Apostila de Circuitos

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Autores
Edição:
Eberton João de Matia
Eduardo Moises Clarindo Alves Garcia
Horion Silva Dreher
Joubert Fuscaldi Soares
Leonardo Hisashi Onaga
Lucas Henrique Barros Pereira
Rebeca Bertolim Lopes
Mentores:
André Luiz Regis Monteiro
Eduardo Giometti Bertogna
Roberto Ribeiro Neli
Agradecimentos
Este trabalho é fruto da ação de membros do Grupo de Educação Tutorial (GET)
<https://www.facebook.com/getutorial/> orientados pelos professores André Luiz Re-
gis Monteiro, Eduardo Giometti Bertogna e Roberto Ribeiro Neli. Porém, ele não seria
real se não tivéssemos acesso aos livros consultados: Introdução à Análise de Circuitos
de Robert L. Boylestad e Análise de Circuitos em Engenharia de William H. Hayt Jr.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Parâmetros da tensão senoidal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 16
Figura 2 – Senoide plotada em ωt (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 3 – Senoide plotada em t (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 4 – Exemplo 1.3.2 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 5 – Exemplo 1.3.3 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 6 – Velocidade angular de uma senoide (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . 20
Figura 7 – Exemplo 1.5.2 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 8 – Senoide plotada em rad/s (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 9 – Senoide Positiva (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 10 – Senoide Negativa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 11 – Exemplo 1.7 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 12 – - Adição ponto a ponto de duas ondas senoidais (Adaptado de [1]) . 26
Figura 13 – Representação de senóide em fasor (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . 27
Figura 14 – Representação fasorial da soma de ondas senoidais (Adaptado de [1]) 27
Figura 15 – Tensão e corrente de um dispositivo Resistivo (Adaptado de [1]) . . . 29
Figura 16 – Resposta de um dispositivo indutivo a uma corrente senoidal (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 17 – Tensão e corrente de um dispositivo indutivo (Adaptado de [1]) . . . 30
Figura 18 – Resposta de um dispositivo puramente capacitivo a uma corrente
senoidal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 19 – Tensão e corrente de um dispositivo capacitivo (Adaptado de [1]) . . 31
Figura 20 – Resposta dos resistores de carbono à frequência (Adaptado de [1]) . 32
Figura 21 – Equivalente prático para um indutor (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 32
Figura 22 – ZL contra frequência para indutor prático (Adaptado de [1]) . . . . . 33
Figura 23 – Equivalente prático para um Capacitor (Adaptado de [1]) . . . . . . . 33
Figura 24 – Zc contra frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 25 – Diagrama de impedâncias (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 26 – Impedâncias em série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 27 – Circuito RLC série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 28 – Diagrama de impedâncias do exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . 37
Figura 29 – Circuito RL série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 30 – Diagrama de impedâncias do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . 39
Figura 31 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 32 – Circuito RC série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 33 – Diagrama de impedâncias do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . 41
Figura 34 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 35 – É possível calcularV1 eV2 com a regra do divisor de tensão (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 36 – Circuito RC série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 37 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 38 – Diagrama de admitâncias (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 39 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 40 – Diagrama de admitâncias do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 45
Figura 41 – Circuito RL paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 42 – Circuito de associação mista (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 43 – Circuito em série-paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 44 – Impedâncias representadas em blocos (Adaptado de [1]) . . . . . . . 48
Figura 45 – Fontes independentes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 46 – Fontes dependentes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 47 – Representação alternativa de fontes dependentes (Adaptado de [1]) 50
Figura 48 – Conversão de fontes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 49 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 51
Figura 50 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 51
Figura 51 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 52 – Circuito com impedâncias em bloco (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 52
Figura 53 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 54 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 55 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 56 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 57 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 58 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 59 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 60 – Circuito CA com impedâncias em bloco (Adaptado de [1]) . . . . . . 57
Figura 61 – Diagrama de um circuito resistivo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 59
Figura 62 – Curva de Potência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 63 – Gráfico do circuito puramente indutivo (Adaptado de [1]) . . . . . . 60
Figura 64 – Circuito Indutivo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 65 – Circuito C (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 66 – Curva de Potências (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 67 – Triângulo de Potência Indutiva (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 62
Figura 68 – Triângulo de Potência Capacitiva (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 62
Figura 69 – Circuito RLC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 70 – Fator de potencia corrigido via indutor (Adaptado de [1]) . . . . . . . 65
Figura 71 – Nós de referência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 72 – Correntes no primeiro nó (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 73 – Correntes no segundo nó (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 74 – Circuito com fonte dependente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 68
Figura 75 – Fonte independente entre Nós (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 69
Figura 76 – Fonte dependente entre Nós (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 77 – Parâmetros para conversão (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 78 – Modelo T (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 79 – ModeloΠ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 80 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 81 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 82 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 83 – Circuito de Thévenin (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 84 – Circuito completo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 85 – Representação com blocos de impedância (Adaptado de [1]) . . . . . 74
Figura 86 – Fonte 1 curto circuitada (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 87 – Fonte no circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 88 – Circuito equivalente de Thévenin (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 76
Figura 89 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 90 – Circuito para obtenção da impedância de Norton (Adaptado de [1]) 77
Figura 91 – Circuito para obtenção da corrente de Norton (Adaptado de [1]) . . 78
Figura 92 – Circuito equivalente de Norton (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 78
Figura 93 – Circuito puramente resistivo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 94 – Circuito exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 95 – Representação com blocos de impedância (Adaptado de [1]) . . . . . 80
Figura 96 – Gerador trifásico e suas tensões no enrolamento (Adaptado de [1]) . 81
Figura 97 – Fases e seus ângulos (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 98 – Diagrama fasorial (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 99 – Gerador e carga conectados em Y (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 83
Figura 100 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 101 – Carga conectada em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 102 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 103 – Gerador conectado em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 86
Figura 104 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Figura 105 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Figura 106 – Carga Conectada em Y (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 107 – Carga Conectada em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 108 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 109 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 110 – Wattímetros conectados em cada fase e em comum com o neutro
(Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 111 – Wattímetros em carga conectada em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . 94
Figura 112 – Wattímetros conectados em apenas duas fases (Adaptado de [1]) . . 94
Figura 113 – Carga desequilibrida com quatro fios (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 95
Figura 114 – Carga desequilibrada com três fios (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . 96
Figura 115 – Circuito magnético simples (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 116 – Transformador de potência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 98
Figura 117 – Transformador de corrente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 118 – Transformador de potencial (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 119 – Transformador de sinal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 120 – Bobina e núcleo metálico em lâminas de um transformador (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 121 – Tranformador de Núcleo envolvente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 100
Figura 122 – Transformador Núcleo envolvido (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 100
Figura 123 – Transformador Núcleo Laminado (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 101
Figura 124 – Transformador trifásico (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 125 – Transformador e seu símbolo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 102
Figura 126 – Indutância mútua (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 127 – Coeficiente de acoplamento (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 103
Figura 128 – Transformador de exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 129 – Transformador monofásico (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 130 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 131 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 132 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 133 – Exemplo de casamento de impedâncias (Adaptado de [1]) . . . . . . 109
Figura 134 – Transformador como isolador para medidas de tensão (Adaptado de
[1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 135 – Transformador real (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 136 – Transformador ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 137 – Transformador ideal e carga refletida (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 111
Figura 138 – Carga refletida no transformador (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 111
Figura 139 – Diagrama fasorial de tensão (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 112
Figura 140 – Polaridade de um transformador (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 112
Figura 141 – Autotransformador (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 142 – Transformador com derivação no primário (Adaptado de [1]) . . . . 113
Figura 143 – Transformador com derivação no secundário (Adaptado de [1]) . . . 114
Figura 144 – Plano Complexo (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Figura 145 – Senóide Exponencialmente Crescente (Adaptado de [2]) . . . . . . . 118
Figura 146 – Senóide Exponencialmente Decrescente (Adaptado de [2]) . . . . . . 118
Figura 147 – Senóide (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 148 – Exponencial Crescente (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 149 – Exponencial Decrescente (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 150 – Constante (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 151 – Circuito RLC (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Figura 152 – x(t )= e−atu(t ) (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 153 – Circuíto RC (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Figura 154 – Circuito Indutivo no domínio s (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . 126
Figura 155 – Capacitor no domínio do tempo, onde se indica v(t) e i(t) (Adaptado
de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 156 – Modelo no domínio da frequência de um capacitor com tensão inicial
de v(0−) (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 157 – Modelo equivalente obtido através de uma transformação de fonte
(Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 158 – Sumário: Z(s) e Y(s) (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Figura 159 – Exercício 3 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 160 – Exercício 6 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 161 – Exercício 7 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Figura 162 – Escala logarítmica para frequências. (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 131
Figura 163 – Gráfico Semilog. (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Figura 164 – Leitura de valor em gráfico logarítmico. (Adaptado de [1]) . . . . . . 133Figura 165 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Figura 166 – Níveis Sonoros em dB (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Figura 167 – Filtro Passa-Baixa Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Figura 168 – Filtro Passa-Alta Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Figura 169 – Filtro Passa-Faixa Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Figura 170 – Filtro Rejeita-Faixa Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 138
Figura 171 – Filtros Passivos Reais (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Figura 172 – Circuito Passa-Baixa RC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Figura 173 – Circuitos equivalentes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Figura 174 – Resposta em frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Figura 175 – Gráfico Normalizado (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Figura 176 – Gráfico da fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Figura 177 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Figura 178 – Gráfico do ganho (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Figura 179 – Gráfico do ganho normalizado (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 144
