Resistência dos Materiais III

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ÍNDICE 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III 
ÍNDICE 
 
 
 
 
 
 
 Pág. 
1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 1.1 – Vetor Tensão .............................................................................. 1 
 1.2 – Igualdade de Tensões Tangenciais ............................................ 3 
 1.3 – Representação Tensorial ............................................................ 4 
 1.4 – Representação Através do Círculo de Mohr .............................. 5 
 1.5 – Caso Particular Importante ....................................................... 7 
 1.6 – O Estado Geral de Tensão ......................................................... 8 
 1.7 – Complementação ........................................................................ 13 
 1.8 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 15 
2 – TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 2.1 – Introdução .................................................................................. 27 
 2.1.1 – Falha de Materiais Policristalinos ................................ 29 
 2.2 – Teoria da Máxima Tensão Normal ............................................ 30 
 2.3 – Coeficiente de Segurança ........................................................... 31 
 2.4 – Tensão Equivalente .................................................................... 32 
 2.5 – Teoria da Máxima Tensão Tangencial (TRESCA) .................... 32 
 2.6 – Teoria da Energia de Distorção (Von MISES) .......................... 35 
 2.7 – Observação Sobre o Invariante I1 .............................................. 36 
 2.8 – Falha de Materiais Dúteis ......................................................... 39 
 2.9 – Um Caso Importante .................................................................. 39 
 2.10 – Teoria de MOHR-COULOMB ................................................. 41 
 2.11 – Teoria de COULOMB- MOHR Modificada ............................. 44 
 2.12 – Exercícios Resolvidos .............................................................. 47 
3 – FLEXÃO ASSIMÉTRICA 
 3.1 – Introdução .................................................................................. 54 
 3.2 – Cálculo das Tensões Normais .................................................... 55 
 3.3 – Cálculo da Deflexão ................................................................... 58 
 3.4 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 60 
4 – TORÇÃO EM PERFIS DE PAREDE FINA 
 4.1 – Analogia da Membrana ............................................................. 70 
 4.2 – Torção Uniforme em Perfis de Parede Fina .............................. 72 
 4.3 – Perfis de Seção Aberta ............................................................... 74 
 4.4 – Perfis de Seção Fechada ............................................................ 77 
 4.5 – Seções Multi-Celulares .............................................................. 79 
 4.6 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 82 
ÍNDICE 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III 
 
 
 
 
 
5 – CENTRO DE CISALHAMENTO 
 5.1 – Introdução .................................................................................. 87 
 5.2 – Flexão em Perfis de Parede Fina .............................................. 88 
 5.3 – Tensões de Cisalhamento em Perfis de Parede Fina de 
Seção Aberta ............................................................................. 91 
 5.4 – Seção I Duplamente Simétrica ................................................... 93 
 5.5 – Estudo de uma Seção em C com Eixo de Simetria ..................... 95 
 5.6 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 99 
6 – VIGAS CURVAS 
 6.1 – Introdução .................................................................................. 104 
 6.2 – Cálculo da Tensão Normal ........................................................ 104 
 6.3 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 109 
7 – CILINDROS DE PAREDE ESPESSA 
 7.1 – Introdução .................................................................................. 114 
 7.2 – Cilindro Espesso Sobre Pressão Interna ................................... 117 
 7.3 – Cilindro Espesso Sobre Pressão Externa ................................. 117 
 7.4 – Tensões Longitudinais ................................................................ 118 
 7.5 – Máxima Tensão Tangencial ....................................................... 118 
 7.6 – Cilindros Compostos .................................................................. 119 
 7.7 – Interferência ............................................................................... 120 
 7.8 – Complementação ........................................................................ 122 
 7.9 – Cilindro de Parede Fina Como Caso Particular de Cilindro 
Espesso ...................................................................................... 123 
 7.10 – Força de Arranque ................................................................... 124 
 7.11 – Auto-Fretagem ......................................................................... 125 
 7.12 – Exercícios Resolvidos .............................................................. 128 
8 – CARREGAMENTO DINÂMICO 
 8.1 – Princípio de D’Alembert ............................................................ 135 
 8.2 – Carga de Impacto ....................................................................... 136 
 8.3 – Fator Dinâmico Para Corpos em Queda Livre ......................... 137 
 8.4 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 139 
9 – DISCOS QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE 
 9.1 – Cálculo das Tensões Radiais e Circunferenciais ....................... 145 
 9.2 – Caso de um Disco Sólido ........................................................... 147 
 9.3 – Disco com Furo Central ............................................................ 148 
 9.4 – Disco e Eixo Acoplados com Interferência ................................ 150 
 9.5 – Tensões Combinadas de Rotação e Térmica ............................. 150 
 9.6 – Exercícios Resolvidos ................................................................ 155 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III 
 
 
10 – FLAMBAGEM 
 10.1 – Colunas Sob Carga Excêntrica ................................................ 163 
 10.2 – Equilíbrio Elástico Estável e Instável ...................................... 167 
 10.3 – Carga Crítica – Diferentes condições de extremidades .......... 169 
 10.4 – Tensão Crítica .......................................................................... 170 
 10.5 – Travejamento ........................................................................... 174 
 10.6 – Seção Composta ....................................................................... 176 
 10.7 – Processo Ômega ...................................................................... 177 
 10.8 – Colunas Carregadas Excentricamente .................................... 178 
 10.9 – Exercícios Resolvidos .............................................................. 180 
APÊNDICES 
 Apêndice I – Momentos de Inércia em Relação a Eixos Inclinados ... 189 
 Apêndice II – Noções Sobre Dimensionamento de Vigas ................... 196 
 Apêndice III – Flexão Assimétrica – Equações Gerais ...................... 201 
 Apêndice IV – Discos em Rotação com ResistênciaUniforme ........... 207 
 Apêndice V – Tensões Radiais em Barras de Forte Curvatura .......... 210 
 Apêndice VI – Cilindro Espesso Enrolado com Arame ...................... 214 
 Apêndice VII – Esfera de Parede Espessa .......................................... 218 
 Apêndice VIII – Ensaio de Deflexão em Flexão Assimétrica ............. 222 
 Apêndice IX – Ensaio de Flexão em Viga de Forte Curvatura ........... 227 
 Apêndice X – Ensaio de Cilindro Espesso .......................................... 230 
 Apêndice XI – Ensaio de Flambagem ................................................. 233 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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1. NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
 
1.1 - VETOR TENSÃO 
 
Objetivos: 
 
- Definir vetor tensão e suas componentes 
- Definir e identificar estado triplo de tensão 
- Introduzir convenções relacionadas às tensões 
 
Para definir vetor tensão, vamos supor um corpo elástico, vinculado 
isostaticamente, em equilíbrio. Sob a ação de um sistema de forças ele se deforma. Em um 
plano cuja normal é "n", aparecerão forças internas necessárias para manter o equilíbrio da 
parte isolada do corpo (porção da esquerda), Figura 1. A distribuição destas forças é qualquer. 
Imaginemos um ponto P, situado neste plano e uma área ∆A, ao seu redor. Nesta área atuarão 
forças que serão equivalentes a uma resultante e a um momento (Figura 1). A resultante e o 
momento dependerão do plano que contém P. Para cada plano teremos uma resultante e um 
momento, normalmente diferentes. 
 
 
Figura 1 
 
Vamos indicar por Mn e Fn o sistema equivalente dependente do plano cuja 
normal é "n". Ao quociente da força resultante pela área chamaremos de tensão média. Se a 
área ∆A vai diminuindo a tendência do binário, Mn, é desaparecer, pois o braço de alavanca 
do binário tende a se anular. No limite vamos obter o vetor tensão que será definido como: 
 )/(F =T n0n lim ∆Α∆Α→ 
A força Fn pode ser decomposta em suas componentes Fnn e Fnt Figura 2. Vamos 
definir tensão normal como: 
 )/(F = nn0n lim ∆Ασ ∆Α→ 
e tensão tangencial como: 
)/(F = nt0n lim ∆Ατ ∆Α→ 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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Figura 2 
 
Caso seja adotado um sistema referencial prévio, de tal forma que um de seus 
eixos coincida com a normal ao plano e os outros estejam no próprio plano, a força Fnt será 
decomposta dando, por conseguinte, duas tensões tangenciais (Figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
Os materiais obedecem mais às componentes do vetor tensão do que o próprio 
vetor. Assim, para cada plano passante por P, o vetor tensão dará origem a três componentes: 
uma tensão normal e duas tangenciais. Mas, para se definir um estado triplo de tensão, é 
necessário o conhecimento das tensões que atuam em três planos mutuamente perpendiculares 
através do mesmo ponto. Lembremos, fazendo uma analogia, que para se definir um estado 
plano, é necessário o conhecimento das tensões que atuam em dois planos perpendiculares 
através do ponto. 
A identificação de um estado triplo de tensão é feita quando as tensões atuantes 
nos três planos perpendiculares através do ponto, não podem estar situadas em um mesmo 
plano. Já no estado plano, todas as tensões atuantes nos dois planos perpendiculares que 
definem o estado plano através do ponto, estão situadas num mesmo plano. 
A Figura 4 indica as tensões atuantes em três planos perpendiculares através do 
mesmo ponto. As seis faces são definidas pelas direções de suas normais. Uma face positiva é 
aquela cuja normal está no sentido positivo do eixo coordenado. Os eixos x, y e z, seguem a 
regra da mão direita. 
Uma tensão normal σx na direção x, atuante na face positiva, é positiva quando 
seu sentido coincide com o sentido de x positivo. Se a mesma tensão atua em uma face 
negativa, ela é positiva quando seu sentido coincide com o sentido de x negativo. Todas as 
tensões normais apresentadas na Figura 4 são positivas. O índice da tensão normal 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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corresponde ao do eixo paralelo a ela. Assim, σx é uma tensão normal à face cuja normal é x. 
As tensões normais são positivas se são trativas. 
As tensões tangenciais, τ, possuem dois índices. O primeiro designa a normal ao 
plano sobre o qual atua e o segundo, o eixo coordenado ao qual é paralela. Assim, τxy é uma 
tensão tangencial que atua no plano x, na direção y. Uma tensão tangencial atuante em uma 
face positiva será positiva quando seu sentido segue o do eixo coordenado do segundo índice. 
Se esta tensão atua em uma face negativa, será positiva quando seu sentido segue o sentido 
contrário ao eixo coordenado do segundo índice. Todas as tensões tangenciais indicadas na 
Figura 4 são positivas. 
 
