Matemática Financeira Aula de 1 a 5

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Matemática Financeira 
Aula 1 Valor do dinheiro no tempo
Introdução
Nesta aula, você irá analisar porcentagem a título de revisão. Irá também reconhecer o valor do dinheiro no tempo. Irá ainda, distinguir os fatores de ganho real, de ganho permanente e de inflação.
Objetivos
Calcular a porcentagem.
Reconhecer a mudança no valor do dinheiro ao longo do tempo.
Determinar fator de ganho real, fator de ganho aparente e fator de inflação.
Porcentagem
Para iniciar o estudo de juros, vamos recordar porcentagem aplicando alguns conceitos básicos.
À taxa porcentual p% associamos a razão P/100 e assim, calcular p% de uma quantidade qualquer e multiplicá-la pela razão.
Vejamos alguns exemplos:
Calcular 15% de 120.
SOLUÇÃO
Escrever 4/5 na forma porcentual.
SOLUÇÃO
Escrever 4/5 na forma porcentual.
Agora, resolva os exercícios a seguir:
Questão 1 - Um produto com preço R$120,00 tem esse valor reajustado para R$150,00. Qual o porcentual de aumento?
GABARITO
O produto passou de 120 → 150
Aumentou em: 150 – 120 = 30
Vamos procurar o porcentual de 120 que corresponde a 30:
(P/100) . 120 = 30 Logo: P = (100.30)/120 = 25
Resposta: aumento de 25%.
Questão 2 - Um produto com preço de R$150,00 teve uma redução no seu preço passando a valer R$120,00. Qual o porcentual relativo a essa redução?
GABARITO
O produto passou de 150 → 120
Redução de 150 – 120 = 30
Vamos procurar o porcentual de 150 que corresponde a 30:
(P/100) . 150 = 30 logo p = (100 . 30)/150 = 20
Resposta: aumento de 25%.
Questão 3 - Por quanto tempo devo multiplicar um valor C para utilizá-lo após um aumento de 35%?
GABARITO
Vamos supor que C corresponde a 100%.
O valor corrigido A corresponde a:
A = 100% + 35% = 135% de C
Ou A = 135/100 C = 1,35 C
Resposta: devemos multiplicar C por 1,35, que é chamado fator de atualização ou correção.
Analisando os exemplos e os exercícios que vimos anteriormente, temos:
Se o aumento for de:
15% → 100 + 15 = 115% → fator de atualização = 1,15
19,21% → 100 + 19,21 = 119,21% → fator de atualização = 1,1921
70% → 100 + 70 = 170% → fator de atualização = 1,7
6% → 100 + 6 = 106% → fator de atualização = 1,06
300% → 100 + 300 = 400% → fator de atualização = 4
Caso haja redução:
-20% → 100 – 20 = 80% → fator de atualização = 0,8
Se o fator de atualização for, por exemplo:
1,32 → 132% - 100% = 32% → aumento
0,94 → 94% - 100% = -6% → redução
Quanto ao valor do dinheiro, ele muda ao longo do tempo?
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$1.000,00 hoje não são iguais a R$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro se modifica no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
SUPONHA, POR EXEMPLO, QUE O RENDIMENTO DA POUPANÇA DURANTE O ANO DE 2010 FOI DE 6%. QUAL SERÁ O SALDO EM 1° DE JANEIRO DE 2011?
Solução 
Correção do valor do dinheiro no período:
6% de 1000 = 6/100 . 1000 = 60
Resposta:
Saldo em 1º de janeiro de 2011:
R$1.000,00 + R$60,00 = R$1.060,00
Nesse caso, os 6% de rendimento da poupança podem ser considerados como a taxa de juros que corrige o valor aplicado.
Agora, resolva os exercícios a seguir:
Questão 1 - Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflação acumulada no trimestre?
GABARITO
1ª solução: Raciocínio elementar.
Suponha um valor inicial para um preço de 100.
100 + 6% = 106; 106 + 8% = 114,48; 114,48 + 10% = 125,928
De 100 passou para 125,928. Portanto, houve um aumento de 25,928%.
2ª solução: Por fatores.
6% → 1,06
8% → 1,08
10% → 1,10
Fator acumulado: 1,06 . 1,08 . 1,10 = 1,25928
Fator 1,25928 → índice 25,928%
acumular % → multiplicar fatores
Questão 2 - Um preço tem reajuste acumulado em um bimestre de 38%. Se no prim
GABARITO
1ª solução: Raciocínio elementar.
Valor inicial = 100
Temos que calcular o percentual de aumento de 120 para 138.
138 – 120 = 18
Então: 𝑝/100 . 120 = 18
logo, p = 15%
2ª solução: Por fatores.