Figura 180 – Circuito do filtro passa-baixa RL (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 144
Figura 181 – Circuitos com frequencia em 0hz e tendendo ao infinito (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Figura 182 – Circuito do filtro passa alta RC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 145
Figura 183 – Circuitos com frequência em 0hz e tendendo ao infinito (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Figura 184 – Gráfico do ganho (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Figura 185 – Gráfico da fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Figura 186 – Circuito do filtro passa-alta RL (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 147
Figura 187 – Gráficos filtros passa-alta e passa-baixa (Adaptado de [1]) . . . . . . 148
Figura 188 – Solução A (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Figura 189 – Solução B (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Figura 190 – Filtro passa-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Figura 191 – Filtro passa-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Figura 192 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Figura 193 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Figura 194 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Figura 195 – Diagrama de Bode (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Figura 196 – Diagrama de Bode da Fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 155
Figura 197 – Diagrama de Bode (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Figura 198 – Diagrama de Bode da fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 156
Figura 199 – Curva de ressonância (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Figura 200 – Circuito ressoante em série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 158
Figura 201 – Circuito ressoante em série simplificado (Adaptado de [1]) . . . . . . 158
Figura 202 – Diagrama fasorial (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Figura 203 – Triângulo de potências (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Figura 204 – Curvas de potência de um circuito ressoante em série (Adaptado de [1])160
Figura 205 – Resistência em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 161
Figura 206 – Indutância em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 161
Figura 207 – Capacitância em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . 162
Figura 208 – Resposta em frequência de reatâncias capacitiva e indutiva (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Figura 209 – ZT em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 162
Figura 210 – Gráfico de fase de um circuito ressoante em série (Adaptado de [1]) 163
Figura 211 – I em função da frequência em um circuito ressoante em série (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Figura 212 – Curva de seletividade e os efeitos da resistência R (Adaptado de [1]) 164
Figura 213 – Curva de seletividade e os efeitos da indutância e capacitância (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Figura 214 – Curva de ressonância de um circuito comQs ≥ 10 (Adaptado de [1]) 165
Figura 215 – Circuito ressoante em paralelo ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 166
Figura 216 – Circuito ressoante em paralelo prático (Adaptado de [1]) . . . . . . . 167
Figura 217 – Circuito paralelo equivalente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 167
Figura 218 – Substituição da combinação RL por um circuito equivalente em para-
lelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Figura 219 – Substituição de Rs ∥RP por R no circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . 168
Figura 220 – Z em função da frequência em um circuito ressoante paralelo (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Figura 221 – Efeito de Rl , L e C na curva de impedância de um circuito ressoante
paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Figura 222 – Gráfico de fase do circuito ressoante em paralelo (Adaptado de [1]) . 172
Figura 223 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Figura 224 – Exercício (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Figura 225 – Bipolo (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Figura 226 – Quadripolo (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Figura 227 – Transistor (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Figura 228 – Quadripolo ligado à duas fontes de corrente (Adaptado de [2]) . . . . 178
Figura 229 – Exemplo 1 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Figura 230 – Quadripolo ligado à duas fontes de tensão (Adaptado de [2]) . . . . . 180
Figura 231 – Exemplo 2 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Figura 232 – Exemplo 3 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Figura 233 –pi (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Figura 234 – T (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Figura 235 – Exercício 1 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Figura 236 – Exercício 3-a (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Figura 237 – Exercício 3-b (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Figura 238 – Exercício 4 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Introdução a Componente Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Tensão alternada senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Definições de polaridade e sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Velocidade angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20
1.6 Expressão geral para tensões ou correntes senoidais . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Relações de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Convertendo seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Valor eficaz (RMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Valores nominais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Dispositivos básicos e os fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Conversão entre forma Polar e Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Resposta dos dispositivos básicos a uma tensão senoidal . . . . . . . . . 28
2.3.1 Resposta Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Resposta Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo . . . . . 35
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Diagrama de impedâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Associação em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Regra do divisor de tensão para impedâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Admitância e Susceptância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Complexo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Regra do divisor de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9 Configuração em série-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.10 Métodos de análise de circuitos CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10.1 Fontes independentes e fontes dependentes . . . . . . . . . . . . 49
3.10.2 Conversão de fontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.10.3 Análise de malhas em circuitos CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA . . . . . 58
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Equação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Circuitos Resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Potência Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 O que é Potência Aparente(S)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Circuitos Indutivos e Potência Reativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Circuitos Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 O Triângulo de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7.1 Exemplo: Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8 Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.9 Análise Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.10 Conversão Delta-estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.11 Teorema da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.12 Teorema de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.12.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.13 Teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.13.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.14 Teorema da Máxima Transferência de Potência . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.14.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 Sistemas Polifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Geradores Trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Sequência de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Gerador Conectado em Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.1 Conexão Y-Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.2 Conexão Y- ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Gerador Conectado em ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.1 Conexão ∆−∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.2 Conexão ∆−Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.6.1 Método dos Três Wattímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.2 Método dos Dois Wattímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7 Carga Trifásica de Quatro Fios, Não Equilibrada e Conectada em Y . . . 94
5.8 Carga Trifásica de Três Fios, Não Equilibrada e Conectada em Y . . . . . 966 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.1 Transformadores de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Transformadores de medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.3 Transformadores de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Núcleo do transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Princípio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Trafo monofásico ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7 Casamento de impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8 Trafo não-ideal ou real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9 Polaridade dos enrolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127 Frequência Complexa e a Transformada de Laplace . . . . . . . . . . 115
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2 Frequência Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.1 Forma Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.2 Caso CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.3 Caso Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.4 Caso Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.5 Caso Senóide Exponencialmente Amortecida . . . . . . . . . . . 117
7.2.6 A relação de s com a realidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.6.1 Senóide Exponencialmente Crescente e Decrescente . 118
7.2.6.2 Senóide, Exponencial e Constante . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Função Senóide Exponencialmente Amortecida . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.2 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.3 Par de Transformadas Unilaterais de Laplace . . . . . . . . . . . 122
7.4.4 Par de Transformadas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5 Análise de Circuitos no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5.1 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5.2 Impedância e Admitância no Plano s . . . . . . . . .. . . . . . . 125
7.5.2.1 Resistores no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . 125
7.5.2.2 Indutores no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . 125
7.5.2.3 Modelo do Indutor no Domínio da Frequência: . . . . 126
7.5.2.4 Capacitores do Domínio da Frequência . . . . . . . . . 126
7.5.3 Resumo de representações de elementos nos domínios do tempo
e da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.1 Frequência Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.2 Função Senóide Exponencialmente Amortecida . . . . . . . . . . 129
7.6.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6.4 Análise de Circuitos no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298 Decibéis e Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1 Logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.1 Aplicações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.2 Tipos de gráficos usando escalas logarítmicas: . . . . . . . . . . . 132
8.1.3 Propriedades logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Decibéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.1 Ganho em Decibéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.2 Algumas Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.3 Decibéis em Ganhos de Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2.4 Resposta da Audição Humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4 Filtros Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.1 Filtros Passivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.4.2 Filtro Passa-Baixa RC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.4.3 Filtro Passa-Baixa RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4.4 Filtro Passa-Alta RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.5 Filtro Passa-Alta RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.5.1 Sumário Filtros Passa-Baixa e Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5.2 Filtro Passa-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.5.3 Filtros Rejeita-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.6 Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.7 Diagrama de Bode da Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2 Circuito ressoante em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 Fator de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 Impedância total em função da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.5 Seletividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.6 Circuito ressoante em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.7 Fator de potência unitário fP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.8 Impedância máxima fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.9 Curva de seletividade em circuitos ressoantes paralelos . . . . . . . . . . 170
9.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310 Bipolos e Quadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2.1 O que é um bipolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2.2 O que é um quadripolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.2.3 O que é um multipolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.3 Quadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.3.1 Hipóteses Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.2 Matrizes de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.3 Parâmetros de Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.4 Parâmetros de Admitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.3.5 Parâmetros Híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3.6 Relação de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.3.7 Modelo pi e T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Introdução
ESTE DOCUMENTO faz parte do projeto de extensão registrado na Diretoria de RelaçõesEmpresariais e Comunitárias (DIREC) da UTFPR-Campus Campo Mourão como
Apostilas de Ensino do Grupo de Educação Tutorial (GET), e é destinado como material
de apoio aos acadêmicos de Engenharia Eletrônica cursantes da disciplina de Circui-
tos Elétricos do quarto período da grade, ministrada pelo professor colaborador do
documento Eduardo Giometti Bertogna.