Figura 4 
 
 
1.2 - IGUALDADE DAS TENSÕES TANGENCIAIS 
 
Objetivo: 
- Demonstrar a igualdade das tensões tangenciais. 
 
τxy = τyx 
τxz = τzx (1.1) 
τyz = τzy 
 
Imaginemos um estado complexo de tensões definido abaixo, Figura 5. 
 
 
Figura 5 
 
 
Para demonstrarmos a igualdade das tensões tangenciais, imaginemos um 
elemento, como o abaixo (Figura 6) onde foram colocadas somente as tensões que produzem 
momentos em relação à x: 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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Figura 6 
 
A somatória dos momentos em relação à x fornece: 
zyyzzyzyyzyz 02
dz.dxdy
2
dz.dxdy
2
dy.dxdz
2
dy.dxdz ττττττ =∴=−−+ 
 
Analogamente: 
τxy = τyx 
τxz = τzx 
 
 
1.3 - REPRESENTAÇÃO TENSORIAL. 
 
 Objetivos: 
 
- Definir tensor tensão. 
- Enunciar as propriedades da matriz. 
- Representar, matricialmente, os estados triplos, duplo e mono-axial de 
 Tensão. 
- Identificar na matriz, as tensões normais principais. 
 
A matriz tensor tensão é definida do seguinte modo: em cada linha se colocam as 
tensões atuantes em um dos três planos que definem o estado de tensão: 1ª linha - plano x; 2ª 
linha - plano y; 3ª linha - plano z. As tensões em cada coluna são colocadas conforme suas 
direções, mantendo sempre a ordem: direção x, y e z. Por exemplo: 1ª linha e 3ª coluna, 
tensão τxz - atua na face x, na direção z. 3ª linha e 2ª coluna, tensão τzy - atua na face z, na 
direção y. 
 
Assim teremos: 
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
σττ
τστ
ττσ
= (1.2) 
 
Como as tensões tangenciais são iguais duas a duas - equação (1.1), a matriz é 
simétrica em relação a sua diagonal principal. 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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Em um estado plano de tensões, as tensões atuantes em uma face (y, por exemplo) 
são todas nulas. Isto implica na matriz em se ter uma linha e uma coluna nulas: 
 
zzx
xzx
0
000
0
T
στ
τσ
= 
 
Este mesmo raciocínio pode-se estender ao estado mono-axial de tensão, onde 
teremos, unicamente, uma tensão normal, que será principal. 
 
z00
000
000
T
σ
= 
) Pode ser demonstrado que, em qualquer estado de tensão em um ponto, um elemento pode ser orientado de forma que as tensões tangenciais se anulam sobre suas faces. 
 
As três direções assim obtidas são chamadas direções principais e as tensões 
normais, segundo estas direções, são denominadas de tensões normais principais (t.n.p.). Elas 
são representadas, simbolicamente, por σ1, σ2, σ3 e entre elas é válida a condição seguinte: 
 
321 σσσ ≥≥ 
 
Assim, nas faces onde atuam as tensões normais principais (t. n. p.), as tensões 
tangenciais são nulas. 
A identificação de uma t.n.p., na matriz do tensor tensão, é feita considerando o 
fato de serem nulas as tensões tangenciais atuantes na mesma linha (mesma face). Isto implicaem se anularem as tensões tangenciais atuantes em uma linha e em uma coluna (igualdade das 
tensões tangenciais). Logo a t.n.p. ficará no cruzamento destas: 
 
zzy
yzy
x
0
0
00
T
στ
τσ
σ
= 
 
 
1.4 - REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DO CÍRCULO DE MOHR 
 
Objetivos: 
 
 - Esboçar e interpretar os círculos de Mohr para o estado triplo. 
 - Representar graficamente o estado triplo, pelas suas t.n.p. 
 - Definir tensões tangenciais principais (t. t. p.) através dos círculos de Mohr 
 - Determinar as intensidades das tensões tangenciais principais utilizando 
 propriedades do círculo de Mohr. 
 - Calcular a tensão tangencial máxima em problemas tridimensionais. 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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Os estados planos e mono-axial de tensão são casos particulares do estado triplo 
onde uma ou duas tensões normais principais são nulas. A representação gráfica para o estado 
triplo consiste em três círculos cujas interseções com o eixo horizontal, definem as tensões 
normais principais (Figura 7). 
 
Figura 7 
 
Pode-se demonstrar que as condições de tensão em qualquer plano que passe 
através de um ponto, estão também incluídas na área hachurada entre o círculo maior e os 
outros dois (Figura 7). No estado plano, uma das t.n.p. coincide com a origem e no mono-
axial, coincidem duas. Dadas as três t.n.p. do estado triplo, pela combinação duas a duas, 
construímos os três círculos de Mohr correspondentes. Os raios destes três círculos de Mohr 
são as tensões tangenciais principais (t.t.p.) que são representadas por: τ1,2, τ1,3 e τ2,3 (Figura 
7). 
 
Suas intensidades são: 
2
2
2
32
3,2
31
3,1
21
2,1
σστ
σστ
σστ
−=
−=
−=
 (1.3) 
A t. t. p., τ1,3 , será sempre a de maior intensidade. As tensões normais que 
atuam nos planos das t. t. p. são: 
 
1,2
21
1,3
31
2,3
32
 de plano ,
2
OC
 de plano ,
2
OB
 de plano ,
2
AO
τσσ
τσσ
τσσ
+=
+=
+=
 (1.4) 
) O estado plano de tensão é um caso particular do estado triplo onde uma t.n.p. é nula 
 
É preciso observar que nem sempre a tensão tangencial máxima do estado plano, 
já estudado, corresponde à tensão tangencial maior do estado triplo. Acontece que agora 
nossos conceitos são mais amplos. Por uma questão didática, quando se estudou o estado 
plano, falou-se em somente um círculo de Mohr, quando na realidade são três. Por isto, o 
conceito de tensão tangencial máxima ficou incompleto. Se verificarmos, na Figura 7, o plano 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 7 
 
em que atua a tensão tangencial principal (t.t.p.), τ1,3, faz ângulos de 45º com os planos onde 
atuam σ1 e σ3 respectivamente. A1ém disto, esta tensão está situada no mesmo plano de σ1 e 
σ3. Logo sua direção será a interseção destes dois planos (Figura 8). Analogamente para τ1,2 e 
τ2,3 (Figura 9). 
 
Figura 8 
 
Figura 9 
São dois os planos que satisfazem as condições acima descritas; eles são 
perpendiculares entre si. Em um atua a t.t.p. positiva e no outro a negativa. 
Interessa-nos somente a intensidade e a direção desta tensão e não o seu sentido. 
Por isto colocamos a seta nas duas extremidades do segmento (ela tanto pode estar em um 
sentido como no outro). 
 
1. 5 - CASO PARTICULAR IMPORTANTE 
Objetivo: 
- Determinar as t.n.p. de um estado triplo, quando se conhece uma delas, sem 
o desenvolvimento da equação do terceiro grau, utilizando as propriedades 
do estado plano de tensões. 
 
A maioria dos casos que encontramos em engenharia, a posição de um dos planos 
principais e a t.n.p. que nele atua podem ser encontrados previamente. Então as duas t.n.p. 
restantes podem ser determinadas utilizando-se as propriedades do estado plano (Figura 10). 
Com efeito: 
 
Figura 10 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 8 
 
As tensões normal e tangencial que atuam no plano inclinado podem ser 
calculadas, através das equações de equilíbrio da estática, projetando as forças na direção 
normal ao plano e sobre o próprio plano. É claro que a força atuante na direção “z” não 
alterará as equações acima. É como se ela não existisse. Assim procedendo, obteremos as 
mesmas equações para “σn” e “τn” encontradas para o estado plano. Estas equações podem 
ser também interpretadas através do círculo de Mohr já estudado em “estado plano de 
tensões”. Resumindo, o estado de tensão da Figura 10 fica assim: 
σz é uma t.n.p.. 
O estado plano σy, σx e τxy fornecerá as outras duas t.n.p. 
O plano θ da Figura 10 é um dos planos paralelos à z, ou seja, paralelos a uma 
direção normal principal. Os planos x (θ = 0º) e y (θ = 90º) também são. Assim os pontos 
situados no círculo de Mohr determinado por σx, σy e τxy, representam valores de σ e τ 
atuantes em planos θ, paralelos a uma direção normal principal (z): planos que giram em 
torno de z. 
Do exposto acima podemos concluir que: 
 
) Cada ponto da circunferência que passa por σ1 e σ3 (Figura 7) corresponde a valores de σ e τ que atuam em planos paralelos à direção 2. Analogamente para as 
outras circunferências. 
 
Os pontos situados na área hachurada (Figura 7) correspondem a valores de σ e τ 
que atuam em planos inclinados em relação às direções principais 1, 2 e 3. 
 
 
1.6 - O ESTADO GERAL DE TENSÃO EM UM PONTO 
 
Objetivos: 
 
- Calcular as tensões normal e tangencial atuantes em um plano, quando se 
conhecem as tensões atuantes em três planos perpendiculares através do 
ponto. 
- Definido o estado de tensão através de um ponto, calcular as tensões 
normais principais (t.n.p.). 
- Definir o elipsóide das tensões. 
- Definir planos e tensões octaédricas e calculá-las em função das t.n.p. 
 