1º mês → 20% fator 1,2
2º mês: ? fator x
Bimestre: 38% → fator 1,38
1,2 . x = 1,38
x = 1,38/1,2
x = 1,15 ou 15%
descontar % → dividir fatores
Questão 3 - Certa categoria profissional conseguiu no Tribunal do Trabalho, para junho, reajuste de 62,5% sobre os salários de janeiro, descontadas as antecipações. Como houve um adiantamento de 25% em março, que valor percentual deve incidir sobre os salários de abril para cumprir determinações judiciais?
GABARITO
1ª solução: Raciocínio elementar.
Supondo o salário de janeiro como 100. Como deverá ter em junho 62,5% de aumento, os salários neste mês deverão ser de 162,5.
Assim:
Diferença: 162,5 – 125 = 37,5
Então: 𝑝/100 . 125 = 37,5
P= 30%
2ª solução: Por fatores.
Devemos descontar dos 62,5% o adiantamento de 25%. Se x é o fator relativo ao novo ajuste:
Então: x = 1,625/1,25
x = 1,3 ou 30%
Questão 4 - Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% e a taxa de rendimento de 56%. Qual o rendimento deste investimento descontada a inflação?
GABARITO
Nesta situação, os 56% são chamados de ganho aparente (ou ganho nominal) do investimento e o rendimento, descontada a inflação, é chamado de ganho real.
Assim, se x é o fator de ganho real
x = 1,56/1,3
x = 1,2 ou 20%
Fator de ganho real = 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 ganho 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 / 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜
Questão 5 - A fração 3/4 pode ser escrita na forma percentual. Escolha a alternativa correta.
34%
25%
75% Certo 
65%
Questão 6 - Um automóvel que custava R$25.000,00 sofreu um reajuste de 12%. O novo valor é:
R$32.000,00
R$28.000,00 Certo 
R$27.000,00
R$30.000,00
Questão 7 - A inflação em um bimestre foi de 5% e 6% ao mês, respectivamente. Qual a inflação acumulada neste bimestre?
10,99
11,07
10,09
11,13 Certo 
Matemática Financeira 
 Aula 2 Fluxo de caixa, juros simples, montante, simbologia, conceitos e convenções
Introdução
Nesta aula, você irá reconhecer o fluxo de caixa. Irá também analisar a unidade de medida da taxa de juros. Irá calcular os juros simples e, por fim, compreender o montante.
Fluxo de caixa
Em Finanças, o fluxo de caixa (em inglês "cash flow") refere-se ao montante de caixa recebido e gasto por uma empresa durante um período de tempo definido.
Existem dois tipos de fluxos:
De saída, que representa as saídas de capital, subjacentes às despesas de investimento.
De entrada, que é o resultado do investimento. Valor que contrabalança com as saídas e traduz-se num aumento de vendas ou numa redução de custos.
Veja um exemplo:
O gráfico representa uma conta bancária no mês de janeiro.
Dia 1 de janeiro: 1.000. Dia 5 de janeiro: 200. Dia 15 de janeiro: 100. Dia 25 de janeiro: 400. Dia 31 de janeiro: 300.	
Legenda:
• As setas para cima representam ENTRADAS.
• As setas para baixo representam saídas.
Essa representação valerá para todas as nossas aulas.
Supondo que não exista correção do valor do dinheiro no tempo, vamos calcular o saldo do fluxo de caixa no dia 31 de janeiro.
Solução:
SALDO = 1000 – 200 + 100 – 400 – 300 = $200
Unidade de medida da taxa de juros
Na matemática financeira, a taxa de juros é indicada por uma porcentagem.
Veja um exemplo:
Supondo que a compra de uma TV LCD à vista custa R$1.000,00, e você paga com um cheque pré-datado para 30 dias no valor de R$1.100,00. Vamos calcular a taxa de juros cobrada pela loja.
Solução:
Valor pago a mais em um mês:
1100 – 1000 =100 (representa os juros)
Porcentagem dos juros:
100/1000 = 10%
Comentários!
Como a taxa de juros foi empregada no período de um mês, ela é representada por 10% ao mês (10% am). Da mesma forma, a taxa de juros pode ser empregada em períodos diferentes:
12% ao ano (12% aa)
8% ao semestre (8% as)
3% ao bimestre (3% ab)
0,2% ao dia (0,2% ad)
Juros simples
Chamamos de juros a remuneração recebida pela aplicação de um capital C a uma taxa de juros i durante um certo tempo t. Se essa remuneração incide somente sobre o capital C ao final do tempo t, dizemos que esses juros são juros simples.
No regime de juros simples, os juros de cada períodosão calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros simples não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.
A situação a seguir demonstra uma aplicação de juros simples
Um investidor aplicou R$1.000,00 no Banco XYZ, pelo prazo de quatro anos, a uma taxa de juros simples de 8% ao ano. Vamos calcular o saldo desse investidor no final de cada quatro anos da operação.
