Solução P4 PROBEST 2014 1

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P4– Probabilidade e Estatística – 2014.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza, José Daniel Vásquez e Alexandre Street 
 
Problema 1 (0.8 pt) 
a) (0.4 pt) Se “X” é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de “X” para o 
caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e 
Poisson. 
SOLUÇÃO 
 
Bernoulli : x=0,1 
Binomial : x=0,1,...,n 
Geométrica : x=1,2,.... 
Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... 
Poisson: x= 0,1,.... 
 
 
b) (0.4 pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=4 e DP(X)=7, onde DP(X) é o desvio 
padrão de X. Se Y=2X-3, quem é E(Y) e DP(Y). 
 
SOLUÇÃO 
 
 E(Y) = E(2x-3) 
 = 2E(X) - E(3) 
 = 8- 3 
 E(y) = 5 
 
 DP(Y) = 
 Var(Y) = Var(2x-3) 
 = 4(Var(X))-Var(3) 
 = 4x49 
 DP(Y) = = 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 (2,4 pts) Considere a seguinte densidade conjunta: 
 
 
 
a) (0,8 pt) Ache a densidade marginal de X. 
b) (0,8 pt) Ache a densidade marginal de Y. 
c) (0,8 pt) Calcule Pr( X > 1  Y < 4) 
 
SOLUÇÃO 
 
 
a) (0.8 pt) Ache a densidade marginal de X. 
 
dyyxfxf
y
xy
.),()( 



 , onde 
xy
ox

 
dyexf
x
y
.
9
1
)( 3
 







 

 
1
3.
3
1
1
9
1
)(












x
y
exf
 

 







x
y
exf 3.3
9
1
)(
 








3
32
3
1
)(
x
eexf
 
 
3
3
1
)(
x
exf


 
 
 
 
 b) (0.8 pt) Ache a densidade marginal de Y. 
 
dxyxfyf
yx
x
.),()(
0




 , onde 
0

x
xy
 
 
dxeyf
y
y
..
9
1
)(
0
3 






  
 y
y
xeyf 0
3
9
1
)(


 

 
 0
9
1
)( 3 

yeyf
y
 
 
3..
9
1
)(
y
eyyf


 
 
 
 
 
 
 
  xyxeyxf y   ,0 ,.
9
1
, 3/
 
 
c) Calcule Pr( X > 1  Y < 4) 
 
dxdyyxfyxf
x
x
y
xy
.).,()41(
4
1
4
 





 
 
dxdyeyxf
x
x
y
xy
y
....
9
1
)41(
4
1
4
3 












 

 
dxeyxf
x
x x
y









4
1
4
3.3
9
1
)41(
 
 
dxeeyxf
x
x
x







 


4
1
33
4
3
1
)41(
 

 
4
1
33
4
.3.
3
1
)41(






















 x
exeyxf
 
 





























3
1
3
4
3
4
3
4
.33.4
3
1
)41( eeeeyxf
 
 










3
1
3
4
3
4
3
4
33.4
3
1
)41( eeeeyxf
 
 










3
1
3
4
3.6
3
1
)41( eeyxf
 

 
3
1
3
43
1
3
4
2
3
.3.6
)41(














 ee
ee
yxf
 
 
7165,0527,0)41(  yxf
 
 
%95,18)41(Pr  yxob
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 (2,2 pts) 
a) (1.1 pt) Uma máquina produz peças circulares cujos diâmetros Di devem obedecer uma 
determinada especificação em mm. Sabe-se que o desvio padrão nominal destas peças é 
conhecido e igual a 10 mm. Tomou-se uma amostra de 50 destas peças e observou-se que a 
média amostral dos diâmetros desta amostra foi de 80 mm. Assumindo que os Di’s são 
normalmente distribuídos. 
Qual é o Intervalo de Confiança para o diâmetro médio das peças ao nível de confiança de 
95%. 
 