Através do diagrama do corpo livre (Figura 11), onde são colocadas as tensões 
atuantes em três planos perpendiculares através do ponto, pretende-se determinar a tensão 
normal e tangencial atuantes em um plano cuja normal é "n", através do mesmo ponto. 
 
 
Dados: 
face x: σx , τxy , τxz 
face y: τyx , σy , τyz 
face z: τzx , τzy , σz 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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n cos zn,
m cos yn,
l cos xn,
^
^
^
==
==
==
γγ
ββ
αα
,
,
,
 
face ABC = dA 
face OAB = dA.n 
face OBC = dA.l 
face OCA = dA.m 
 
Pede-se: 
σn e τnt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 
 
Seja T
G
 o vetor tensão que atua no plano “n”. A direção de T
G
 não coincidirá com 
a de "n", necessariamente. Quando isto acontecer, "n" será uma direção normal principal e T
G
 
será a própria t.n.p., pois, neste caso, sua projeção sobre o plano será nula (as tensões 
tangenciais atuantes na face serão nulas). As componentes de T
G
 nas direções x, y e z são: 
Tx , Ty e Tz, respectivamente. 
Como o elemento está em equilíbrio, são válidas as equações da estática. Assim: 
n.dA.m.dA.l.dA.dA.T
0F
zxyxxx
x
ττσ ++=
=∑
 
 simplificando e lembrando-se que: 
τyx = τxy , τzx = τxz 
 temos: 
n.m.l.T
n.m.l.T
:amentelogana
n.m.l.T
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
σττ
τστ
ττσ
++=
++=
++=
 (1.5) 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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Vetorialmente, podemos escrever, lembrando que 
G G G
i , j e k são os unitários das 
direções x, y e z respectivamente: 
 G G G G
T T i T j T kx y z= + +. . . 
O unitário da normal “n” é: k.nj.mi.lN
GGGG ++= 
Sendo σn, a projeção de GT sobre “n”: 
n.Tm.Tl.TN.T zyxn ++==
GGσ (1.6) 
 
Por outro lado: 
2
nt
2
n
2T τσ += 
Logo: 
2
n
2
nt T στ −= (1.7) 
 
A intensidade do vetor T é: 
2
z
2y
2
x TTTT ++= (1.8) 
 
As equações (1.5) são gerais e válidas para qualquer plano “n” mesmo que este 
seja o plano onde atua uma tensão normal principal. Neste caso, o vetor 
G
T coincidirá com a 
normal e não teremos tensões tangenciais. Façamos então T = σp e assim: 
n.T
m.T
l.T
pz
py
px
σ
σ
σ
=
=
=
 
As equações (1.5) tornam-se: n.m.l.l. xzxyxp ττσσ ++= 
ou: 
 
0n).(m.l.
0n.m).(l.
0n.m.l).(
pzzyzx
yzpyyx
xzxypx
=−++
=+−+
=++−
σσττ
τσστ
ττσσ
 (1.9) 
Resolvendo (1.9) para calcular um dos cosenos diretores, por exemplo, l, temos: 
)(
)(
)(
)(0
)(0
0
l
pzzyzx
yzpyyx
xzxypx
pzzy
yzpy
xzxy
σσττ
τσστ
ττσσ
σστ
τσσ
ττ
−
−
−
−
−
= 
A solução trivial 0,0,0 não serve pois l2 + m2 + n2 = 1. 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
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Uma solução não trivial para as direções dos cosenos dos planos principais 
existirá somente se o denominador for nulo. 
Este sistema terá uma solução diferente de zero, se o determinante dos 
coeficientes de 1, m e n for nulo. Logo: 
 
0
)(
)(
)(
pzzyzx
yzpyyx
xzxypx
=
−
−
−
σσττ
τσστ
ττσσ
 (1.10) 
O desenvolvimento deste determinante dará origem à equação cúbica abaixo: 
 0)2
().().(
yzxzxy
2
xyz
2
xzy
2
yzx
zyxp
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx
2
pzyx
3
p
=+−−
−−−−−+++++−
ττττστστσ
σσσστττσσσσσσσσσσσ
 
(1.11) 
Pode ser demonstrado que as três raízes da equação (1.11) são reais, pois a matriz 
é real e simétrica. Estas serão os valores das tensões normais principais. Levando cada valor 
em troca na equação (1.9) e acrescentando ainda a relação l2 + m2 + n2 = 1, pois no sistema 
de equações lineares e homogêneas (1. 9) uma equação é combinação linear das outras duas, 
obtém-se três conjuntos de cosenos diretores que localizarão as normais aos três planos onde 
atuam as tensões normais principais. Como a matriz (1.10) é simétrica, as três direções 
principais são sempre tri-ortogonais. Concluímos que: 
 
) Existem três planos, mutuamente perpendiculares, onde atuam as tensões normais principais. É evidente que as t. n. p., que são as raízes da equação cúbica (1.11), são 
determinadas pela natureza do estado de tensão em um ponto e não dependem do 
sistema de referência admitido. 
 
Assim, ao girarmos o sistema original, x, y, z, os valores dos coeficientes da 
equação (1.11) não deverão alterar-se. Devido a isto, estes coeficientes são chamados de 
invariantes do estado de tensão. 
 