Solução:
Ano	Saldo no início do ano	Juros do ano	Saldo do ano antes do pagamento	Pagamento do ano	Saldo no final do ano após o pagamento
1º	1.000,00	8% x 1000 = 80	1.080,00	0,00	1.080,00
2º	1.080,00	8% x 1000 = 80	1.160,00	0,00	1.160,00
3º	1.160,00	8% x 1000 = 80	1.240,00	0,00	1.240,00
4º	1.240,00	8% x 1000 = 80	1.320,00	1.320,00	0,00
A representação gráfica de aplicação de R$1.000,00 a 8% a.a.
Juros simples (linear) / 1.000,00 / 1.100,00 / 1.200,00 / 1.300,00 / 1.400,00	
Fórmula dos juros simples:
j = Cit/100 onde i referida na mesma unidade de t.
Exemplo:
i = 15% aa ; t = 3 anos
i = 2% am ; t = 15 meses
O Montante é a soma do capital (C) com os juros (J). M = C + J
Veja um exemplo:
Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, vamos determinar:
a) os juros recebidos;
b) o montante.
Solução:
Agora, vamos praticar!
Questão 1 - A quantia de R$2.000,00 foi aplicada por sete meses a juros simples de taxa anual de 24%. Qual o montante dessa aplicação?
GABARITO
Repare que o prazo da aplicação está em meses e a taxa ao ano. Devemos transformar um deles em função do outro.
i= 24% a.a. = 24/12 = 2% a.m
Então, podemos dizer que 24% a.a. e 2% a.m. são taxas equivalentes a juros simples. Assim:
i= 7m / i = 2%a.m. / 7x2=14%
M = 1,14 x 2000 = 2280
Resposta: O montante é R$2.280,00.
Questão 2 - R$5.000,00 foram aplicados a juros simples por 20 dias à taxa de 9% ao mês. Qual o montante dessa aplicação?
GABARITO
20d=20/30=2/3m / t=2/3m / 2/3x9=6%
I = 9% a.m.
M = 1,06 x 5000 = 5300
Resposta: O montante é R$5.300,00.
Questão 3 - R$3.000,00 foram aplicados a juros simples por 10 dias à taxa de 7% ao mês. Qual o montante dessa aplicação?
GABARITO
10d = 10/30 = 1/3 m / t = 2/3 m / 1 / 3 x 7 = 7/3% / Observe que 7/3..... = 2,333... o que pode dificultar as contas. Neste caso, é conveniente usar a fórmula: j = 𝐶𝑖𝑡/100 / j = (3000.7.1/3)/100 = 70
M = C + j
M = 3000 + 70 = 3070
Resposta: O montante é R$3.070,00.
Questão 4 - O capital de R$500,00 aplicado durante um ano e meio a juros simples rendeu R$180,00. Qual a taxa mensal?
GABARITO
C = 500
t = 1 ano meio = 18 meses
i = ?% a.m.
j = 180
Aplicando a fórmula:
j = 𝐶𝑖𝑡/100 / 180 = (500.𝑖.18)/100 = 70
9000 i = 18000
i = 2%
Resposta: A taxa mensal é 2%.
Atividade
Questão 1 - Supondo que em um determinado mês, o fluxo de caixa de uma empresa apresentou as seguintes movimentações:
No dia 1, o saldo era R$ 50.000,00.
No dia 3, houve retirada de R$ 25.000,00 para folha de pagamento.
No dia 10, foram recolhidos R$ 16.200 de impostos.
No dia 15, um crédito de R$ 45.000,00 referente à venda de produtos.
No dia 30, foi pago R$ 600,00 ao contador.
Qual o saldo final naquele mês?
R$ 44.300,00
R$ 48.800,00
R$ 45.600,00
R$ 53.200,00 Certo 
Questão 2 - Se R$ 10.000,00 foram aplicados por 6 meses à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, determine os juros recebidos:
R$ 800,00
R$ 900,00 Certo 
R$ 600,00
R$ 1.200,00
Matemática Financeira 
 Aula 3 Juros Composto
Introdução
Nesta aula, você irá reconhecer os juros compostos, o cálculo do principal montante, a taxa de juros e os períodos e equivalência de capitais. Irá também adequar os juros e o prazo às condições das tabelas da Matemática Financeira, como a Tabela de Fator de Acumulação.
Juros Compostos
No regime de juros compostos, os juros de cada período, que não forem pagos no final do período, são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros são capitalizados e, consequentemente, rendem juros.
Chamamos de juros compostos a remuneração que o capital C recebe após n períodos de aplicação, quando a cada período, a partir do segundo, os juros são calculados sobre o montante do capital C no período anterior.