Solução 
 
IC da Média da Normal 
Variância (α2 ) Conhecido - Caso I 
IC – 99% N(0,1) 
 n = 50 

= 10 
X
= 80 
 
 
 
 
Coeficiente de confiança [1-α] = 95% 
 
 
 95% = 0.95 
 
 2,5% = 0,025 
 
 
 
Z0,975 = 1,96 
 
 
 
 
 
IC = (77,2281 ; 82,7719) 
 
 
 
 
 
 
 






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
50
10
96,180;
50
10
96,1802/1
n
zXIC


 
 
 
 b) (1.1 pt) Um comprador questionou que o desvio padrão fosse os 10mm especificados. Ele 
fez uma coleta de outra amostra, dessa feita de 22 peças somente que forneceu as 
estimativas da média e desvio padrão amostrais de 91mm e 12mm, respectivamente. Calcule 
o novo intervalo de confiança para o diâmetro médio ao mesmo nível de confiança 95%. 
 
 
Solução 
 
 
IC da Média da Normal 
Variância (α2 ) Desconhecido - Caso I I 
IC – 95% 
n= 22 
n≤30 g = n-1 = 21 (tabela t-student) 
 
n = 22 
S = 12 
X
= 91 
 
 
 
 
Coeficiente de confiança [1-α] = 95% 
 
 
 95% = 0.95 
 
 0,25% = 0,025 
 
 
 
 
 t21;0,025 = 2,080 
 
 
 
 
 
 
IC = (85,6785 ; 96,3215) 
 
 
 
 






 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 






 
22
12
080,291;
22
12
080,2912/1,1
n
s
tXIC n 
 
 
Problema 4 (2.4 pts) 
Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição 
normal com média de 12 anos e variancia de 16 anos2, determine: 
a) (0.8 pt) - A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 10 e 13 
anos de tempo de estudo. 
b) (0.8 pt) - Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta 
amostra ser menor que 11 anos? 
c) (0.8 pt) - Toma-se uma amostra de 6 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na 
amostra exceder 15 anos de estudo? 
SOLUÇÃO 
 
X nível educacional de adulto 
X ~NORMAL (12,42) 
 
a)(0.8 pt) - A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 10 e 13 
anos de tempo de estudo. 
 
 Pr(X>9) Pr(X>14) 
 Pr
)1310(  X
 = Pr 





 




4
1213
4
12
4
1210 X 
 
 = Pr 





 


4
1213
4
1210
Z 
 10 13 
 = Pr  2500,05000,0  Z4 12 20 
 
Pela tabela: Ф (-0,5000) = 1 - 0,6915 = 0,3085 
 
Pela tabela: Ф (0,2500) = 0,5987 
 
Pr
)1310(  X
 = [Pr<0,25 - Pr>-0,50] = 0,5987 – 0,3085 = 0,2902 = 29,02% 
 
 
ou = [ 1 – (0,3085+0,4013] = 0,2902= 29,02% 
 
 
 
 
 
 
 -0,50 0 0,25 
 
Média dos extremos da tabela : 5987,0
2
6026,05948,0


x 
 
 
 
 
 
 
b) (0.8pt)Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra 
ser menor que 11 anos? 
 Pr
)11( X
 = Pr 















8
4
1211
8
4
12X
 PR(X<10) 
 
 = Pr 














8
4
1211
Z 
 4 11 12 20 
= Pr  7071,0Z 
 
 
 
Pela tabela: 
Pr
)11( X
= (1-0,7611) = 0,2389 = 23,89% 
 
 
 
 
 
 
 
 Zo= -1,414 0 
 
 
 
Média dos extremos da tabela : 7611,0
2
7642,07580,0


x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (0.8pt) Toma-se uma amostra de 6 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na 
amostra exceder 15 anos de estudo? 
 
 U = Min 
),...,,,( 6321 XXXX
 
Pr 
)15( U
= ? 
 
