual 
a:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2
e) 6
Questão 10: ESAF - AFC (CGU)/2001
A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma 
das matrizes A = ( a j e B=(bij).
Sabendo-se que (aij) = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma dos 
elementos s31 e s13 é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
Questão 11: ESAF - AFC (CGU)/2002
De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode 
ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira 
ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = ( a j e 
B = (bij), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (aij) = i2 + j2 e que bij
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C O N C U R S O S * " *
= (i + j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz 
S é igual a:
a) 17
b) 29
c) 34
d) 46
e) 58
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Questão 12: ESAF -TFC/1995
Dadas as matrizes A= B = eX = (“), assinale os valores
de a e b, de modo que AX = B.
a) a=0 e b=1;
b) a = 1 e b=0;
c) a=0 e b=0;
d) a = 1 e b=1;
e) a=0 e b=-1;
^ ^ 1
\ í ^Gabarito
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D A A C C C
9 10 11 12
D E D A
É isso aí, Pessoal! Espero que tenham gostado de nossa Aula 
Demonstrativa! Não se acostumem com a pouca quantidade de 
exercícios, rsrsrs. Hoje foi só um aperitivo!!
Bons Estudos! Conte comigo!
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