O conteúdo da apostila é integralmente baseado nos livros utilizados como apoio,
"Introdução à Análise de Circuitos de Robert L. Boylestad"e "Análisis de Circuitos en
Ingeniería de William H. Hayt Jr.", assim como no material de apoio oferecido pelo
professor Eduardo G. Bertogna, de autoria do próprio.
Deve ser enfatizado que este conteúdo é exclusivamente para fins educativos, sendo
vedado a comercialização e compartilhamento sem autorização.
CAPÍTULO 1
Introdução a Componente Senoidal
1.1 Introdução
Diferentemente de circuitos em corrente contínua, com tensão e corrente invariáveis,
podemos observar agora com a corrente alternada uma variação na sua intensidade
durante o tempo. É de suma importância estudar esse tipo de corrente, particularmente
a senoidal, uma vez que este é o tipo de energia produzida na maioria das usinas e é
a fornecida comercialmente, estando presente nas tomadas residenciais e usada na
maioria dos processos industriais.
1.2 Tensão alternada senoidal
As tensões alternadas podem ser geradas pelas mais diversas fontes, comumente utiliza-
se um gerador CA (também conhecido como alternador) no processo. A energia é
proveniente do movimento de um rotor(construído com polos magnéticos invertidos)
envolvido por um estator, de forma assim a induzir uma tensão pela Lei de Faraday:
e =N dθ
dx
(1.1)
1.3 Definições
Podemos observar na figura abaixo a forma de onda da senoide, como esta saída sera
constantemente utilizada, recordaremos agora algumas características importante para
prosseguir com o estudo. Vale ressaltar que esses termos podem ser aplicados a outras
formas de ondas. Nos gráficos utilizamos por definição o eixo y para representar a
variação de tensão e o x a variação do tempo.
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 16
Figura 1 – Parâmetros da tensão senoidal (Adaptado de [1])
Valores instantâneos:Amplitude de onda em ponto qualquer, representados por e1
e e2.
Valor de pico:Valor máximo da função, deve se medir a partir de 0V, representado por
Em .
Valore de pico à pico: A diferença entre os valores de máximo e mínimo na função, ou
seja a soma dos módulos de ambas as partes, representado por Ep−p .
Período:Tempo de propagação de um comprimento completo de onda, representado
por T=T1=T2.
Ciclo:Parte da onda contida em um período, sua representação pode ser diferente uma
vez que os pontos de início podem serdiferentes.
Frequência(f ):Equivale ao número de repetições da onda sobre intervalo de tempo,
comumente utiliza-se 1s para calcular, sendo assim equivalente ao inverso do período.
Características das senoides
Uma vez que a tensão e corrente nesses circuitos variam de forma sinusoidalmente, seus
valores instântaneos também irão variar e podemos representá-los com as seguintes
definições algébricas:
v(t )=Vm sen(ωt )=Vm sen(α) (1.2)
I (t )= Im sen(ωt )= Im sen(α) (1.3)
Temos a partir das equações ωt como o argumento da senoide(rad/s) e ω como a
velocidade ângular(rad). Observe agora como as características se mantém e apenas
mudam as unidade ao plotar no domínio de T e no domínio de wt.
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 17
Figura 2 – Senoide plotada em ωt (Adaptado de [1])
Com a onda plotada em ωt temos:
-Período igual a 2pi.
-ωt o ângulo.
-Medida em radianos.
Figura 3 – Senoide plotada em t (Adaptado de [1])
Com a onda plotada em t temos:
-Período igual a T.
-Medido em segundos.
-Frequência: f= 1T (Hz).
-Uma vez que ωt=2pi , temos assim ω=2pi f .
Exemplo 1.3.1
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 18
Calcule o período de uma forma de onda periódica com as seguintes frequências:
a)60hz
b)1000hz
Solução:
Como mostrado anteriormente temos uma relação entre o período e a frequência de
uma onda, onde a frequência é o inverso do período, assim usando essa relação temos:
T = 1
f
a)T = 1
60Hz
T = 0,016s
b)T = 1
1000Hz
T = 0,001s
Exemplo 1.3.2
Exemplo retirado do Boylestad
Figura 4 – Exemplo 1.3.2 (Adaptado de [1])
Determine a frequência da forma de onda.
Solução:
Sabendo que frequência é o inverso do período, analisando o período da onda podemos
assim determinar sua frequência. Uma vez que o período de uma onda equivale a um
ciclo completo podemos determiná-lo de várias formas, dentre elas pegando a partir do
ponto 0 que equivale ao seu máximo e indo até o ponto 20 que é o seu segundo máximo,
tendo assim um período de 20s. Com base nisso assim temos:
f = 1
T
f = 1
20s
f = 0,05Hz
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 19
Exemplo 1.3.3
Foi utilizado o osciloscópio para medir a seguinte forma de onda:
Figura 5 – Exemplo 1.3.3 (Adaptado de [1])
Calcule:
a)Período
b)Frequencia
c)Amplitude do sinal
Solução:
a)Analisando um ciclo completo de onda,pegando de pico a pico temos 4 quadrados,
como estamos analisando horizontalmente temos assim o periodo igual a:
T = 4×50us
T = 200us
b)Temos a frequência igual ao inverso do período, assim temos:
f = 1
t
f = 1
200us
f = 5000hz
c)Temos a amplitude como a distância entre um máximo e mínimo de uma onda, assim
analisando a figura temos uma amplitude equivalente a quatro quadrados vertical-
mente, portanto temos:
Ampli tude = 4×0,1V
Ampli tude = 0,4V
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 20
1.4 Definições de polaridade e sentido
Os termos polaridade e sentido se referem respectivamente à tensão e corrente de uma
forma de onda. É importante ressaltar esses pontos pois frequentemente ao analisar
circuitos, observaremos uma variação, como por exemplo quando uma forma de onda
se move de uma região negativa para outra positiva, em diferentes períodos de tempo
quando a tensão de um período é a inversa da tensão do próximo e mais evidente
quando analisamos circuitos com múltiplas fontes CA.