Vejamos um exemplo:
Um investidor aplicou no Banco XYZ R$1.000,00 no mercado financeiro a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano. Vamos calcular o valor do saldo credor no final de cada um dos quatro anos da operação.
SOLUÇÃO
Montante
Assim, o Montante M de um capital C aplicado à taxa unitária i de juros compostos, a cada período de tempo, por n períodos, é dado por:
M = C (l + i)n
(1 + i)n é chamado de fator de capitalização
Vejamos um exemplo:
Vamos determinar qual o montante produzido por R$10.000,00 à taxa de juros compostos de 6% ao mês, durante 5 meses.
SOLUÇÃO
Agora, vamos praticar!
Questão 1 - Calcule o montante da aplicação de R$10.000,00 à taxa composta de 8% ao trimestre durante um ano.
GABARITO
M = ?
C = 10000
i = 8% a.t. = 0,08 a.t. (taxa unitária)
t = 1 ano
Como a taxa de juros é trimestral, dizemos que o período de capitalização também é trimestral (os juros são creditados na taxa dada, a cada trimestre). Com isso, o número n de períodos de capitalização é igual a 4 (um ano há quatro períodos).
Questão 2 - Suponha uma aplicação de R$1.000,00 por um ano e meio à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre. Qual o montante dessa aplicação?
GABARITO
C = 1000
i = 6% a.b. = 0,06 a.b.
t = 1 ano e meio = 18 meses → n = 9 (período bimestral)
M = C (1 + i)n
M = 1000 x (1,06)9
M = 1000 x 1,689479 (Tabela Fator de Acumulação de Capital)
M = 1689,48
Resposta: O montante é R$1.689,48.
Questão 3 - Uma pessoa aplicou R$500,00 num investimento que rende 2% ao mês, a juros compostos. Qual o tempo necessário aproximado para que o montante seja R$600,00?
GABARITO
M = 600
C = 500
I = 0,02
600 = 500 (1 + 0,02)n
(1 + 0,02)n = 600/500 
(1,02)n = 1,2 da Tabela Fator de Acumulação de Capital → n = aprox. 9
Resposta: O tempo aproximado é 9 meses.
Questão 4 - Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 5% a.m. no regime de juros compostos, a partir de um principal igual a R$100.000,00?
GABARITO
Resposta: R$240.661,90.
Questão 5 - Qual o principal que deve ser investido nesta data para se ter um montante de R$500.000,00 daqui a 2 semestres, a uma taxa de 15% a.t., no regime de juros compostos?
GABARITO
Resposta: R$285.876,66.
Questão 6 - Qual a taxa de rentabilidade mensal de investimento no regime de juros de compostos nessa data, no valor de R$10.000,00, para receber R$17.958,60 daqui a um ano?
GABARITO
Resposta: 5% a.m.
Questão 7 - Quanto se terá daqui a 6 trimestres ao se aplicar R$100.000,00, nessa data, e qual a taxa mensal, no regime de juros compostos, para se obter um montante de R$170.243,30?
GABARITO
Resposta: 3% a.t.
Questão 8 - Uma pessoa aplicou R$400,00 num investimento que rende 2% ao mês, a juros compostos.
Qual o montante ao final de 3 meses?
R$424,48 Certo 
R$454,90
R$436,12
R$442,38
Questão 9 - Uma pessoa aplicou R$400 num investimento que rende 2% ao mês, a juros compostos.
Qual o montante ao final de 1 ano?
R$488,16
R$496,48
R$494,12
R$507,29 Certo 
Questão 10 - Uma pessoa aplicou R$400,00 num investimento que rende 2% ao mês, a juros compostos.
Qual o montante ao final de 6 anos?
R$448,76
R$450,46 Certo 
R$464,32
R$465,79
Matemática Financeira 
 Aula 4: Taxas de juros
Introdução
Nesta aula, você irá distinguir as taxas: equivalente, nominal/efetiva/proporcional e a taxa real/aparente.
Taxa equivalente
Taxas equivalentes são aquelas referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual i𝛼.
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a
M = C (1 + i𝛼)
Consideremos agora, o mesmo capital M aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a
M’ = C (1 + im)124
Vejamos algumas aplicações desse conceito:Primeira aplicação
Seja:
Im = 1% a.m. (Período mês)
Vamos determinar qual a taxa equivalente ao ano (i𝜶 % a.a.). (Período ano)
SOLUÇÃO
(1 + i𝛼) = (1 + Im)12
(1 + i𝛼) = (1 + 0,01)12
(1 + i𝛼) = 1,1268
Logo: i𝛼 = 1,1268 – 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a.
Segunda aplicação:
Vamos determinar qual o montante acumulado no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
SOLUÇÃO
C = R$100,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 1 ano
n = 12 meses
M = ?