 Pr 
)15,...,15,15,15( 6321  XXXX
 
 
sX i
 iid 
 
 Pr (U > 15) = Pr (U>15) 
 = [Pr
)15,...,15,15,15( 6321  XXXX
] 
 = [Pr
)15( iX
]6 
Pr(X>15) 
 
 Pr
)15( iX
 = Pr 




 


4
1215
4
12iX 
 = Pr 





 

4
1215
Z 
 
 
 = Pr  75,0Z 
 
 
 Pela tabela: 
 Pr (U > 15) = [Pr
)15( iX
]6 
 
 = [0,2266]6 = 1,35 x10-04 = 0,014% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5 (2.2 pts) O administrador de um hospital estudou o número de emergências 
cardíacas diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, concluiu que elas estão 
distribuídos de acordo com um modelo de POISSON, com média de quatro (4) emergências 
por dia. 
 
a) (1.1 pt) - Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido, mais de 2 
emergências? 
b) (1.1 pt) - Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três 
emergências? 
 
SOLUÇÃO 
Distribuição Poisson 
X~Poisson(μ) 
E(X) = μ 
 
a)(1.1pt) Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido, mais de 2 
emergências? 
 
1 dia - 4 emergências 
 
X~Poisson(μ=4) 
Pr(X≥3) = 1 – Pr(X<3) 
1 - F(2) = 1 – [f(0)+f(1)+f(2)] 
 
f(0) = Pr(X=0) = 
0183,0
!0
.4 40

e
 
f(1) = Pr(X=1) = 
0733,0
!1
.4 41

e
 
f(2) = Pr(X=2) = 
1465,0
!2
.4 42

e
 
Pr(X≥3) = 1 - F(2) = 1 – [0,0183+0,0733+0,1465]= 0,7619 = 76,19% 
 
 
b)(1.1 pt) Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três 
emergências? 
1 dia - 4 emergências 
2 dias - 8 emergências 
 
X~Poisson(μ=8) 
Pr(X≤3)) = F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 
 
 
 
 
f(0) = Pr(X=0) = 
04
80
1035,3
!0
.8 

 x
e
 
f(1) = Pr(X=1) = 
03
81
1068,2
!1
.8 

 x
e
 
f(2) = Pr(X=2) = 
0107,0
!2
.8 82

e
 
f(3) = Pr(X=3) = 
0286,0
!3
.8 83

e
 
 
Pr(X≤3) = F(3) = 
041035,3 x
+
031068,2 x
+
0107,0
+
0286,0
= 0,0423 = 4,23% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa Sorte!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

 
 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
 
Distribuição Uniforme 
Notação : X ~ Uniforme(a,b) 
 
Função de probabilidade: 
 
 
Distribuição Exponencial 
Notação : X ~ Exp (λ) 
 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
 
Distribuição Normal 
Notação : X ~ Normal (μ,σ2) 
 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
Se X~N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
Se X tem densidade f(x) e Y=h(X) é uma transformação qualquer, então, a densidade de Y, 
denotada por g(y) é: 
g(y) = 
y
yG

 )(
 , onde G(y) é a função de distribuição acumulada de Y. 
 
Se Y = X2 , então : 
 
 
Finalmente, pelo Método do Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 
 








b)(a, x se 0
b)(a, x se 
1
)( abxf
  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x
y
x
xfyg


 ).()(
 )()(.
.2
1
)( yfyf
y
yg 
 
 
 
Intervalos de Confiança





 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ; 





 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ;  





 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;    















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 




n
i
i XX
n
s
1
22
1
1



n
i
iX
n
X
1
1
 
Tabelas 
 
 
Tabela da N(0,1) (Ф(
0Z
) = Pr(Z≤
0Z
) 
 
 
 
 
z z) z z) z z) z z)
0.00 0.5000 0.62 0.7324 1.24 0.8925 1.86 0.9686
0.02 0.5080 0.64 0.7389 1.26 0.8962 1.88 0.9699
0.04 0.5160 0.66 0.7454 1.28 0.8997 1.90 0.9713
0.06 0.5239 0.68 0.7517 1.30 0.9032 1.92 0.9726
0.08 0.5319 0.70 0.7580 1.32 0.9066 1.94 0.9738
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