Essas propriedades podem ser aplicadas a qualquer forma de onda, daremos um foco
maios à senoide pela sua propriedade de nao alterar sua forma de onda sobre a presenca
de resistores,indutores ou capacitores.
1.5 Velocidade angular
A velocidade angular é um aspecto importante ao se analisar senoides, uma vez que
apartir dela podemos determinar a forma de onda do sinal.Assim temos a velocidade
angular podendo ser definida como o ângulo percorrido pela onda em um periodo de
tempo.
Vel .Aˆngular = Aˆngulo Percor r ido
tempo
= α
t
=ωα=ωt
Podemos observar mais claramente com um exemplo grafico:
Figura 6 – Velocidade angular de uma senoide (Adaptado de [1])
Vale ressaltar que comumente a velocidade angular é calculada em radianos, assim
temos:
ω= 2piT ou ω= 2piF
Exemplo 1.5.1
Determine a velocidade ângular relativa de uma forma de onda senoidal cuja frequência
é 60Hz.
Solução:
Como foi definido anteriormente temos a velocidade angular como 2piT ou 2piF , assim
temos:
ω= 2piF = (2pi)(60Hz)= 377r ad/s
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 21
Exemplo 1.5.2
Determine a frequência da forma de onda abaixo:
Figura 7 – Exemplo 1.5.2 (Adaptado de [1])
Solução:
Como ω= 2pi/T, temos:
T = 2pi
ω
= 2pi
100r ad/s
= 62,8ms
e
F = 1
T
= 1
62,8x10−3s
= 15,9Hz
Exemplo 1.5.3
Dado ω=200rad/s determine o intervalo de tempo necessário para a forma de onda
senoidal passar no ponto correspondente a 150o
Solução:
Definimos anteriormente que α=ωT , assim temos:
t = α
ω
Por estarmos calculando em radianos devemos substituir o 150 pelo seu correspondente
em radianos 5pi/6, dessa forma temos:
t = α
ω
= 5pi/6
200
= 13,1ms
Exemplo 1.5.4
Determine o ângulo em t=7ms para uma forma de onda senoidal de 60Hz.
Solução:
Uma vez que α=ωT , temos:
α= 2pi f t = (2pi)(60Hz)(7x10−3s)= 2,63r ad
Devemos agora fazer a conversão de rad para graus
α(o)= 180
o
pir ad
(2,63r ad)= 150,68o (1.4)
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 22
1.6 Expressão geral para tensões ou correntes senoi-dais
Para as grandezas elétricas de tensão e corrente temos as seguintes expressões gerais:
i = Imsen(ωt )= Imsenα
e
e = Emsen(ωt )= Emsenα
Temos assim Im e Em como as amplitudes das ondas e os valores de I e e como os
valores instantâneos.
Exemplo 1.6
Sabendo que e= 10.sen(α) determine e para α = 0,7rad. Solução:
Como o valor foi dado em radianos devemos converte-lo para graus ou ajustar nossas
calculadoras para radianos, nos próximos exemplos não iremos mais realizar essas
conversão.
α(o)= 180
o
pir ad
(0,7r ad)= 40,10o (1.5)
assim temos:
e = 10.sen(40,10)= 10(0,644)= 6,44V
1.7 Relações de fase
Até agora consideramos a componente senoidal com seus zeros em pi, 2pi..., sempre
partindo de ângulos notáveis, como na figura abaixo:
Figura 8 – Senoide plotada em rad/s (Adaptado de [1])
Essas componentes podem estar com seus sinais deslocados para direita ou para
esquerda. Com base nisso temos agora uma expressão que relaciona sua tensão com
seu deslocamento ângular.
V (t )=Vm sen(ωt ±θ)
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 23
Onde θ é o angulo em graus ou radianos deslocado da senoide.
Podemos ainda dividir essa equação em duas, analisando o ponto que ela cruza o eixo
vertical, assim temos:
Figura 9 – Senoide Positiva (Adaptado de [1])
Caso a forma de onda cruze o eixo vertical na porção positiva a expressão fica:
V (t )=Vm sen(ωt +θ)
Figura 10 – Senoide Negativa (Adaptado de [1])
Caso a forma de onda cruze o eixo vertical na porção negativa a expressão fica:
V (t )=Vm sen(ωt −θ)
Exemplo 1.7
De acordo com a figura abaixo, i está adiantada ou atrasada em relação a v? Qual a
expressão de corrente de i ?
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 24
Figura 11 – Exemplo 1.7 (Adaptado de [1])
Solução:
V esta adiantada em 160o de i ,assim temos a equação que define i como:
i = im sen(ωt −150)
1.8 Convertendo seno e cosseno
Senos e cossenos são essencialmente a mesma função, com uma diferença de fase de
90o , onde o seno está atrasado 90° em relação ao cosseno, e o cosseno está adiantado
90° em relação ao seno. Assim temos:
V (t )=Vm sen(ωt )=Vm cos(ωt −90o)
V (t )=Vm cos(ωt )=Vm sen(ωt +90o)
Exemplo
V1(t )= 10.cos(5t +10o)=
10.sen(5t +90o+10o)
= 10.sen(5t +100o)
1.9 Valor eficaz (RMS)
O valor equivalente cc a uma corrente ou tensão para entregar a mesma potência é
conhecido como valor eficaz. O equivalenteCC de uma tensão ou corrente senoidal
vale 0,707 ou 1/
p
2 do seu valor máximo
Ie f = 0,707.Im
O valor eficaz é calculado como:
vrms =
√
1
t
∫
(vm2.sen2(ωt ).dωt )dt
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 25
Definido como a raiz quadrada do valor médio do quadrado Se uma onda tiver uma
parcela contínua:
Vrms =
√
vcc2+ vcc2(rms)
Assim temos o valor eficaz como o equivalente cc a uma corrente ou tensão para
entregar a mesma potência.
Valores Eficaz -Sumario
Ieqcc = Irms = Imp
2
= 0,707 Im (1.6)
Im =
p
2.Irms = 1,414 Irms (1.7)
Vrms = Vmp
2
= 0,707 Vm (1.8)
Vm =
p
2.Vrms = 1,414 Vrms (1.9)
Irms =
√
1
T
(
∫
i 2(t ).dt )=
√
a´rea[i 2(t )]
T
(1.10)
Vrms =
√
Vcc2+Vca2 (1.11)
Exemplo 1.9
Qual o valor eficaz da tensão senoidal com uma parcela contínua de 6V?:
Solução:
Temos o valor de Vrms como
Vrms = 0,707(6V )
Vrms = 4,242
1.10 Valores nominais
Equipamentos eletrônicos e componente de um circuito elétrico devem ser comer-
cializados dispondo de informações mínimas em relação aos valores das respectivas
grandezas elétricas. Esses valores são denominados valores nominais.
Por isso, convencionou-se que os valores nominais das magnitudes da tensão e da
corrente devem corresponder aos seus respectivos valores eficazes.
CAPÍTULO 2
Dispositivos básicos e os fasores
2.1 Fasores
Como estamos analisando circuítos CA (Corrente Alternada), geralmente utilizaremos a
adição de tensões e correntes senoidais.
Um dos métodos para se resolver a adição é plotar as duas ondas senoidais no mesmo
gráfico e somar algebricamente as ordenadas em cada ponto da abscissa. Porém esse
processo pode ser longo e com baixa precisão.
Figura 12 – - Adição ponto a ponto de duas ondas senoidais (Adaptado de [1])
Outro método mais rápido utiliza um vetor radial girante, onde este vetor que tem
um comprimento constante e uma das extremidades fixa na origem é denominado
fasor quando utilizado em análise de circuitos elétricos.
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 27
Figura 13 – Representação de senóide em fasor (Adaptado de [1])
Soma de 2 tensões senoidais e seu respectivo fasor
Figura 14 – Representação fasorial da soma de ondas senoidais (Adaptado de [1])
Onde usando a álgebra vetorial, obtemos:
1V 6 0o +2V 6 90o = 2,236V 6 63,43o
Em termos práticos, podemos utilizar a seguinte notação:
v(t )=Vm sin(ωt +θ)=Vm 6 θ (2.1)
Sendo necessário a partir de agora converter as funções senoidais em fasores para
poder fazer cálculos aritméticos utilizando a álgebra dos números complexos. Como
geralmente utilizamos exclusivamente os valores de rms, e não os de pico, em análise
de circuito com corrente alternada, por razões práticas, o módulo do fasor pode ser
definido como igual ao valor rms da senóide que o representa. O ângulo permanece o
mesmo.