Temos: M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,01)12
M = 100 x 1,126825 (da Tabela)
M = R$112,68
Terceira aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
SOLUÇÃO
im = ? % a.m. (Período mês)
(ia = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + i) = (1 + im)12 (1 ano = 12 meses, logo expoente 12)
(1 + 0,60) = (1 + im)12
1,6 = (1 + im)12
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 12, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna i = 4% a.m.
Quarta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
SOLUÇÃO
it = ? % a.t. (Período trimestre)
(ia = 60% a.a.)? (Período ano)
(1 + ia) = (1 + it)4 (1 ano = 4 trimestres, logo expoente 4)
(1 + 0,60) = (1 + it)4
1,6 = (1 + it)4
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna it = 12% a.m.
Quinta aplicação:
Vamos calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
SOLUÇÃO
Im = ? % a.t. (Período ao mês)
(it = 60% a.t.)? (Período trimestre)
(1 + it) = (1 + im)3 (1 trimestre = 3 meses, logo expoente 3)
(1 + 0,60) = (1 + im)3
1,6 = (1 + im)3
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
Na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna im = 17% a.m.
Saiba+
Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
Como fazer as conversões das taxas?
Podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + ia = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
Todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara.
Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres].
Exemplo
Vamos determinar qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos.
C = R$2.000,00
i = 1% a.m. ou i = 0,01
t = 2 anos
n = 24 meses
M = ?
Temos:
M = C (1 + i)n
M = 2000 (1 + 0,01)24
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47
Exercícios!
Questão 1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
GABARITO
Teremos: 1 + ia = (1 + is)2
Como 5% a.s. = 0,05 a.s., vem: 1 + ia = 1,052
ia = 0,1025 = 10,25%.
Questão 2 - Qual a taxa mensal equivalente a 48% ao ano?
GABARITO
Teremos: 1 + ia = (1 + im)12
Como 48% = 48/100 = 0,48
1 + 0,48 = (1 + im)12
1,48 = (1 + im)12
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
im = 0,02 = 2% a.m.
Questão 3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
GABARITO
6,17% a.a.
Questão 4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre?
GABARITO
2% a.m.
Questão 5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal?
GABARITO
37,48%.
Taxa nominal / taxa proporcional ou efetiva
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão:
Taxa nominal = (𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠)/(𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑟é𝑠𝑡𝑖𝑚𝑜)
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
Vamos determinar a taxa de juros nominal de um empréstimo de $100.000,00 que deve ser quitado ao final de um ano, pelo valor monetário de $150.000,00
Solução 
Juros pagos = Jp = $150.000 - $100.000 = $50.000,00
Taxa nominal = in = $50.000/$100.000 = 50%
Segunda aplicação:
Vamos determinar o montante (M) obtido ao final de um ano de uma aplicação de R$10.000,00 à taxa i = 36% ao ano com capitalização mensal.
SOLUÇÃO
Como a taxa i está definida em um período de tempo diferente do período de capitalização (i é anual e a capitalização, mensal) dizemos que i é uma taxa nominal. Assim, a taxa que será realmente aplicada neste exemplo é a taxa proporcional mensal 36/12 = 3% a.m., que será a taxa efetiva.
Logo:
i = 36% a.a. com capitalização mensal → i = 3% a.m.
C = 10000
t = 1 ano → n = 12 (meses) → porque a taxa i está em % ao mês
M = C (1 + i)n
M = 10000 (1 + 0,03)12
M = 10000 (1,03)12
M = 10000 . 1,425761 (da Tabela Financeira: linha n = 2, coluna 3%)
M = 14257,61 é o montante ao fim de 1 ano.
Observação: O denominador é 12 porque a taxa i é anual e a capitalização é mensal.
Terceira aplicação:
O capital de R$10.000,00 será aplicado por 1 ano. Vamos determinar a que taxa anual deverá ser aplicado para gerar o mesmo montante da aplicação à taxa composta de 3% ao mês
SOLUÇÃO
Obs.: a taxa composta de 3% ao mês indica tratar-se de juros compostos, ou seja, a cada mês será aplicado um porcentual de 3% sobre o montante.
I = taxa anual
C = 10000
t = 1 ano = 12 meses
i = ?
Solução:
- Vamos calcular o montante à taxa de 3% ao mês.
M = C (1 + i)n
M = 10000 (1 + 0,03)12
M = 10000 (1,03)12
- Vamos calcular o montante à taxa de I % ao ano:
M = 10000 (1 + I)
Igualando:
10000 (1,03)12 = 10000 (1 + I)
1,0312 = 1 + I
- Pela Tabela:
1,425761 = 1 + I
I = 0,425761 ou 42,5761 % a.a.
Exercícios!