São eles: 
321
zzyzx
yzyyx
xzxyx
3
323121
2
yz
2
xz
2
xyzyzxyx2
zyx321zyx1
I
I
```I
σσσ
σττ
τστ
ττσ
σσσσσστττσσσσσσ
σσσσσσσσσ
==
++=−−−++=
++=++=++=
 
Se I3 = 0, uma das raízes da equação (1. 11) será nula. Neste caso, o estado de 
tensão é plano. 
Se I2 = I3 = 0, duas raízes da equação (1.11) serão nulas. O estado de tensão 
correspondente é monoaxial. 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 12 
 
Se os eixos de referência, x, y e z, coincidem com as direções das tensões normais 
principais, as equações (1.5) continuam sendo válidas com as seguintes modificações: 
 
0 ,
3z
yzxzxy2y
1x
σσ
τττσσ
σσ
=
====
=
 
Logo: 
3
z
3
2
y
2
1
x
1
T
=n .
T
=m .
T
=l .
σσ
σσ
σσ
nT
mT
lT
z
y
x
=
=
=
 
 
Mas: l2 + m2 + n2 = 1 
Teremos então: 1
2
3
2
2
2
2
2
1
2
=++ σσσ
zyx TTT 
Se Tx, Ty e Tz são considerados como as coordenadas das extremidades do vetor 
tensão, o lugar geométrico das extremidades do vetor é um elipsóide (Figura 12), cujos semi-
eixos são as tensões normais principais. Este elipsóide é denominado de elipsóide das tensões. 
 
 
Figura 12 
 
Pode-se concluir, examinando a Figura 12, que duas das t. n. p. são as tensões 
normais máxima e mínima no ponto. A outra t.n.p. é intermediária em valor. 
Um caso particular de tensões é o das chamadas tensões octaédricas. Em primeiro 
lugar, vamos definir planos octaédricos como sendo aqueles cujas normais fazem ângulos 
iguais com as direções normais principais. São em número de oito (Figura 13). As tensões que 
atuam nos planos octaédricos são as tensões octaédricas. Logo: 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 13 
 
 
Figura 13 
 
 )(
3
1)(
9
3
)kji(
3
3).kji(
3
3
N.T
)33(T ,)33(T ),33(T
nm31=l 13l 1nml
321321oc
321oc
oc
3z2y1x
2222
σσσσσσσ
σσσσ
σ
σσσ
++=++=
++++=
=
===
==±∴=∴=++
GGGGGG
GG
 (1.12) 
 Como 1321 I=++ σσσ , um invariante: 
 
 )()()(
3
1
T
3
3T
)kji(
3
3T
)(
3
1I 
3
1
2
13
2
32
2
21oc
2
oc
2
oc
2
3
2
2
2
1
321
zyx1oc
σσσσσστ
στ
σσσ
σσσ
σσσσ
−+−+−=
−=
++=
++=
++==
GGGG
 (1.13) 
 
1.7 - COMPLEMENTAÇÃO 
 
Objetivos: 
 
- Definir cisalhamento puro no estado triplo 
- Definir estado de tensão hidrostático. 
 
O estado de cisalhamento puro existe se um sistema particular de eixos Oxyz pode 
ser determinado satisfazendo a seguinte condição: σx = σy = σz = 0. Este sistema particular de 
eixos existe, se, e somente se, o primeiro invariante das tensões, I1 = 0. 
 
 
 
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 14 
 
Matricialmente: 
 
0
 ou 
0
0
0
zyzx
yzxyyx
xzxyx
zyzx
yzyx
xzxy
ττ
τσστ
ττσ
ττ
ττ
ττ
−= 
Em ambos os casos, I1 = 0. 
Por definição, um estado é hidrostático se: 
σx = σy = σz = -p , e todas as tensões tangenciais desaparecem. 
 
Matricialmente: 
p00
0p0
00p
−
−
−
 
Um estado de tensão qualquer pode ser separado em um estado de cisalhamento 
puro mais um estado de tensão hidrostático. 
De fato: 
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σττ
τστ
ττσ
p00
0p0
00p
−
−
−
+
)p(
)p(
)p(
zzyzx
yzyyx
xzxyx
+
+
+
σττ
τστ
ττσ
 
 (Estado hidrostático) (Cisalhamento Puro) 
 
Desde que: 
( )σx p+ + ( )σy p+ + ( )σ z p+ = 0 
 
Ou: 
1zyx I.3
1)(
3
1p −=++−= σσσ 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 HIGDON e outros. Mecânica dos Materiais. 3ª ed. Guanabara Dois 
 
 FEODOSIEV, I. Resistencia de Materiales .Editorial Mir. Moscou. 
 
 DALLY & RILEY. Experimental Stress Analysis. McGraw-Hill. 2ª ed. 
 
 
 
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 15 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício 1.1 – (Para recordar estado plano de tensão) 
Determinar as tensões normal e tangencial que aparecem no cordão de solda do 
tubo de parede fina indicado abaixo. 
 
Dados: 
Diâmetro médio do tubo = 30 cm 
Espessura da parede = 0,8 cm 
Pressão interna aplicada = 100 kgf/cm2 
N = 30000 kgf; T = 800000 kgf.cm.; Ângulo da solda = 30º 
Tensão normal admissível no cordão de solda = 900 kgf/cm2 
Tensão tangencial admissível no cordão de solda = 600 kgf/cm2 
 
Solução: 
A=π . Dm . e = 75,36 cm2 , Ip = π.(Re4 - Ri4)/2 = 16980 cm4 
 
Análise de um ponto na face externa: 
Calculando a tensão normal devido a N temos: 
2N cm
kgf398
36,75
30000 ==σ 
Calculando as tensões devido a pressão interna p temos: 
 
 
cm
kgf1876
 
cm
kgf1336938398
: resultante oa~Tens
 
cm
kgf938
2
 
cm
kgf1876
e
R.p
2x
2y
2
c
l2c
=
=+=
====
σ
σ
σσσCálculo da tensão tangencial resultante devido ao torque: 
 
cm
kgf726
16980
4,15.800000
I
r.T
2
p
xy ===τ 
Círculo de Mohr: 
60059450sen77550senR
900210450cos775160650cosROC
70= 
775
726= sen775=R 1606=OC
N
N
<===
>=+=+=
τ
σ
θθ D
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 16 
 
A solda não suporta o carregamento !!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 17 
 
¾ Exercício 1.2 
 
Para os pontos A e B da peça indicada abaixo, da seção quadrada sob torção-
solicitação axial, pede-se: 
 
1 - definir os estados de tensão de A e B. 
2 - tensões normais principais. 
3 - tensão tangencial principal maior. 
 
T = 500 kgf.cm P = 1000 kgf 
Lado a = 2cm α = 0,208 
 
 
Solução: 
 
 1) σN= P/A τA=T/α.a.b2 
 σN= 250 kgf/cm2 τA= 300 kgf/cm2 
 
 
 
 
2) B: σ1=250 , σ2=σ3=0 , A: σ1=450 , σ2=0 , σ3=-200 
 
 
 
 3) B: τ1,3=125 A: τ1,3=325 
 
 
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 18 
 
¾ Exercício 1.3 
 
Para o eixo de seção circular maciça indicado abaixo, sob T = 1000 kgf.cm, pede-se: 
 
1 - definir o estado de tensão do ponto A. 
2 - matriz do tensor tensão de A. 
3 - círculos de Mohr de A. 
4 - cálculo das tensões normais principais de A. 
5 - cálculo das tensões octaédricas de A. 
 
Raio = 2 cm 
Ip = 25,12 cm4 
τxy = -80 kgf/cm2 
 
Solução: 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 ) 
0 80 0
80 0 0
0 0 0
−
− 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 ) σ1=80 ; σ2=0 , σ3=-80 
 
5) σOCT=0 τOCT= 65,6 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 19 
 
¾ Exercício 1.4 
 
Um vaso cilíndrico de ferro fundido com diâmetro médio de 0,2 m possui paredes 
de espessura h = 10 mm. A pressão dentro do vaso é p = 4 MN/m2. O vaso é também 
comprimido por forças N = 200 kN. Determinar o estado de tensão de um ponto situado 
próximo à face interna. 
 
 
 
Solução: 
 
 
MPa26 
4000
040
0012-
) m/MN( 12 ,4 ,40= ,m/MN32
10.10..2,0
10.200
 m/MN20 m/MN40
10.10
1,0.4
h
R.p
1,3
2
32 1
2
3
3
N
2
L
2
3C
=−
−=−=−=−=
====
−
−
τ
σσσπσ
σσ
 
 
 
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 20 
 
¾ Exercício 1.5 
 
Um anel de aço de seção circular é encaixado contra um eixo de um material 
rígido, sem pressão de contato. Se o anel é resfriado de 40º C, pede-se definir o estado de 
tensão de um ponto do anel em contado com o eixo. 
 
Solução: 
 
Para o anel: 
 
E = 2.106 kgf/cm2 α= 125.10-7 /ºC 
ν = 0,3 d= 1,6 cm A= 2 cm2 
 
 
)
cm
kgf( 78 ,0 ,6,976 ,
cm
kgf6,976
cm
kgf78=p )3,05,12(
10.2
p)p3,0(
10.2
140.125.10
=anel do ncialcircunfere deformação t= p5,12
6,1
20p
e
R.p
23212
266
7-
x
eso~tens
−====
+=+=
===
σσσσ
σ
ε∆αεσ
 
 
 
 
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 21 
 
¾ Exercício 1.6 
 
Para a viga esquematizada ao lado, pede-se: 
 
1 - definir os estados de tensão de A e B. 
2 - representação matricial de A e B. 
3 - tensões normais principais de A e B, 
4 - tensão tangencial principal maior de A e B. 
 
Dados: α = 0,232; η = 0,859 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 

 ==
===
=



==→=
=


 ===→→=
===→=
 149.859,0
4,1724.3.232,0/480../
/20
5,4.2
)75,0.5,1.2(80
.
20
0. 
 0=
/533
5,4
5,1.20.80
12
2.3=I 533
/1673.2/1000//167
2
2
B
A
2
3
22
AB
A
s
AA
B
N
baTT
cmkgf
Ib
VMV
cmkgf
I
MY
M
cmkgfANcmkgf
ττ
ατ
ττ
τ
σ
σσ
σσ
 
 1) 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
7000149
000
14900
:B ,
1674,1920
4,19200
000
:A
−
− 
 
 3) 
30
 0
730
B;
2,126
 0
 2,293
A
3
2
1
3
2
1



−=
=
=



−=
=
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
. 
 
 4) A: τ1,3=210 B: τ1,3= 380 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 22 
 
¾ Exercício 1.7 
 
Definir o estado de tensão do ponto A da Figura abaixo, calculando as tensões 
normais principais deste ponto. O cubo é feito de material deformável e o anteparo de 
material rígido. 
 
Coeficiente de Poisson do material do cubo = 0,3 
p = 600 kgf/cm2 
 
 
 
Solução: 
 
)(kgf/cm 600 , 180 ,0
180 0))((
E
1 0
2
321
xzyxx
−=−==
−=∴=+−∴=
σσσ
σσσνσε
 
 
 



=
−=
++−−=
 cm/kgf8,253
 cm/kgf260
)kji(
3
3).k
3
3600j
3
3180i0(
2
oct
2
oct
oct
τ
σ
σ GGGGGG
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 23 
 
¾ Exercício 1.8 
 
Definir o estado de tensão para o ponto A do sistema abaixo, calculando as 
tensões normais principais para este ponto. Determinar ainda as tensões octaédricas de A. 
 
p = 600 kgf/cm2 
Coeficiente de Poisson = 0,4 
 
 
Solução: 
 
 σx= σz 
( )[ ] [ ]ε σ ν σ σ νσ
σ σ σ σ
x x z x z
x
E E
kgf cm
= = − − = − +
= − ∴ = = − = −
0 1 600 1 240
400 400 6002
2 , 1 3 ( / ) 
 
( ) ( )σ
σ
τ σ
oct
oct
oct oct
i j k i j k
T
= − − − + +
= −
= − = − =
3
3
400 400 600 3
3
466 7
228752 466 7 104 62 2 2
G G G G G G
.
,
, ,
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 24 
 
¾ Exercício 1.9 
 
Um eixo de cobre é ajustado sem pressão dentro de uma camisa de aço. Após, é 
aplicada uma pressão de 500 kgf/cm2 contra o eixo. Pede-se: 
 
1 - definir o estado de tensão para os pontos A e B. 