Para analisar tensões e correntes senoidais, teremos:
V=V 6 θ (2.2)
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 28
I= I 6 θ (2.3)
Sendo V e I os valores rms e θ o ângulo de fase. Em notação de fasores, as grandezas
variam de forma senoidal.
A álgebra de fasor, só pode ser aplicado para ondas senoidais de mesma frequência.
2.2 Conversão entre forma Polar e Retangular
Na análise de circuitos de corrente alternada, é utilizado número complexo para faci-
litar as contas, onde o mesmo pode ser representado de duas formas, Polar e Retangular.
Forma Retangular:
C = X + jY (2.4)
Forma Polar:
C = Z 6 θ (2.5)
Retangular para Polar:
Z =
√
X 2+Y 2 (2.6)
θ = arctan Y
X
(2.7)
Polar para Retangular:
X = Z cos θ (2.8)
Y = Z sen θ (2.9)
2.3 Resposta dos dispositivos básicos a uma tensãosenoidal
2.3.1 Resposta Ideal
Resistor
Para frequências de até centenas de kHz, a resistência não é influenciada pela tensão
ou corrente senoidal. Considerando então o resistor constante podemos aplicar a lei de
Ohm:
i = V
R
= [Vm sin(ωt )]
R
= Vm
R
sin(ωt )= Im sin(ωt ) (2.10)
da mesma forma:
v = i R = [Im sin(ωt ] R = Im R sin(ωt )=Vm sin(ωt ) (2.11)
Onde: Vm = Im R
Para um dispositivo puramente resistivo, a tensão e a corrente que atravessam o dispo-
sitivo estão em fase, com os valores de pico relacionado pela Lei de Ohm.
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 29
Figura 15 – Tensão e corrente de um dispositivo Resistivo (Adaptado de [1])
Indutor
A oposição à corrente elétrica é diretamente influenciado pela taxa de variação da
corrente que o atravessa, como também pela sua indutância. Então tensão no indutor é
diretamente proporcional à frequência angular da corrente senoidal e à indutância do
enrolamento.
Figura 16 – Resposta de um dispositivo indutivo a uma corrente senoidal (Adaptado de
[1])
Resposta de um indutor à uma corrente senoidal
VL = L diL
dt
(2.12)
aplicando a diferenciação, temos:
diL
dt
= d
dt
(Im sin(ωt )=ω Im cos(ωt ) (2.13)
portanto
vL = L (ω Im cos(ωt )=ω L Im cos (ωt ) (2.14)
ou
vL =Vm sin(ωt +90o) (2.15)
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 30
onde
Vm =ω L Im = XL Im (2.16)
Sendo XL a Reatância Indutiva
XL = Vm
Im
(2.17)
ou
XL =ω L (2.18)
Para um circuito puramente indutivo, a tensão vL está adiantada 90o em relação a
iL e consequentemente iL esta atrasada 90o em relação a vL .
Figura 17 – Tensão e corrente de um dispositivo indutivo (Adaptado de [1])
A Reatância Indutiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca contínua
de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor. Funcionando como se fosse
a resistência do indutor para uma tensão senoidal, porém diferente da resistência a
reatância não dissipa energia elétrica.
Capacitor
A corrente elétrica que o atravessa é diretamente proporcional a taxa de variação da
tensão que o atravessa, como também pela sua capacitância.
Portanto podemos dizer que quanto maior a capacitância e a frequência da tensão
senoidal menor vai ser a oposição a corrente (Reatância Capacitiva).
Figura 18 – Resposta de um dispositivo puramente capacitivo a uma corrente senoidal
(Adaptado de [1])
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 31
Resposta de um capacitor a uma corrente senoidal:
ic =C dvc
dt
(2.19)
aplicando a diferenciação, temos:
dvv
dt
= d
dt
(Vm sin(ωt )=ω Vm cos(ωt ) (2.20)
portanto
ic =C (ω Vm cos(ωt )=ωC Vm sin(ωt +90o) (2.21)
ou
ic = Im sin(ωt +90o) (2.22)
onde
Im =ωC Vm = Vm
Xc
(2.23)
Sendo Xc a Reatância Capacitiva
Xc = Vm
Im
(2.24)
ou
Xc = 1
ωC
(2.25)
Para um circuito puramente capacitivo, a tensão vc está 90o atrasada em relação a
ic e vice-versa.
Figura 19 – Tensão e corrente de um dispositivo capacitivo (Adaptado de [1])
Respostas em frequência dos dispositivos básicos
Analisaremos como a impedância dos dispositivos básicos se comportam, com a mu-
dança de frequência.
Resistor - R: a frequência não terá efeito nenhum sobre a impedância;
Indutor - L: a reatância indutiva XL muda com a frequência (diretamente proporcional);
Capacitor - C: a reatância capacitiva Xc muda com a frequência (inversamente propor-
cional).
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 32
Efeito da frequência nas Reatâncias
Indutor com frequência nula funciona como um curto circuito XL = 0, e em alta frequên-
cia funciona como um circuito aberto XL =∞.
Capacitor com frequência nula funciona como circuito aberto Xc = ∞, e com alta
frequência funciona como um curto circuito Xc = 0.
2.3.2 Resposta Prática
Resistor
Em sua produção, cada dispositivo ganha alguns níveis de capacitância e indutância,
mas na maioria dos das aplicações os níveis são tão baixos que podemos ignorar seus
efeitos. Porém quando a frequência ultrapassa alguns MHz, é possível notar seus efeitos.
Figura 20 – Resposta dos resistores de carbono à frequência (Adaptado de [1])
Indutor
A indutância pode ser afetada por frequência,temperatura e corrente.
Figura 21 – Equivalente prático para um indutor (Adaptado de [1])
- Resistência do fio de cobre Rs ;
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 33
- Perdas de correntes parasitas devido a correntes no núcleo em que uma tensão CA
é aplicada;
- Perdas por histerese devido às perdas no núcleo causadas pelo campo em rápida
reversão;
- Capacitância parasita nos enrolamentos do indutor C.
Figura 22 – ZL contra frequência para indutor prático (Adaptado de [1])
Em geral quanto maior a indutância, os dispositivos parasitas precisam de menos
frequência para se tornarem relevantes.
Capacitor
Assim como o indutor, o capacitor não é ideal para toda faixa de frequência.
Figura 23 – Equivalente prático para um Capacitor (Adaptado de [1])
- L reflete a indutância dos fios do capacitor;
- Rd reflete a perda de energia pelo campo elétrico alternado que gera atrito entre
as moléculas;
- Rp depende da resistência do encapsulamento e da resistividade do dielétrico.
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 34
Figura 24 – Zc contra frequência (Adaptado de [1])
Portanto quando a frequência aumenta para um certo nível, os capacitores adqui-
rem características indutivas.
CAPÍTULO 3
Circuitos de correntes alternadas em
série e em paralelo
3.1 Introdução
Neste capítulo, aplicaremos a álgebra dos fasores para simplificar a solução de proble-
mas envolvendo circuitos CA em série e em paralelo. Dessa forma, as regras usadas
para a análise de circuitos em corrente contínua tornam-se aplicáveis para a corrente
alternada.
3.2 Impedância
Do exposto no capítulo anterior, podemos agora definir a impedância, medida em
ohms, como sendo a oposição de passagem de corrente por um circuito.
Para elementos resistivos, podemos definir a impedância resistiva como sendo:
ZR =R 6 0o (3.1)
Vale ressaltar que a ZR é representada na forma polar, embora muito semelhante, o
fasor é aplicado somente a grandezas que variam no tempo.