Questão 1 - Determine as taxas mensal, trimestral e semestral equivalentes a 36% a.a. Em seguida, compare os valores obtidos com as respectivas taxas proporcionais.
GABARITO
I = 36% a.a.
Taxa mensal:
i = ? a.m.
1 + I = (1 + i)12
1 + 0,36 = (1 + i)12
1,36 = (1 + i)12
Pela Tabela Financeira, i = 2,5% a.m. aproximadamente.
Taxa trimestral:
i = ? a.t.
1 + I = (1 + i)4
1 + 0,36 = (1 + i)4
1,36 = (1 + i)4
Pela Tabela Financeira, i = 8% a.t. aproximadamente.
Taxa semestral:
i = ? a.s.
1 + I = (1 + i)2
1 + 0,36 = (1 + i)2
1,36 = (1 + i)2
Pela Tabela Financeira, i = 16,5% a.s. aproximadamente.
Agora, vamos calcular as taxas proporcionais:
Partindo da taxa de 36% ao ano:
• Taxa proporcional mensal: 36/12 = 3% a.m.
• Taxa proporcional diária: 36/360 = 0,1% a.d.
• Taxa proporcional trimestral: 36/4 = 9% a.t.
• Taxa proporcional semestral: 36/2 = 18% a.s.
Questão 2 - Um capital de $10.000,00 foi aplicado durante 5 anos à taxa de juros de 3% a.a.
Diga:
a) Quais os juros totais produzidos.
b) O valor atingido pelo capital ao final de 5 anos.
GABARITO
a) $1.592,74.
b) $11.592,74.
Questão 3 - Que taxa nominal de juros anual, capitalizada trimestralmente, produz juros totais iguais a 60% do capital ao final de 5 anos?
GABARITO
i.a. = 9,51% a.a.
Questão 4 - Quanto devo aplicar numa instituição financeira, em caderneta de poupança, que paga uma taxa de juros de 6% a.a., para obter $10.000,00 ao final de 5 anos?
GABARITO
$7.413,72.
Taxa real
Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação. A taxa real expurga o efeito da inflação. Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser negativa!
Vamos encontrar uma relação entre a taxa de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um determinado capital C é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in. O montante M1 ao final do período, será dado por:
M1 = C(1 + in)
Consideremos agora que, durante o mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante:
M2 = C(1 + j)
Vejamos algumas aplicações desse conceito:
Primeira aplicação:
O capital de R$10.000,00 produziu em 1 ano o montante de R$13.500,00. Tendo nesteperíodo havido uma inflação de 30%, vamos determinar qual a taxa real do juros e qual a taxa de remuneração do capital.
SOLUÇÃO
Ti = 30%
Tr = taxa real de juros real
J = M - C
J = 13.500 - 10.000 = 3.500
J = Cit / 100
3.500 = (10.000.i.l) / 100
i = 35% (taxa de juros)
Como (1 + in) = (1 + r) . (1 + j)
(1 + Tr) = (l + i) / (l + Ti)
1 + Tr = (l + 0,35) / (l + 0,3) = 1,0385
Logo, Tr = 1,0385 - 1 = 0,0385 ou 3,85%
Atenção!
Tr ou r é a taxa real
In ou i é a taxa de juros
Tj ou j é a taxa de inflação
Segunda aplicação:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, vamos calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
SOLUÇÃO
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 = 25%
Portanto: in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros:
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,30)
1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto, teríamos uma taxa real de juros negativa!
Exercício!
$100.000,00 foi emprestado para ser quitado por $150.000,00 ao final de um ano. Se a inflação no período foi de 20%, qual a taxa real do empréstimo?
GABARITO
25
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e real são coincidentes.
Taxa bruta e taxa líquida
Denomina-se taxa bruta de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira.
Denomina-se taxa líquida de uma aplicação financeira a taxa de juros obtida considerando o valor da aplicação e o valor do resgate líquido, já levando em conta o desconto do imposto de renda, que é retido pela instituição financeira.
Assim, taxa bruta é sempre maior que a taxa líquida.
Taxa prefixada / pós-fixada
A diferença básica entre ambas as taxas, prefixada e pós-fixada, se concentra na forma de compor a taxa:
O crédito prefixado opera com juros estáveis, que considera a inflação, o ganho da financeira e mais uma margem de garantia para qualquer eventualidade
O pós-fixado conta com taxas menores, que equivalem apenas aos juros.
Os outros dois componentes (risco da economia e inflação) ficam por conta do devedor, que, além do juro, arca com a correção por um indicador de inflação, como TR ou variação cambial.
Portanto, aí está centrado o risco do negócio:
Mesmo com a estabilidade econômica, tanto o dólar quanto a inflação podem apresentar variações, o que pode transformar os financiamentos pós-fixados em operações arriscadas. O consumidor pode sair ganhando na parte fixa da taxa de juros, mas em caso de qualquer oscilação mais forte na parte variável, pode acabar pagando mais pelo crédito pós-fixado.