2 - determinar a tensão tangencial principal maior para A e B. 
3 - determinar as tensões octaédricas de A e B. 
 
Módulo de elasticidade do cobre = 1.106 kgf/cm2. Coeficiente de Poisson = 0,33 
Módulo de elasticidade do aço = 2.106 kgf/cm2. Coeficiente de Poisson = 0,30 
Raio externo = 10,5 cm 
Raio interno = 10,0 cm 
 
Solução: 
 
1) 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 25 
 
( )[ ] ( )[ ]ε εcA cB P P P P
P P
P cm
= ∴ − − − − = − −
− + =
=
 1
1.10
 kgf
6 0 33 500
1
2 10
20 0 3
1 34 330 20 3
15 25
6
2
,
.
,
, ,
, /
 
 
 
 
 
Para o ponto A temos: Para o ponto B temos: 
σ1 = σ2 = -15,25 kgf/cm2 σ1 = 305 kgf/cm2 , σ2 = 0 
σ3 = -500 kgf/cm2 σ3 = -15 ,25 kgf/cm2 
 
 
Cálculo das tensões octaédricas e da tensão tangencial máxima para o ponto A. 
 
2
1,3
2
oct
2
oct
2
octoct
222
oct
kgf/cm 5,242
 kgf/cm 228= T= 177
3
5003,153,15
kgf/cm 2895002.)3,15(
3
1=T N.T
)k+j+i(
3
1=N 
3
1).k500-j15,3-i(-15,3=T 
3
1nml
=
−−=−−−=
=+=
===
τ
τστσ
σ GG
GGGGGGGG
 
 
Analogamente para o ponto B temos: 
σ
τ
τ
oct
oct
=
=
=
96 7
148 4
1601 3
,
,
,
 kgf / cm
 kgf / cm
 kgf / cm
2
2
2
 
 
Unidade 1 – NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO 
 
Página 26 
 
¾ Exercício 1.10 
 
Um anel de latão de 130 mm de diâmetro externoencaixa-se perfeitamente dentro 
de um anel de aço de 130 mm de diâmetro interno, quando a temperatura dos dois anéis é de 
10ºC. Sabendo-se que a temperatura dos anéis é aumentada para 50º C, determinar: 
1 - estado de tensão de A e B. 
2 - tensões normais principais de A e B. 
 
Dados: Espessura do anel de aço = 3 mm 
Espessura do anel de latão = 6 mm 
 
 E ν α 
Latão 103 GN/m2 0,33 20,9.10-6/ºC 
Aço 200 GN/m2 0,30 11,7.10-6/ºC 
 
 
 
 
σ c p p= − = −655 10 83, 
 
 
σ c p p= =653 2167, 
 
 
Solução: 
 
δL = variação do raio do latão 
δA = variação do raio do aço 
( ) ( ) ( )
2
6
99
AALL
ALAL
m/MN74,1p
40.10.7,119,2030,067,21
10.200
133,083,10
10.103
1p
.R ,.R
t)(R
=
−=

 +++−−
==
−=+
−
εδεδ
∆ααδδ
 
 
 σ1 = 0 MPa σ1 = 37,7 MPa 
 σ2 = -1,74 MPa σ2 = 0 MPa 
 σ3 = -18,8 MPa σ3 = -1,74 MPa 
 
 
 
 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 27 
 
2. TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Definir material frágil e dútil. 
- Definir coeficiente de segurança. 
- Definir tensão equivalente. 
- Definir a teoria da máxima tensão normal. 
- Definir a teoria da máxima tensão tangencial. 
- Definir a teoria da energia de distorção 
- Definir a teoria de Coulomb-Mohr. 
- Aplicar, convenientemente, as diversas teorias de resistência, ao 
 dimensionamento de peças. 
 
 
2.1 - INTRODUÇÃO 
 
A ruína, destruição ou falha de uma estrutura pode-se processar de três maneiras 
diferentes: perda de estabilidade, deformação excessiva ou porque, em um determinado ponto 
da peça, as tensões atingiram um valor tal que a mesma não tem mais condições de suportar. 
É do estudo deste último tipo de falha que tratam as teorias ou critérios ou hipóteses de 
resistência. Chamaremos esta falha de falha estrutural. A estrutura não cumpre mais as 
condições para as quais foi projetada. 
Até agora estudamos casos de dimensionamento envolvendo peças sujeitas a um 
estado de tensão mono-axial (tração ou compressão) ou a um estado bi-axial simples 
(cisalhamento puro). Nestes casos, o problema do estabelecimento da segurança é intuitivo; 
basta determinar a tensão que produz a falha, seja por tração ou compressão ou corte, e afetar 
os resultados de um coeficiente de segurança, obtendo deste modo, um critério para 
apreciação da medida do perigo de falha. Vejamos agora o caso em que o ponto mais 
tensionado da peça está sujeito a um estado de tensão qualquer. Com o auxílio do estudo feito 
em “Noções sobre estado triplo de tensões”, podemos calcular as três tensões normais 
principais que atuam neste ponto: σ1, σ2 e σ3. Quais os valores das tensões limites, σ1,lim, σ2,lim 
e σ3,lim que se desenvolverão quando o material estiver na iminência de falha? Responder a 
esta pergunta significa achar os valores seguros de σ1, σ2 e σ3. O problema é muito complexo. 
 
) A dificuldade relacionada com a elaboração de uma teoria de resistência está na insuficiência de nossos conhecimentos sobre os processos internos que têm lugar no 
material. 
 
A física do estado sólido não nos brinda, até o momento, com a possibilidade de aprofundar o 
micro mecanismo da deformação plástica e ruptura, até onde requerem os cálculos práticos. 
Assim, a maneira mais garantida de resolver este problema consiste em ensaiar um corpo de 
prova com a proporção das tensões principais dadas até a sua ruína (ruptura ou início de 
escoamento) e estabelecer os valores seguros de σ1, σ2 e σ3. Este método deve ser 
abandonado por exigir um ensaio para cada combinação possível de tensões normais 
principais. Além disto, estes ensaios são complicados, pois exigem máquinas e dispositivos 
sofisticados. Resulta ser necessário dispor de uma teoria ou hipótese que discrimina, de uma 
maneira arbitrária, mas com bom senso, o fator responsável pela falha, sem recorrer toda vez 
à ensaios trabalhosos, limitando-se ao conhecimento dos resultados dos ensaios de tração e 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 28 
 
compressão do material da peça. Tais fatores poderiam ser tensões (normal ou tangencial), 
deformações e até mesmo energia de deformação. 
 
) Rigorosamente falando, a cada material corresponde uma teoria própria. Entretanto, referindo-se a materiais isótropos, pode-se dizer que é possível reuni-los 
em dois grandes grupos: materiais frágeis e dúteis. 
 
Em virtude disto, várias hipóteses serão formuladas, de acordo com os tipos 
diferentes de falha do material empregado. 
Certos materiais não se enquadram em nenhuma das teorias conhecidas (concreto 
armado, madeira). Sua resistência é calculada através de fórmulas empíricas estabelecidas 
pelas normas brasileiras. 
 
) A validade do critério ou hipótese se verificará pela comparação com o comportamento real do material, através de ensaios, sob solicitação combinada, 
realizados em laboratório. 
 
Sob o ponto de vista físico, os materiais isótropos podem sofrer dois tipos 
principais de destruição ou falha: 
 
1- destruição frágil, característica dos materiais frágeis e dos maciços 
pulverulentos (areia, argila, etc.). Para estes materiais, a destruição se verifica quando há 
separação de umas partículas das outras. A tensão normal trativa é a principal responsável por 
este tipo de falha. 
 
2- destruição dútil, característica dos materiais dúteis. Consiste no deslizamento 
de partículas do material, segundo planos preferenciais e é acompanhada de grandes 
deformações. A tensão tangencial é a principal responsável por este tipo de falha. 
 
Um material é frágil quando a análise de seu diagrama tensão deformação 
apresenta, praticamente, a fase elástica (admite-se até 5% de alongamento) como resultante de 
todo o ensaio. O material não possui escoamento nem fase plástica; sua ruptura acontece logo 
após o regime elástico. Exemplos de materiais frágeis: ferro fundido, concreto, vidro, 
cerâmica, tijolo, etc.. 
Um material é dútil quando a análise de seu diagrama indicar uma apreciável 
deformação plástica antes de sua ruptura. Exemplo: todos os metais, de modo geral. Podemos 
ter dois casos: 
 
1- material dútil com escoamento definido: o diagrama tensão deformação possui 
o patamar horizontal (Fig. 14). Exemplo: todo aço para concreto armado classe A (CA-50A, 
etc.). 
 
2- material dútil sem escoamento definido: o diagrama tensão deformação não 
possui o patamar horizontal. Neste caso, o final da fase elástica é definido pela tensão (limite) 
de escoamento convencional que corresponde para a maioria dos aços à tensão obtida através 
de uma deformação residual de 0,2%. Exemplo: todo aço para concreto armado classe B (CA-
60B, etc.) (Fig. 16). Uma característica comum aos materiais dúteis é que eles possuem limite 
de escoamento a tração igual ao limite de escoamento à compressão. Já os materiais frágeis 
possuem o limite de ruptura a compressão maior do que o limite de ruptura a tração. 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 29 
 
A Figura 14 apresenta um diagrama tensão deformação de um aço dútil com 
escoamento definido. O diagrama cheio é o convencional, que é mais usualmente empregado. 
O pontilhado é o diagrama real ou verdadeiro, que por enquanto não apresenta maior interesse 
para este estudo. No diagrama convencional a área do corpo de prova é considerada constante, 
para efeito de cálculo de tensão, durante todo o ensaio. Na realidade, a área da amostra varia 
(diminui) para cada incremento de carga aplicado. Na confecção do diagrama real este fato é 
levado em consideração e obtém-se o diagrama pontilhado indicado na Figura 14. 
A Figura 15 apresenta diagramas de material frágil e dútil (sem escoamento 
definido). A Figura 16 indica como se obtém o limite de escoamento convencional para um 
aço sem escoamentodefinido. 
A fragilidade e ductilidade de um material dependem dos seguintes fatores: 
temperatura, velocidade de aplicação de carga e estado de tensão que o solicita. Um material 
pode ter um comportamento dútil à 20ºC e frágil à -20ºC. Algumas vezes ocorre a falha do 
tipo combinada: em certas regiões ocorre destruição por separação de partículas e em outras 
por deslizamento, em uma mesma seção. 
 
 
 
 
2.1.1 - Falha de Materiais Policristalinos 
 
Completando o estudo feito anteriormente, podemos afirmar que a resistência de 
um material policristalino isótropo pode ser definida por duas características: pela sua 
resistência à separação de partículas e pela sua resistência ao deslizamento de planos 
cristalográficos (cisalhamento). 
Todo material cristalino possui estas duas resistências internas. Se a resistência ao 
deslizamento é maior do que a resistência à separação de partículas - materiais frágeis - a 
ruptura ocorre por termos ultrapassado as forças de coesão, neste caso não ocorre deformação 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 30 
 
apreciável. O fator principal responsável pela ruptura é a tensão normal de tração que provoca 
separação de partículas. Verificamos isto no ensaio de tração de uma amostra de material 
frágil (ferro fundido, por exemplo). Já no ensaio de compressão de uma amostra de material 
frágil (ferro fundido), como não ocorrem tensões normais de tração responsáveis pela 
separação de partículas, o corpo de prova rompe-se por cisalhamento à 45º, aproximadamente, 
oferecendo maior resistência - sua resistência ao cisalhamento é maior que sua resistência à 
separação de partículas. Isto justifica o fato de que, para os materiais frágeis, a tensão de 
ruptura à compressão é maior do que a tensão de ruptura à tração. 
No ensaio de torção de uma amostra de material frágil, a ruptura ocorre também 
por separação de partículas à 45º com o eixo da peça, onde acontece a tensão normal principal 
positiva maior (faça a experiência com um pedaço de giz). O círculo de Mohr para o ensaio de 
torção (cisalhamento puro) acusa que a tensão tangencial maior é igual, numericamente, à 
tensão normal principal máxima que atinge o limite de ruptura à tração no instante da fratura 
da peça. Logo, para os materiais frágeis, a tensão tangencial que causa ruptura à torção é igual 
ao limite de ruptura à tração do mesmo material. 
Se a resistência à separação é maior do que a resistência ao deslizamento - 
materiais dúteis - a falha ocorrerá por cisalhamento. O fator principal responsável pela falha é 
a tensão tangencial. Então o deslizamento ao longo de planos inclinados se inicia em primeiro 
lugar. Durante o escoamento, no ensaio de tração de materiais dúteis, observa-se o 
aparecimento de bandas de deslizamento a 45º com o eixo da peça, em todas as direções. O 
círculo de Mohr do ensaio de tração indica que à 45º com a direção da carga ocorre a maior 
tensão tangencial, justificando a falha por deslizamento. Analogamente, no escoamento do 
ensaio de compressão de materiais dúteis, observam-se bandas de deslizamento à 45º em 
todas as direções. É a 45º que ocorre a maior tensão tangencial, confirmando a falha por 
cisalhamento. Considerando o material como isótropo podemos assumir, para os materiais 
dúteis, que o limite de escoamento à tração é igual ao limite de escoamento à compressão. Os 
ensaios de laboratório confirmam esta afirmativa. 
Finalizando, podemos dizer que toda teoria de resistência é estabelecida a partir de 
um dos fatores citados anteriormente (tensão, deformação ou energia), ignorando os outros, e 
está vinculada aos resultados dos ensaios de tração e compressão. Uma teoria tenta prever a 
falha de um material, sob um estado complexo de tensões, fundamentada em um fator 
arbitrário, regida pelos resultados dos ensaios de tração e compressão, que na realidade são 
ensaios monoaxiais. 
Para o estudo que faremos a seguir, adotaremos as seguintes convenções: 
 
Syt - limite de escoamento à tração (materiais dúteis). 
Syc - limite de escoamento à compressão (materiais dúteis). 
Sut - limite de ruptura à tração (materiais frágeis). 
Suc - limite de ruptura à compressão (materiais frágeis). 
 
 
2.2 - TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL 
 
Esta teoria apresenta somente interesse histórico. 
Suas previsões não concordam com as experiências e seus resultados não são 
conservativos. 
 
) A teoria da máxima tensão normal estabelece que a destruição ocorre quando a maior tensão normal principal iguala a tensão de ruptura (ou escoamento) do 
material. 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 31 
 
Se a destruição for um escoamento (material dútil), a teoria prevê falha quando: 
 
σ1 = Syt ou σ3 = Syc (2.1) 
 
Se a destruição for uma ruptura (material frágil), a falha ocorrerá quando: 
 
σ1 = Sut ou σ3 = Suc (2.2) 
 
Esta teoria não deve ser aplicável aos materiais dúteis, pois conduz a erros 
grosseiros. Aos materiais frágeis, em alguns casos, ela pode proporcionar resultados 
satisfatórios. 
 
Vamos estudar o caso da torção pura (Figura 17-b): 
Neste caso: 
σ1 = τmáx = -σ3 e σ2 = 0; a teoria da máxima tensão normal prevê que a peça 
falha à torção quando τmáx = Syt. No entanto, os resultados experimentais mostram que a peça 
solicitada deforma permanentemente quando a tensão tangencial máxima atinge cerca de 60% 
do limite de escoamento a tração. Esta é uma das razões de não se recomendar esta teoria 
(Figura 17). 
 
 
 
Figura 17 
 
 
2.3 - COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
 
Antes de enunciar a próxima teoria vamos ampliar o conceito de coeficiente de 
segurança. Suponhamos conhecido um determinado estado de tensão. Aumentando 
proporcionalmente todas as componentes deste estado de tensão, isto é, modificando-o de 
modo que ele permaneça semelhante, vamos chegar, cedo ou tarde, na iminência de falha do 
material. Coeficiente de segurança é o número que informa quantas vezes devem-se aumentar, 
simultaneamente, todos os componentes do estado tensional dado para que ele se transforme 
no estado tensional limite (iminência de falha). 
 
) Se dois estados de tensão têm o mesmo coeficiente de segurança, eles são igualmente perigosos. 
 
Deste modo, podemos comparar diversos estados tensionais segundo seu grau de 
perigo, através do coeficiente de segurança. O coeficiente de segurança de uma peça é o 
coeficiente de segurança de seu ponto mais perigoso. 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 32 
 
2.4 - TENSÃO EQUIVALENTE OU DE COMPARAÇÃO 
 
Suponhamos conhecido um determinado estado de tensão, através de suas tensões 
normais principais. Tensão equivalente a este estado de tensão (σeq), é a tensão que deve ser 
aplicada a uma barra tracionada para que seu estado de tensão seja igualmente perigoso ao 
estado de tensão do ponto dado; a amostra tracionada e o ponto têm o mesmo perigo de falha. 
A tensão equivalente é obtida, em função das tensões normais principais, através de uma 
teoria de resistência. Deste modo, pode-se considerar resolvido o problema da medida do 
perigo de um estado de tensão. A Figura 18 abaixo, ilustra o que foi dito. 
 
 
Figura 18 
 
O ponto A, apresenta o mesmo perigo que o ponto B. 
 
O coeficiente de segurança do ponto B obtém-se através da expressão: 
eq
ytSn σ= (2.3) 
Este é também o coeficiente de segurança do ponto A. 
 
Em dimensionamento, muitas vezes é usada a tensão admissível, cuja expressão é: 
n
S
S ytyt = (2.4)A sua utilização dispensa o conhecimento do limite de escoamento e do 
coeficiente de segurança. 
 
A expressão de dimensionamento fica a seguinte: 
n
S
S ytyteq ==σ (2.5) 
 
 
2.5 - TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO TANGENCIAL OU DE TRESCA 
 
) A maior tensão tangencial que aparece no ponto mais tensionado de uma peça, não deve exceder à metade do limite de escoamento a tração, obtido através de um ensaio 
de tração realizado com o mesmo material da peça. 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 33 
 
Esta teoria é comprovada, experimentalmente, somente para materiais dúteis. 
De acordo com o seu enunciado sua expressão analítica é: 
2
S
2
yt31
3,1max ≤== −σσττ (2.6) 
Simplificando: σ1 - σ3 ≤ Syt 
Nesta teoria a tensão equivalente é expressa assim: 
σeq = σ1 - σ3 
e o coeficiente de segurança (expressão 2.3) 
eq
ytSn σ= 
Representando a teoria, através do processo gráfico de Mohr, conclui-se que todos 
os estados de tensão, representados por círculos, que estão situados na região hachurada, 
satisfazem a esta teoria, ou seja, a teoria declara como seguros (Figura 19). 
 
 
 
Figura 19 
 
É importante lembrar que Syt /2 é a intensidade da tensão tangencial máxima que 
acontece no momento do escoamento de uma amostra tracionada (observar o círculo de Mohr 
da Figura 20). Com base nisto, a teoria da máxima tensão tangencial pode ser enunciada 
assim: "a tensão tangencial máxima, no ponto mais perigoso, não pode ultrapassar a tensão 
tangencial máxima que ocorre no momento do escoamento no ensaio de tração". 
Assim: 
τmáx (peça) ≤ τmáx (ensaio de tração) 
 
 
Figura 20 (amostra tracionada, no momento do escoamento) 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 34 
 
Esta teoria estabelece que o escoamento a torção ocorre quando: Ssy = 0,5 Syt, 
onde Ssy é a tensão tangencial de escoamento a torção. Conforme já relatamos, os resultados 
experimentais mostram que: Ssy = 0,6 Syt; resultado muito próximo ao fornecido pela teoria de 
Tresca. Neste caso esta teoria é conservativa, ou seja, mais segura. 
Para materiais dúteis sujeitos a um estado plano de tensões, a teoria estabelece 
como contorno limite aquele que é indicado na Figura 21, ou seja, ABCDEF. 
 
 
 
Figura 21 
 
Com efeito: 
Se σa e σb são as tensões normais principais do estado plano e se ambas são 
positivas ou negativas, uma delas é uma tensão principal σ1 (se ambas forem positivas) ou σ3 
(se ambas forem negativas). No primeiro caso, a menor tensão normal principal é σ3 = 0 e no 
segundo, a maior tensão normal principal é σ1 = 0. 
 
Se σa > 0, e σb > 0, implica em: 
σ1 = σa = Syt, σ2 = σb e σ3 = 0 → σeq = σ1 = σa = Syt 
 ou 
σ1 = σb = Syt, σ2 = σa e σ3 = 0 → σeq = σ1 = σb = Syt 
o que resulta no trecho ABC do primeiro quadrante (Figura 21). 
 
Se σa < 0, e σb < 0, temos: 
σ1 = 0, σ2 = σb , σ3 = - Syt = σa = - Syc → σeq = σ3 = σa = -Syt 
 ou 
σ1 = 0, σ2 = σa , σ3 = - Syt = σb = - Syc → σeq = σ3 = σb = -Syt 
o que resulta no trecho DEF do terceiro quadrante (Figura 21). 
No segundo e quarto quadrantes, onde uma das tensões (σa ou σb) é positiva e a 
outra negativa, a tensão intermediária é nula. As tensões σa ou σb serão as tensões extremas. 
Como elas têm sinais opostos, a expressão da teoria será: 
 
ytba Scte ==+ σσ → σeq = σa - σb = Syt 
Deste modo obtêm-se os segmentos de reta AF e CD da Figura 21. 
Para a teoria da máxima tensão normal o contorno é o quadrado BB'EE' 
representado na Figura 21. 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 35 
 
2.6 - TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO (VON MISES) 
 
Antes de definirmos a teoria, vamos determinar a energia de deformação unitária 
(por unidade de volume) absorvida por um elemento sob três tensões normais principais. 
Lembremos ainda que a energia é numericamente igual ao trabalho realizado contra o 
elemento. Esta energia é a soma da energia absorvida na direção 1, com a energia absorvida 
na direção 2, com a energia absorvida na direção 3. 
Suponhamos um elemento sob três tensões normais principais, Figura 22. 
Vamos calcular: 
• Força na direção 1: 
F1 = σ1 dy dz 
• Deformação na direção 1: 
( )[ ]3211 E
1 σσνσε +−= 
• Alongamento sofrido pelo elemento na direção 1: 
( )[ ]321E
dxdx σσνσ∆ +−= 
Lembrando que o trabalho é calculado multiplicando a metade da força pelo 
deslocamento (pois a força é proporcional ao deslocamento), o trabalho realizado por F1 é: 
( )[ ]32111 dzdydxE2
1W σσνσσ +−= 
( )[ ]312111 2E2 dzdydxW σσσσνσ +−= 
Do mesmo modo, os trabalhos realizados por F2 e F3 são: 
( )[ ]322122 2E2 dzdydxW σσσσνσ +−= 
( )[ ]323133 2E2 dzdydxW σσσσνσ +−= 
 
O trabalho total, que é igual à energia de deformação absorvida, é: 
 
( )[ ]323121321321 2E2 dzdydxWWWW 222 σσσσσσνσσσ ++−++=++= 
 
Figura 22 
 
Este trabalho é armazenado no material como energia de deformação, e como dx 
dy dz representa o volume do elemento, a energia de deformação unitária (por unidade de 
volume) é: 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 36 
 
( )[ ]323121321 2E21dVWU 222 σσσσσσνσσσ ++−++== (2.7) 
 
Esta energia calculada (expressão 2.7) é a soma das energias responsáveis pela 
variação de volume e pela variação de forma do elemento. Calculemos o valor da energia de 
distorção: a expressão (2.7) é válida para quaisquer valores das tensões normais principais, 
inclusive para o caso particular em que σ1 = σ2 = σ3 = + p, chamado de despressurização 
uniforme (ou tração hidrostática). Os círculos de Mohr, para este estado particular de tensão, 
se reduzem a um ponto situado sobre o lado positivo do eixo dos σ . Para qualquer plano que 
passe pelo ponto, o estado tensional é sempre o mesmo, e não existe tensão tangencial. Um 
elemento assim solicitado sofre somente deformação volumétrica. Não há variação de forma 
(ou distorção), pois não existe tensão tangencial atuante. Assim, particularizando a expressão 
(2.7), obtemos a fórmula para cálculo da energia de deformação volumétrica: 
 
( ) ( ) 222 p
E2
213p32p3
E2
1U
V
νν −=−= (2.8) 
 
onde UV , é a energia de deformação unitária volumétrica (responsável pela variação de 
volume do elemento). 
 
 
2.7 - OBSERVAÇÃO SOBRE O INVARIANTE I1. 
 
Vamos mostrar que quando o invariante I1 = 0, um elemento sob tensão não sofre 
deformação volumétrica e toda sua energia armazenada só provoca variação de forma ou 
distorção. 
 
 
Figura 23 
 
As dimensões dx, dy e dz do elemento da Fig. 23 variam como resultado de sua 
deformação, assumindo os valores: dx (1 + ε1) , dy (1 + ε2) e dz (1 + ε3). Consequentemente o 
volume do elemento sofrerá um incremento que será expresso pela diferença: 
∆V = dx dy dz (1 + ε1) (1 + ε2) (1 + ε3) - dx dy dz. 
Desprezando o produto das deformações, que são valores pequenos em comparação 
com as deformações à primeira potência, obtemos: ∆V = dx dy dz (ε1 + ε2 + ε3) 
 
A variação unitária de volume, e, é igual à soma das deformações lineares 
correspondentes aos três eixos: 
 
321V
Ve εεε∆ ++== (2.9) 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 37 
 
Substituindo as deformações já calculadas anteriormente e simplificando, obtemos: 
( )321E
21e σσσν ++−= (2.10) 
A expressão entre parêntesis é o invariante das tensões I1. Logo, se I1 = 0, e = 0. 
Consequentementeo elemento não sofre variação de volume; somente distorção ou variação de 
forma. Exemplos disto estão representados nas fig(s) 24b, 24c e 24d. 
 
) I1 = 0 define o cisalhamento puro para o caso do estado triplo de tensão. 
 
Vamos usar a seguinte identidade para mostrar que um estado de tensão qualquer 
pode ser decomposto numa despressurização uniforme mais um cisalhamento puro: 
 
333
3121321
1
σσσσσσσσ −+−+++= (direção 1) 
 
333
3221321
2
σσσσσσσσ −+−−++= (direção 2) 
 
333
3231321
3
σσσσσσσσ −−−−++= (direção 3) 
 
Logo o estado de tensão dado por σ1, σ2 e σ3 na Figura 22 é equivalente à 
superposição de quatro estados tensionais (Figura 23): 
 
3
321
m
σσσσ ++= 
 
 
 
Figura 24 
 
Figura 24a - despressurização uniforme, que envolve deformação puramente 
 volumétrica. 
Figura 24b - cisalhamento puro nas direções 1-2. 
Figura 24c - cisalhamento puro nas direções 1-3. 
Figura 24d - cisalhamento puro nas direções 2-3. 
 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 38 
 
Os três casos de cisalhamento puro referidos acima, correspondem à distorções puras 
nas direções 1-2, 1-3 e 2-3, respectivamente. Nestes casos há somente variação de forma do 
elemento. Deste modo, a energia de distorção unitária (responsável pela variação de forma do 
elemento) é a diferença entre a energia de deformação unitária (2.7) e a energia de 
deformação volumétrica unitária (2.8) onde: 
 
m
321
3
p σσσσ =++= 
 
Logo: 
( )[ ] ( ) 2321323121321s 3.E2 2132E21U 222  ++−−++−++= σσσνσσσσσσνσσσ 
 
onde Us é a energia de distorção unitária do elemento. 
 
Finalmente após simplificações: 
( ) ( )[ ]323121321s 222E31U σσσσσσσσσν ++−+++= (2.11) 
 
Aplicando a expressão (2.11) ao caso do ensaio de tração, na iminência do 
escoamento (limite elástico), obtemos: 
 
σ1 = Syt , σ2 = σ3 = 0 
Logo: ( ) 2yts S.E3
1U ν+= (2.12) 
Vamos agora enunciar a teoria da energia de distorção ou de Huber-Hencky-Von 
Mises: 
 
) "A energia de distorção unitária, no ponto mais perigoso da peça, não deve exceder à energia de distorção unitária no limite elástico, no ensaio de tração." 
 
Assim: ( ) ( )[ ] ( ) 2222 yt323121321 S.E31E31 νσσσσσσσσσν +≤++−+++ 
Simplificando: ( )[ ] yt21323121321 S222 ≤++−++ σσσσσσσσσ (2.13) 
Neste caso a tensão equivalente é: 
( )[ ]21323121321eq 222 σσσσσσσσσσ ++−++= (2.14) 
 
Para o estado plano de tensão onde σa e σb são as tensões normais principais, a 
expressão da teoria torna-se: 
 
( ) yt21bab2a S2 ≤+ − σσσσ (2.15) 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 39 
 
A representação gráfica em função de σa e σb, é uma elipse, conforme indicado na 
Figura 25. 
 
 
 
Figura 25 
 
 
2.8 - FALHA DE MATERIAIS DÚTEIS 
 
Vamos resumir os resultados das três teorias já definidas e compará-los com os 
resultados experimentais. A teoria da máxima tensão normal somente apresenta interesse 
histórico. Sendo σa e σb as tensões normais principais do estado plano e estabelecendo como 
eixo horizontal o de σa e vertical o de σb as três teorias fornecem os gráficos apresentados na 
Figura 25. Os resultados de laboratório indicam que a teoria da energia de distorção prevê 
escoamento com grande precisão nos quatro quadrantes. Esta teoria é a mais exata. A teoria 
da máxima tensão tangencial proporciona resultados mais conservativos, pois seu gráfico 
representativo está dentro da elipse da teoria de Von Mises. 
Pode-se observar que a teoria da máxima tensão normal coincide com a teoria da 
máxima tensão tangencial no primeiro e terceiro quadrantes. No entanto, o gráfico da teoria 
da máxima tensão normal é externo ao da elipse de Von Mises no segundo e quarto 
quadrantes. Pode ser muito perigoso usar a teoria da máxima tensão normal, pois ela pode 
prever segurança quando na realidade não existe. 
Normalmente o projetista usa a teoria da máxima tensão tangencial quando as 
dimensões não precisam ser tão perfeitas; se é necessário um tamanho aproximado, ou se os 
coeficientes de segurança são conhecidamente generosos. A teoria da energia de distorção 
prevê falha mais acuradamente, e ela deve ser usada quando a margem de segurança está 
restrita a limites muito estreitos ou quando a causa real de falha está sendo investigada. 
 
 
2.9 - UM CASO IMPORTANTE 
 
Vamos estudar o caso de uma viga solicitada a momento fletor, força normal, 
cortante e momento torçor, simultaneamente, Figura 26. No ponto mais afastado da linha 
neutra da seção transversal, provavelmente o mais perigoso, atuarão σ originado por M e N; e 
τ devido a T (τV = 0), Figura 27. Este ponto está sob um estado plano de tensão onde só existe 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 40 
 
uma tensão normal, Figura 27. Suas tensões normais principais podem ser obtidas através de 
propriedades do círculo de Mohr, Figura 28. 
 
Assim: 
 
 
 
 Figura 26 Figura 27 Figura 28 
 
 
raio
21
+= σσ (2.16) 
02 =σ 
raio
23
−= σσ (2.17) 
22
4
2
1raio τσ += (2.18) 
A tensão equivalente correspondente a teoria da máxima tensão tangencial é: 
σeq = σ1 - σ3 . 
Após substituição de (2.16), (2.17) e (2.18) nesta expressão obtém-se: 
22
4eq τσσ += (2.19) 
Do mesmo modo, substituindo (2.16), (2.17) e (2.18) na expressão da tensão 
equivalente correspondente a teoria de Von Mises, 
 
3131eq
22 σσσσσ −+= , obtém-se: 
 
22
3eq τσσ += (2.20) 
 
A utilização das fórmulas (2.19) e (2.20), neste caso que ocorre muito em 
engenharia, facilita o cálculo das tensões equivalentes uma vez que não há necessidade do 
cálculo das tensões normais principais. 
Se a barra tem seção circular e está sujeita à torção-flexão, um ponto de sua 
periferia, mais afastado da linha neutra (onde a tensão normal é maior), está sob uma tensão 
normal igual à: 
W
M=σ (2.21) 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
Página 41 
 
Onde W é o módulo de resistência a flexão, cuja expressão é: 
maxy
IW = 
Para a seção circular: 
4
R
R4
RW
34 ππ == (2.22) 
 
A tensão tangencial que atua neste mesmo ponto é: 
pI
TR=τ , onde 
2
RI
4
p
π= 
 
Então: 
W2
T
R2
T4
R
T2
R
TR2
334 ==== πππτ (2.23) 
 
Substituindo os valores de (2.21) e (2.23) em (2.19) obtém-se, para eixos de seção 
circular: 
22
22
22
eq TMW
1
W2
T4
W
M4 +=

+

=+= τσσ (2.24) 
 
Substituindo os valores de (2.21) e (2.23) em (2.20) obtém-se, para eixos de seção 
circular: 
2222
eq T75,0MW
13 +=+= τσσ(2.25) 
 
As expressões (2.24) e (2.25) permitem o cálculo das tensões equivalentes 
correspondentes à teoria da máxima tensão tangencial e energia de distorção, respectivamente, 
em função dos esforços. É bom lembrar que elas só valem para eixos de seção circular sob 
torção-flexão. 
 
 
2.10 - TEORIA DE MOHR-COULOMB 
 
Suponhamos que dispomos de uma máquina de ensaios que permita aplicar 
qualquer estado de tensão e alterar, proporcionalmente, todas as componentes deste estado de 
tensão. Chegará um determinado momento em que este estado de tensão estará na iminência 
de falha do material (escoamento ou ruptura). Representemos, graficamente, pelo processo de 
Mohr, este estado de tensão através de seu círculo de Mohr maior (sem preocuparmos com a 
tensão normal principal intermediária), em função de σ1 e σ3, Figura 29. 
Realizemos outro ensaio sobre uma amostra do mesmo material com uma nova 
combinação de t. n. p., até chegar na iminência de falha. Construamos o maior dos círculos de 
Mohr correspondente. 
Procedendo do mesmo modo vamos conseguir um conjunto de círculos de Mohr 
para os estados de tensão na iminência de falha ou estados de tensão limites. Construamos a 
envolvente comum a todos estes círculos de Mohr, Figura 29. 
 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
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Figura 29 
 
 
A teoria de Mohr diz o seguinte: 
 
) "O círculo de Mohr maior, correspondente ao ponto mais perigoso da peça, não deve situar-se fora da envolvente dos círculos obtida experimentalmente." 
 
A forma da envolvente depende das propriedades do material e é uma 
característica sua. 
 
) A teoria de Mohr baseia-se numa constatação puramente experimental, sem qualquer preocupação de explicar o fenômeno da ruína. 
 
Para determinar a envolvente é necessário conhecer o ponto Mo, Figura 29. Este 
ponto está sob um estado de despressurização uniforme. A realização deste ensaio é muito 
difícil, além do mais, a realização de outros ensaios laboratoriais, para se construir a 
envolvente, implica em se ter aparelhos caros e sofisticados. Assim, torna-se necessário 
resolver o problema de como construir a envolvente dos círculos de Mohr quando se dispõe 
de um número limitado de ensaios. Os ensaios mais simples são o de tração (círculo de Mohr 
de centro O3 na Figura 29) e compressão (círculo de Mohr de centro O2 na Figura 29). Pode-
se também realizar o ensaio de torção (círculo de Mohr de centro O na Figura 29). Todavia 
seu círculo de Mohr contribui pouco para a determinação da envolvente, pois se encontra 
muito perto dos dois primeiros. 
O mais simples é aproximar a envolvente com a tangente comum aos círculos de 
Mohr de tração e compressão (Figura 30). Surge assim uma nova teoria baseada na de Mohr. 
É a teoria de Mohr-Coulomb, pois foi Coulomb quem primeiro teve esta idéia. A tangente 
comum recebe o nome de reta de Coulomb. Esta teoria se aplica bem aos materiais frágeis e 
maciços pulverulentos. A teoria de Coulomb se confunde com a da máxima tensão tangencial 
para o caso de materiais dúteis. Seu enunciado é o seguinte: 
 
) "Haverá falha se o maior círculo de Mohr, do ponto mais perigoso da peça, cortar a reta tangente aos círculos de Mohr representativos do ensaio de tração e compressão 
realizados com o mesmo material da peça". 
 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
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Com o objetivo de desenvolver a expressão teórica da teoria, consideremos um 
estado geral de tensão e representemos seu círculo de Mohr maior, através do conhecimento 
de σ1 e σ3. Se este estado de tensão corresponder a um estado limite, de acordo com 
Coulomb, a reta tangente aos círculos de Mohr de tração e compressão tangenciará também o 
círculo de Mohr que passa por σ1 e σ3 Figura 30. 
 
 
Figura 30 
 
Da geometria da Figura 30 temos que o triângulo CVL é semelhante ao DZL. 
 
Logo: 
VL
CV
ZL
DZ = , ou, 
VL
VLCV
ZL
ZLDZ +=+ (2.26) 
 
Mas: 


 −−=
22
S
DZ 31uc
σσ
 (2.27) 
2
S
2
ZL uc31 +

= + σσ (2.28) 


 −−=
22
S
CV 31ut
σσ
 (2.29) 
2
S
2
VL ut31 −

= + σσ (2.30) 
 
Substituindo (2.27), (2.28), (2.29) e (2.30) em (2.26) e simplificando, obtemos: 
 
ut3
uc
ut
1 S.S
S =− σσ (2.31) 
Fazendo K
S
S
uc
ut = , e substituindo em (2.31), temos: 
ut31 SK =− σσ (2.32) 
 
A tensão equivalente é: 
 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
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31eq Kσσσ −= (2.33) 
 
A representação gráfica desta teoria, para o estado plano de tensão, onde σa e σb 
são as tensões normais principais, é o hexágono indicado na Figura 31. 
Esta teoria é a que deve ser usada no dimensionamento de materiais frágeis. Para 
os materiais dúteis ela se confunde com a teoria da máxima tensão tangencial. 
 
 
 
Figura 31 
 
 
2.11 - TEORIA DE COULOMB MOHR MODIFICADA OU TEORIA DE MOHR MODIFICADA 
 
A teoria de Coulomb foi elaborada através da simplificação da teoria de Mohr. 
Nela, a envoltória de todos os círculos de Mohr maiores, obtidos em ensaios de laboratório, 
foi reduzida a uma reta tangente aos círculos de Mohr do ensaio de tração e compressão no 
instante de ruptura. Ela é conhecida também como a teoria do atrito interno e é baseada em 
ensaios de laboratório sem se preocupar com um agente especial causador da falha, como 
acontece com as teorias da máxima tensão normal, máxima tensão tangencial e energia de 
distorção. A reta tangente passa a ser uma característica mecânica do material a ser 
dimensionado. 
A teoria de Coulomb-Mohr estabelece que a ruptura ocorre para qualquer situação 
que produza um círculo de Mohr maior tangente ou secante à reta de Coulomb (reta tangente 
aos círculos de Mohr de tração e compressão obtidos no instante de ruptura). Conforme já foi 
deduzida, a expressão da tensão equivalente (ou equação do contorno limite) para esta teoria 
é: 
ut31eq SK =−= σσσ (2.34) 
Onde σ1, σ2 e σ3 são as tensões normais principais e 
uc
ut
S
S
K = . 
 
Esta expressão pode também ser escrita: 
1
SS uc
3
ut
1 =− σσ (2.35) 
 
Unidade 2 - TEORIAS DE RESISTÊNCIA 
 
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Para o uso das expressões (2.34) e (2.35) os valores de Sut e Suc são tomados em 
módulos. Se o material é dútil, a expressão (2.34) é a mesma da teoria da máxima tensão 
tangencial. 
 
 
Figura 32 
 
 
Analisando a Figura 32 observamos que as teorias da máxima tensão normal e 
Coulomb-Mohr coincidem nos 1º e 3º quadrantes, e diferem nos 2º e 4º. Os pontos 
representativos de ensaios de laboratório bi-axiais, realizados até a ruptura indicam, no 4º e 2º 
quadrantes (ou seja: uma tensão normal principal positiva e a outra negativa), para o estado 
plano, que a teoria de Coulomb-Mohr é por demais conservativa, pois os pontos caem fora 
dela e a teoria da máxima tensão normal não é confiável até certo ponto, pois os pontos caem 
dentro de seu contorno limite. Já no 1º e 3º quadrantes as duas teorias coincidem e qualquer