Para elementos indutivos, podemos definir a impedância como sendo a forma polar
da reatância indutiva, definida por:
ZL = XL 6 90o (3.2)
Sabemos que no indutor a tensão está adiantada 90o em relação a corrente, dessa
forma um ângulo de -90o deve estar associado a corrente, justificando o ângulo da
forma polar da reatância indutiva.
Para elementos capacitivos, podemos definir a impedância como sendo a forma
polar da reatância capacitiva, definida por:
ZC = XC 6 −90o (3.3)
No capacitor a tensão está atrasada 90o em relação a corrente, dessa forma um
ângulo de 90o deve estar associado a corrente, justificando o ângulo da forma polar da
reatância capacitiva.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 36
3.3 Diagrama de impedâncias
A representação da impedância na forma polar nos permite criar um gráfico no plano
complexo, o diagrama de impedâncias, que pode representar valores individuais das
componentes, ou o valor total da impedância de um circuito de corrente alternada.
Figura 25 – Diagrama de impedâncias (Adaptado de [1])
Com base na exposto, podemos concluir que se a impedância total de um circuito
estiver em 0o, ela tem natureza resistiva. Se ela estiver próxima, ou for igual a 90o, sua
natureza é indutiva. E por fim, se ela estiver próxima, ou for igual a -90o, sua natureza é
capacitiva.
Dessa forma, recorrendo a lei de Ohm e conhecendo a impedância total, seu módulo
pode ser usado para determinar a intensidade da corrente. Temos ainda que para
qualquer tipo de associação, o ângulo associado à impedância total é igual ao ângulo
de fase da tensão do circuito em relação a corrente da fonte.
3.4 Associação em série
Podemos utilizar as propriedades gerais de análise de circuitos CC nos circuitos CA,
dessa forma, a impedância total de um circuito é igual a soma das impedâncias indivi-
duais:
ZT = Z1+Z2+Z3+ ...+ZN (3.4)
Figura 26 – Impedâncias em série (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 37
Exemplo 3.4
Exemplo retirado do Boylestad.
Considere o circuito RLC série mostrado a seguir:
Figura 27 – Circuito RLC série (Adaptado de [1])
Solução:
ZT = Z1+Z2+Z3+ ...+ZN
=R 6 0o +XL 6 90o +XC 6 −90o
=R+ j XL− j XC
=R+ j (XL−XC )= 6Ω+ j (10Ω−12Ω)= 6Ω− j2Ω
ZT = 6,325Ω 6 −18,43o
Figura 28 – Diagrama de impedâncias do exemplo (Adaptado de [1])
Como visto no diagrama, a impedância resultante está na parte negativa do plano
complexo, tendo assim uma natureza levemente capacitiva. Se as componentes induti-
vas e capacitivas tivessem o mesmo módulo, a impedância de entrada seria puramente
resistiva.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 38
Na configuração CA em série, a corrente é a mesma para todos os elementos do
circuito, assim como nos circuitos CC, dessa forma, podemos determiná-la utilizando a
lei de Ohm:
ZT = Z1+Z2+Z3+ ...+ZN
Onde a intensidade da corrente é calculado por:
I = E
ZT
(3.5)
A tensão em cada elemento pode ser encontrada manipulando novamente a lei de
Ohm:
V1 = I Z1 (3.6)
Além da lei de Ohm, podemos aplicar a lei de Kirchhoff das tensões, de forma
análoga aos circuitos CC, para os circuitos CA. Contudo, é preciso ter em mente que
agora estamos trabalhando com grandezas que possuem módulo e fase. Dessa forma, a
tensão da fonte é igual a soma das tensões de cada elemento do circuito:
E =V1+V2+V3+ ...+VN (3.7)
Dessa forma, podemos encontrar qual a potência fornecida ao circuito:
P = EI cos θr (3.8)
Onde o θr é a diferença de fase entre a tensão da fonte e a corrente.
A partir das tensões e correntes encontradas no circuito, podemos traçar o Dia-
grama de fasores, que representa as componentes no plano complexo. O diagrama será
abordado no exemplo a seguir.
Exemplo 3.4.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Considere o circuito RL série mostrado a seguir:
Figura 29 – Circuito RL série (Adaptado de [1])
Notação fasorial
e = 141,4 sen ωt ⇒ E = 100 V 6 00
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 39
A impedância total desse circuito será:
ZT = Z1+Z2 = 3Ω 6 00+4Ω 6 900 = 3Ω+ j 4Ω
ZT = 5Ω 6 53,130
Figura 30 – Diagrama de impedâncias do circuito (Adaptado de [1])
Como podemos observar, Z está na parte positiva do plano complexo, e mais pró-
ximo de 90o, portanto tem natureza indutiva.
Para traçarmos o diagrama fasorial do circuito, devemos encontrar a corrente e as
tensões nos componentes do circuito.
Para a corrente temos:
I = E
ZT
= 100 V 6 0
o
5Ω 6 53,130
= 20 A 6 −53,130
Para as tensões no resistor e indutor, temos:
VR = I ZR = (20 A 6 −53,130) (3Ω 6 00)
= 60 V 6 −53,130
VL = I ZL = (20 A 6 −53,130) (4Ω 6 900)
= 80 V 6 36,870
Figura 31 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 40
Note que no diagrama, a corrente está em fase com a tensão do resistor e atrasada
90o em relação à tensão do indutor.
Para comprovar os valores obtidos, vamos aplicar a lei de Kirchhoff para as tensões:∑
V = E −VR −VL = 0
E =VR +VL
Para facilitar os cálculos, vamos transformar os valores para a forma retangular:
VR = 60 V 6 −53,130 = 36 V − j 48 V
VL = 80 V 6 36,870 = 64 V + j 48 V
Dessa forma:
E =VR +VL = (36 V − j 48 V )+ (64 V + j 48 V )
= 100 V + j 0= 100 V 6 0o
Assim comprovamos que os valores estão corretos, pois voltamos no valor da tensão da
fonte.
Exemplo 3.4.2
Exemplo retirado do Boylestad.
Considere o circuito RC série mostrado a seguir:
Figura 32 – Circuito RC série (Adaptado de [1])
Notação fasorial
i = 7,07 sen (ωt +53,130) ⇒ I = 5 A 6 53,130
A impedância total desse circuito será:
ZT = Z1+Z2 = 6Ω 6 00+8Ω 6 −900 = 6Ω+ j 8Ω
ZT = 10Ω 6 −53,130
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 41
Figura 33 – Diagramade impedâncias do circuito (Adaptado de [1])
Como podemos observar, Z está na parte negativa do plano complexo, e mais
próximo de -90o, portanto tem natureza capacitiva.
Para traçarmos o diagrama fasorial do circuito, devemos encontrar a tensão da fonte
e as tensões nos componentes do circuito.
Para a tensão da fonte temos:
E = I ZT = (5 A 6 53,130) (10Ω 6 −53,130)
= 50 V 6 0o
Para as tensões no resistor e capacitor, temos:
VR = I ZR = (5 A 6 53,130) (6Ω 6 00)
= 30 V 6 53,130
VC = I ZC = (5 A 6 53,130) (8Ω 6 −900)
= 40 V 6 −36,870
Figura 34 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1])
Note que no diagrama, a corrente está em fase com a tensão do resistor e adiantada
90o em relação à tensão do capacitor.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 42
3.5 Regra do divisor de tensão para impedâncias
A mesma regra do divisor de tensão aplicada em circuitos de corrente contínua pode
ser aplicada para a análise de circuitos em corrente alternada:
VX = ZXE
ZT
(3.9)
Onde VX é a tensão de um elemento em série com uma impedância total ZX .
Figura 35 – É possível calcular V1 e V2 com a regra do divisor de tensão (Adaptado de
[1])
Exemplo 3.5
Exemplo retirado do Boylestad.