Exemplo!
Um exemplo de aplicação pós-fixada é a Caderneta de Poupança, que permite ao investidor aplicar pequenas somas com rendimentos a cada 30 dias. A remuneração é composta por TR (taxa referencial) da data de aniversário da aplicação + 0,5% ao mês. A caderneta de poupança é uma aplicação pós-fixada. Os ganhos são isentos de imposto de renda, mas se o aplicador resgatar antes da data de aniversário da aplicação, perde toda a rentabilidade do período (do montante resgatado e não do saldo).
Atividades
Questão 1 - Calcule as taxas mensal e diária proporcionais à taxa de 3,6% ao trimestre.
1,3% a.m. – 0,06% a.d.
1,2% a.m. – 0,04% a.d. Certo 
1,4% a.m. – 0,08% a.d.
1,1% a.m. – 0,02% a.d.
Questão 2 - Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados mensalmente.
0,68%
0,32%
0,85825%
0,70337% Certo 
Questão 3 - Calcule a taxa diária equivalente à taxa de 9% ao semestre.
1,05%
0,05% Certo 
0,065%
0,85%
Matemática Financeira 
 Aula 5 Operações de Desconto
Introdução
Nesta aula, você irá estabelecer as operações de desconto. Irá reconhecer as principais operações de desconto do mercado bancário: desconto comercial ou bancário ou por fora ou irracional e desconto racional ou matemático ou por dentro ou racional.
Operações de desconto
O desconto comercial, bancário ou por fora é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face.
Vejamos um exemplo:
Vamos determinar qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial de 5%.
SOLUÇÃO
N = Valor Nominal ou de face = 100
Taxa de desconto iD= 5%
D = 5% de 100 = 5 (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 100 – 5 = 95
O valor do resgate é R$95,00.
Exercício!
Qual será o valor do resgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação de 2 meses, com desconto comercial em um mercado de taxa mensal simples de 10%?
GABARITO
Gráfico em fundo branco. Linha reta na horizontal como base do gráfico. À direita o texto tempo. Do lado esquerdo uma seta aponta para cima a partir da base. Sobre a seta o texto Resgate? e à direita a letra A. Do lado direito, paralelo, outra seta aponta para cima. Sobre ela o texto Cheque 120 e à esquerda a letra N. Abaixo da linha horizontal, na extremidade esquerda está escrito 0; no centro está escrito 1; na extremidade direita está escrito 2. Da letra N sai uma seta em curva até a letra A. Abaixo da seta está escrito iD = 10% a.m.
N = Valor Nominal ou de face = 120
Taxa de desconto iD = 10% a.m.
D = 2 . 10% de 120 = 24 (é o desconto comercial)
A = N – D
A = 120 – 24 = 96
O valor do resgate é R$96,00.
Desconto racional
O desconto racional, matemático ou por dentro é o juro calculado sobre o valor nominal ou de face.
É o desconto d que determina um valor A que, corrigido nas condições de mercado, tem para montante o valor nominal N.
Vejamos um exemplo:
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobra uma taxa de desconto racional de 5%?
SOLUÇÃO
Gráfico em fundo branco. Linha reta na horizontal como base do gráfico. À direita o texto tempo. Do lado esquerdo uma seta aponta para cima a partir da base. Sobre a seta o texto Resgate? e à direita a letra A. Do lado direito, paralelo, outra seta aponta para cima. Sobre ela o texto Duplicata 100 e à esquerda a letra N. Da letra N sai uma seta em curva até a letra A. Abaixo da seta está escrito i = 5%.
N = Valor Nominal ou de face = 100
Taxa de desconto racional i = 5%
d = 5% de A
A = N – D
A = 100 – 0,05 A
1,05 A = 100
A = 95,24
O valor do resgate é R$95,24.
Comparando com o primeiro exemplo (desconto comercial), concluímos que o desconto racional favorece a instituição Financeira .
Exercícios!
Questão 1 - Qual será o valor do resgate de um cheque de R$120,00 num prazo de antecipação de 2 meses, com desconto racional em um mercado de taxa mensal simples de 10%??
GABARITO
Gráfico em fundo branco. Linha reta na horizontal como base do gráfico. À direita o texto tempo. Do lado esquerdo uma seta aponta para cima a partir da base. Sobre a seta o texto Resgate? e à direita a letra A. Do lado direito, paralelo, outra seta aponta para cima, sobre ela o texto Cheque 120 e à esquerda a letra N. Abaixo da linha horizontal, na extremidade esquerda está escrito 0; no centro está escrito 1; na extremidade direita está escrito 2. Da letra N sai uma seta em curva até a letra A. Abaixo da seta está escrito i = 10% a.m.
N = Valor Nominal ou de face = 120
Taxa de desconto i = 10% a.m.
d = 2 . 10% de A = 0,2 A (é o desconto racional)
A = N – d
A = 120 – 0,2 A
Logo: 1,2 A = 120
A = 100
O valor do resgate é R$100,00.
Comparando com o segundoexemplo (desconto comercial), concluímos que o desconto racional favorece a instituição financeira.
Questão 2 - Qual o desconto comercial simples de uma promissória de valor nominal $25.000,00, descontada à taxa de 3% a.m., cinco meses antes do vencimento?
GABARITO
N = 25000
i = 3% a.m.
t = 5 m
D = ?
i x t = 3 x 5 = 15%
D é 15% de N => D = 15/100 x 25000
D = 3750.
Questão 3 - Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal $1.200,00 que, descontado comercialmente a 9% a.m., gera valor igual a $1.056,00?
GABARITO
N = 1200
A = 1056
D = 1200 – 1056 = 144
iD = 9% a.m.
t =?
Como D é juro calculado sobre N, temos:
D = P/100 x N
144 = P/100 x 1200 => P = 12%
Como P = i x t => t = 15/100
t = 4/3 m = 40 dias.
Questão 4 - Descontando por fora uma promissória de valor nominal $7.350,00 à taxa simples de 3,6% a.m. mais IOF de 1.6% sobre o valor nominal, dois meses e dez dias antes do vencimento, qual o líquido recebido?
GABARITO
N = 7350
i = 3,6% a.m.
IOF = 1,6%
t = 2 m 10 d = 70 d = 70/30
t = 7/3 m
AD = ?
Neste caso, o percentual do desconto é dado por i x t + IOF.
Então D => 3,6 x 7/3 + 1,6 = 10% de N
A = (100-10)% de N = 90% de N
A = 90% de 7350 = = 6615
Resposta: $6.615,00.
Questão 5 - Um título descontado comercialmente à taxa simples de 12% a.m. reduz-se três nesses antes do vencimento a $2.432,00. Qual o valor nominal desse título?
GABARITO
i = 12% a.m.
t = 3 m
AD = 2432
N = ?
D = 36% de N
A => 100 – 36 = 64% de N
2432 = 64/100 N
N= 3800
Resposta: $3.800,00.
Questão 6 - Um título de valor nominal $600,00 foi descontado comercialmente 60 dias antes do vencimento à taxa simples de 8% a.m. Calcule a taxa mensal de juros simples efetiva dessa operação.
Gráfico em fundo branco. Linha reta na horizontal como base do gráfico. À direita o texto tempo. Do lado esquerdo uma seta aponta para cima a partir da base. Sobre a seta a letra A . Do lado direito, paralelo, outra seta aponta para cima. Sobre ela a letra N. Abaixo da linha horizontal, na extremidade esquerda, está escrito 0; na extremidade direita está escrito 2. Do ponto 2 sai uma seta em curva até o ponto 0. Abaixo da seta está escrito Di iD.
GABARITO
N = 600
i = 8% a.m.
t = 60 d => t = 2 m
AD = 2432
D = 16% de N
AD => 100 – 16 = 84% de N
AD = 84/100 . 600
= 84% de N
AD = 504
Logo: D= 600 – 504
D = 96
Gráfico em fundo branco. Linha reta na horizontal como base do gráfico. À direita o texto tempo. Do lado esquerdo uma seta aponta para cima a partir da base. Sobre a seta a letra A . Do lado direito, paralelo, outra seta aponta para cima. Sobre ela a letra N. Abaixo da linha horizontal, na extremidade esquerda, está escrito 0; na extremidade direita está escrito 2. Do ponto 0 sai uma seta em curva até o ponto 2. Abaixo da seta está escrito D = Ji ief.
A = 504
t = 2 m
ief = ?
N = 600
504 x = 600
x = 600/504
x = 1,190476 => p = 19,0476
Mas p = i . t => 19,0476 = ief . 2
ief = 9,52% a.m.
Questão 7 - Qual será o valor do resgate de um cheque de R$150,00 num prazo de antecipação de 3 meses, com desconto comercial em um mercado de taxa mensal simples de 10%?
R$115,00.
R$105,00. Certo 
R$122,00.
R$108,00.
Questão 8 - Qual o desconto comercial simples de uma promissória de valor nominal $30.000,00, descontada à taxa de 4% a.m., oito meses antes do vencimento?
R$8.800,00.
R$9.900,00.
R$7.900,00.
R$9.600,00.Certo 
Questão 9 - Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal $2.400,00 que, descontado comercialmente a 4% a.m., gera valor igual a $1.920,00?
5 dias.
5 meses Certo 
8 meses.
8 dias.