Determine as quedas de tensão no resistor e no capacitor do circuito a seguir usando
a regra do divisor de tensão:
Figura 36 – Circuito RC série (Adaptado de [1])
Solução:
Aplicando a regra do divisor de tensão:
VC = ZCE
ZT
= (4Ω 6 −90
o) (100 V 6 0o)
4Ω 6 −90o +3Ω 6 0o =
400 6 −90o
3− j 4
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 43
= 400 6 −90
o
5 6 −53,13o = 80 V 6 −36,84
o
VR = ZRE
ZT
= (3Ω 6 0
o) (100 V 6 0o)
5 6 −53,13o =
300 6 0o
5 6 −53,13o
= 60 V 6 53,13o
3.6 Admitância e Susceptância
Nossa abordagem parte para circuitos de corrente alternada em paralelo, e novamente,
os métodos de análise serão semelhantes aos de circuitos em corrente contínua. Em
circuitos CC, a condutância (G) era definida como 1R . De forma análoga, definimos a
admitância (Y) como sendo 1Z , medida em siemens (S). Podemos dizer que a admitância
é medida de quanto um circuito permite a passagem de corrente. Dessa forma, a admi-
tância total de um circuito será a soma de todas as admitâncias. Assim, a impedância
total de um circuito ZT é igual a
1
YT
.
YT = Y1+Y2+Y3+ ...+YN (3.10)
ZT = 1
YT
(3.11)
Dessa forma:
1
ZT
= 1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
+ ...+ 1
ZN
(3.12)
Figura 37 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1])
Podemos manipular essas equações a fim de encontrar a resistência equivalente de
duas impedâncias em paralelo, de forma análoga aos circuitos CC:
ZT = Z1Z2
Z1+Z2
(3.13)
Para três impedâncias em paralelo:
ZT = Z1Z2Z3
Z1+Z2+Z3
(3.14)
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 44
Definimos a admitância da resistência YR como:
YR = 1
ZR
= 1
R 6 0o
=G 6 0o (3.15)
A susceptância (B) é descrita como sendo o inverso da reatância ( 1X ), cuja a medida
em siemens, indica o quanto um circuito é suscetível a passagem de corrente.
Para o indutor temos:
YL = 1
ZL
= 1
XL 6 90o
= 1
XL
6 −90o (3.16)
Definindo:
BL = 1
XL
(3.17)
Desse modo:
YL =BL 6 −90o (3.18)
Para o capacitor temos:
YC = 1
ZC
= 1
XC 6 −90o
= 1
XC
6 90o (3.19)
Definindo:
BC = 1
XC
(3.20)
Desse modo:
YC =BC 6 90o (3.21)
Nos circuitos CA em paralelo, podemos definir o diagrama de admitâncias usando
as três admitâncias citadas acima, como mostra a figura a seguir.
Figura 38 – Diagrama de admitâncias (Adaptado de [1])
Como é possível observar, a condutância está no eixo real positivo, enquanto as
susceptâncias se encontram opostas no eixo imaginário.
Exemplo 3.6
Exemplo retirado do Boylestad.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 45
Para o circuito a seguir achar as admitâncias YR e YL , a impedância de entrada e o
diagrama de admitâncias.
Figura 39 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1])
Solução:
YR =G 6 0o = 1
R 6 0o
= 1
20Ω 6 0o
= 0,05 S 6 0o = 0,05 S+ j 0
YL =BL 6 −90o = 1
XL 6 −90o
= 1
10Ω 6 90o
= 0,1 S 6 −90o = 0− j 0,1 S
A impedância de entrada será o recíproco de YT :
YT = YR +YL = (0,05 S+ j 0)+ (0− j 0,1 S)= 0,05 S− j 0,1 S =G− jBL
ZT = 1
YT
= 1
0,05 S− j 0,1 S =
1
0,112 S 6 −63,43o = 8,93Ω 6 −63,43
o
Ou podemos usar ainda:
ZT = ZRZL
ZR +ZL
= (20Ω 6 0
o)(10Ω 6 90o)
20Ω+ j 10Ω
= 200Ω 6 90
o
22,361 6 26,57o
= 8,93Ω 6 63,43o
= 4,00Ω+ j 7,95Ω=RT + j XLT
Figura 40 – Diagrama de admitâncias do circuito (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 46
3.7 Complexo conjugado
Nas relações inversas YT = 1ZT ou ZT =
1
YT
, muitas vezes é necessário dividir 1 por um
numero complexo que tem parte real e imaginária. Sendo necessário multiplicar o
numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, como exemplificado a
seguir:
YT = 1
ZT
=
(
1
4Ω+ j 6Ω
)(
4Ω− j 6Ω
4Ω− j 6Ω
)
= 4− j 6
42+62
Assim:
YT = 4
53
S− j 6
52
S
Não havendo necessidade dessa exaustiva manipulação, podemos usar uma fórmula
geral para efetuar tal cálculo:
1
a1± jb1
= a1
a21+ jb21
∓ j b1
a21+ jb21
(3.22)
3.8 Regra do divisor de corrente
Podemos novamente utilizar os conhecimentos de análise de circuitos CC para nosso
estudo em corrente alternada. A regra do divisor de corrente tem o mesmo formato,
dessa forma, para duas impedâncias Z1 e Z2 em paralelo, podemos encontrar a corrente
em cada ramo da seguinte forma:
I1 = Z2IT
Z1+Z2
e I2 = Z1IT
Z1+Z2
(3.23)
Exemplo 3.8
Exemplo retirado do Boylestad.
Determine as correntes indicadas no circuito a seguir:
Figura 41 – Circuito RL paralelo (Adaptado de [1])
Solução:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 47
Aplicando a regra do divisor de corrente:
IR = ZL IT
ZR +ZL
= (4Ω 6 90
o)(20 A 6 0o)
3Ω 6 0o +4Ω 6 90o =
80 A 6 90o
5 6 53,13o
= 16 A 6 36,87o
IL = ZR IT
ZR +ZL
= (3Ω 6 0
o)(20 A 6 0o)
5 6 53,13o
= 60 A 6 0
o
5 6 53,13o
= 12 A 6 −53,13o
Exemplo 3.8.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Determine as correntes em cada ramo do circuito a seguir:
Figura 42 – Circuito de associação mista (Adaptado de [1])
Solução:
Aplicando a regra do divisor de corrente:
IR−L = ZC IT
ZC +ZR−L
= (2Ω 6 −90
o)(5 A 6 30o)
j2Ω+1Ω+ j8Ω =
10 A 6 −60o
1+ j6
= 10 A 6 −60
o
6,083 6 80,54o
= 1,64 A 6 −140,54o
IC = ZR−L IT
ZC +ZR−L
= (1Ω+ j8Ω)(5 A 6 30
o)
6,083 6 80,54o
= (8,06 6 82,87
o)(5 A 6 30o)
6,083 6 80,54o
= 40,30 A 6 112,87
o
6,083 6 80,54o
= 6,63 A 6 32,33o
3.9 Configuração em série-paralelo
Para circuitos com elementos em série e paralelo, os métodos matemáticos aplicados
serão os mesmos vistos anteriormente, contudo, alguns passos como associar as im-
pedâncias dos ramos para posteriormente fazer a associação total do circuito acaba
facilitando a resolução, isso se torna mais compreensível com os exemplos a seguir.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 48
Exemplo 3.9
Exemplo retirado do Boylestad.
Encontre as tensões e correntes indicadas no circuito a seguir:
Figura 43 – Circuito em série-paralelo (Adaptado de [1])
Devemos redesenhar o circuito associando as impedâncias, dessa forma:
Figura 44 – Impedâncias representadas em blocos (Adaptado de [1])
Assim, devemos calcular cada impedância independentemente:
Z1 =R 6 0o = 1Ω 6 0o
Z2 = ZC‖ZL = (XC
6 −90o)(XL 6 90o)
− j XC + j XL
= (2Ω 6 −90
o)(3Ω 6 90o)
− j 2Ω+ j 3Ω =
6Ω 6 0o
j 1
= 6Ω 6 0
o
1 6 90o
= 6Ω 6 −90o
Dessa forma:
ZT = Z1+Z2 = 1Ω− j 6Ω= 6,08Ω 6 80,54o
Podemos encontrar IS da seguinte forma:Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 49
IS = E
ZT
= 120 V 6 0
o
6,08Ω 6 80,54o
= 19,74 A 6 80,54o
Tendo IS podemos encontrar as tensões VR e VC :
VR = ISZ1 = (19,74 A 6 80,54o) (1Ω 6 0o)
= 19,74 V 6 80,54o
VC = ISZ1 = (19,74 A 6 80,54o) (6Ω 6 −90o)
= 118,44 V 6 9,46o
E como agora temos VC , podemos encontrar IC :
IC = VC
ZC
= 118,44 V 6 −9,46
o
2Ω 6 −90o = 59,22 A 6 80,54
o
3.10 Métodos de análise de circuitos CA
Quando temos duas ou mais fontes que não estão dispostas em série ou paralelo, as
análises em CA estudas até aqui não são aplicáveis, dessa forma, devemos recorrer aos
métodos de análise de malhas ou de nós estudas em circuitos CC, fazendo as alterações
necessárias.
3.10.1 Fontes independentes e fontes dependentes
Até então, todas as fontes vistas eram independentes, podemos definir uma fonte
independente quando sua magnitude independe do restante do circuito, mantendo-se
sempre a mesma independente dos casos.
Figura 45 – Fontes independentes (Adaptado de [1])
Podemos definir uma fonte dependente aquela cujas as características dependem
de uma corrente ou tensão do circuito que está inserida.
Figura 46 – Fontes dependentes (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 50
Sendo K uma constante que multiplica a amplitude da fonte.
Figura 47 – Representação alternativa de fontes dependentes (Adaptado de [1])
3.10.2 Conversão de fontes
Muitas vezes, torna-se necessário converter uma fonte de tensão em fonte de corrente,
ou vice-versa. Os métodos de conversão serão semelhantes aos vistos em circuitos CC,
contudo, agora devemos nos atentar aos cálculos fasoriais.
Figura 48 – Conversão de fontes (Adaptado de [1])
Exemplo 3.10
Exemplo retirado do Boylestad.
Converta a fonte de tensão a seguir em uma fonte de corrente:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 51
Figura 49 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1])
I = E
Z
= 100 V 6 0
o
5Ω 6 53,13o
= 20 A 6 −53,13o
Exemplo 3.10.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Converta a fonte de corrente vista a seguir em uma fonte de tensão:
Figura 50 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1])
Z = ZCZL
ZC +ZL
= (XC 6 −90
o)(XL 6 90o)
− j XC + j XL
= (4Ω 6 −90
o)(6Ω 6 90o)
− j 4Ω+ j 6Ω =
24Ω 6 0o
2 6 90o
= 12Ω 6 −90o
E = I Z = (10 A 6 60o)(12Ω 6 −90o)= 120 V 6 −30o
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 52
3.10.3 Análise de malhas em circuitos CA
Fontes de tensão independentes
Para a análise de malhas, usaremos a lei de Kirchhoff e os mesmos métodos es-
tudados em circuitos CC, com a substituição da resistência pela impedância e da
condutância pela admitância. Os passos para a resolução de circuitos por análise de
malhas serão apresentados no exemplo a seguir.
Exemplo 3.10.3
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre a corrente I1 do circuito a seguir:
Figura 51 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Figura 52 – Circuito com impedâncias em bloco (Adaptado de [1])
Definindo as impedâncias:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 53
Z1 =+ j XL =+ j 2Ω
Z2 =R = 4Ω
Z3 =− j XC =− j 1Ω
E1 = 2 V 6 0o
E2 = 6 V 6 0o
Equações das malhas:
+E1− I1Z1−Z2(I1− I2)= 0
−Z2(I1− I2)− I2Z3−E2 = 0
Podemos reescrever da seguinte forma:
I1(Z1+Z2)− I2Z2 = E1
−I1Z2 − I2(Z2+Z3)=−E2
Resolvendo por Cramer:
I1 =
∣∣∣∣ E1 −Z2−E2 Z2+Z3
∣∣∣∣∣∣∣∣ Z1+Z2 −Z2−Z2 Z2+Z3
∣∣∣∣
= E1(Z2+Z3)−E2(Z2)
(Z1+Z2)(Z2+Z3)− (Z2)2
= (E1−E2)Z2+E1Z3
Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
Substituindo os valores na expressão de I1
I1 = (2 V −6 V )(4Ω)+ (2 V )(− j 1Ω)
( j 2Ω)(4Ω)+ ( j 2Ω)(− j 2Ω)(4Ω)(− j 2Ω)
= −16− j 2Ω
j 8− j 2 2− j 4 =
−16− j 2
2+ j 4 =
16,12 A 6 −172,87o
4,47 6 63,43o
= 3,61 A 6 −236,30o
Fontes de tensão dependentes
Para esse caso, devemos fazer os mesmos passos que para o caso anterior, contudo,
ao aplicar a lei de Kirchhoff, deve-se substituir a grandeza dependente por sua expres-
são para garantir que as incógnitas estejam limitadas somente às correntes da malha
escolhida. O exemplo a seguir torna o raciocínio mais claro.
Exemplo 3.10.3.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre as correntes do circuito a seguir:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 54
Figura 53 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Equacionando o sistema:
+E1− I1R1−R2(I1− I2)= 0
R2(I1− I2)+µVX I2R3 = 0
Substituindo:
VX = (I1− I2)R2
Como resultado, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:
E1− I1R1−R2(I1− I2)= 0
R2(I1− I2)+µR2(I1− I2I2R3 = 0
Fontes de corrente independentes
Neste caso, trate cada fonte independente de corrente como um circuito aberto.
Escreva as equações de malha considerando as correntes nas malhas identificadas no
circuito, e substitua a grandeza. O exemplo a seguir torna mais clara a compreensão.
Exemplo 3.10.3.2
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre as correntes do circuito a seguir:
Figura 54 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 55
Equacionando:
E1− I1Z1+E2− I2Z2 = 0
Com:
I1+ I = I2
O resultado é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
Fontes de corrente dependentes
Por fim, para o último caso, a análise é muito semelhante ao caso anterior, contudo,
agora a expressão da fonte dependente deverá será escrita em função das correntes de
malhas. O exemplo a seguir torna mais fácil a compreensão.
Exemplo 3.10.3.3
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre as correntes do circuito a seguir:
Figura 55 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Tratando a fonte de corrente como circuito aberto, podemos equacionar:
Equacionando:
E1− I1Z1− I2Z2+E2 = 0
com:
kI = I1− I2
Agora, I = I1, de forma que:
kI = I1− I2 ou I2 = I1(1−k)
Como resultado, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas.
3.11 Exercícios
1-Para o circuito a seguir achar as admitâncias YR , YC e YL , a impedância de entrada e o
diagrama de admitâncias:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 56
Figura 56 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1])
2-Determine as correntes indicadas no circuito a seguir através da admitância total:
Figura 57 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1])
3-No circuito série paralelo a seguir, determine a tensão VC e a corrente IS :
Figura 58 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1])
4-Determine a corrente I e a tensão V:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 57
Figura 59 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1])
Dica: converter o circuito para algo do tipo:
Figura 60 – Circuito CA com impedâncias em bloco (Adaptado de [1])
CAPÍTULO 4
Métodos de análise e tópicos
selecionados em circuitos CA
4.1 Introdução
Este capítulo visa mostrar a diferença no cálculo da potência em Corrente Contínua(CC)
e Corrente Alternada(CA), dando ênfase nas potências ativas, reativas e aparente.
4.2 Equação Geral
O Cálculo da potência é dado pela seguinte equação:
p = vi (4.1)
assim, analisando a corrente e a tensão como sendo senoidais, temos:
v(t )=Vmsen(ωt +θ)ei (t )= Imsen(ωt )
assim, temos que a Equação 4.1 pode ser reescrita da seguinte forma:
p =Vm Imsen(ωt +θ)sen(ωt ) (4.2)
Como podemos ver esta equação garante o calculo da potência para qualquer tipo
de entrada senoidal.
4.3 Circuitos Resistivos
Como em um circuitos resistivo, onde há apenas componentes com ângulo de impe-
dância = 0º, a tensão e a corrente estão em fase, logo temos p=vi e o seguinte gráfico.
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos