Apostila de Circuitos

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Autores
Edição:
Eberton João de Matia
Eduardo Moises Clarindo Alves Garcia
Horion Silva Dreher
Joubert Fuscaldi Soares
Leonardo Hisashi Onaga
Lucas Henrique Barros Pereira
Rebeca Bertolim Lopes
Mentores:
André Luiz Regis Monteiro
Eduardo Giometti Bertogna
Roberto Ribeiro Neli
Agradecimentos
Este trabalho é fruto da ação de membros do Grupo de Educação Tutorial (GET)
<https://www.facebook.com/getutorial/> orientados pelos professores André Luiz Re-
gis Monteiro, Eduardo Giometti Bertogna e Roberto Ribeiro Neli. Porém, ele não seria
real se não tivéssemos acesso aos livros consultados: Introdução à Análise de Circuitos
de Robert L. Boylestad e Análise de Circuitos em Engenharia de William H. Hayt Jr.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Parâmetros da tensão senoidal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 16
Figura 2 – Senoide plotada em ωt (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 3 – Senoide plotada em t (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 4 – Exemplo 1.3.2 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Figura 5 – Exemplo 1.3.3 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 6 – Velocidade angular de uma senoide (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . 20
Figura 7 – Exemplo 1.5.2 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 8 – Senoide plotada em rad/s (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 22
Figura 9 – Senoide Positiva (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 10 – Senoide Negativa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 11 – Exemplo 1.7 (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 12 – - Adição ponto a ponto de duas ondas senoidais (Adaptado de [1]) . 26
Figura 13 – Representação de senóide em fasor (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . 27
Figura 14 – Representação fasorial da soma de ondas senoidais (Adaptado de [1]) 27
Figura 15 – Tensão e corrente de um dispositivo Resistivo (Adaptado de [1]) . . . 29
Figura 16 – Resposta de um dispositivo indutivo a uma corrente senoidal (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Figura 17 – Tensão e corrente de um dispositivo indutivo (Adaptado de [1]) . . . 30
Figura 18 – Resposta de um dispositivo puramente capacitivo a uma corrente
senoidal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 19 – Tensão e corrente de um dispositivo capacitivo (Adaptado de [1]) . . 31
Figura 20 – Resposta dos resistores de carbono à frequência (Adaptado de [1]) . 32
Figura 21 – Equivalente prático para um indutor (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 32
Figura 22 – ZL contra frequência para indutor prático (Adaptado de [1]) . . . . . 33
Figura 23 – Equivalente prático para um Capacitor (Adaptado de [1]) . . . . . . . 33
Figura 24 – Zc contra frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 25 – Diagrama de impedâncias (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 26 – Impedâncias em série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 27 – Circuito RLC série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 28 – Diagrama de impedâncias do exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . 37
Figura 29 – Circuito RL série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 30 – Diagrama de impedâncias do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . 39
Figura 31 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 32 – Circuito RC série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 33 – Diagrama de impedâncias do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . 41
Figura 34 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 35 – É possível calcularV1 eV2 com a regra do divisor de tensão (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 36 – Circuito RC série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 37 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 38 – Diagrama de admitâncias (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 39 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 40 – Diagrama de admitâncias do circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 45
Figura 41 – Circuito RL paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 42 – Circuito de associação mista (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 43 – Circuito em série-paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 44 – Impedâncias representadas em blocos (Adaptado de [1]) . . . . . . . 48
Figura 45 – Fontes independentes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 46 – Fontes dependentes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 47 – Representação alternativa de fontes dependentes (Adaptado de [1]) 50
Figura 48 – Conversão de fontes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 49 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 51
Figura 50 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 51
Figura 51 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 52 – Circuito com impedâncias em bloco (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 52
Figura 53 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 54 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 55 – Circuito misto (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 56 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 57 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 58 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 59 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 60 – Circuito CA com impedâncias em bloco (Adaptado de [1]) . . . . . . 57
Figura 61 – Diagrama de um circuito resistivo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 59
Figura 62 – Curva de Potência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 63 – Gráfico do circuito puramente indutivo (Adaptado de [1]) . . . . . . 60
Figura 64 – Circuito Indutivo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 65 – Circuito C (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 66 – Curva de Potências (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 67 – Triângulo de Potência Indutiva (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 62
Figura 68 – Triângulo de Potência Capacitiva (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 62
Figura 69 – Circuito RLC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 70 – Fator de potencia corrigido via indutor (Adaptado de [1]) . . . . . . . 65
Figura 71 – Nós de referência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 72 – Correntes no primeiro nó (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 73 – Correntes no segundo nó (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 74 – Circuito com fonte dependente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 68
Figura 75 – Fonte independente entre Nós (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 69
Figura 76 – Fonte dependente entre Nós (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 77 – Parâmetros para conversão (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 78 – Modelo T (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 79 – ModeloΠ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 80 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 81 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 82 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 83 – Circuito de Thévenin (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 84 – Circuito completo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 85 – Representação com blocos de impedância (Adaptado de [1]) . . . . . 74
Figura 86 – Fonte 1 curto circuitada (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 87 – Fonte no circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Figura 88 – Circuito equivalente de Thévenin (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 76
Figura 89 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 90 – Circuito para obtenção da impedância de Norton (Adaptado de [1]) 77
Figura 91 – Circuito para obtenção da corrente de Norton (Adaptado de [1]) . . 78
Figura 92 – Circuito equivalente de Norton (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 78
Figura 93 – Circuito puramente resistivo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 94 – Circuito exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 95 – Representação com blocos de impedância (Adaptado de [1]) . . . . . 80
Figura 96 – Gerador trifásico e suas tensões no enrolamento (Adaptado de [1]) . 81
Figura 97 – Fases e seus ângulos (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 98 – Diagrama fasorial (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 99 – Gerador e carga conectados em Y (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 83
Figura 100 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 101 – Carga conectada em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 102 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Figura 103 – Gerador conectado em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 86
Figura 104 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Figura 105 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Figura 106 – Carga Conectada em Y (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 107 – Carga Conectada em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 108 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Figura 109 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Figura 110 – Wattímetros conectados em cada fase e em comum com o neutro
(Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Figura 111 – Wattímetros em carga conectada em ∆ (Adaptado de [1]) . . . . . . . 94
Figura 112 – Wattímetros conectados em apenas duas fases (Adaptado de [1]) . . 94
Figura 113 – Carga desequilibrida com quatro fios (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 95
Figura 114 – Carga desequilibrada com três fios (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . 96
Figura 115 – Circuito magnético simples (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 116 – Transformador de potência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 98
Figura 117 – Transformador de corrente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 118 – Transformador de potencial (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 119 – Transformador de sinal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 120 – Bobina e núcleo metálico em lâminas de um transformador (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 121 – Tranformador de Núcleo envolvente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 100
Figura 122 – Transformador Núcleo envolvido (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 100
Figura 123 – Transformador Núcleo Laminado (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 101
Figura 124 – Transformador trifásico (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 125 – Transformador e seu símbolo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 102
Figura 126 – Indutância mútua (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 127 – Coeficiente de acoplamento (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 103
Figura 128 – Transformador de exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 104
Figura 129 – Transformador monofásico (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 130 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 131 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Figura 132 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 133 – Exemplo de casamento de impedâncias (Adaptado de [1]) . . . . . . 109
Figura 134 – Transformador como isolador para medidas de tensão (Adaptado de
[1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 135 – Transformador real (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 136 – Transformador ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 137 – Transformador ideal e carga refletida (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 111
Figura 138 – Carga refletida no transformador (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 111
Figura 139 – Diagrama fasorial de tensão (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 112
Figura 140 – Polaridade de um transformador (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . 112
Figura 141 – Autotransformador (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Figura 142 – Transformador com derivação no primário (Adaptado de [1]) . . . . 113
Figura 143 – Transformador com derivação no secundário (Adaptado de [1]) . . . 114
Figura 144 – Plano Complexo (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Figura 145 – Senóide Exponencialmente Crescente (Adaptado de [2]) . . . . . . . 118
Figura 146 – Senóide Exponencialmente Decrescente (Adaptado de [2]) . . . . . . 118
Figura 147 – Senóide (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 148 – Exponencial Crescente (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 149 – Exponencial Decrescente (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 150 – Constante (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 151 – Circuito RLC (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Figura 152 – x(t )= e−atu(t ) (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 153 – Circuíto RC (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Figura 154 – Circuito Indutivo no domínio s (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . 126
Figura 155 – Capacitor no domínio do tempo, onde se indica v(t) e i(t) (Adaptado
de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 156 – Modelo no domínio da frequência de um capacitor com tensão inicial
de v(0−) (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 157 – Modelo equivalente obtido através de uma transformação de fonte
(Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 158 – Sumário: Z(s) e Y(s) (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Figura 159 – Exercício 3 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 160 – Exercício 6 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Figura 161 – Exercício 7 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Figura 162 – Escala logarítmica para frequências. (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 131
Figura 163 – Gráfico Semilog. (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Figura 164 – Leitura de valor em gráfico logarítmico. (Adaptado de [1]) . . . . . . 133Figura 165 – (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Figura 166 – Níveis Sonoros em dB (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Figura 167 – Filtro Passa-Baixa Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Figura 168 – Filtro Passa-Alta Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Figura 169 – Filtro Passa-Faixa Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Figura 170 – Filtro Rejeita-Faixa Ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 138
Figura 171 – Filtros Passivos Reais (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Figura 172 – Circuito Passa-Baixa RC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Figura 173 – Circuitos equivalentes (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Figura 174 – Resposta em frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Figura 175 – Gráfico Normalizado (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Figura 176 – Gráfico da fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Figura 177 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Figura 178 – Gráfico do ganho (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Figura 179 – Gráfico do ganho normalizado (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 144
Figura 180 – Circuito do filtro passa-baixa RL (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . 144
Figura 181 – Circuitos com frequencia em 0hz e tendendo ao infinito (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Figura 182 – Circuito do filtro passa alta RC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 145
Figura 183 – Circuitos com frequência em 0hz e tendendo ao infinito (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Figura 184 – Gráfico do ganho (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Figura 185 – Gráfico da fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Figura 186 – Circuito do filtro passa-alta RL (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . 147
Figura 187 – Gráficos filtros passa-alta e passa-baixa (Adaptado de [1]) . . . . . . 148
Figura 188 – Solução A (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Figura 189 – Solução B (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Figura 190 – Filtro passa-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Figura 191 – Filtro passa-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Figura 192 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Figura 193 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Figura 194 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Figura 195 – Diagrama de Bode (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Figura 196 – Diagrama de Bode da Fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 155
Figura 197 – Diagrama de Bode (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Figura 198 – Diagrama de Bode da fase (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 156
Figura 199 – Curva de ressonância (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Figura 200 – Circuito ressoante em série (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 158
Figura 201 – Circuito ressoante em série simplificado (Adaptado de [1]) . . . . . . 158
Figura 202 – Diagrama fasorial (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Figura 203 – Triângulo de potências (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Figura 204 – Curvas de potência de um circuito ressoante em série (Adaptado de [1])160
Figura 205 – Resistência em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 161
Figura 206 – Indutância em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 161
Figura 207 – Capacitância em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . 162
Figura 208 – Resposta em frequência de reatâncias capacitiva e indutiva (Adaptado
de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Figura 209 – ZT em função da frequência (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 162
Figura 210 – Gráfico de fase de um circuito ressoante em série (Adaptado de [1]) 163
Figura 211 – I em função da frequência em um circuito ressoante em série (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Figura 212 – Curva de seletividade e os efeitos da resistência R (Adaptado de [1]) 164
Figura 213 – Curva de seletividade e os efeitos da indutância e capacitância (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Figura 214 – Curva de ressonância de um circuito comQs ≥ 10 (Adaptado de [1]) 165
Figura 215 – Circuito ressoante em paralelo ideal (Adaptado de [1]) . . . . . . . . 166
Figura 216 – Circuito ressoante em paralelo prático (Adaptado de [1]) . . . . . . . 167
Figura 217 – Circuito paralelo equivalente (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . 167
Figura 218 – Substituição da combinação RL por um circuito equivalente em para-
lelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Figura 219 – Substituição de Rs ∥RP por R no circuito (Adaptado de [1]) . . . . . . 168
Figura 220 – Z em função da frequência em um circuito ressoante paralelo (Adap-
tado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Figura 221 – Efeito de Rl , L e C na curva de impedância de um circuito ressoante
paralelo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Figura 222 – Gráfico de fase do circuito ressoante em paralelo (Adaptado de [1]) . 172
Figura 223 – Exemplo (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Figura 224 – Exercício (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Figura 225 – Bipolo (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Figura 226 – Quadripolo (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Figura 227 – Transistor (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Figura 228 – Quadripolo ligado à duas fontes de corrente (Adaptado de [2]) . . . . 178
Figura 229 – Exemplo 1 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Figura 230 – Quadripolo ligado à duas fontes de tensão (Adaptado de [2]) . . . . . 180
Figura 231 – Exemplo 2 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Figura 232 – Exemplo 3 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Figura 233 –pi (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Figura 234 – T (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Figura 235 – Exercício 1 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Figura 236 – Exercício 3-a (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Figura 237 – Exercício 3-b (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Figura 238 – Exercício 4 (Adaptado de [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Introdução a Componente Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Tensão alternada senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Definições de polaridade e sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Velocidade angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20
1.6 Expressão geral para tensões ou correntes senoidais . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Relações de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Convertendo seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Valor eficaz (RMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10 Valores nominais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Dispositivos básicos e os fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Conversão entre forma Polar e Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Resposta dos dispositivos básicos a uma tensão senoidal . . . . . . . . . 28
2.3.1 Resposta Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Resposta Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo . . . . . 35
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Diagrama de impedâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Associação em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Regra do divisor de tensão para impedâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Admitância e Susceptância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Complexo conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Regra do divisor de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.9 Configuração em série-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.10 Métodos de análise de circuitos CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.10.1 Fontes independentes e fontes dependentes . . . . . . . . . . . . 49
3.10.2 Conversão de fontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.10.3 Análise de malhas em circuitos CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA . . . . . 58
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Equação Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Circuitos Resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Potência Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 O que é Potência Aparente(S)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Circuitos Indutivos e Potência Reativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Circuitos Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 O Triângulo de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7.1 Exemplo: Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8 Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.9 Análise Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.10 Conversão Delta-estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.11 Teorema da superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.12 Teorema de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.12.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.13 Teorema de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.13.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.14 Teorema da Máxima Transferência de Potência . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.14.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 Sistemas Polifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Geradores Trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Sequência de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Gerador Conectado em Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.1 Conexão Y-Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.2 Conexão Y- ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Gerador Conectado em ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.1 Conexão ∆−∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5.2 Conexão ∆−Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.6.1 Método dos Três Wattímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6.2 Método dos Dois Wattímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.7 Carga Trifásica de Quatro Fios, Não Equilibrada e Conectada em Y . . . 94
5.8 Carga Trifásica de Três Fios, Não Equilibrada e Conectada em Y . . . . . 966 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.1 Transformadores de potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.2 Transformadores de medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2.3 Transformadores de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Núcleo do transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Princípio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.5 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.6 Trafo monofásico ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.7 Casamento de impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.8 Trafo não-ideal ou real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9 Polaridade dos enrolamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127 Frequência Complexa e a Transformada de Laplace . . . . . . . . . . 115
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2 Frequência Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.1 Forma Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2.2 Caso CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.3 Caso Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.4 Caso Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.5 Caso Senóide Exponencialmente Amortecida . . . . . . . . . . . 117
7.2.6 A relação de s com a realidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.6.1 Senóide Exponencialmente Crescente e Decrescente . 118
7.2.6.2 Senóide, Exponencial e Constante . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Função Senóide Exponencialmente Amortecida . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.2 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4.3 Par de Transformadas Unilaterais de Laplace . . . . . . . . . . . 122
7.4.4 Par de Transformadas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5 Análise de Circuitos no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5.1 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.5.2 Impedância e Admitância no Plano s . . . . . . . . .. . . . . . . 125
7.5.2.1 Resistores no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . 125
7.5.2.2 Indutores no Domínio da Frequência . . . . . . . . . . 125
7.5.2.3 Modelo do Indutor no Domínio da Frequência: . . . . 126
7.5.2.4 Capacitores do Domínio da Frequência . . . . . . . . . 126
7.5.3 Resumo de representações de elementos nos domínios do tempo
e da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.1 Frequência Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.6.2 Função Senóide Exponencialmente Amortecida . . . . . . . . . . 129
7.6.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6.4 Análise de Circuitos no Domínio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298 Decibéis e Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1 Logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.1 Aplicações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.2 Tipos de gráficos usando escalas logarítmicas: . . . . . . . . . . . 132
8.1.3 Propriedades logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.2 Decibéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.1 Ganho em Decibéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.2 Algumas Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.3 Decibéis em Ganhos de Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.2.4 Resposta da Audição Humana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.3 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4 Filtros Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.4.1 Filtros Passivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.4.2 Filtro Passa-Baixa RC (Adaptado de [1]) . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.4.3 Filtro Passa-Baixa RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4.4 Filtro Passa-Alta RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.5 Filtro Passa-Alta RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.5.1 Sumário Filtros Passa-Baixa e Passa-Alta . . . . . . . . . . . . . . 148
8.5.2 Filtro Passa-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.5.3 Filtros Rejeita-Faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.6 Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.7 Diagrama de Bode da Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.2 Circuito ressoante em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.3 Fator de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.4 Impedância total em função da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.5 Seletividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.6 Circuito ressoante em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.7 Fator de potência unitário fP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.8 Impedância máxima fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.9 Curva de seletividade em circuitos ressoantes paralelos . . . . . . . . . . 170
9.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310 Bipolos e Quadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2.1 O que é um bipolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2.2 O que é um quadripolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.2.3 O que é um multipolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.3 Quadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.3.1 Hipóteses Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.2 Matrizes de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.3 Parâmetros de Impedância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.3.4 Parâmetros de Admitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.3.5 Parâmetros Híbridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3.6 Relação de Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.3.7 Modelo pi e T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
10.3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Introdução
ESTE DOCUMENTO faz parte do projeto de extensão registrado na Diretoria de RelaçõesEmpresariais e Comunitárias (DIREC) da UTFPR-Campus Campo Mourão como
Apostilas de Ensino do Grupo de Educação Tutorial (GET), e é destinado como material
de apoio aos acadêmicos de Engenharia Eletrônica cursantes da disciplina de Circui-
tos Elétricos do quarto período da grade, ministrada pelo professor colaborador do
documento Eduardo Giometti Bertogna.
O conteúdo da apostila é integralmente baseado nos livros utilizados como apoio,
"Introdução à Análise de Circuitos de Robert L. Boylestad"e "Análisis de Circuitos en
Ingeniería de William H. Hayt Jr.", assim como no material de apoio oferecido pelo
professor Eduardo G. Bertogna, de autoria do próprio.
Deve ser enfatizado que este conteúdo é exclusivamente para fins educativos, sendo
vedado a comercialização e compartilhamento sem autorização.
CAPÍTULO 1
Introdução a Componente Senoidal
1.1 Introdução
Diferentemente de circuitos em corrente contínua, com tensão e corrente invariáveis,
podemos observar agora com a corrente alternada uma variação na sua intensidade
durante o tempo. É de suma importância estudar esse tipo de corrente, particularmente
a senoidal, uma vez que este é o tipo de energia produzida na maioria das usinas e é
a fornecida comercialmente, estando presente nas tomadas residenciais e usada na
maioria dos processos industriais.
1.2 Tensão alternada senoidal
As tensões alternadas podem ser geradas pelas mais diversas fontes, comumente utiliza-
se um gerador CA (também conhecido como alternador) no processo. A energia é
proveniente do movimento de um rotor(construído com polos magnéticos invertidos)
envolvido por um estator, de forma assim a induzir uma tensão pela Lei de Faraday:
e =N dθ
dx
(1.1)
1.3 Definições
Podemos observar na figura abaixo a forma de onda da senoide, como esta saída sera
constantemente utilizada, recordaremos agora algumas características importante para
prosseguir com o estudo. Vale ressaltar que esses termos podem ser aplicados a outras
formas de ondas. Nos gráficos utilizamos por definição o eixo y para representar a
variação de tensão e o x a variação do tempo.
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 16
Figura 1 – Parâmetros da tensão senoidal (Adaptado de [1])
Valores instantâneos:Amplitude de onda em ponto qualquer, representados por e1
e e2.
Valor de pico:Valor máximo da função, deve se medir a partir de 0V, representado por
Em .
Valore de pico à pico: A diferença entre os valores de máximo e mínimo na função, ou
seja a soma dos módulos de ambas as partes, representado por Ep−p .
Período:Tempo de propagação de um comprimento completo de onda, representado
por T=T1=T2.
Ciclo:Parte da onda contida em um período, sua representação pode ser diferente uma
vez que os pontos de início podem serdiferentes.
Frequência(f ):Equivale ao número de repetições da onda sobre intervalo de tempo,
comumente utiliza-se 1s para calcular, sendo assim equivalente ao inverso do período.
Características das senoides
Uma vez que a tensão e corrente nesses circuitos variam de forma sinusoidalmente, seus
valores instântaneos também irão variar e podemos representá-los com as seguintes
definições algébricas:
v(t )=Vm sen(ωt )=Vm sen(α) (1.2)
I (t )= Im sen(ωt )= Im sen(α) (1.3)
Temos a partir das equações ωt como o argumento da senoide(rad/s) e ω como a
velocidade ângular(rad). Observe agora como as características se mantém e apenas
mudam as unidade ao plotar no domínio de T e no domínio de wt.
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 17
Figura 2 – Senoide plotada em ωt (Adaptado de [1])
Com a onda plotada em ωt temos:
-Período igual a 2pi.
-ωt o ângulo.
-Medida em radianos.
Figura 3 – Senoide plotada em t (Adaptado de [1])
Com a onda plotada em t temos:
-Período igual a T.
-Medido em segundos.
-Frequência: f= 1T (Hz).
-Uma vez que ωt=2pi , temos assim ω=2pi f .
Exemplo 1.3.1
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 18
Calcule o período de uma forma de onda periódica com as seguintes frequências:
a)60hz
b)1000hz
Solução:
Como mostrado anteriormente temos uma relação entre o período e a frequência de
uma onda, onde a frequência é o inverso do período, assim usando essa relação temos:
T = 1
f
a)T = 1
60Hz
T = 0,016s
b)T = 1
1000Hz
T = 0,001s
Exemplo 1.3.2
Exemplo retirado do Boylestad
Figura 4 – Exemplo 1.3.2 (Adaptado de [1])
Determine a frequência da forma de onda.
Solução:
Sabendo que frequência é o inverso do período, analisando o período da onda podemos
assim determinar sua frequência. Uma vez que o período de uma onda equivale a um
ciclo completo podemos determiná-lo de várias formas, dentre elas pegando a partir do
ponto 0 que equivale ao seu máximo e indo até o ponto 20 que é o seu segundo máximo,
tendo assim um período de 20s. Com base nisso assim temos:
f = 1
T
f = 1
20s
f = 0,05Hz
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 19
Exemplo 1.3.3
Foi utilizado o osciloscópio para medir a seguinte forma de onda:
Figura 5 – Exemplo 1.3.3 (Adaptado de [1])
Calcule:
a)Período
b)Frequencia
c)Amplitude do sinal
Solução:
a)Analisando um ciclo completo de onda,pegando de pico a pico temos 4 quadrados,
como estamos analisando horizontalmente temos assim o periodo igual a:
T = 4×50us
T = 200us
b)Temos a frequência igual ao inverso do período, assim temos:
f = 1
t
f = 1
200us
f = 5000hz
c)Temos a amplitude como a distância entre um máximo e mínimo de uma onda, assim
analisando a figura temos uma amplitude equivalente a quatro quadrados vertical-
mente, portanto temos:
Ampli tude = 4×0,1V
Ampli tude = 0,4V
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 20
1.4 Definições de polaridade e sentido
Os termos polaridade e sentido se referem respectivamente à tensão e corrente de uma
forma de onda. É importante ressaltar esses pontos pois frequentemente ao analisar
circuitos, observaremos uma variação, como por exemplo quando uma forma de onda
se move de uma região negativa para outra positiva, em diferentes períodos de tempo
quando a tensão de um período é a inversa da tensão do próximo e mais evidente
quando analisamos circuitos com múltiplas fontes CA.
Essas propriedades podem ser aplicadas a qualquer forma de onda, daremos um foco
maios à senoide pela sua propriedade de nao alterar sua forma de onda sobre a presenca
de resistores,indutores ou capacitores.
1.5 Velocidade angular
A velocidade angular é um aspecto importante ao se analisar senoides, uma vez que
apartir dela podemos determinar a forma de onda do sinal.Assim temos a velocidade
angular podendo ser definida como o ângulo percorrido pela onda em um periodo de
tempo.
Vel .Aˆngular = Aˆngulo Percor r ido
tempo
= α
t
=ωα=ωt
Podemos observar mais claramente com um exemplo grafico:
Figura 6 – Velocidade angular de uma senoide (Adaptado de [1])
Vale ressaltar que comumente a velocidade angular é calculada em radianos, assim
temos:
ω= 2piT ou ω= 2piF
Exemplo 1.5.1
Determine a velocidade ângular relativa de uma forma de onda senoidal cuja frequência
é 60Hz.
Solução:
Como foi definido anteriormente temos a velocidade angular como 2piT ou 2piF , assim
temos:
ω= 2piF = (2pi)(60Hz)= 377r ad/s
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 21
Exemplo 1.5.2
Determine a frequência da forma de onda abaixo:
Figura 7 – Exemplo 1.5.2 (Adaptado de [1])
Solução:
Como ω= 2pi/T, temos:
T = 2pi
ω
= 2pi
100r ad/s
= 62,8ms
e
F = 1
T
= 1
62,8x10−3s
= 15,9Hz
Exemplo 1.5.3
Dado ω=200rad/s determine o intervalo de tempo necessário para a forma de onda
senoidal passar no ponto correspondente a 150o
Solução:
Definimos anteriormente que α=ωT , assim temos:
t = α
ω
Por estarmos calculando em radianos devemos substituir o 150 pelo seu correspondente
em radianos 5pi/6, dessa forma temos:
t = α
ω
= 5pi/6
200
= 13,1ms
Exemplo 1.5.4
Determine o ângulo em t=7ms para uma forma de onda senoidal de 60Hz.
Solução:
Uma vez que α=ωT , temos:
α= 2pi f t = (2pi)(60Hz)(7x10−3s)= 2,63r ad
Devemos agora fazer a conversão de rad para graus
α(o)= 180
o
pir ad
(2,63r ad)= 150,68o (1.4)
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 22
1.6 Expressão geral para tensões ou correntes senoi-dais
Para as grandezas elétricas de tensão e corrente temos as seguintes expressões gerais:
i = Imsen(ωt )= Imsenα
e
e = Emsen(ωt )= Emsenα
Temos assim Im e Em como as amplitudes das ondas e os valores de I e e como os
valores instantâneos.
Exemplo 1.6
Sabendo que e= 10.sen(α) determine e para α = 0,7rad. Solução:
Como o valor foi dado em radianos devemos converte-lo para graus ou ajustar nossas
calculadoras para radianos, nos próximos exemplos não iremos mais realizar essas
conversão.
α(o)= 180
o
pir ad
(0,7r ad)= 40,10o (1.5)
assim temos:
e = 10.sen(40,10)= 10(0,644)= 6,44V
1.7 Relações de fase
Até agora consideramos a componente senoidal com seus zeros em pi, 2pi..., sempre
partindo de ângulos notáveis, como na figura abaixo:
Figura 8 – Senoide plotada em rad/s (Adaptado de [1])
Essas componentes podem estar com seus sinais deslocados para direita ou para
esquerda. Com base nisso temos agora uma expressão que relaciona sua tensão com
seu deslocamento ângular.
V (t )=Vm sen(ωt ±θ)
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 23
Onde θ é o angulo em graus ou radianos deslocado da senoide.
Podemos ainda dividir essa equação em duas, analisando o ponto que ela cruza o eixo
vertical, assim temos:
Figura 9 – Senoide Positiva (Adaptado de [1])
Caso a forma de onda cruze o eixo vertical na porção positiva a expressão fica:
V (t )=Vm sen(ωt +θ)
Figura 10 – Senoide Negativa (Adaptado de [1])
Caso a forma de onda cruze o eixo vertical na porção negativa a expressão fica:
V (t )=Vm sen(ωt −θ)
Exemplo 1.7
De acordo com a figura abaixo, i está adiantada ou atrasada em relação a v? Qual a
expressão de corrente de i ?
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 24
Figura 11 – Exemplo 1.7 (Adaptado de [1])
Solução:
V esta adiantada em 160o de i ,assim temos a equação que define i como:
i = im sen(ωt −150)
1.8 Convertendo seno e cosseno
Senos e cossenos são essencialmente a mesma função, com uma diferença de fase de
90o , onde o seno está atrasado 90° em relação ao cosseno, e o cosseno está adiantado
90° em relação ao seno. Assim temos:
V (t )=Vm sen(ωt )=Vm cos(ωt −90o)
V (t )=Vm cos(ωt )=Vm sen(ωt +90o)
Exemplo
V1(t )= 10.cos(5t +10o)=
10.sen(5t +90o+10o)
= 10.sen(5t +100o)
1.9 Valor eficaz (RMS)
O valor equivalente cc a uma corrente ou tensão para entregar a mesma potência é
conhecido como valor eficaz. O equivalenteCC de uma tensão ou corrente senoidal
vale 0,707 ou 1/
p
2 do seu valor máximo
Ie f = 0,707.Im
O valor eficaz é calculado como:
vrms =
√
1
t
∫
(vm2.sen2(ωt ).dωt )dt
Capítulo 1. Introdução a Componente Senoidal 25
Definido como a raiz quadrada do valor médio do quadrado Se uma onda tiver uma
parcela contínua:
Vrms =
√
vcc2+ vcc2(rms)
Assim temos o valor eficaz como o equivalente cc a uma corrente ou tensão para
entregar a mesma potência.
Valores Eficaz -Sumario
Ieqcc = Irms = Imp
2
= 0,707 Im (1.6)
Im =
p
2.Irms = 1,414 Irms (1.7)
Vrms = Vmp
2
= 0,707 Vm (1.8)
Vm =
p
2.Vrms = 1,414 Vrms (1.9)
Irms =
√
1
T
(
∫
i 2(t ).dt )=
√
a´rea[i 2(t )]
T
(1.10)
Vrms =
√
Vcc2+Vca2 (1.11)
Exemplo 1.9
Qual o valor eficaz da tensão senoidal com uma parcela contínua de 6V?:
Solução:
Temos o valor de Vrms como
Vrms = 0,707(6V )
Vrms = 4,242
1.10 Valores nominais
Equipamentos eletrônicos e componente de um circuito elétrico devem ser comer-
cializados dispondo de informações mínimas em relação aos valores das respectivas
grandezas elétricas. Esses valores são denominados valores nominais.
Por isso, convencionou-se que os valores nominais das magnitudes da tensão e da
corrente devem corresponder aos seus respectivos valores eficazes.
CAPÍTULO 2
Dispositivos básicos e os fasores
2.1 Fasores
Como estamos analisando circuítos CA (Corrente Alternada), geralmente utilizaremos a
adição de tensões e correntes senoidais.
Um dos métodos para se resolver a adição é plotar as duas ondas senoidais no mesmo
gráfico e somar algebricamente as ordenadas em cada ponto da abscissa. Porém esse
processo pode ser longo e com baixa precisão.
Figura 12 – - Adição ponto a ponto de duas ondas senoidais (Adaptado de [1])
Outro método mais rápido utiliza um vetor radial girante, onde este vetor que tem
um comprimento constante e uma das extremidades fixa na origem é denominado
fasor quando utilizado em análise de circuitos elétricos.
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 27
Figura 13 – Representação de senóide em fasor (Adaptado de [1])
Soma de 2 tensões senoidais e seu respectivo fasor
Figura 14 – Representação fasorial da soma de ondas senoidais (Adaptado de [1])
Onde usando a álgebra vetorial, obtemos:
1V 6 0o +2V 6 90o = 2,236V 6 63,43o
Em termos práticos, podemos utilizar a seguinte notação:
v(t )=Vm sin(ωt +θ)=Vm 6 θ (2.1)
Sendo necessário a partir de agora converter as funções senoidais em fasores para
poder fazer cálculos aritméticos utilizando a álgebra dos números complexos. Como
geralmente utilizamos exclusivamente os valores de rms, e não os de pico, em análise
de circuito com corrente alternada, por razões práticas, o módulo do fasor pode ser
definido como igual ao valor rms da senóide que o representa. O ângulo permanece o
mesmo.
Para analisar tensões e correntes senoidais, teremos:
V=V 6 θ (2.2)
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 28
I= I 6 θ (2.3)
Sendo V e I os valores rms e θ o ângulo de fase. Em notação de fasores, as grandezas
variam de forma senoidal.
A álgebra de fasor, só pode ser aplicado para ondas senoidais de mesma frequência.
2.2 Conversão entre forma Polar e Retangular
Na análise de circuitos de corrente alternada, é utilizado número complexo para faci-
litar as contas, onde o mesmo pode ser representado de duas formas, Polar e Retangular.
Forma Retangular:
C = X + jY (2.4)
Forma Polar:
C = Z 6 θ (2.5)
Retangular para Polar:
Z =
√
X 2+Y 2 (2.6)
θ = arctan Y
X
(2.7)
Polar para Retangular:
X = Z cos θ (2.8)
Y = Z sen θ (2.9)
2.3 Resposta dos dispositivos básicos a uma tensãosenoidal
2.3.1 Resposta Ideal
Resistor
Para frequências de até centenas de kHz, a resistência não é influenciada pela tensão
ou corrente senoidal. Considerando então o resistor constante podemos aplicar a lei de
Ohm:
i = V
R
= [Vm sin(ωt )]
R
= Vm
R
sin(ωt )= Im sin(ωt ) (2.10)
da mesma forma:
v = i R = [Im sin(ωt ] R = Im R sin(ωt )=Vm sin(ωt ) (2.11)
Onde: Vm = Im R
Para um dispositivo puramente resistivo, a tensão e a corrente que atravessam o dispo-
sitivo estão em fase, com os valores de pico relacionado pela Lei de Ohm.
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 29
Figura 15 – Tensão e corrente de um dispositivo Resistivo (Adaptado de [1])
Indutor
A oposição à corrente elétrica é diretamente influenciado pela taxa de variação da
corrente que o atravessa, como também pela sua indutância. Então tensão no indutor é
diretamente proporcional à frequência angular da corrente senoidal e à indutância do
enrolamento.
Figura 16 – Resposta de um dispositivo indutivo a uma corrente senoidal (Adaptado de
[1])
Resposta de um indutor à uma corrente senoidal
VL = L diL
dt
(2.12)
aplicando a diferenciação, temos:
diL
dt
= d
dt
(Im sin(ωt )=ω Im cos(ωt ) (2.13)
portanto
vL = L (ω Im cos(ωt )=ω L Im cos (ωt ) (2.14)
ou
vL =Vm sin(ωt +90o) (2.15)
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 30
onde
Vm =ω L Im = XL Im (2.16)
Sendo XL a Reatância Indutiva
XL = Vm
Im
(2.17)
ou
XL =ω L (2.18)
Para um circuito puramente indutivo, a tensão vL está adiantada 90o em relação a
iL e consequentemente iL esta atrasada 90o em relação a vL .
Figura 17 – Tensão e corrente de um dispositivo indutivo (Adaptado de [1])
A Reatância Indutiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca contínua
de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor. Funcionando como se fosse
a resistência do indutor para uma tensão senoidal, porém diferente da resistência a
reatância não dissipa energia elétrica.
Capacitor
A corrente elétrica que o atravessa é diretamente proporcional a taxa de variação da
tensão que o atravessa, como também pela sua capacitância.
Portanto podemos dizer que quanto maior a capacitância e a frequência da tensão
senoidal menor vai ser a oposição a corrente (Reatância Capacitiva).
Figura 18 – Resposta de um dispositivo puramente capacitivo a uma corrente senoidal
(Adaptado de [1])
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 31
Resposta de um capacitor a uma corrente senoidal:
ic =C dvc
dt
(2.19)
aplicando a diferenciação, temos:
dvv
dt
= d
dt
(Vm sin(ωt )=ω Vm cos(ωt ) (2.20)
portanto
ic =C (ω Vm cos(ωt )=ωC Vm sin(ωt +90o) (2.21)
ou
ic = Im sin(ωt +90o) (2.22)
onde
Im =ωC Vm = Vm
Xc
(2.23)
Sendo Xc a Reatância Capacitiva
Xc = Vm
Im
(2.24)
ou
Xc = 1
ωC
(2.25)
Para um circuito puramente capacitivo, a tensão vc está 90o atrasada em relação a
ic e vice-versa.
Figura 19 – Tensão e corrente de um dispositivo capacitivo (Adaptado de [1])
Respostas em frequência dos dispositivos básicos
Analisaremos como a impedância dos dispositivos básicos se comportam, com a mu-
dança de frequência.
Resistor - R: a frequência não terá efeito nenhum sobre a impedância;
Indutor - L: a reatância indutiva XL muda com a frequência (diretamente proporcional);
Capacitor - C: a reatância capacitiva Xc muda com a frequência (inversamente propor-
cional).
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 32
Efeito da frequência nas Reatâncias
Indutor com frequência nula funciona como um curto circuito XL = 0, e em alta frequên-
cia funciona como um circuito aberto XL =∞.
Capacitor com frequência nula funciona como circuito aberto Xc = ∞, e com alta
frequência funciona como um curto circuito Xc = 0.
2.3.2 Resposta Prática
Resistor
Em sua produção, cada dispositivo ganha alguns níveis de capacitância e indutância,
mas na maioria dos das aplicações os níveis são tão baixos que podemos ignorar seus
efeitos. Porém quando a frequência ultrapassa alguns MHz, é possível notar seus efeitos.
Figura 20 – Resposta dos resistores de carbono à frequência (Adaptado de [1])
Indutor
A indutância pode ser afetada por frequência,temperatura e corrente.
Figura 21 – Equivalente prático para um indutor (Adaptado de [1])
- Resistência do fio de cobre Rs ;
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 33
- Perdas de correntes parasitas devido a correntes no núcleo em que uma tensão CA
é aplicada;
- Perdas por histerese devido às perdas no núcleo causadas pelo campo em rápida
reversão;
- Capacitância parasita nos enrolamentos do indutor C.
Figura 22 – ZL contra frequência para indutor prático (Adaptado de [1])
Em geral quanto maior a indutância, os dispositivos parasitas precisam de menos
frequência para se tornarem relevantes.
Capacitor
Assim como o indutor, o capacitor não é ideal para toda faixa de frequência.
Figura 23 – Equivalente prático para um Capacitor (Adaptado de [1])
- L reflete a indutância dos fios do capacitor;
- Rd reflete a perda de energia pelo campo elétrico alternado que gera atrito entre
as moléculas;
- Rp depende da resistência do encapsulamento e da resistividade do dielétrico.
Capítulo 2. Dispositivos básicos e os fasores 34
Figura 24 – Zc contra frequência (Adaptado de [1])
Portanto quando a frequência aumenta para um certo nível, os capacitores adqui-
rem características indutivas.
CAPÍTULO 3
Circuitos de correntes alternadas em
série e em paralelo
3.1 Introdução
Neste capítulo, aplicaremos a álgebra dos fasores para simplificar a solução de proble-
mas envolvendo circuitos CA em série e em paralelo. Dessa forma, as regras usadas
para a análise de circuitos em corrente contínua tornam-se aplicáveis para a corrente
alternada.
3.2 Impedância
Do exposto no capítulo anterior, podemos agora definir a impedância, medida em
ohms, como sendo a oposição de passagem de corrente por um circuito.
Para elementos resistivos, podemos definir a impedância resistiva como sendo:
ZR =R 6 0o (3.1)
Vale ressaltar que a ZR é representada na forma polar, embora muito semelhante, o
fasor é aplicado somente a grandezas que variam no tempo.
Para elementos indutivos, podemos definir a impedância como sendo a forma polar
da reatância indutiva, definida por:
ZL = XL 6 90o (3.2)
Sabemos que no indutor a tensão está adiantada 90o em relação a corrente, dessa
forma um ângulo de -90o deve estar associado a corrente, justificando o ângulo da
forma polar da reatância indutiva.
Para elementos capacitivos, podemos definir a impedância como sendo a forma
polar da reatância capacitiva, definida por:
ZC = XC 6 −90o (3.3)
No capacitor a tensão está atrasada 90o em relação a corrente, dessa forma um
ângulo de 90o deve estar associado a corrente, justificando o ângulo da forma polar da
reatância capacitiva.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 36
3.3 Diagrama de impedâncias
A representação da impedância na forma polar nos permite criar um gráfico no plano
complexo, o diagrama de impedâncias, que pode representar valores individuais das
componentes, ou o valor total da impedância de um circuito de corrente alternada.
Figura 25 – Diagrama de impedâncias (Adaptado de [1])
Com base na exposto, podemos concluir que se a impedância total de um circuito
estiver em 0o, ela tem natureza resistiva. Se ela estiver próxima, ou for igual a 90o, sua
natureza é indutiva. E por fim, se ela estiver próxima, ou for igual a -90o, sua natureza é
capacitiva.
Dessa forma, recorrendo a lei de Ohm e conhecendo a impedância total, seu módulo
pode ser usado para determinar a intensidade da corrente. Temos ainda que para
qualquer tipo de associação, o ângulo associado à impedância total é igual ao ângulo
de fase da tensão do circuito em relação a corrente da fonte.
3.4 Associação em série
Podemos utilizar as propriedades gerais de análise de circuitos CC nos circuitos CA,
dessa forma, a impedância total de um circuito é igual a soma das impedâncias indivi-
duais:
ZT = Z1+Z2+Z3+ ...+ZN (3.4)
Figura 26 – Impedâncias em série (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 37
Exemplo 3.4
Exemplo retirado do Boylestad.
Considere o circuito RLC série mostrado a seguir:
Figura 27 – Circuito RLC série (Adaptado de [1])
Solução:
ZT = Z1+Z2+Z3+ ...+ZN
=R 6 0o +XL 6 90o +XC 6 −90o
=R+ j XL− j XC
=R+ j (XL−XC )= 6Ω+ j (10Ω−12Ω)= 6Ω− j2Ω
ZT = 6,325Ω 6 −18,43o
Figura 28 – Diagrama de impedâncias do exemplo (Adaptado de [1])
Como visto no diagrama, a impedância resultante está na parte negativa do plano
complexo, tendo assim uma natureza levemente capacitiva. Se as componentes induti-
vas e capacitivas tivessem o mesmo módulo, a impedância de entrada seria puramente
resistiva.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 38
Na configuração CA em série, a corrente é a mesma para todos os elementos do
circuito, assim como nos circuitos CC, dessa forma, podemos determiná-la utilizando a
lei de Ohm:
ZT = Z1+Z2+Z3+ ...+ZN
Onde a intensidade da corrente é calculado por:
I = E
ZT
(3.5)
A tensão em cada elemento pode ser encontrada manipulando novamente a lei de
Ohm:
V1 = I Z1 (3.6)
Além da lei de Ohm, podemos aplicar a lei de Kirchhoff das tensões, de forma
análoga aos circuitos CC, para os circuitos CA. Contudo, é preciso ter em mente que
agora estamos trabalhando com grandezas que possuem módulo e fase. Dessa forma, a
tensão da fonte é igual a soma das tensões de cada elemento do circuito:
E =V1+V2+V3+ ...+VN (3.7)
Dessa forma, podemos encontrar qual a potência fornecida ao circuito:
P = EI cos θr (3.8)
Onde o θr é a diferença de fase entre a tensão da fonte e a corrente.
A partir das tensões e correntes encontradas no circuito, podemos traçar o Dia-
grama de fasores, que representa as componentes no plano complexo. O diagrama será
abordado no exemplo a seguir.
Exemplo 3.4.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Considere o circuito RL série mostrado a seguir:
Figura 29 – Circuito RL série (Adaptado de [1])
Notação fasorial
e = 141,4 sen ωt ⇒ E = 100 V 6 00
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 39
A impedância total desse circuito será:
ZT = Z1+Z2 = 3Ω 6 00+4Ω 6 900 = 3Ω+ j 4Ω
ZT = 5Ω 6 53,130
Figura 30 – Diagrama de impedâncias do circuito (Adaptado de [1])
Como podemos observar, Z está na parte positiva do plano complexo, e mais pró-
ximo de 90o, portanto tem natureza indutiva.
Para traçarmos o diagrama fasorial do circuito, devemos encontrar a corrente e as
tensões nos componentes do circuito.
Para a corrente temos:
I = E
ZT
= 100 V 6 0
o
5Ω 6 53,130
= 20 A 6 −53,130
Para as tensões no resistor e indutor, temos:
VR = I ZR = (20 A 6 −53,130) (3Ω 6 00)
= 60 V 6 −53,130
VL = I ZL = (20 A 6 −53,130) (4Ω 6 900)
= 80 V 6 36,870
Figura 31 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 40
Note que no diagrama, a corrente está em fase com a tensão do resistor e atrasada
90o em relação à tensão do indutor.
Para comprovar os valores obtidos, vamos aplicar a lei de Kirchhoff para as tensões:∑
V = E −VR −VL = 0
E =VR +VL
Para facilitar os cálculos, vamos transformar os valores para a forma retangular:
VR = 60 V 6 −53,130 = 36 V − j 48 V
VL = 80 V 6 36,870 = 64 V + j 48 V
Dessa forma:
E =VR +VL = (36 V − j 48 V )+ (64 V + j 48 V )
= 100 V + j 0= 100 V 6 0o
Assim comprovamos que os valores estão corretos, pois voltamos no valor da tensão da
fonte.
Exemplo 3.4.2
Exemplo retirado do Boylestad.
Considere o circuito RC série mostrado a seguir:
Figura 32 – Circuito RC série (Adaptado de [1])
Notação fasorial
i = 7,07 sen (ωt +53,130) ⇒ I = 5 A 6 53,130
A impedância total desse circuito será:
ZT = Z1+Z2 = 6Ω 6 00+8Ω 6 −900 = 6Ω+ j 8Ω
ZT = 10Ω 6 −53,130
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 41
Figura 33 – Diagramade impedâncias do circuito (Adaptado de [1])
Como podemos observar, Z está na parte negativa do plano complexo, e mais
próximo de -90o, portanto tem natureza capacitiva.
Para traçarmos o diagrama fasorial do circuito, devemos encontrar a tensão da fonte
e as tensões nos componentes do circuito.
Para a tensão da fonte temos:
E = I ZT = (5 A 6 53,130) (10Ω 6 −53,130)
= 50 V 6 0o
Para as tensões no resistor e capacitor, temos:
VR = I ZR = (5 A 6 53,130) (6Ω 6 00)
= 30 V 6 53,130
VC = I ZC = (5 A 6 53,130) (8Ω 6 −900)
= 40 V 6 −36,870
Figura 34 – Diagrama fasorial do circuito (Adaptado de [1])
Note que no diagrama, a corrente está em fase com a tensão do resistor e adiantada
90o em relação à tensão do capacitor.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 42
3.5 Regra do divisor de tensão para impedâncias
A mesma regra do divisor de tensão aplicada em circuitos de corrente contínua pode
ser aplicada para a análise de circuitos em corrente alternada:
VX = ZXE
ZT
(3.9)
Onde VX é a tensão de um elemento em série com uma impedância total ZX .
Figura 35 – É possível calcular V1 e V2 com a regra do divisor de tensão (Adaptado de
[1])
Exemplo 3.5
Exemplo retirado do Boylestad.
Determine as quedas de tensão no resistor e no capacitor do circuito a seguir usando
a regra do divisor de tensão:
Figura 36 – Circuito RC série (Adaptado de [1])
Solução:
Aplicando a regra do divisor de tensão:
VC = ZCE
ZT
= (4Ω 6 −90
o) (100 V 6 0o)
4Ω 6 −90o +3Ω 6 0o =
400 6 −90o
3− j 4
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 43
= 400 6 −90
o
5 6 −53,13o = 80 V 6 −36,84
o
VR = ZRE
ZT
= (3Ω 6 0
o) (100 V 6 0o)
5 6 −53,13o =
300 6 0o
5 6 −53,13o
= 60 V 6 53,13o
3.6 Admitância e Susceptância
Nossa abordagem parte para circuitos de corrente alternada em paralelo, e novamente,
os métodos de análise serão semelhantes aos de circuitos em corrente contínua. Em
circuitos CC, a condutância (G) era definida como 1R . De forma análoga, definimos a
admitância (Y) como sendo 1Z , medida em siemens (S). Podemos dizer que a admitância
é medida de quanto um circuito permite a passagem de corrente. Dessa forma, a admi-
tância total de um circuito será a soma de todas as admitâncias. Assim, a impedância
total de um circuito ZT é igual a
1
YT
.
YT = Y1+Y2+Y3+ ...+YN (3.10)
ZT = 1
YT
(3.11)
Dessa forma:
1
ZT
= 1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
+ ...+ 1
ZN
(3.12)
Figura 37 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1])
Podemos manipular essas equações a fim de encontrar a resistência equivalente de
duas impedâncias em paralelo, de forma análoga aos circuitos CC:
ZT = Z1Z2
Z1+Z2
(3.13)
Para três impedâncias em paralelo:
ZT = Z1Z2Z3
Z1+Z2+Z3
(3.14)
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 44
Definimos a admitância da resistência YR como:
YR = 1
ZR
= 1
R 6 0o
=G 6 0o (3.15)
A susceptância (B) é descrita como sendo o inverso da reatância ( 1X ), cuja a medida
em siemens, indica o quanto um circuito é suscetível a passagem de corrente.
Para o indutor temos:
YL = 1
ZL
= 1
XL 6 90o
= 1
XL
6 −90o (3.16)
Definindo:
BL = 1
XL
(3.17)
Desse modo:
YL =BL 6 −90o (3.18)
Para o capacitor temos:
YC = 1
ZC
= 1
XC 6 −90o
= 1
XC
6 90o (3.19)
Definindo:
BC = 1
XC
(3.20)
Desse modo:
YC =BC 6 90o (3.21)
Nos circuitos CA em paralelo, podemos definir o diagrama de admitâncias usando
as três admitâncias citadas acima, como mostra a figura a seguir.
Figura 38 – Diagrama de admitâncias (Adaptado de [1])
Como é possível observar, a condutância está no eixo real positivo, enquanto as
susceptâncias se encontram opostas no eixo imaginário.
Exemplo 3.6
Exemplo retirado do Boylestad.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 45
Para o circuito a seguir achar as admitâncias YR e YL , a impedância de entrada e o
diagrama de admitâncias.
Figura 39 – Circuito CA em paralelo (Adaptado de [1])
Solução:
YR =G 6 0o = 1
R 6 0o
= 1
20Ω 6 0o
= 0,05 S 6 0o = 0,05 S+ j 0
YL =BL 6 −90o = 1
XL 6 −90o
= 1
10Ω 6 90o
= 0,1 S 6 −90o = 0− j 0,1 S
A impedância de entrada será o recíproco de YT :
YT = YR +YL = (0,05 S+ j 0)+ (0− j 0,1 S)= 0,05 S− j 0,1 S =G− jBL
ZT = 1
YT
= 1
0,05 S− j 0,1 S =
1
0,112 S 6 −63,43o = 8,93Ω 6 −63,43
o
Ou podemos usar ainda:
ZT = ZRZL
ZR +ZL
= (20Ω 6 0
o)(10Ω 6 90o)
20Ω+ j 10Ω
= 200Ω 6 90
o
22,361 6 26,57o
= 8,93Ω 6 63,43o
= 4,00Ω+ j 7,95Ω=RT + j XLT
Figura 40 – Diagrama de admitâncias do circuito (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 46
3.7 Complexo conjugado
Nas relações inversas YT = 1ZT ou ZT =
1
YT
, muitas vezes é necessário dividir 1 por um
numero complexo que tem parte real e imaginária. Sendo necessário multiplicar o
numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, como exemplificado a
seguir:
YT = 1
ZT
=
(
1
4Ω+ j 6Ω
)(
4Ω− j 6Ω
4Ω− j 6Ω
)
= 4− j 6
42+62
Assim:
YT = 4
53
S− j 6
52
S
Não havendo necessidade dessa exaustiva manipulação, podemos usar uma fórmula
geral para efetuar tal cálculo:
1
a1± jb1
= a1
a21+ jb21
∓ j b1
a21+ jb21
(3.22)
3.8 Regra do divisor de corrente
Podemos novamente utilizar os conhecimentos de análise de circuitos CC para nosso
estudo em corrente alternada. A regra do divisor de corrente tem o mesmo formato,
dessa forma, para duas impedâncias Z1 e Z2 em paralelo, podemos encontrar a corrente
em cada ramo da seguinte forma:
I1 = Z2IT
Z1+Z2
e I2 = Z1IT
Z1+Z2
(3.23)
Exemplo 3.8
Exemplo retirado do Boylestad.
Determine as correntes indicadas no circuito a seguir:
Figura 41 – Circuito RL paralelo (Adaptado de [1])
Solução:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 47
Aplicando a regra do divisor de corrente:
IR = ZL IT
ZR +ZL
= (4Ω 6 90
o)(20 A 6 0o)
3Ω 6 0o +4Ω 6 90o =
80 A 6 90o
5 6 53,13o
= 16 A 6 36,87o
IL = ZR IT
ZR +ZL
= (3Ω 6 0
o)(20 A 6 0o)
5 6 53,13o
= 60 A 6 0
o
5 6 53,13o
= 12 A 6 −53,13o
Exemplo 3.8.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Determine as correntes em cada ramo do circuito a seguir:
Figura 42 – Circuito de associação mista (Adaptado de [1])
Solução:
Aplicando a regra do divisor de corrente:
IR−L = ZC IT
ZC +ZR−L
= (2Ω 6 −90
o)(5 A 6 30o)
j2Ω+1Ω+ j8Ω =
10 A 6 −60o
1+ j6
= 10 A 6 −60
o
6,083 6 80,54o
= 1,64 A 6 −140,54o
IC = ZR−L IT
ZC +ZR−L
= (1Ω+ j8Ω)(5 A 6 30
o)
6,083 6 80,54o
= (8,06 6 82,87
o)(5 A 6 30o)
6,083 6 80,54o
= 40,30 A 6 112,87
o
6,083 6 80,54o
= 6,63 A 6 32,33o
3.9 Configuração em série-paralelo
Para circuitos com elementos em série e paralelo, os métodos matemáticos aplicados
serão os mesmos vistos anteriormente, contudo, alguns passos como associar as im-
pedâncias dos ramos para posteriormente fazer a associação total do circuito acaba
facilitando a resolução, isso se torna mais compreensível com os exemplos a seguir.
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 48
Exemplo 3.9
Exemplo retirado do Boylestad.
Encontre as tensões e correntes indicadas no circuito a seguir:
Figura 43 – Circuito em série-paralelo (Adaptado de [1])
Devemos redesenhar o circuito associando as impedâncias, dessa forma:
Figura 44 – Impedâncias representadas em blocos (Adaptado de [1])
Assim, devemos calcular cada impedância independentemente:
Z1 =R 6 0o = 1Ω 6 0o
Z2 = ZC‖ZL = (XC
6 −90o)(XL 6 90o)
− j XC + j XL
= (2Ω 6 −90
o)(3Ω 6 90o)
− j 2Ω+ j 3Ω =
6Ω 6 0o
j 1
= 6Ω 6 0
o
1 6 90o
= 6Ω 6 −90o
Dessa forma:
ZT = Z1+Z2 = 1Ω− j 6Ω= 6,08Ω 6 80,54o
Podemos encontrar IS da seguinte forma:Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 49
IS = E
ZT
= 120 V 6 0
o
6,08Ω 6 80,54o
= 19,74 A 6 80,54o
Tendo IS podemos encontrar as tensões VR e VC :
VR = ISZ1 = (19,74 A 6 80,54o) (1Ω 6 0o)
= 19,74 V 6 80,54o
VC = ISZ1 = (19,74 A 6 80,54o) (6Ω 6 −90o)
= 118,44 V 6 9,46o
E como agora temos VC , podemos encontrar IC :
IC = VC
ZC
= 118,44 V 6 −9,46
o
2Ω 6 −90o = 59,22 A 6 80,54
o
3.10 Métodos de análise de circuitos CA
Quando temos duas ou mais fontes que não estão dispostas em série ou paralelo, as
análises em CA estudas até aqui não são aplicáveis, dessa forma, devemos recorrer aos
métodos de análise de malhas ou de nós estudas em circuitos CC, fazendo as alterações
necessárias.
3.10.1 Fontes independentes e fontes dependentes
Até então, todas as fontes vistas eram independentes, podemos definir uma fonte
independente quando sua magnitude independe do restante do circuito, mantendo-se
sempre a mesma independente dos casos.
Figura 45 – Fontes independentes (Adaptado de [1])
Podemos definir uma fonte dependente aquela cujas as características dependem
de uma corrente ou tensão do circuito que está inserida.
Figura 46 – Fontes dependentes (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 50
Sendo K uma constante que multiplica a amplitude da fonte.
Figura 47 – Representação alternativa de fontes dependentes (Adaptado de [1])
3.10.2 Conversão de fontes
Muitas vezes, torna-se necessário converter uma fonte de tensão em fonte de corrente,
ou vice-versa. Os métodos de conversão serão semelhantes aos vistos em circuitos CC,
contudo, agora devemos nos atentar aos cálculos fasoriais.
Figura 48 – Conversão de fontes (Adaptado de [1])
Exemplo 3.10
Exemplo retirado do Boylestad.
Converta a fonte de tensão a seguir em uma fonte de corrente:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 51
Figura 49 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1])
I = E
Z
= 100 V 6 0
o
5Ω 6 53,13o
= 20 A 6 −53,13o
Exemplo 3.10.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Converta a fonte de corrente vista a seguir em uma fonte de tensão:
Figura 50 – Exemplo de conversão de fontes (Adaptado de [1])
Z = ZCZL
ZC +ZL
= (XC 6 −90
o)(XL 6 90o)
− j XC + j XL
= (4Ω 6 −90
o)(6Ω 6 90o)
− j 4Ω+ j 6Ω =
24Ω 6 0o
2 6 90o
= 12Ω 6 −90o
E = I Z = (10 A 6 60o)(12Ω 6 −90o)= 120 V 6 −30o
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 52
3.10.3 Análise de malhas em circuitos CA
Fontes de tensão independentes
Para a análise de malhas, usaremos a lei de Kirchhoff e os mesmos métodos es-
tudados em circuitos CC, com a substituição da resistência pela impedância e da
condutância pela admitância. Os passos para a resolução de circuitos por análise de
malhas serão apresentados no exemplo a seguir.
Exemplo 3.10.3
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre a corrente I1 do circuito a seguir:
Figura 51 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Figura 52 – Circuito com impedâncias em bloco (Adaptado de [1])
Definindo as impedâncias:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 53
Z1 =+ j XL =+ j 2Ω
Z2 =R = 4Ω
Z3 =− j XC =− j 1Ω
E1 = 2 V 6 0o
E2 = 6 V 6 0o
Equações das malhas:
+E1− I1Z1−Z2(I1− I2)= 0
−Z2(I1− I2)− I2Z3−E2 = 0
Podemos reescrever da seguinte forma:
I1(Z1+Z2)− I2Z2 = E1
−I1Z2 − I2(Z2+Z3)=−E2
Resolvendo por Cramer:
I1 =
∣∣∣∣ E1 −Z2−E2 Z2+Z3
∣∣∣∣∣∣∣∣ Z1+Z2 −Z2−Z2 Z2+Z3
∣∣∣∣
= E1(Z2+Z3)−E2(Z2)
(Z1+Z2)(Z2+Z3)− (Z2)2
= (E1−E2)Z2+E1Z3
Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
Substituindo os valores na expressão de I1
I1 = (2 V −6 V )(4Ω)+ (2 V )(− j 1Ω)
( j 2Ω)(4Ω)+ ( j 2Ω)(− j 2Ω)(4Ω)(− j 2Ω)
= −16− j 2Ω
j 8− j 2 2− j 4 =
−16− j 2
2+ j 4 =
16,12 A 6 −172,87o
4,47 6 63,43o
= 3,61 A 6 −236,30o
Fontes de tensão dependentes
Para esse caso, devemos fazer os mesmos passos que para o caso anterior, contudo,
ao aplicar a lei de Kirchhoff, deve-se substituir a grandeza dependente por sua expres-
são para garantir que as incógnitas estejam limitadas somente às correntes da malha
escolhida. O exemplo a seguir torna o raciocínio mais claro.
Exemplo 3.10.3.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre as correntes do circuito a seguir:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 54
Figura 53 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Equacionando o sistema:
+E1− I1R1−R2(I1− I2)= 0
R2(I1− I2)+µVX I2R3 = 0
Substituindo:
VX = (I1− I2)R2
Como resultado, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:
E1− I1R1−R2(I1− I2)= 0
R2(I1− I2)+µR2(I1− I2I2R3 = 0
Fontes de corrente independentes
Neste caso, trate cada fonte independente de corrente como um circuito aberto.
Escreva as equações de malha considerando as correntes nas malhas identificadas no
circuito, e substitua a grandeza. O exemplo a seguir torna mais clara a compreensão.
Exemplo 3.10.3.2
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre as correntes do circuito a seguir:
Figura 54 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 55
Equacionando:
E1− I1Z1+E2− I2Z2 = 0
Com:
I1+ I = I2
O resultado é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
Fontes de corrente dependentes
Por fim, para o último caso, a análise é muito semelhante ao caso anterior, contudo,
agora a expressão da fonte dependente deverá será escrita em função das correntes de
malhas. O exemplo a seguir torna mais fácil a compreensão.
Exemplo 3.10.3.3
Exemplo retirado do Boylestad.
Utilizando o método de análise de malhas encontre as correntes do circuito a seguir:
Figura 55 – Circuito misto (Adaptado de [1])
Tratando a fonte de corrente como circuito aberto, podemos equacionar:
Equacionando:
E1− I1Z1− I2Z2+E2 = 0
com:
kI = I1− I2
Agora, I = I1, de forma que:
kI = I1− I2 ou I2 = I1(1−k)
Como resultado, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas.
3.11 Exercícios
1-Para o circuito a seguir achar as admitâncias YR , YC e YL , a impedância de entrada e o
diagrama de admitâncias:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 56
Figura 56 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1])
2-Determine as correntes indicadas no circuito a seguir através da admitância total:
Figura 57 – Circuito RLC paralelo (Adaptado de [1])
3-No circuito série paralelo a seguir, determine a tensão VC e a corrente IS :
Figura 58 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1])
4-Determine a corrente I e a tensão V:
Capítulo 3. Circuitos de correntes alternadas em série e em paralelo 57
Figura 59 – Circuito CA série-paralelo (Adaptado de [1])
Dica: converter o circuito para algo do tipo:
Figura 60 – Circuito CA com impedâncias em bloco (Adaptado de [1])
CAPÍTULO 4
Métodos de análise e tópicos
selecionados em circuitos CA
4.1 Introdução
Este capítulo visa mostrar a diferença no cálculo da potência em Corrente Contínua(CC)
e Corrente Alternada(CA), dando ênfase nas potências ativas, reativas e aparente.
4.2 Equação Geral
O Cálculo da potência é dado pela seguinte equação:
p = vi (4.1)
assim, analisando a corrente e a tensão como sendo senoidais, temos:
v(t )=Vmsen(ωt +θ)ei (t )= Imsen(ωt )
assim, temos que a Equação 4.1 pode ser reescrita da seguinte forma:
p =Vm Imsen(ωt +θ)sen(ωt ) (4.2)
Como podemos ver esta equação garante o calculo da potência para qualquer tipo
de entrada senoidal.
4.3 Circuitos Resistivos
Como em um circuitos resistivo, onde há apenas componentes com ângulo de impe-
dância = 0º, a tensão e a corrente estão em fase, logo temos p=vi e o seguinte gráfico.
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitosCA 59
Figura 61 – Diagrama de um circuito resistivo (Adaptado de [1])
Figura 62 – Curva de Potência (Adaptado de [1])
Podemos notar no gráfico acima uma semelhança com os gráficos de corrente
contínua, ou seja, toda a potência fornecida a um resistor é dissipada em forma de calor.
A potência que retorna a fonte está abaixo do eixo, neste caso é 0.
4.4 Potência Aparente
4.4.1 O que é Potência Aparente(S)?
A potência total fornecida por uma fonte senoidal. A mesma sempre será maior ou igual
a Potência Ativa(P) pois é dada pela seguinte equação:
Saparente = Pati va +Qreati va (4.3)
Como visto nos circuitos resistivos, a Potência Reativa (Q) é 0.
A potência ativa é a parte efetiva que é dissipada pela carga como visto no circuito
resistivo.
A potência reativa é uma parte da energia utilizada para manter o campo elétrico.
A potência aparente(S) é dada também pelo produto da tensão pela corrente e sua
unidade é o volt-ampere, sua abreviação é VA. Então temos:
S =V I (vol t −ampere,V A)
e como
V = I Z e I = V
Z
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 60
Então
S = I 2Z (V A) e S = V
2
Z
(V A)
A potência ativa fornecida pode ser cálculada pela seguinte equação
P =V I cos (θ) (4.4)
se S= VI, então
P = S cos (θ)
4.5 Circuitos Indutivos e Potência Reativa
Nos circuitos puramente indutivos a tensão V está adiantada 90º em relação a corrente
I, como mostrado no desenho a seguir.
Figura 63 – Gráfico do circuito puramente indutivo (Adaptado de [1])
Temos um exemplo de circuito indutivo a seguir:
Figura 64 – Circuito Indutivo (Adaptado de [1])
Pode-se ver na Figura 63 que a parte acima do eixo x é igual a parte de baixo. Assim
vemos que toda potência fornecida ao sistema retorna para a fonte pelo indutor. No
caso de um indutor puro/ideal não existe perda no processo. Na maioria dos casos
a potência reativa(Q) é dada pela equação e sua unidade de medida é o volt-ampere
reativo(VAR)
Q =V I sen (θ) (V AR) (4.5)
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 61
Onde θ é o ângulo de fase entre V e I. A partir da lei de Ohm, temos
QL = I 2XL (V AR) e QL = V
2
XL
(V AR)
.
4.6 Circuitos Capacitivos
No circuito puramente capacitivo da figura a seguir, temos que a corrente (i) está
adiantada 90º em relação a tensão (v).
Figura 65 – Circuito C (Adaptado de [1])
Assim, temos a seguinte curva de potência puramente capacitiva.
Figura 66 – Curva de Potências (Adaptado de [1])
Da mesma forma que em um circuito puramente indutivo, no capacitivo temos que
a parte acima do eixo x é igual a parte inferior, assim pode-se ver que toda a energia
recebida da fonte retorna para ela, pois em um capacitor ideal não há perdas de energia
durante o processo. Para o cálculo da potencia reativa tem-se:
QC =V I (4.6)
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 62
QC = I 2XC e QC = V
2
XC
4.7 O Triângulo de Potências
As potências ativa, reativa e aparente estão relacionadas no domínio vetorial da seguinte
forma:
S = P +Q (4.7)
com
P = P 6 0°QL =QL 6 90°QC =QC 6 −90°
Assim temos uma grandeza fasorial e para o cálculo da potência em um sistema indutivo
teremos:
S = P + jQL (4.8)
Temos o seguinte esquema fasorial
Figura 67 – Triângulo de Potência Indutiva (Adaptado de [1])
O ângulo de 90º entre P e Q nos possibilida aplicar pitágoras para o cálculo. No caso
de um sistema capacitivo teremos:
S = P − jQC
temos o seguinte diagrama de potência:
Figura 68 – Triângulo de Potência Capacitiva (Adaptado de [1])
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 63
As cargas capacitivas e indutivas possuem o mesmo tipo de potência para manter o
campo elétrico, para encontrar a potência reativa total basta fazer a soma algébrica das
duas.
4.7.1 Exemplo: Circuito RLC
Temos o seguinte circuito
Figura 69 – Circuito RLC (Adaptado de [1])
Deve-se encontrar a potência reativa total do circuito. Como temos duas grandezas
que podem ser somadas algebricamente por estarem com 180º entre si. Logo teremos:
XL = 30Ω 6 90o
XC = 50Ω 6 −90o
j Z = 50−30= 20Ω 6 −90°
ZT = (30− j20)Ω
ZT = 36Ω 6 −33,7°
Assim podemos ver que o circuito equivalente pode ser montador por um capacitor de
20Ω de impedância e um resistor de 30Ω. Então teremos um circuito capacitivo. Para o
cálculo da potência reativa iremos calcular a corrente que passa por este circuito.
IT = V
ZT
= 12 6 0°
36 6 −33,7° = 333mA 6 33,7°
Aplicando a equação
QT =V Isen(θ) (4.9)
Temos então:
QT = 12 0,334 sen(33,7)= 2,223V Ar
PT = 12 0,334 cos(33,7)= 3,334W
ST =
√
2,2232+3,3342 = 4,007V A
Temos que a potência reativa totalQT =2,223 VAr
4.8 Fator de Potência
É a relação entre a potência ativa e a potência total de um sistema. Calculando o fator
de potência do exemplo anterior:
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 64
Fp = cos(θ) ou Fp = P
S
Fp = cos(33,7)= 0,832
Fp = 3,334
4,008
= 0,832
Porque é importante a determinação do Fator de Potência?
Pois a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) estabelece que o fator de
potência nas unidades consumidoras deve ser superior a 0,92 capacitivo durante 6
horas da madrugada e 0,92 indutivo durante as outras 18 horas do dia.
Consequências do fator de potência baixo:
– A instalação trabalha sobrecarregada
– Há queda de tensão e perdas ôhmicas nos alimentadores
Consequências do fator de potência alto:
– Redução de perdas ôhmicas
– Melhora o nível da regulação de tensão
– Possibilidade de instalação de novas máquinas na
mesma instalação
– Melhor aproveitamento de energia
Vimos que o fator de potência está abaixo do desejado. Então faremos a correção do
mesmo.
Para termos o fator de potência igual ou superior a 0,92.
Qual deve ser o ângulo para Fp = 0,92?
Fp = cos(θ)
0,92= cos(θ)
θ = cos−1(0,92)= 23°
Qual deve ser o valor total de Sn?
0,92= 3,334
Sn
Sn = 3,334
0,92
= 3,624 V A
Qual deve ser o valor deQn?
S2 = P2+Q2n
Qn =
√
S2−P2
Qn =
√
3,6242−3,3342 = 1,420
A potência reativa fornecida pelo novo indutor deve ser:
QC =Q−QN
QC = 2,223−1,420= 0,803
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 65
Calculando o indutor que devemos adicionar ao circuito
QL = V
2
XL
XL = V
2
QL
= 12
2
0,803
= 179,3Ω
XL =ωL
L = XL
ω
= 179,3
2pi60
= 475mH
Figura 70 – Fator de potencia corrigido via indutor (Adaptado de [1])
Ao adicionar este indutor teremos o fator de potência = 0,92.
4.9 Análise Nodal
Introdução
Método que fornece as tensões nodais de um circuito, ou seja, a tensão em cada nó
utilizando lei de kirchhoff para corrente.
O número de nós que devemos determinar a tensão utilizando o método é 1 (um) a
menos que o número total de nós no circuito, ou seja teremos (N-1) equações.
Passos a seguir
Primeiro caso: Fontes Independentes
1. Determine o número de nós no circuito;
2. Escolha um nó de referência e rotule cada nó restante com um valor de tensão:
V1, V2, e assim por diante;
3. Aplique a lei de Kirchhoff para correntes a todos os nós, exceto o de referência.
Suponha que todas as correntes desconhecidas saiam do nó cada vez que a lei de
Kirchhoff para as correntes for aplicada a cada nó.
4. Resolva as equações resultantes para obter as tensões dos nós
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 66
Passo 1 e 2
Figura 71 – Nós de referência (Adaptado de [1])
Passo 3: Aplicando LKC no nó V1.
Figura 72 – Correntes no primeiro nó (Adaptado de [1])
∑
Ii =
∑
I0
0= I1+ I2+ I3
V1−E
Z1
+ V1
Z2
+ V1−V2
Z3
Reagrupando os termos, temos:
V1
[
1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
]
−V2
[
1
Z3
]
= E1
Z1
Aplicando no nó V2
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionadosem circuitos CA 67
Figura 73 – Correntes no segundo nó (Adaptado de [1])
0= I3+ I4+ I
V2−V1
Z3
+ V2
Z4
+ I = 0
V2
[
1
Z3
+ 1
Z4
]
−V1
[
1
Z3
]
=−I
Agrupando as equações:
V1
[
1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
]
−V2
[
1
Z3
]
= E1
Z1
V1
[
1
Z3
]
−V2
[
1
Z3
+ 1
Z4
]
= I
Resolvendo o sistema:
1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
= 1
0,5k
+ 1
j10k
+ 1
2k
= 2,5mS 6 −2,29°
1
Z3
+ 1
Z4
= 1
2k
+ 1− j5k = 0,539mS 6 21,8°
Substituindo nas equações:
V1[2,5mS 6 −2,29°]−V2[0,5mS 6 0°]= 24mA 6 0°
V1[0,5mS 6 0°] −V2[0,539mS 6 21,8°]= 4mA 6 0°
Resolvendo o sistema de equações por Krammer:
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 68
V1 =
∣∣∣∣ 24mA 6 0° −0,5mS 6 0°4mA 6 0° −0,539mS 6 21,8°
∣∣∣∣∣∣∣∣ 2,5mS 6 −2,29° −0,5mS 6 0°0,5mS 6 0° −0,539mS 6 21,8°
∣∣∣∣
V1 = −12,94µV
6 21,80°+2µV 6 0°
−1,348µ6 19,51°+0,25µ6 0°
V1 = −(12,01+ j4,81)µV +2µV−(1,271+ j0,45)µ+0,25µ
V1 = −10,01− j4,81−1,021− j0,45 =
11,106V 6 −154,33°
1,116 6 −156,21°
V1 = 9,91V 6 1,88°
2º Caso: Fontes dependentes:
Trate cada fonte de corrente dependente como uma fonte independente quando aplicar
a lei de Kirchhoff para correntes em cada nó do sistema. No entanto, uma vez que você
tenha as equações, substitua a grandeza controlada pela sua expressão para assegurar
que as incógnitas estejam restritas às tensões nodais escolhidas
Figura 74 – Circuito com fonte dependente (Adaptado de [1])
No nó V1
I = I1+ I2
V1
Z1
+ V1−V2
Z2
− I = 0
e
V1
[
1
Z1
+ 1
Z2
]
−V2
[
1
Z2
]
= I
No nó V2
I2+ I3+kI = 0
V2−V1
Z2
+ V2
Z3
+kV1−V2
Z2
= 0
V1
[
1−k
Z2
]
−V2
[
1−k
Z2
+ 1
Z3
]
= 0
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 69
3º Caso: Fonte Independente entre Nós.
As Fontes independentes entre nós são tratadas como curto circuito.
Figura 75 – Fonte independente entre Nós (Adaptado de [1])
Temos as seguintes equações:
I1 = V1
Z1
+ V2
Z2
+ I2
V2−V1 = E
4º Caso: Fonte Dependente entre Nós
O mesmo que para o caso de fonte independente, exceto que a fonte dependente deve
ser definida em termos das tensões nodais escolhidas;
Figura 76 – Fonte dependente entre Nós (Adaptado de [1])
Nó V1
I = I1+ I2
V1
Z1
+ V1−V2
Z2
− I = 0
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 70
Nó V2
V2 = µVx = µ[V1−V2]
V2 = µ
1+µV1
4.10 Conversão Delta-estrela
A conversão Delta-Estrela é semelhante a vista em corrente continua, contudo é utili-
zado fasores para os cálculos em corrente alternada. Na conversão Delta para Estrela
temos:
Figura 77 – Parâmetros para conversão (Adaptado de [1])
Z1 = ZBZC
ZA+ZB +ZC
Z2 = ZAZC
ZA+ZB +ZC
Z3 = ZAZB
ZA+ZB +ZC
Para conversão Estrela-Delta
ZA = Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
Z1
ZB = Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
Z2
ZC = Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
Z3
Há também as configurações pi e T que utilizam as mesmas fórmulas acima.
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 71
Figura 78 – Modelo T (Adaptado de [1])
Figura 79 – ModeloΠ (Adaptado de [1])
4.11 Teorema da superposição
Este teorema nos permite analisar um circuito com várias fontes, uma de cada vez e
anulando as demais. Para isto devemos substituir as fontes de tensão por um curto-
circuito e as fontes de corrente devem ser substituídas por um circuito aberto.
Fontes Independentes
Exemplo retirado do Boylestad Devemos encontrar a corrente na reatância xL2
Figura 80 – Exemplo (Adaptado de [1])
Considerando o efeito da fonte E1 e anulando da fonte E2 temos:
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 72
Figura 81 – Exemplo (Adaptado de [1])
Z1 = j4Ω
Z2 = j4Ω
Z3 =− j3Ω
ZT = (Z2||3+Z1)
Z2||3 = Z2Z3
Z2+Z3
= ( j4Ω)(− j3Ω)
j4Ω− j3Ω =
12Ω
j
=− j12Ω= 12Ω 6 −90°
ZT = (Z2||3+Z1)= (− j12Ω+ j4Ω)= 8Ω 6 −90°
IS1 = 1
0V 6 0°
8Ω 6 −90° = 1,25A 6 90°
A Corrente em XL2 pode ser obtida através de um divisor de correntes .
I ′ = (− j3Ω)( j1,25A)
j4Ω− j3Ω =
3,75A
j1
= 3,75A 6 −90°
Agora a analise feita pela segunda fonte e anulando a primeira.
Figura 82 – Exemplo (Adaptado de [1])
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 73
Z1||2 = Z1
N
= j4Ω
2
= j2Ω
IS2 =
E2
Z1||2+Z3
= 5V 6 0°
j2Ω− j3Ω =
5V 6 0°
1Ω 6 −90° = 5A 6 90°
A corrente total vinda das fontes E1eE2
I ′′ = IS2
2
= 2,5A 6 90°
I = I ′− I ′′ = 3,75 6 −90°−2,5A 6 90°
I =− j3,25A− j2,5A =− j6,25A = 6,25A 6 −90°
4.12 Teorema de Thévenin
Introdução
Qualquer circuito CA de 2 terminais pode ser substituído por um circuito equivalente
consistindo de uma fonte de tensão e uma impedância em série. Como já visto para
corrente contínua agora teremos exemplos para corrente alternada.
Figura 83 – Circuito de Thévenin (Adaptado de [1])
Passos Necessários
1. Remova a parte do circuito para a qual o circuito equivalente de Thévenin será
determinado.
2. Marcar os dois terminais do circuito resultante
3. Calcule ZTh anulando primeiramente todas as contes de tensão e de corrente
(substituindo-as por curto circuito e circuitos abertos, respectivamente) e então
determinando a impedância resultante entre os dois terminais assinalados.
4. Calcule ETh recolocando as fontes de tensão e de corrente, assim calculando a
tensão entre os terminais marcados.
5. Desenhe o circuito equivalente de Thévenin com a parte do circuito previamente
removida colocada entre os terminais do circuito equivalente de Thévenin.
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 74
4.12.1 Exemplo
Exemplo retirado do Boylestad
Obtenha o equivalente de Thévenin do circuito abaixo.
Figura 84 – Circuito completo (Adaptado de [1])
Passo 1 e 2
Podemos redesenhar o circuito utilizando blocos de impedância onde:
Z1= 6Ω+ j8Ω
Z2= 3Ω− j4Ω
Z3= 5Ω
Figura 85 – Representação com blocos de impedância (Adaptado de [1])
Agora curto circuitando a fonte 1 para calcular a impedância equivalente de Théve-
nin
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 75
Figura 86 – Fonte 1 curto circuitada (Adaptado de [1])
Passo 3
ZTh = Z1||2+Z3
ZTh = j5Ω+
(10Ω 6 53,13°)(5Ω 6 −53,13°)
(6Ω+ j8Ω)+ (3Ω− j4Ω)
ZTh = j5+
50 6 0°
9+ j4 = j5+
50 6 0°
9,85 6 23,96°
ZTh = j5+5,08 6 −2396°= j5+4,64− j2,06
ZTh = 4,64Ω+ j2,94Ω= 5,49Ω 6 32,36°
Passo 4
Figura 87 – Fonte no circuito (Adaptado de [1])
ETh =
Z2E
Z2+Z1
(Divi sor de tensa˜o)
ETh =
(5Ω 6 −53,33°)(10V 6 0°
9,58Ω 6 23,96°
ETh =
50V 6 −53,13
9,85Ω 6 23,96°
= 5,08V 6 −77,09°
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 76
Trocando o circuito pela fonte e impedância de thévenin
Figura 88 – Circuito equivalente de Thévenin (Adaptado de [1])
4.13 Teorema de Norton
Introdução
Qualquer rede linear CA de 2 terminais pode ser substituída por um circuito equivalente
consistindo de uma fonte de corrente e uma impedância em paralelo.
Passos Necessários
1. Remova a parte do circuito para a qual o circuito equivalente de Norton será
obtido.
2. Marque os dois terminais do circuito resultante.
3. Calcule ZN , anulando primeiramente todas as fontes de tensão e de corrente
(substituindo-as por curtos- -circuitos e circuitos abertos, respectivamente) e
obtendo em seguida a impedância resultante entre os dois terminais marcados.
4. Calcule IN primeiro, recolocando as fontes de tensão e de corrente no circuito e
depois calculando a corrente de curto-circuito entre os terminais assinalados.
5. Desenhe o circuito equivalente de Norton com a parte do circuito previamente
removida colocada entre os terminais do circuito equivalente de Norton.
4.13.1 Exemplo
Exemplo retirado do Boylestad
Obtenha o circuito equivalentede Norton para o circuito externo à reatância capacitiva
de 7Ω
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 77
Figura 89 – Exemplo (Adaptado de [1])
Passos 1, 2, 3 e redesenhando como blocos de impedâncias
Figura 90 – Circuito para obtenção da impedância de Norton (Adaptado de [1])
Z1 = 2Ω− j4Ω
Z2 = 1Ω
Z3− j5Ω
Calculando a ZN
ZN = Z3(Z1+Z2)
Z3+ (Z1+Z2)
Z1+Z2 = 3Ω− j4Ω+1Ω= 5Ω 6 −53,13°
ZN = (5Ω
6 90°)(5Ω 6 −53,13°)
j5Ω+3Ω− j4Ω =
25Ω 6 36,87°
3Ω+ j1Ω
ZN = 25Ω
6 36,87°
3,16Ω 6 18,43°
= 7,91Ω 6 18,44°= 7,5Ω+2,5Ω
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 78
Passo 4
Figura 91 – Circuito para obtenção da corrente de Norton (Adaptado de [1])
IN = Z1I
Z1+Z2
(divi sor de cor rente)
IN = (2Ω− J4Ω)(3A)
3Ω− j4Ω =
IN = 6A− j12A
5Ω 6 −53,13° =
13,4A 6 −63,43°
5Ω 6 −53,13° = 2,68A 6 −10,3°
Passo 5
Figura 92 – Circuito equivalente de Norton (Adaptado de [1])
4.14 Teorema da Máxima Transferência de Potência
Introdução
A potência fornecida por uma fonte a uma carga é máxima quando a impedância da
carga é o conjugado da impedância de Thévenin entre os terminais da fonte.
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 79
Para que a máxima transferência de potência aconteça devemos ter um circuito pura-
mente resistivo. Para isso acontecer
ZL = ZTh e θL =−θThz (4.10)
ou na fórmula retangular
RL =RTh e ± j Xcar ga =∓ j XTh (4.11)
Essas condições tornam a impedância totalZT do circuito puramente resistivo.
ZT = (R± j X )+ (R∓ j X ) e ZT = 2R (4.12)
Figura 93 – Circuito puramente resistivo (Adaptado de [1])
Por se tornar puramente resistivo, temos que o Fator de Potência será 1.
Assim o módulo da corrente I será
I = Eth
ZT
= Eth
2R
(4.13)
E a potência máxima fornecida a carga
Pmax = I 2R =
(
ETh
2R
)2
R (4.14)
Pmax = RTh
4R
(4.15)
4.14.1 Exemplo
Encontre a impedância ZL para que occora a máxima transferência de potência e o
valor desta potência:
Capítulo 4. Métodos de análise e tópicos selecionados em circuitos CA 80
Figura 94 – Circuito exemplo (Adaptado de [1])
Encontrando o equivalente de Thévenin
Figura 95 – Representação com blocos de impedância (Adaptado de [1])
Z1 = 6Ω− j8Ω= 10Ω 6 −53,13° Z2 = j8Ω
ZTh =
Z1Z2
Z1+Z2
= (10Ω 6 −53,13°)(8Ω 6 90°)
6Ω− j8Ω+ j8Ω
ZTh =
80Ω 6 36,87°
6 6 0°
= 13,33Ω 6 36,87°= 10,66Ω+ j8Ω
ZL = 13,3ω6 −36,87°= 10,66Ω− j8Ω
ETh =
(8Ω 6 90°)(9V 6 0°)
j8Ω+6Ω− j8Ω =
72V 6 90°
6 6 0°
ETh = 12V 6 90°
Pmax = (ETh)
2
4R
= (12V )
2
4(10,66Ω)
= 144
42,64
= 3,38W
CAPÍTULO 5
Sistemas Polifásicos
5.1 Introdução
O sistema trifásico é uma forma comum de gerar, transmitir e distribuir energia elétrica
em corrente alternada.
Os geradores trifásicos são muito usados em indústrias pois têm vantagens em rela-
ção aos sistemas monofásicos, como por exemplo, um custo menor na fabricação e
manutenção de linhas. O sistema de transmissão em trifásico permite que a tensão
proveniente dos geradores alcance as unidades de consumo a longas distâncias.
5.2 Geradores Trifásicos
Os geradores elétricos de grande porte são alimentados por três fases para suportar o seu
funcionamento e garantir que a energia seja transmitida de uma forma mais eficiente.
Eles têm, por característica três ondas monofásicas que trabalham em conjunto.
Dessa forma, o gerador usa três enrolamentos posicionados 120° um do outro em torno
do estator. Já que os enrolamentos possuem o mesmo número de espiras e giram com a
mesma velocidade angular, então produzem tensão com a mesma amplitude.
Figura 96 – Gerador trifásico e suas tensões no enrolamento (Adaptado de [1])
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 82
eAN = EmAN sen(ωt )
eBN = EmBN sen(ωt −120o)
eCN = EmCN sen(ωt +120o)
Figura 97 – Fases e seus ângulos (Adaptado de [1])
Pode-se demonstrar que a soma dos 3 fasores das tensões será zero através da soma
de vetores:
EAN +EBN +ECN = 0 (5.1)
5.3 Sequência de Fase
Os sistemas polifásicos possuem uma ordem no diagrama fasorial por onde as tensões
passam. Essa ordem é chamada sequência de fase. Esta faz o diagrama girar no sentido
anti-horário em relação a sua ordem.
Figura 98 – Diagrama fasorial (Adaptado de [1])
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 83
Ou seja, a sequência de fase é determinada pela ordem em que os fasores das ten-
sões passam por um ponto fixo quando giramos no sentido anti-horário. Na figura
c vemos que a ordem é ABC. Na prática, por exemplo, a ordem pode definir em que
sentido um motor pode girar.
A sequência também determina as equações e seus ângulos, por exemplo:
ABC
 EAN = EAN
6 0o
EBN = EBN 6 −120o
ECN = ECN 6 +120o
ACB
 EAN = EAN
6 0o
ECN = ECN 6 −120o
EBN = EBN 6 +120o
5.4 Gerador Conectado em Y
5.4.1 Conexão Y-Y
Neste tópico falaremos dos geradores em Y que podem ser conectados a cargas em Y e∆.
A partir disto, também obtemos uma tensão e corrente nestas conexões, são chamadas
de tensão de linha e corrente de linha. Quando um gerador é conectado em Y com uma
carga Y (Y-Y), podemos representar da seguinte forma:
Figura 99 – Gerador e carga conectados em Y (Adaptado de [1])
Por enquanto, estudaremos cargas em equilíbrio:
Z1 = Z2 = Z3 (5.2)
Onde a corrente IN é nula.
Analisando o circuito é possível afirmar que as correntes de fase do gerador são iguais
às correntes de linha, que são iguais às correntes de fase da carga:
Iφg = IL = IφL (5.3)
Como o gerador e a carga possuem o neutro em comum, os deixando em pararelo:
Eφ =Vφ (5.4)
E relação entre a tensão de linha e a tensão de fase pode ser dada por:
VL =
p
3 Vφ (5.5)
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 84
Exemplo 5.4.1
Exemplo retirado do Boylestad.
Figura 100 – (Adaptado de [1])
A sequência de fase do gerador é ABC
a) Determine os ângulos de fase de θ2 e θ3
b) Determine os módulos das tensões de linha
c) Determine as correntes de linha
Solução:
a) Sabendo que é uma sequência de fase ABC, então θ2 =−120o e θ3 = 120o
b) A tensão de linha é dada por VL =
p
3 Vφ, então:
VL =
p
3∗120= 208 V
c) Se Eφ =Vφ então EAN =Van e EBN =Vbn e ECN =Vcn
Ian = Van
Zan
= 120 6 0
o
3+ j4 =
120 6 0o
5 6 53,13o
= 24 A 6 −53,13o
Ian = Van
Zan
= 120 6 −120
o
5 6 53,13o
= 24 A 6 −173,13o
Ian = Van
Zan
= 120 6 120
o
5 6 53,13o
= 24 A 6 66,87o
Para as correntes de linha sabemos que Iφg = IL = IφL :
IAa = Ian = 24 A 6 −53,13o
IBb = Ibn = 24 A 6 −173,13o
ICc = Icn = 24 A 6 66,87o
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 85
5.4.2 Conexão Y- ∆
Figura 101 – Carga conectada em ∆ (Adaptado de [1])
Mais uma vez, analisaremos circuitos com cargas em equilíbrio. Neste caso não há
presença de neutro. Assim as tensões de fase da carga são iguais às tensões de linha:
EL =Vφ (5.6)
É possível obter a corrente da seguinte maneira:
IL =
p
3 Iφ (5.7)
Existe uma diferença de ângulo de fase entre a corrente de linha e a corrente de fase,
esta diferença é de −30o para a correte de linha.
Exemplo 5.4.2
Figura 102 – (Adaptado de [1])
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 86
a) Determine os ângulos de fase de θ2 e θ3
b) Determine as correntes de cada fase conectada a carga
c) Determine o módulo das correntes de linha
Solução
a) Sabendo que é uma sequência de fase ABC, então θ2 =−120o e θ3 = 120o
b) Sabemos que EL =Vφ, então:
Iab =
Vab
Zab
= 150 6 0
o
6+ j8 =
150 6 0o
10 6 53,13o
= 15 A 6 −53,13o
Ibc =
Vbc
Zbc
= 150 6 −120
o
10 6 53,13o
= 15 A 6 −173,13o
Ica = Vca
Zca
= 150 6 120
o
10 6 53,13o
= 15 A 6 66,87o
c) Temos que IL =
p
3Iφ:
IL =
p
3∗15= 25,95 A
IL
 IAa = 25,95 A
6 −83,13o
IBb = 25,95 A 6 −203,13o
ICc = 25,95 A 6 35,87o
5.5 Gerador Conectado em ∆
Figura 103 – Gerador conectado em ∆ (Adaptadode [1])
Os circuitos com o gerador em ∆ serão analisados de forma semelhante aos circuitos
com gerador conectados em Y. Novamente, ainda são analisados com carga equilibrada.
Analisando somente a figura 6 vemos que EL = Eφg e IL = Iφg
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 87
5.5.1 Conexão ∆−∆
Tensão e corrente são assim obtidas:
EL =Vφ (5.8)
IL =
p
3 Iφ (5.9)
As correntes de linha tem um ângulo de −30o em relação à corrente de fase.
Exemplo 5.5.1
Figura 104 – (Adaptado de [1])
a) Determine os ângulos de fase de θ2 e θ3
b) Determine as correntes de cada fase conectada a carga
c) Determine o módulo das correntes de linha
Solução
a) Sabendo que é uma sequência de fase ABC, então θ2 = 120o e θ3 =−120o
b) Sabemos que EL =Vφ, então:
Iab =
Vab
Zab
= 120 6 0
o
(5 6 0o)(5 6 −90o)
5− j5
= 120 6 0
o
25 6 −90o
7,071 6 −45o
= 120 6 0
o
3,54 6 −45o = 33,9 A 6 45
o
Ibc =
Vbc
Zbc
= 120 6 120
o
3,54 6 −45o = 33,9 A 6 165
o
Ica = Vca
Zca
= 120 6 −120
o
3,54 6 −45o = 33,9 A 6 −75
o
c) Temos que IL =
p
3 Iφ:
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 88
IL =
p
3∗34= 58,82 A
5.5.2 Conexão ∆−Y
Semelhando à conexão Y-Y:
Iφ = IL (5.10)
EL =
p
3 Vφ (5.11)
Exemplo 5.5.2
Figura 105 – (Adaptado de [1])
a)Determine as tensões de cada fase conectada à carga
b)Determine o módulo das tensões de linha
Solução
a) Como IL = Iφ, temos:
Ian = IAa = 2 A 6 0o
Ibn = IBb = 2 A 6 −120o
Icn = ICc = 2 A 6 120o
As tensões de fase são:
Van = Ian Zan = (2 6 0o)(10 6 −53,13o)= 20 V 6 −53,13o
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 89
Vbn = Ibn Zbn = (2 6 −120o)(10 6 −53,13o)= 20 V 6 −173,13o
Vcn = Icn Zcn = (2 6 120o)(10 6 −53,13o)= 20 V 6 −66,87o
b)Como EL =
p
3 Vφ, então:
EL =
p
3∗20= 34,6 V
5.6 Potência
A potência é calculada da mesma forma em ambas das conexões de carga:
Figura 106 – Carga Conectada em Y (Adaptado de [1])
Figura 107 – Carga Conectada em ∆ (Adaptado de [1])
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 90
Para calcular a potência média, ou seja, a potência fornecida por cada fase:
Pφ =Vφ Iφ cosθVφIφ = I
2
φ Rφ =
V 2R
Rφ
(5.12)
E para potência total:
PT = 3 Pφ (5.13)
ou
PT =
p
3 EL IL cosθ
Vφ
Iφ
= 3 I 2L Rφ (5.14)
A potência reativa de cada fase é:
Qφ =Vφ Iφ senθVφIφ = I
2
φ Xφ =
V 2φ
Xφ
(5.15)
Potência reativa total:
QT = 3Qφ (5.16)
QT =
p
3 EL IL senθ
Vφ
Iφ
= 3 I 2L Qφ (5.17)
E a potência aparente é:
Sφ =Vφ Iφ (5.18)
Sendo a total:
ST = 3 Sφ (5.19)
T =
p
3 EL IL (5.20)
O fator de potência pode ser calculado como:
Fp = PT
ST
= cosθVφIφ (5.21)
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 91
Exemplo 5.6.1
Figura 108 – (Adaptado de [1])
a)Determine a potência média para cada fase e a potência média total
b)Determine a potência reativa para cada fase e a potência reativa total
c)Determine a potência aparente para cada fase e a potência aparente total
d)Determine o fator de potência da carga
Solução:
Após feitos os cálculos podemos calcular a potência média e total:
Pφ = I 2φ Rφ = 202∗3= 1200 W
PT = 3 Pφ = 3∗1200= 3600 W
Potência reativa:
Qφ = I 2φ Xφ = 202∗4= 1600 V AR
QT = 3Qφ = 3∗1600= 4800 W
Potência aparente:
Sφ =Vφ Iφ = 100∗20= 2000 V A
ST = 3 Sφ = 3∗2000= 6000 V AR
E o fator de potência:
Fp = PT
ST
= 0,6 atrasado
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 92
Exemplo 5.6.2
Determine os valores de potências média, reativa e aparente. Além disso determine
o fator de potência da carga.
Figura 109 – (Adaptado de [1])
Solução
Considere ∆ e Y separademente. Para o ∆:
Z∆ = 6− j8= 10Ω 6 −53,13o
Iφ = EL
Z∆
= 200
10
= 20 A
PT∆ = 3 I 2φ Rφ = 3∗202∗6= 7200 W
QT∆ = 3 I 2φ Xφ = 3∗202∗8= 9600 V AR (C )
ST∆ = 3 Vφ Iφ = 3∗200∗20= 12000 V A
Para o Y:
ZY = 4+ j3= 5Ω 6 36,87o
Iφ = EL/
p
3
ZY
= 200/
p
3
5
= 23,12 A
PTY = 3 I 2φ Rφ = 3∗23,122∗4= 6414,41 W
QTY = 3 I 2φ Xφ = 3∗23,122∗3= 4810,81 V AR (L)
STY = 3 Vφ Iφ = 3∗116∗23,12= 8045,76 V A
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 93
Para a carga total:
PT = PT∆ +PTY = 7200+6414,14= 13,614,41 W
QT =QT∆ −QTY = 9600+4810,81= 4789,19 V AR
ST =
√
P2T +Q2T =
√
13614,142+4789,192 = 14432,2 V A
Fp = PT
ST
= 13614,41
14432,2
= 0,943 adiantado
5.6.1 Método dos Três Wattímetros
Figura 110 – Wattímetros conectados em cada fase e em comum com o neutro (Adap-
tado de [1])
Uma carga polifásica conectada em Y pode ter sua potência medida usando três wat-
tímetros, conectados a uma fase e ao neutro. A carga pode ser equiilbrada ou não. O
wattímetro possui duas bobinas, uma medindo a corrente da fase e a outra, a tensão. A
potência média total da carga é dada por:
PT = P1+P2+P3 (5.22)
No caso de uma carga conectada em ∆, o cálculo da potência é efetuado da mesma
forma, mas ligações do Wattímetros ficam da seguinte maneira:
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 94
Figura 111 – Wattímetros em carga conectada em ∆ (Adaptado de [1])
5.6.2 Método dos Dois Wattímetros
Figura 112 – Wattímetros conectados em apenas duas fases (Adaptado de [1])
O método dos dois wattímetros consiste em conectar as bobinas de tensão em uma
fase em comum, numa carga de 3 linhas. A potência média total pode ser dada por:
PT = Ph ±Pl (5.23)
5.7 Carga Trifásica de Quatro Fios, Não Equilibrada eConectada em Y
Quando a carga de um circuito polifásico não é equilibrada, ou seja, possui impedâncias
diferentes em cada fase, não é possível aplicar as fórmulas que vimos antes, então vamos
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 95
abordar uma análise diferente.
Figura 113 – Carga desequilibrida com quatro fios (Adaptado de [1])
Como o neutro é um ponto comum, podemos dizer que a carga de cada fase está
em pararelo com a fonte, então:
Vφ = Eφ (5.24)
Assim, é possível determinar a corrente com a lei de ohm:
Iφ =
Vφ
Z
(5.25)
Com isso é possível calcular a corrente do neutro:
IN = Iφ1 + Iφ2 + Iφ2 (5.26)
Capítulo 5. Sistemas Polifásicos 96
5.8 Carga Trifásica de Três Fios, Não Equilibrada e Co-nectada em Y
Figura 114 – Carga desequilibrada com três fios (Adaptado de [1])
Neste caso a tensão e corrente são deduzidas a partir da lei de Kirchoff para malhas. É
possível obter fórmulas pela análise das malhas. Para as tensões de linha:
EAB = Ian Z1− Ibn Z2 (5.27)
EBC = Ibn Z2− Icn Z3 (5.28)
ECA = Icn Z3− Ian Z1 (5.29)
E para as correntes:
Ian = EAB Z3−ECA Z2
Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
(5.30)
Ibn =
EBC Z1−EAB Z3
Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
(5.31)
Icn = ECA Z2−EBC Z1
Z1Z2+Z1Z3+Z2Z3
(5.32)
CAPÍTULO 6
Transformadores
6.1 Introdução
Os circuitos magnéticos são empregados com o intuito de concentrar o efeito magné-
tico em uma dada região do espaço. Por ser uma força de campo, pode-se direcionar
seu fluxo para onde for desejado. Para a maioria dos circuitos magnéticos, são usados
materiais com propriedades não linear, onde a permeabilidade dos materiais ferromag-
néticos tornam-se variável em função da indução ou densidade do fluxo magnético
B.
Observação:
Circuito magnético linear trata-se do material usado no núcleo, neste caso, são os
materiais com permeabilidade magnética baixa, como por exemplo o ar. Já os não
lineares, usa-se materiais com alta permeabilidade magnética, como por exemplo o
ferrite.
Figura 115 – Circuito magnético simples (Adaptado de [1])
Podemos ainda fazer uma analogia entre os parâmetro elétricos e magnéticos, como
mostrado a seguir.
Capítulo 6. Transformadores 98
Circuito Magnético Circuito Elétrico
Fmm=N.I Fem=V
Fluxo Magnético=φm Corrente elétrica=I
Relutância=R Resistência Elétrica=R
Permeabilidade=µ Condutividade=σ
Permeância= 1
R
Condutância=G= 1R
6.2 Transformadores
Seu princípio de funcionamento consiste em transferir energia de um ou mais circuitos
primários, para outro secundário, por meio da induçãodo núcleo (mantém constante a
frequência, porém altera as intensidades de tensões e corrente). Os fios de enrolamento
são isolados do núcleo, e também dos outros enrolamentos, para que não haja curto-
circuito. O núcleo deve ser de alta permeabilidade magnética e baixa resistência ôhmica.
Tipos de transformadores:
6.2.1 Transformadores de potência
Figura 116 – Transformador de potência (Adaptado de [1])
6.2.2 Transformadores de medição
Transformador de corrente: É um dispositivo que reproduz no seu circuito secundário,
uma amostra de corrente que circula no enrolamento primário. Esta corrente tem
proporções definidas e conhecidas, sem alterar a posição vetorial.
Capítulo 6. Transformadores 99
Figura 117 – Transformador de corrente (Adaptado de [1])
Transformador de potencial
Já este tem como característica, medir no secundário, a tensão do primário.
Figura 118 – Transformador de potencial (Adaptado de [1])
6.2.3 Transformadores de sinais
São usados mais na área de eletrônica, com baixas tensões e alta frequência.
Figura 119 – Transformador de sinal (Adaptado de [1])
6.3 Núcleo do transformador
A composição de um núcleo depende da área em que será usada, pois esta relacionada a
fatores como: tensão, corrente e frequência. É levado em consideração também o custo
Capítulo 6. Transformadores 100
e dimensionamento, pois a eficiência também esta relacionada aos materiais que é
construído. Os materiais mais usados são o ar, ferro ou ferrite, para algumas aplicações
é satisfatório, já para outras, não.
Figura 120 – Bobina e núcleo metálico em lâminas de um transformador (Adaptado de
[1])
São empregados dois tipos de núcleos com laminas de metal:
Núcleo envolvente
Figura 121 – Tranformador de Núcleo envolvente (Adaptado de [1])
Núcleo envolvido
Figura 122 – Transformador Núcleo envolvido (Adaptado de [1])
As laminas do núcleo, são em formatos do tipo "I"e "E". Elas são separadas uma das
outras com verniz.
Capítulo 6. Transformadores 101
Figura 123 – Transformador Núcleo Laminado (Adaptado de [1])
Exemplos de trafos trifásicos:
Figura 124 – Transformador trifásico (Adaptado de [1])
6.4 Princípio de funcionamento
Todo transformador é uma máquina elétrica cujo princípio de funcionamento está
baseado na Lei de Faraday e na Lei de Lenz. Lei de Faraday Em qualquer condutor
de eletricidade a um campo magnético variável no tempo, tem-se em seus terminais a
indução de uma tensão elétrica proporcional à taxa de variação desse campo no tempo.
Lei de Lenz O efeito da tensão induzida será de tal forma que se oponha à causa que a
produziu.
Capítulo 6. Transformadores 102
Figura 125 – Transformador e seu símbolo (Adaptado de [1])
6.5 Indutância Mútua
Figura 126 – Indutância mútua (Adaptado de [1])
É possível calcular a indutância mútua usando as seguintes equações:
ep = Np
dφp
dt
ou ep = Lp
dip
dt
[vol t s,V ] (6.1)
es = Ns dφm
dt
[vol t s,V ] (6.2)
Coeficiente de acoplamento
k (coe f . de acoplamento)= φm
φp
(6.3)
Capítulo 6. Transformadores 103
Figura 127 – Coeficiente de acoplamento (Adaptado de [1])
Rearranjando a equação 6.1 com a equação 6.3, temos:
es = kNs
dφp
dt
(6.4)
A indutância mútua entre as duas bobinas é proporcional à variação instantânea
de fluxo em uma bobina devido à variação de corrente na outra bobina.
M = Ns dφm
dip
= Np
dφp
dis
[henr ies,H ] (6.5)
Em termos das indutâncias das bobinas, temos:
M = k
√
Lp Ls [henr ies,H ] (6.6)
Pode-se expressar as tensões no primário e no secundário através da indutância
mútua M
es = Ns dφm
dt
⇒ es = Ns dφm
dip
dip
dt
(6.7)
Tendo a igualdade:
M =Ns dφm
dip
(6.8)
Obtém-se:
es = M
dip
dt ep = M
dis
dt
[vol t s,V ] (6.9)
Exemplo 6.5.1
Achar (a) a indutância mútua; (b) as tensões induzidas no primário e no secundário se o
fluxo varia a 450mWb/s; (c) as tensões induzidas no primário e secundário se a corrente
varia a 0,2A/ms. Dados: Lp= 200mH; Ls= 800mH; Np= 50 voltas; Ns= 100 voltas.
Capítulo 6. Transformadores 104
Figura 128 – Transformador de exemplo (Adaptado de [1])
Solução
a)
M = k
√
Lp Ls = 0,6
p
200mH × 800mH = 0,6
√
16×10−2 = (0,6)×(400×10−2)= 240 mH
b)
ep = Np
dφp
dt
= (50)(450mWb/s)= 22,5 V
es = kNs
dφp
dt
= (0,6)(100)(450mWb/s)= 27 V
c)
ep = Lp
dip
dt
= (200mH)(0,2A/ms)= 40 V
es = Ms
dip
dt
= (240mH)(200A/s)= 48 V
6.6 Trafo monofásico ideal
O transformador ideal é aquele que não tem perdas, totalmente eficiente. Consideramos
que o fluxo magnético gerado pela corrente do primário, é totalmente enlaçada no
secundário, onde não há perdas de tensão e corrente. Podemos considerar desprezíveis
as perdas do núcleo.
Transformador com núcleo de ferro
Para o caso ideal, consideramos o coeficiente de acoplamento k=1. Levamos em consi-
deração as seguintes relações:
ip =
p
2 Ip sen ωt (6.10)
φm =φm sen ωt (6.11)
Capítulo 6. Transformadores 105
Figura 129 – Transformador monofásico (Adaptado de [1])
E então aplica-se às lei s de Faraday , primeiramente na equação 6.7:
ep = Np
dφp
dt
= Np dφm
dt
Aplicando as equações 6.10 e 6.11 nesta ultima:
ep = Np d(φm sen ωt )
dt
= ωNpφm cos ωt = ωNpφm sen(ωt +900)
ep = ωNpφm sen(ωt +90o) (6.12)
O valor RMS será:
Ep =
ωNpφmp
2
= 2pi f Npφmp
2
Ep = 4,44 f Npφm (6.13)
Para a tensão do enrolamento secundário, temos a mesma relação, pois não há
perdas do valor primário.
Es = 4,44 f Nsφm
Fazendo a relação de entrada e saída, tem-se:
Ep
Es
= 4,44 f Npφm
4,44 f Nsφm
Ep
Es
= Np
Ns
(6.14)
Para as tensões instantâneas, temos:
ep = Np dφm
dt es = Ns
dφm
dt
ep
es
= Np(dφm/dt )
Ns(dφm/dt )
ep
es
= Np
Ns
(6.15)
Em notação fasorial:
Ep
Es
= Np
Ns
tendo Vg = Ep e VL = Es :
Vg
VL
= Np
Ns
Capítulo 6. Transformadores 106
Relação de transformação "a"
Se a>1: Transformador abaixador
Se a<1: Transformador elevador
a = Np
Ns
(6.16)
A tensão induzida no secundário fará circular uma corrente is nesta bobina, e
portanto, em ZL. A força magneto-motriz (fmm) devolvida será: Nsis . A corrente is
do secundário tende a variar o fluxo φm , então uma corrente adicional circulará no
primário i ′s , tal que mantenha fixa a relação Np i ′s= Nsis . A corrente total ip do primário
sob a carga será então:
ip = i ′p + iφm (6.17)
Na maioria das aplicações onde i ′p > iφm poderemos considerar ip = i ′p . Então usaremos
Np ∗ ip = Ns ∗ is .
Se para as valores instantâneos vale a relação de Ns/Np , então para os fasores
também é aplicado:
Ip
Is
= Ns
Np
(6.18)
A relação de transformação de a sendo:
a = Vg
VL
= Np
Ns
= Is
Ip
(6.19)
Para verificar os valores deparadamente nos circuitos, temos:
Vg /Ip
VL/Is
= a2
Então:
Vg
Ip
= a2VL
Vs
(6.20)
E com a Lei de Ohm: V = Z I , relacionamos com a equação acima para obter a
impedância refletida. Basicamente pode-se calcular o circuito secundário como uma
impedância equivalente vista no primário.
Zp = a2ZL (6.21)
Vale lembrar que a relação Ep Ip = Eo Ip nos garante que a potência de entrada e
saída são iguais, portanto:
Pp = Ps (6.22)
Exemplo 6.6
Para o transformador com núcleo de ferro abaixo, calcule: (a) a corrente e tensão no
primário; (b) a resistência de entrada do trafo.
Capítulo 6. Transformadores 107
Figura 130 – Exemplo (Adaptado de [1])
Solução
a)
Ip
Is
= Ns
Np
Ip = Is Ns
Np
= (0,1)
(
5
40
)
= 12,5 mA
VL = IsZL = (0,1)(2k)= 200 V
Vg =
Np
Ns
VL =
(
40
5
)
(200)= 1600 V
b)
Zp = a2ZL
a = Np
Ns
= 8
Zp = (8)2(2000)= Rp = 128 kΩ
Exemplo 6.6.2
Para o circuito a seguir, determine: (a) o valor da corrente Ip ; (b) as potências no
primário e no secundário do trafor.
Figura 131 – Exemplo (Adaptado de [1])Capítulo 6. Transformadores 108
Sugestão Pode-se usar a impedância refletida Zp = a2ZL. A impedância refletida
resulta em:
Zp =
(
220
110
)2
(300)= 1200Ω
E a corrente no primário, pode-se então ser determinada por:
Ip =
(
Vp
Zp
)
=
(
220
1200
)
= 0,183 A
(Resposta: (a) 0,183A; (b) 40,34W).
Exemplo 6.6.3
Para o trafo a seguir fornecendo potência para uma residência, determine: (a) o
valor de R para carga balanceada; (b) os valores de Ip e Is ; (c) a tensão de linha VL ; (d) a
potência total entregue.
Figura 132 – Exemplo (Adaptado de [1])
Solução
a)
PT = (10×60)+ (400)+ (2000)= 3000 W
Pp = Ps
Vp Ip = Vs Is = 3000 W (car ga puramente resi st i va)
Ip = 3000
2400
= 1,25 A
R =
(
Vφ
Ip
)
=
(
2400
1,25
)
= 1920Ω
b)
Pp = 600= V Ip = (120V )∗ Ip
Ip = 5A
Ps = 2000= V Is = (240V )∗ Is
Capítulo 6. Transformadores 109
Is = 8,33 A
c)
VL =
p
3Vφ = (1.73)(2400)= 4152 V
d)
PT = 3Pφ = (3)(3000)= 9000 W
6.7 Casamento de impedância
Transformadores podem ser úteis quando se está tentando entregar máxima potência a
uma carga, onde podemos enxergar a impedância refletida como a carga a ser igualada.
Exemplo 6.7
A imagem a seguir mostra como um transformador pode ser usado para o casamento
de impedâncias entre uma fonte com impedância de 512Ω e uma carga de 8Ω.
Figura 133 – Exemplo de casamento de impedâncias (Adaptado de [1])
A corrente da fonte no circuito secundário será:
Is = E
RT
=
(
120
512+8
)
=
(
120
520
)
= 230,8 mA
A potência entregue ao alto-falante será:
P = I 2R = (230,8)2 (8)= 426,15 mW
Ao colocarmos um trafo com relação de 8:1, temos:
Zp = a2Zs
Nos leva à: Zp = (8)28 = 512Ω
A máxima potência é transferida à carga, que será:
Is = E
RT
= 120
512+512 =
120
1024
= 117,19 mA
P = I 2R = (117,19)2 512= 7,032 W
Capítulo 6. Transformadores 110
Trafo de isolação
Outra aplicação comum do trafo é em isolação, como abaixador, onde um instrumento
de medida está isolado de uma linha de alta tensão:
Figura 134 – Transformador como isolador para medidas de tensão (Adaptado de [1])
6.8 Trafo não-ideal ou real
No trafo real, mesmo com o secundário em aberto existirá uma corrente no primário.
Nos enrolamentos sempre existirá aquecimento, portanto dissipará potência no próprio
equipamento. Como consequência o trafo real sempre terá eficiência menor que 1, ou
seja, a potência do circuito secundário será menor que o primário.
A permeabilidade magnética do núcleo não é infinita, portanto, a corrente necessária
para estabelecer o fluxo magnético não é desprezível.
O fluxo magnético não ficará totalmente confinado no núcleo, existirá sempre um
fluxo disperso. As bobinas apresentam resistência, implicando em perdas ôhmicas por
efeito joule. O fluxo magnético sendo variável provocará sempre perdas por histerese.
Circuito equivalente de um trafo não-ideal
Figura 135 – Transformador real (Adaptado de [1])
Capítulo 6. Transformadores 111
Onde: Rp e Rs : Resistência do enrolamento; Lp e Ls : Indutância associadas ao fluxo
de dissipação; Rc : Resistência associada às correntes parasitas e histerese; Cp , Cs e
Cw : Capacitor do primário, secundário e das espiras; Lm : Indutância magnetizante do
núcleo.
Como i ′p é muito maior que iφm, ignora-se o iφm, e assim Rc e Lm desaparecem.
Cp ,CseCw também somem pois suas reatâncias serão pequenas nas frequências de
trabalhos usuais.
Figura 136 – Transformador ideal (Adaptado de [1])
Na imagem a seguir, é refletida as impedâncias do circuito secundário, através do
trafo ideal.
Figura 137 – Transformador ideal e carga refletida (Adaptado de [1])
A resistência e reatância indutiva total é calculada da seguinte maneira:
Requivalente = Rp +a2Rs (6.23)
Xequivalente = Xp +a2Xs (6.24)
Figura 138 – Carga refletida no transformador (Adaptado de [1])
Capítulo 6. Transformadores 112
Então, a tensão da carga VL pode ser obtida ao circuito equivalente através de um
divisor de tensão:
VL =
a2RLVg
(Re +a2RL+ j Xe)
(6.25)
Diagrama fasorial de tensão
Figura 139 – Diagrama fasorial de tensão (Adaptado de [1])
6.9 Polaridade dos enrolamentos
O conhecimento da polaridade é necessário quando, por exemplo, deseja-se conectar o
trafo em paralelo ou ligar o terminal do primário ao secundário (autotrafo).
É convencionado um ponto no terminal onde a corrente entra, e no correspondente
ponto da bobina do secundário a tensão neste ponto será positiva.
Figura 140 – Polaridade de um transformador (Adaptado de [1])
Autotransformador monofásico
O autotransformador caracteriza-se pela conexão elétrica entre o primário e o secundá-
rio, como mostrada na figura a seguir:
Capítulo 6. Transformadores 113
Figura 141 – Autotransformador (Adaptado de [1])
No autotrafo as tensões induzidas são relacionadas com a razão de espiras como no
trafo comum. As bobinas de um trafo comum se ligadas de uma forma conveniente,
são caracterizadas como um autotrafo.
A desvantagem evidente é a falta de isolamento entre o primário e o secundário.
Porém apresenta algumas vantagens com relação à potência transmitida e à eficiência.
Transformador com derivação
Para o trafo com derivação no primário abaixo:
Figura 142 – Transformador com derivação no primário (Adaptado de [1])
Z1/2 =
(
Np/2
Ns
)
ZL = 1
4
(
Np
Ns
)2
ZL
ZlA−B =
(
Np
Ns
)2
ZL
Z1/2 = 1
4
Zi (6.26)
Para o trafo com múltiplas saídas abaixo:
Capítulo 6. Transformadores 114
Figura 143 – Transformador com derivação no secundário (Adaptado de [1])
Ei
E2
= N1
N2
E1
E3
= N1
N3
E2
E3
= N2
N3
(6.27)
CAPÍTULO 7
Frequência Complexa e a Transformada
de Laplace
7.1 Introdução
Iniciamos uma parte fundamental do estudo de análise de circuitos: A explicação do
conceito de frequência complexa. O tema compõe-se de um notável conceito unificador
que permitirá a junção de todas as técnicas analíticas formuladas antes. A análise de
circuítos resistivos, a análise senoidal de estado permanente, transitório, a resposta
forçada, a resposta completa e a análise de circuitos excitados por funções exponenciais
forçadas e funções senoidais forçadas exponencialmente amortecidas se converteram
em casos especiais das técnicas gerais de análise de circuítos que se associam com o
conceito de frequência complexa. Um método muito utilizado pra encarar este tema
é iniciar imediatamente o estudo da integral da transformada de Fourier, porém esse
enfoque não contém nenhum sentido de compreensão real. Portanto, vamos analisar
em primeira instância o conceito básico da frequência complexa e sua relevância na
análise de circuítos. A partir dele conheceremos a transformada de Laplace como
uma alternativa de analisar circuitos que contenham fontes mais genéricas que são
dependentes do tempo, veremos como aplicar a transformada inversa, afim de obter
respostas no domínio do tempo e consideraremos alguns teoremas especiais que podem
utilizar as propriedades chave de funções no domínio da frequência.
7.2 Frequência Complexa
Apresentaremos a noção de frequência complexa considerando uma função senoidal
exponencialmente amortecida como a tensão dada por:
v(t )=Vmeσtcos(ωt +θ) (7.1)
Onde σ é um valor real usualmente negativo.
Fazendo-se σ=ω= 0, obtém-se uma tensão constante:
v(t )=Vmcosθ =V0 (7.2)
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 116
Se apenas σ= 0, obtém-se uma tensão senoidal:
v(t )=Vmcos(ωt +θ) (7.3)
Fazendo-se apenas ω= 0, obtém-se uma tensão exponencial:
v(t )=Vmcosθeσt =V0eσt (7.4)
Portanto, a senoide amortecida da equação [1.1], inclui como casos especiais a função
contínua CC da equação [1.2], a senoidal da equação [1.3] a exponencial da equação
[1.4].
Se compararmos a forma complexa da função senoidal: v(t)=V0e jωt , com a expres-
sãoda exponencial: v(t) = V0eσt , com ângulo de fase zero, podemos concluir que a
diferença reside no fato da primeira ser uma exponencial complexa e a segunda uma
exponencial real, e que se σ for uma frequência complexa, podemos considerá-lo como
parte real desta frequência.
Lembrando que no plano complexo a seguir:
Figura 144 – Plano Complexo (Adaptado de [2])
A forma exponencial é dada por:
A =C .e jθ =C .cos(θ)+ j .C .sen(θ) (7.5)
Onde: C=|A|=
p
a2+b2, e θ = arctan(ba ) C=Módulo de A, e θ=Argumento de A.
Importante observar que e=2,71828182... é a base natural ou neperiana. Da forma
exponencial: A = C .e jθ = C .cos(θ)+ j .C .sen(θ), chega-se a identidade ou relação de
Euler dada por:
e jθ = cos(θ)+ j .sen(θ) (7.6)
Onde: cos(θ)= 12 (e jθ+e− jθ), e: sen(θ)= 12 j (e jθ−e− jθ)
7.2.1 Forma Geral
A forma geral de função com frequência complexa será:
f (t )=Ke st (7.7)
Sendo K e s constantes complexas iguais àσ+ jω. Ondeσ é a parte real eω a imaginária.
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 117
7.2.2 Caso CC
No caso de corrente contínua concluí-se que a frequência complexa é zero. Ou seja:
v(t )=V0e(0)t =V0 (7.8)
Onde K=V0 e s=0.
7.2.3 Caso Exponencial
O seguinte caso é a função exponencial:
v(t )=V0eσt (7.9)
Onde K=V0 e s=σ+ j0, ou seja: ω=0.
7.2.4 Caso Senoidal
Partindo da expressão:
v(t )=Vmcos(ωt +θ) (7.10)
Desejamos encontrar uma expressão equivalente à exponencial complexa. Utilizaremos
então a identidade de Euler:
cos(ωt +θ)= 1
2
[e j (ωt+θ)+e− j (ωt+θ)] (7.11)
Obteremos então a expressão da tensão:
v(t )= 1
2
Vm[e
j (ωt+θ)+e− j (ωt+θ)]= (1
2
Vme
jθ)e jωt + (1
2
Vme
− jθ)e− jωt (7.12)
Ou ainda, lembrando que s=σ+ jω, a expressão fica:
v(t )=K1e s1t +K2e s2t (7.13)
Onde s1 = jω e s2 = − jω, ou seja s2 = s∗1(conjugados) e ainda K1 = 12Vme jθ e K2 =
1
2Vme
− jθ
7.2.5 Caso Senóide Exponencialmente Amortecida
Substituindo a identidade de Euler na expressão da função senoidal exponencialmente
amortecida, temos:
v(t )=Vmeσtcos(ωt +θ)= 1
2
Vme
σt [e j (ωt+θ)+e− j (ωt+θ)] (7.14)
Manipulando a equação acima pode-se chegar a:
v(t )= 1
2
Vme
jθe j (σ+ jω)t + 1
2
Vme
− jθe j (σ− jω)t (7.15)
E mais uma vez s2 = s∗1 (conjugados), assim como K2 =K∗1. É importante a presença
dos conjugados nas expressões para que a soma destes termos resulte em uma função
real.
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 118
7.2.6 A relação de s com a realidade
Quantidades puramente imaginárias de s nunca resultaram em uma quantidade real.
Ex: s=j10.
Para uma função real é necessário que esta tenha pares conjugados tanto de s como de
K. Ex: s=±j10 associado ao conjugado K=6± j8.
A frequência de uma tensão senoidal está associada ao complexo conjugado de s. Ex:
s=±j10 indica uma frequência 10 rad/s.
A amplitude e fase da senóide dependerá de K. Ex: s=±j10 e K=6±j8 resulta em uma
senóide: 20.cos(10t −53,1o)
7.2.6.1 Senóide Exponencialmente Crescente e Decrescente
Senóide Exponencialmente Crescente
s=σ± jω com σ> 0:
Figura 145 – Senóide Exponencialmente Crescente (Adaptado de [2])
Senóide Exponencialmente Decrescente
s=σ± jω, com σ< 0:
Figura 146 – Senóide Exponencialmente Decrescente (Adaptado de [2])
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 119
7.2.6.2 Senóide, Exponencial e Constante
Senóide s=± jω, ou seja: σ= 0:
Figura 147 – Senóide (Adaptado de [2])
Exponencial Crescente
s=σ, ω= 0, σ> 0 e K=V0
Figura 148 – Exponencial Crescente (Adaptado de [2])
Exponencial Decrescente
s=σ, ω= 0, σ< 0 e K=v0:
Figura 149 – Exponencial Decrescente (Adaptado de [2])
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 120
Constante
s=0, ou seja: σ=ω= 0:
Figura 150 – Constante (Adaptado de [2])
*Outros sinais importantes são vistos na disciplina de MMA(Métodos Matemáti-
cos Aplicados)
Exemplo 7.2
Identificar todas as frequências complexas presentes nas seguintes funções na análise
do tempo:
a) (2e−100t+e−200t ) sen 2000t;
b)(2-e−10t ) cos(4t+φ);
c)e−10t cos 10t sen 40t.
Respostas:
a)-100+ j 2000, -100- j 2000, -200+ j 2000, -200- j 2000 s−1
b) j 4, − j 4, -10+ j 4 s−1
c)-10+ j 30, -10- j 30, -10+ j 50, -10- j 50 s−1
7.3 Função Senóide Exponencialmente Amortecida
Como visto, a senóide geral que varia exponencialmente, pode ser representada com a
função de tensão:
v(t )=Vmeσtcos(ωt +θ) (7.16)
Se expressada em termos da frequência complexa por meio da identidade de Euler,
teremos:
v(t )=Re{Vmeσte j (ωt+θ)} (7.17)
ou
v(t )=Re{Vmeσte j (−ωt−θ)} (7.18)
Qualquer representação é apropriada, tal que ambas expressões lembrem que um par
de frequências complexas conjugadas se associam com uma senóide ou com uma
senóide exponencialmente amortecida. Agrupando fatores para aparecer s=σ+ jω:
v(t )=Re{Vme jθe(σ+ jω)t } (7.19)
Substituindo σ+ jω por s:
v(t )=Re{Vme jθe st } (7.20)
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 121
A resposta a esta senóide exponencialmente amortecida para um circuito qualquer
resultará uma corrente:
i (t )= Imeσtcos(ωt +φ) (7.21)
ou
i (t )=Re{Ime jφe st } (7.22)
Exemplo 7.3
Para o circuito RLC a seguir determine a corrente i(t) se v(t)=60e−2tcos(4t +10o).
Figura 151 – Circuito RLC (Adaptado de [2])
Solução
v(t) na forma complexa será:
v(t )=Re{60e−2te j (4t+10o)}=Re{60e j10oe(−2+ j4)t }=Re{Ve st }
Onde V=60 6 10o e s=-2+ j 4
Omitindo-se Re: Ve st = 60 6 10oe st , e Ie st , e I=Im 6 φ
A equação integro-diferencial do circuito resulta:
v(t )=Ri +Ldi
dt
+ 1
C
∫
id t = 2i +3di
dt
+10
∫
id t
Substituindo as expressões complexas na equação:
v(t )=Ri +Ldi
dt
+ 1
C
∫
id t = 2i +3di
dt
+10
∫
id t = 2i +3di
dt
+10
∫
id t
Ficará:
60 6 10oe st = 2Ie st +2sIe st + 10
s
Ie st
Suprimindo os termos e st que aparecem em ambos os lados da expressão:
60 6 10o = 2I +2sI + 10
s
I
Então:
I = 60 6 10
o
2+3s+ 10s
Como s=-2+j 4:
I = 60 6 10
o
2+3(−2+ j 4)+ 10(−2+ j 4)
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 122
Logo:
I = 5,37 6 −106,6o
e
i (t )=Re{Ie st }
Como s=-2+j 4:
i (t )=Re{5,37e− j106,6oe(−2+ j4)t }
Resultando:
i (t )= 5,37e−2tcos(4t −106,6o)
7.4 Transformada de Laplace
A meta desta seção é facilitar a análise de circuítos através da Transformada de Laplace.
Visto que a medida que aumentou o uso dos circuitos RLC, a complexidade de resolver
as equações integrodiferenciais levaram a busca de uma maneira mais fácil de resolver
estes problemas no domínio da frequência.
7.4.1 Definição
A Transformada de Laplace Bilateral da função f(t) será:
F (s)=
∫ ∞
−∞
e−st f (t )dt (7.23)
A transformada de Laplace permite converter uma função f(t) no domínio do tempo
em uma função F(s) correspondente no domínio da frequência.
7.4.2 Transformada Inversa de Laplace
A equação (1.23) define a transformada de dois lados, o termo bilateral se usa pra
entendermos que tanto os valores positivos como os negativos de t se incluem no
intervalo de integração. A operação inversa, conhecida como transformada inversa de
Laplace é definida por:
f (t )= 1
2pi j
∫ σ0+ j∞
σ0− j∞
e stF (s)ds (7.24)
Onde a constante σ0 é incluída nos limites para garantir a convergência da integral
imprópria. As duas equações (1.23) e (1.24) são o par de transformadas bilaterais de
Laplace. A boa notícia é que nunca havererá necessidade de recorrer a equação (1.24) no
estudo de análise de circuítos, pois há uma alternativa rápida e fácil que aprenderemos
a seguir.
7.4.3 Par de Transformadas Unilaterais de Laplace
Muitos dos problemas de análise de circuítos não existem no tempo infinito, mas
aparecem em algum instante específico que quase sempre está em t=0. Dessa forma,
em funções de tempo que não existem para t<0, ou naquelas funções de tempo cujo
comportantode t<0 não é do interesse, a descrição no domínio do tempo é considerada
como v(t)u(t). A integral de definição da transformada de Laplace toma como limite
inferior t=0− a fim de incluir o efeito de qualquer descontinuidade em t=0, tal como
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 123
um impulso ou uma singularidade de ordem superior. A transformada de Laplace
correspondente é então:
F (s)=
∫ ∞
−∞
e−st f (t )u(t )dt =
∫ ∞
0−
e−st f (t )dt (7.25)
Esta igualdade define a transformada de Laplace unilateral de f(t), ou simplesmente a
transformada de Laplace de f(t), dando por entendido o fim unilateral. A expressão da
transformada inversa permanece constante, porém quando se avalia, entendemos que
é válida somente para t>0. Então a definição do par de transformadas de Laplace será
utilizado sucessivamente:
F (s)=
∫ ∞
0−
e−st f (t )dt (7.26)
f (t )= 1
2pi j
∫ σ0+ j∞
σ0− j∞
e stF (s)ds
f (t )←→ F(s)
(7.27)
Ou podemos também utilizar a cursivaL para indicar a transformada direta ou inversa
de Laplace:
F(s)=L f (t ) (7.28)
e
f (t )=L −1F(s) (7.29)
Exemplo 7.4
Considere o sinal x(t )= e−atu(t ), com a ∈R, e determine X(s).
Figura 152 – x(t )= e−atu(t ) (Adaptado de [2])
Solução: A transformada de Laplace unidirecional de x(t) será:
X (s)=
∫ ∞
0
e−atu(t )e−stdt =
∫ ∞
0
e−ate−stdt =
∫ ∞
0
e−(s+a)tdt
Resultando:
X (s)=− 1
s+a e
−(s+a)t
∣∣∣∞
0
=− 1
s+a (0−1)=
1
s+a
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 124
7.4.4 Par de Transformadas Importantes
x(t )←→ X (s) x(t )←→ X (s)
δ(t )←→ 1 1β−α (e−at −e−βt ) u(t )←→ 1(s+α)(s+β)
u(t )←→ 1s cosωt u(t )←→ ss2+ω2
t u(t )←→ 1
s2
senωt u(t )←→ ω
s2+ω2
tn−1
(n−1)! u(t )←→ 1sn , n=1,2,... cos(ωt +θ) u(t )←→ scos(θ)−ωsenθs2+w2
t e−at u(t )←→ 1
(s+a)2 e
−at cosωt u(t )←→ s+a
(s+a)2+ω2
tn−1
(n−1)! e
−at u(t )←→ 1(s+a)n , n=1,2,... e−at senωt u(t )←→ ω(s+a)2+ω2
*Obs: O restante do conteúdo sobre Transformada de Laplace (Propriedades de La-
place, Métodos de Inversão da Transformada de Laplace e Pólos e Zeros) serão es-
tudados na disciplina de MMA (Métodos Matemáticos Aplicados) e portanto não é
primordial que seja visto nessa apostila
7.5 Análise de Circuitos no Domínio s
No capítulo anterior formulou-se o conceito de frequência complexa e mostrou-se o
emprego da transformada de Laplace como método para resolver o tipo de equações
diferenciais que encontramos na análise de circuitos.
Agora estamos prontos pra utilizar estas técnicas na análise de circuitos de uma ma-
neira estruturada. O conjunto de habilidades resultante permitirá analisar de maneira
eficiente qualquer circuito linear para obter a resposta completa.
7.5.1 Função de Transferência
A função de Transferência H(s) de um sistema linear é a relação entre as transformadas
de Laplace da saída e da entrada:
H(s)= Y (s)
X (s)
(7.30)
Conhecendo-se a Função de Transferência de um circuito, pode-se obter a resposta X(s)
deste para uma entrada arbitrária Y(s) a este aplicada.
Ou seja, a Função de Transferência caracteriza completamente o circuito.
Exemplo 7.5
Encontre a Função de Transferência do circuito RC a seguir:
Figura 153 – Circuíto RC (Adaptado de [2])
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 125
Solução:
Aplicando-se a Lei de Kirchhoff das Correntes no nó A:
iR = iC → x(t )− y(t )
R
=C dy(t )
dt
Resultando:
RC
dy(t )
dt
+ y(t )= x(t )
E a transformada de Laplace:
RCs Y (s)+Y (s)= X (s)
Resultando:
Y (s)
X (s)
= 1
1+ sRC =H(s)
7.5.2 Impedância e Admitância no Plano s
O conceito chave que faz com que os fasores sejam tão úteis na análise de circuitos
CA é a transformação de resistencias, capacitâncias e indutâncias em impedâncias. A
análise de circuítos continua com o uso das técnicas básicas de análise nodal ou de
malha, superposição e transformação de fonte, assim como o equivalente de Thévenin
ou de Norton. Como já haviam suspeitas, esse conceito se extende ao domínio s, pois o
estado senoidal permanente é só um caso especial (onde σ= 0).
7.5.2.1 Resistores no Domínio da Frequência
Iniciaremos com a situação mais simples: a de uma resistência conectada a uma fonte
de tensão v(t). A lei de Ohm especifica que:
v(t )=Ri (t )
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
V(s)=RI(s)
Logo vemos que a razão que representa a tensão e corrente no domínio da frequência é
simplesmente a resistência, R. De modo que:
Z(s)= V(s)
I(s)
=R (7.31)
7.5.2.2 Indutores no Domínio da Frequência
Considerando um indutor conectado a alguma fonte de tensão variável no tempo v(t),
sabemos que:
v(t )= Ldi
dt
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, temos que:
V(s)= L[sI(s)− i (0−)] (7.32)
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 126
Agora temos dois termos: sLI(s) e Li (0−). Em situações nas quais a energia inicial
armazenada no indutor é nula, ou seja: i (0−)= 0, então:
V(s)= sLI(s)
Assim:
Z(s)= V(s)
I(s)
= sL (7.33)
A equação (1.33) pode ser simplificada se o interesse for apenas na resposta em regime
permanente. Podemos ignorar as condições iniciais em tais casos, pois só irão interferir
na resposta em regime transitório. Dessa forma substitui-se s=jω e têm-se:
Z( jω)= jωL (7.34)
7.5.2.3 Modelo do Indutor no Domínio da Frequência:
No caso mais geral onde se considera que existe uma energia inicial armazenada em L:
V(s)= sLI(s)−Li (0−) (7.35)
Isolando I(s), teremos:
I(s)= V(s)+Li (0
−)
sL
= V(s)
sL
+ i (0
−)
s
(7.36)
Figura 154 – Circuito Indutivo no domínio s (Adaptado de [2])
7.5.2.4 Capacitores do Domínio da Frequência
Os mesmos conceitos também são aplicados em capacitores no domínio da frequência.
De acordo com a convenção passiva de sinas, a equação do capacitor é:
i =C dv
dt
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
I(s)=C [sV(s)− v(0−)] (7.37)
ou
I(s)= sCV(s)−Cv(0− (7.38)
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 127
Cujo modelo pode ser uma admitância Y(s)= sC em pararelo com uma fonte de cor-
rente. Ao efetuar uma transformação de fonte neste circuito, se produz um modelo
equivalente de um capacitor composto por uma impedância Z(s)= 1sC em série com
uma fonte de tensão, essas situações podem ser analizadas nas imagens a seguir.
Ao trabalhar com esses equivalentes no domínio s deve-se cuidar de não confundir com
as fontes independentes que se utilizam para incluir as condições iniciais. A condição
inicial de um indutor é dada como i (0−). Já a condição inicial de um capacitor é dada
como v(0−). Um erro muito comum neste caso é sempre usar v(0−) para a componente
da fonte de tensão do modelo, mesmo quando trabalham com um indutor.
Figura 155 – Capacitor no domínio do tempo, onde se indica v(t) e i(t) (Adaptado de [2])
Figura 156 – Modelo no domínio da frequência de um capacitor com tensão inicial de
v(0−) (Adaptado de [2])
Figura 157 – Modelo equivalente obtido através de uma transformação de fonte (Adap-
tado de [2])
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 128
7.5.3 Resumo de representações de elementos nos domínios dotempo e da frequência
Figura 158 – Sumário: Z(s) e Y(s) (Adaptado de [2])
7.6 Exercícios
7.6.1 Frequência Complexa
1.Determinar a frequência complexa de cada termo:
a)v(t )= 5 V
b)i (t )= 3 cos9t µA
c)i (t )= 2.5e−8t mA
d)v(t )65e−1000t cos1000t V
e)v(t )= 8+2 cost mV
2.Se uma tensão complexa variável no tempo é dada por Vs(t )= (20− j30)e(−2+ j50)t V ,
determinar:
a)Vs em forma polar;
b)Re{Vs(t )};
c)Re[Vs(0.1)];
d)s;
e)s∗.
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 129
7.6.2 Função Senóide Exponencialmente Amortecida
3.Se o circuito RL a seguir é alimentado por uma fonte de 10 V e um ângulo de fase de3o, a frequência complexa −2+ j10s−1.
a)Determine i (t ).
b)Determine v1(t ) e v2(t ).
Figura 159 – Exercício 3 (Adaptado de [2])
7.6.3 Transformada de Laplace
4.Calcule a transformada unilateral de Laplace das seguintes funções:
a)L−1{s−1};
b)1]1+u(t )+ [u(t )]2;
c)tu(t )−3;
d)1−δ(t )+δ(t −1)−δ(t −2).
5.Sem recorrer à equação (1.24), determinar a transformada inversa das seguintes
funções:
a) 1s+3 ;
b)1;
c)s−2;
d)275;
e) s
2
s3
.
7.6.4 Análise de Circuitos no Domínio s
6.Utilizar técnicas de análise de circuitos no domínio s para determinar a corrente i (t )
através do capacitor no circuito abaixo:
Figura 160 – Exercício 6 (Adaptado de [2])
7.(a)Converter o circuito abaixo um uma representação apropriada no domínio
s.(b)Determinar a expressão de p(t), a potência dissipada no resistor.
Capítulo 7. Frequência Complexa e a Transformada de Laplace 130
Figura 161 – Exercício 7 (Adaptado de [2])
CAPÍTULO 8
Decibéis e Filtros
8.1 Logarítmos
A relação:
N = bx (8.1)
Relação inversa:
X = logbN (8.2)
Exemplo 8.1.1
1200= 10x → X = log10 1200= 3,079→ 1200= 103,079
54,6= ex → X = loge 54,6= 4→ 54,6= e4
8.1.1 Aplicações logarítmicas
Quando se deseja plotar a resposta de um sistema para uma faixa de valor impossível
de ser plotada em escala linear;
Figura 162 – Escala logarítmica para frequências. (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 132
Níveis de potência e tensão, entre outros, podem ser comparados sem que se tenha
de lidar com números muito grandes ou pequenos que, em geral, mascaram o real
impacto em suas diferenças de magnitude.
8.1.2 Tipos de gráficos usando escalas logarítmicas:
Semilog:
Uma escala logarítmica e outra linear. Em geral a escala vertical é a linear.
O espaçamento entre 1, 10, 100, 1000 ... 10n, será o mesmo, uma vez que:
log10 1= 0;
log10 10= 1;
log10 100= 2;
Podendo ser observado na Figura 1 e Figura 2.
Log-log:
As duas escalas são logarítmicas.
Figura 163 – Gráfico Semilog. (Adaptado de [1])
Valores particulares podem ser obtidos por:
Valor = 10x ×10d1/d2 (8.3)
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 133
Figura 164 – Leitura de valor em gráfico logarítmico. (Adaptado de [1])
Exemplo 8.1.2
Determinar o valor do ponto mostrado no plot logarítmico:
Figura 165 – (Adaptado de [1])
d1
d2
= 7/16
′′
3/4′′
= 0,438
′′
0,750′′
= 0,584
Assim, temos:
10d1/d2 = 100,584 = 3,837
Valor = 10x ×10d1/d2 = 102×3,837= 383,7
8.1.3 Propriedades logarítmicas
•O log de 1 é 0:
log101= 0
•O log de qualquer número menor que 1 é negativo:
log100,5=−0,3
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 134
•O log do produto de 2 números é a soma de seus logs:
log10(a×b)= log10a+ log10b
•. O log do quociente de 2 números é o log do numerador menos o denominador:
log10(a/b)= log10a− log10b
•O log de um número à uma potência é o log do número vezes a potência:
log10a
n = n log10a
8.2 Decibéis
Ganho de Potência: dois níveis de potência podem ser comparados usando a
unidade de medida chama bel. Cuja definição é:
B = log10P2
P1
(bel s) (8.4)
Decibel é a décima parte do bel, ou seja:
1 bel = 10 decibel s(dB) (8.5)
Logo, o ganho em decibéis resultará em:
dB = 10 log10P2
P1
(dB) (8.6)
8.2.1 Ganho em Decibéis
Se P2 = P1, não há ganho de potência: G(dB) = 0;
Se P2 > P1, o ganho de potência é positivo: G(dB) > 0;
Se P2 < P1, o ganho de potência é negativo: G(dB) < 0;
Se P2 = 2P1,G(dB)= 10log102= 10.0,31≈ 3dB e a cada 3 dB a potência dobra;
Se P2 = 10P1,G(dB)= 10log1010= 10dB.
8.2.2 Algumas Definições
• A unidade dB deriva de um expressão logarítmica;
• É usada em toda a indústria para definir ganhos de tensão, ganhos em níveis de
áudio, intensiadade de campo, energia, etc;
•O dB elimina a necessidade de trabalharmos com números muito grandes;
• Na indústria de áudio incrementos em níveis de áudio são na base de 2dB pois
incrementos de 1 ou 2dB não podem ser detectados pelo ouvido humano;
•Num sistema de áudio de 8W, um incremento de 3dB requer que a nova potência
seja de 16W;
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 135
• Alguns sentidos humanos respondem de forma logarítmica o que torna as escalas
logarítmicas para essas grandezas extremamente apropriadas;
• Para algumas aplicações um nível de referência é estabelecido, de modo a permitir
uma comparação em dB de uma situação para outra:
Em sistemas de telecom é comumente aplicado o nível de 1mW como potência
de referência em uma carga de 600Ω, dando origem ao ganho em dBm :
dBm = 10 log10P/(1 mW )|600Ω
Exemplo 8.2.1
Um sistema de telecom opera a 40mW e outro a 4W . Determine a relação entre os
ganhos de potência em dBm destes sistemas.
Solução:
Para P = 40mW →G(dBm)= 10 log10(40m/1m)
G(dBm)= 10 log10 40= 10×1,6= 16 dBm
Para P = 4W →G(dBm)= 10 log10(4/1m)
G(dBm)= 10 log10 4000= 10×3,6= 36 dBm
Obs.: Embora o aumento em dBm tenha sido de apenas 20, o aumento de potência
foi de 100 vezes.
8.2.3 Decibéis em Ganhos de Tensão
O dB pode ser usado também em ganhos de tensão:
dB = 10 log10
p2
P1
= 10 log10
V 22 /R2
V 21 /R1
= 10 log10
V 22 /V
2
1
R2/R1
dB = 10 log10
(
V2
V1
)2
−10 log10
(
R2
R1
)
dB = 20 log10
V2
V1
−10 log10
R2
R1
Nos casos onde a comparação envolve o mesmo resistor, R2 =R1 a segunda parcela
resultará em 10log10 1= 0, assim:
dBv = 20 log10
V2
V1
(dB)
Vo/Vi dB = 20 log10(Vo/Vi )
1 0 dB
2 6 dB
10 20 dB
20 26 dB
100 40 dB
1000 60 dB
100000 100 dB
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 136
Exemplo 8.2.2
Um sistema produz um saída de 1,2V para uma entrada de 2mV, qual o ganho de tensão
em dBv?
Solução:
G(dBv )= 20 log10(1,2/2m)= 20 log10 600= 55,56 Bv
8.2.4 Resposta da Audição Humana
A audição humana não responde de forma linear às mudanças de nível de potência
sonora. Para se dobrar o nível sonoro recebido pelo ouvido humano a potência acústica
(W) deve ser 10x maior. Para a comparação entre níveis de áudio, o valor de referência
de 0,0002 µbar (1µbar = 1dina/cm2). Usando essa referência, a pressão sonora em
decibéis é definida pela expressão abaixo, onde P é a pressão em microbars:
dBs = 20 log10 P
(0,0002µ bar )
(8.7)
Figura 166 – Níveis Sonoros em dB (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 137
8.3 Filtros
Combinação de elementos passivos (R, L e C) e/ou ativos (transistores ou AmpOps)
projetados para selecionar ou rejeitar um faixa de frequências
Filtros Passivos: Compostos de combinações de elementos R, L e C em série ou
paralelo.
Filtros Ativos: Empregam além das combinações de elementos R, L e C, dispositivos
ativos como transistores e amplificadores operacionais.
8.4 Filtros Ideais
Filtro Passa-Baixa Ideal:
|H(w)| = {1,|w |<Wc0,|w |>wc
Figura 167 – Filtro Passa-Baixa Ideal (Adaptado de [1])
Filtro Passa-Alta Ideal:
|H(w)| = {0,|w |<Wc1,|w |>wc
Figura 168 – Filtro Passa-Alta Ideal (Adaptado de [1])
Filtro Passa-Faixa Ideal:
|H(w)| = {1,w1<|w |<W20,outros
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 138
Figura 169 – Filtro Passa-Faixa Ideal (Adaptado de [1])
Filtro Rejeita-Faixa Ideal:
|H(w)| = {0,w1<|w |<W21,outros
Figura 170 – Filtro Rejeita-Faixa Ideal (Adaptado de [1])
8.4.1 Filtros Passivos
Sabemos que o resistor gera oposição à passagem da corrente elétrica.O indutor,
também exerce uma oposição, não somente à corrente, mas também à variações.Não
havendo variação na intensidade da corrente, não há reação (reatância indutiva). Por-
tanto, a tensão no indutor é proporcional à frequência da corrente alternada.
O capacitor exerce uma oposição à variação da tensão entre seus terminais. Sua
reação (reatância capacitiva) diminui à medida que a frequência da corrente alternada
aumenta. Portanto, a tensão no capacitor é inversamente proporcional à frequência da
corrente alternada.
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 139Figura 171 – Filtros Passivos Reais (Adaptado de [1])
8.4.2 Filtro Passa-Baixa RC (Adaptado de [1])
Circuito:
Figura 172 – Circuito Passa-Baixa RC (Adaptado de [1])
Note que para o filtro RC Passa-Baixa:
Se:
f = 0 Hz→ Xc = 1
ωC
=∞→V0 =Vi
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 140
Se:
f =∞→ Xc = 1
ωC
= 0→V0 = 0 V
Figura 173 – Circuitos equivalentes (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 141
Gráfico do Ganho
Figura 174 – Resposta em frequência (Adaptado de [1])
Figura 175 – Gráfico Normalizado (Adaptado de [1])
A tensão V0 pode ser obtida por divisor de tensão:
V0 = Xc
6 −90oVi
R− j Xc
(8.8)
Av = V0
Vi
= Xc 6 −90
oVi
R− j Xc
= Xc 6 −90
o√
R2+X 2c 6 − tan−1(Xc/R)
(8.9)
Av = V0
Vi
= Xc√
R2+X 2C
6 −90o + tan−1
(
Xc
R
)
(8.10)
Finalmente:
Módulo:
Av = V0
Vi
= Xc√
R2+X 2C
= 1√(
R
Xc
)2+1 (8.11)
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 142
Fase:
θ =−90o + tan−1
(
Xc
R
)
=− tan−1
(
R
Xc
)
(8.12)
Para uma frequência específica na qual Xc =R:
Av = V0
Vi
= 1√(
R
Xc
)2+1 =
1p
1+1 =
1p
2
= 0,707 (8.13)
Que define a frequência de corte ou frequência crítica.
Sendo essa frequência, na qual Xc =R, determinada por:
fc = 1
2piRC
(8.14)
Figura 176 – Gráfico da fase (Adaptado de [1])
Se f = 0Hz→ Xc = 1
ωC
=∞→ θ =− tan−1
(
R
Xc
)
=− tan−1(0)= 0 (8.15)
Se f =∞Hz→ Xc = 1
ωC
= 0→ θ =− tan−1
(
R
Xc
)
=− tan−1(∞)=−90o (8.16)
Exemplo 8.4.1
Para o filtro Passa-Baixa RC mostrado:
(a) Faça o gráfico da tensão de saída em função da frequência;
(b) Determine a tensão de saída se f = 100kHz e 1MHz e compare os resultados
com a curva obtida em (a).
(c) Faça o gráfico do ganho normalizado.
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 143
Figura 177 – Exemplo (Adaptado de [1])
Solução:
(a):
fc = 1
2piRC
= 1
2pi(1 kΩ)(500 pF )
= 318,31 kHz
At fc , Vo = 0,707(20 V )= 14,14 V
Figura 178 – Gráfico do ganho (Adaptado de [1])
(b)
f = 100kHz : Xc = 1
2pi f C
= 1
2pi(100 kHz)(500 pF )
= 3,18 kΩ
Vo = Vi√(
R
Xc
)2+1 =
20 V√(
1 kΩ
3,18 kΩ
)
+1
= 19,08 V
f = 1MHz : Xc = 1
2pi f C
= 1
2pi(1 MHz)(500 pF )
= 0,32 kΩ
Vo = 20 V√(
1 kΩ
0,32 kΩ
)2+1 = 6,1 V
(c) Gráfico do ganho normalizado:
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 144
Figura 179 – Gráfico do ganho normalizado (Adaptado de [1])
8.4.3 Filtro Passa-Baixa RL
Um filtro passa-baixa também pode ser facilmente construído utilizando um resistor e
indutor, para tal apenas invertendo as posições dos mesmos do circuito passa alta RL,
assim temos gráficos de ganho e fase similares ao do circuito RC. Observe como é feita
a composição de um filtro passa baixa simples.
Figura 180 – Circuito do filtro passa-baixa RL (Adaptado de [1])
Para tal circuito temos a relação da frequência de corte como:
Fc = R
2piL
(8.17)
Vale lembrar que capacitor e indutor são elementos com comportamentos duais,
de tal forma a explicar tal comportamento do circuito. Com base nisso podemos agora
apresentar as relações para tal circuito.
Se f = 0 Hz −→ XL =ωL = 0−→V0 =Vi (8.18)
Se f =∞−→ XL =ωL =∞−→V0 = 0 V (8.19)
Tais comportamentos podem ser observados nos circuitos abaixo:
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 145
Figura 181 – Circuitos com frequencia em 0hz e tendendo ao infinito (Adaptado de [1])
8.4.4 Filtro Passa-Alta RC
Um filtro passa-alta pode ser obtido invertendo as posições do capacitor e resistor em
um circuito RC passa baixa.Tendo assim a seguinte configuração:
Figura 182 – Circuito do filtro passa alta RC (Adaptado de [1])
Em tal circuito em frequências muito elevadas, devido à baixa reatância do capacitor
podemos substitui-lo por um curto circuito, tendo assimv0 = Vi . Por outro lado em
frequências próximas à 0Hz podemos substituí-lo por um circuito aberto, tendo assim
V0 = 0V .Com base nisso temos as seguintes relações para tal circuito.
Se f = 0 Hz −→ XC = 1
ωC
=∞−→V0 = 0 V (8.20)
Se f =∞−→ XC = 1
ωC
= 0−→V0 =Vi (8.21)
Tais comportamentos podem ser observados nos circuitos abaixo:
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 146
Figura 183 – Circuitos com frequência em 0hz e tendendo ao infinito (Adaptado de [1])
Assim temos a relação da frequência de corte como:
Fc = 1
2piRC
(8.22)
Para tal tipo de circuito, ao se aplicar uma frequência maior que a frequência de
corte, resultará em uma tensão de saída com pelo menos 70,7 % da tensão de entrada.
Como pode ser observado no gráfico abaixo:
Figura 184 – Gráfico do ganho (Adaptado de [1])
Para qualquer frequência de entrada, podemos determinar a tensão de saída a partir
de divisores de tensão. Dessa forma temos:
V0 = R
6 0oVi
R− j Xc
(8.23)
V0
Vi
= R 6 0
o
R− j Xc
= R 6 0
o√
R2+Xc2 6 − tan−1(Xc/R)
(8.24)
V0
Vi
= R√
R2+Xc2
6 tan−1(Xc/R) (8.25)
Assim temos:
Módulo:
Av = V0
Vi
= R√
R2+Xc2
= 1√
1+
(
Xc
R
2
) (8.26)
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 147
Fase:
θ = tan−1 Xc
R
(8.27)
Para toda faixa de frequência o filtro RC passa-alta é denominado circuito de avanço,
uma vez que o ângulo V0 sempre estará adiantado em relação a Vi ,podemos observar
mais facilmente observando o gráfico abaixo, onde a tensão de saida está adiantada em
45° em relação a tensão de entrada.
Figura 185 – Gráfico da fase (Adaptado de [1])
8.5 Filtro Passa-Alta RL
Assim como o filtro passa-alta RC, o RL pode ser facilmente obtido apenas invertendo
as posições do resistor e indutor do passa-baixa RL. Temos dessa forma a seguinte
configuração para tal circuito:
Figura 186 – Circuito do filtro passa-alta RL (Adaptado de [1])
Para tal circuito, os gráficos de ganho e fase apresentam a mesma forma que o do
circuito RC.
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 148
8.5.1 Sumário Filtros Passa-Baixa e Passa-Alta
Figura 187 – Gráficos filtros passa-alta e passa-baixa (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 149
Exemplo 8.5.1
Dado um circuito RC com R=20 Kω e C=20 pF:
(a) Faça dois gráficos normalizados da tensão de saída em função da frequência, um
supondo que o circuito será um filtro passa-altas e outro supondo que será um filtro
passa-baixas;
(b) Faça o gráfico de fase dos dois filtros;
(c) Ache o módulo e a fase do filtro passa-alta para f=1/2fc
Solução:
(a) A frequência de corte é a mesma para os dois filtros.
fc = 1
2piRC
= 1
(2pi)(20 KΩ)(1200 pF )
= 6631,46 Hz
Figura 188 – Solução A (Adaptado de [1])
(b)
Figura 189 – Solução B (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 150
(c)
f = 1
2
fc = 1
2
(6631,45 Hz)= 3315,73 Hz
Xc = 1
2pi f c
= 1
(2pi)(3315,73 Hz)(1200 p f )
= 40 kΩ
Av = V0
Vi
= 1√
1+
(
Xc
R
)2 = 1√
1+ (40 KΩ20 KΩ)2 =
1√
1+ (2)2
= 0,4472
θ = (tan)−1 Xc
R
= tan−1 40 kΩ
20 kΩ
= tan−12= 63,43o
Av = V0
Vi
= 0,4472 6 63,43o
8.5.2 Filtro Passa-Faixa
Um filtro passa-faixa, tem a característica de deixar passar apenas em um intervalo
determinado, assim um filtro Passa-Faixa pode ser construído através do cascateamento
de um Passa-Alta e um Passa-Baixa:
Figura 190 – Filtro passa-faixa (Adaptado de [1])
Exemplo 8.5.2
Considere os filtros Passa-Alta e Passa-Baixa em cascata, constituindo um filtro Passa-
Faixa:
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 151
Figura 191 – Filtro passa-faixa (Adaptado de [1])
Dessa forma as frequência de corte dos dois filtros serão:
Fc = 1
2piR1C1
= 1
2pi(1 KΩ)(1.5nF )
= 106,1 kHz
Fc = 1
2piR2C2
= 1
2pi(40 KΩ)(4pF )
= 994,72 kHz
Vale notar que na frequência central f0 haverá uma degeneração pela influência de
um filtro no outro:
Para f0=500Hz, a tensão máxima será 0,9Vi , assim a frequência de corte será definida
como:
0,707(0,9 Vi )= 0,63 Vi
8.5.3 Filtros Rejeita-Faixa
Filtros rejeita-faixa são projetados com o intuito de impedira passagem de determinada
frequência, este pode ser facilmente construído através da associação paralela de um
Passa-Alta e um Passa-Baixa:
Figura 192 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 152
8.6 Diagrama de Bode
As curvas obtidas para o módulo e ângulo de fase em função da frequência são deno-
minadas gráficos de Bode. A técnica tem esse nome em homenagem a Hendrik Wade
Bode (1905-1981) Prof. de Eng. de Sistemas Harvard University.
Podemos defini-la como uma técnica para desenhar a resposta em frequência de filtros,
amplificadores e sistemas em geral na escala decibel e que poupa bastante tempo e
esforço para tal.
Podemos observar mais claramente com um exemplo gráfico:
Figura 193 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1])
Exemplo 8.6.1
Considere o filtro Passa-Alta RC:
Figura 194 – Filtro rejeita-faixa (Adaptado de [1])
Cujo ganho de tensão é dado por:
Av = V0
Vi
= R
R− j Xc
= 1
1− j XcR
= 1
1− j 12pi f RC
= 1
1− j ( 12piRC ) 1f (8.28)
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 153
Onde substituindo fc = 1/2piRC , resultamos na equação do ganho de tensão em:
Av = 1
1− j ( fc/ f )
(8.29)
Dessa equação segue que:
Av = V0
Vi
= Av 6 θ = 1√
1+ ( fc/ f )2
6 tan−1( fc/ f ) (8.30)
Usando agora Avdb=20log 10Av , temos assim:
Avdb = 20 log 10
1√
1+ ( f c/ f )2
= 20 log 101−20 log 10
√
1+ ( fc/ f )2 (8.31)
Avdb =−20 log 10
√
1+
(
fc
f
)2
=−1
2
(20)log 10
[
1+
(
fc
f
)2]
=−10 log 10
[
1+
(
fc
f
)2]
(8.32)
Assim do ganho de tensão em dB obtemos:
AvdB =−10 log 10
[
1+
(
fc
f
)2]
(8.33)
Para:
f ≤ fc ou ( fc/ f )2 ≥ 1−→ 1+
(
fc
f
)2
≡
(
fc
f
)2
(8.34)
Então:
AvdB =−10 log 10
(
fc
f
)2
(8.35)
Mas:
log 10x
2 = 2 log 10x (8.36)
Logo:
AvdB =−20 log 10
fc
f
(8.37)
Como:
−10 log 10b =+log 10
1
b
(8.38)
Temos assim:
AvdB =+20 log 10
fc
f
(8.39)
Para: f ≤ fc
Note a semelhança entre a expressão geral do ganho de tensão em dB:GdB = 20log 10v0/vi
e a expressão AvdB =+20log 10 fcf
Usando a expressão acima para:
f = fc/10, f / fc = 0.1−→+20 log 100,1=−20 dB (8.40)
f = fc/4, f / fc = 0.25−→+20 log 100,25=−12 dB (8.41)
f = fc/10, f / fc = 0.51−→+20 log 100,51=−6 dB (8.42)
f = f , f / fc = 1−→+20 log 101= 0 dB (8.43)
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 154
Podemos assim traçar o diagrama:
Figura 195 – Diagrama de Bode (Adaptado de [1])
Tendo visto o diagrama, é importante ressaltar alguns pontos:
-Duas frequências separadas por uma razão 2:1 é dito estar uma oitava uma da
outra;
-Para um diagrama de Bode uma mudança de uma oitava implica em 6 dB de mudança
no ganho;
-Duas frequências separadas por uma razão 10:1 é dito estar uma década uma da outra;
-Para um diagrama de Bode uma mudança de uma década implica em 20 dB de mu-
dança no ganho;
-O diagrama de Bode são construídos por linhas retas pois a mudança por década ou
oitava é constante
8.7 Diagrama de Bode da Fase
Podemos utilizar o diagrama de Bode também para esboçar o comportamento da
curva de fase de um circuito, para tal aproximamos o comportamento do circuito com
segmentos de reta, usando pontos críticos de frequência como referência. Com base
nisso temos algumas relações que são importante levarmos em conta:
Se : f ≤ fc −→ θ = tan−1( fc/ f )= 90o (8.44)
se : f ≥ fc −→ θ = tan−1( fc/ f )= 0o (8.45)
se : f = fc −→ θ = tan−1( fc/ f )= tan−1 = 45o (8.46)
Exemplo 8.7.1
θ = tan−1 fc
fc/10
= tan−110= 84,29o
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 155
900−84,29o = 5,7o
Tendo assim o seguinte diagrama:
Figura 196 – Diagrama de Bode da Fase (Adaptado de [1])
Exemplo 8.7.2
Para o filtro passa-alta RC abaixo, determine:
(a) o diagrama de Bode.
(b) ganho em dB para f = 1kHz.
(c) o diagrama de Bode da fase.
Solução:
fc = 1
2piRC
= 1
(2pi)(1 KΩ)(0.1 µF )
= 1591,55 Hz
(a)Diagrama de Bode:
Figura 197 – Diagrama de Bode (Adaptado de [1])
Capítulo 8. Decibéis e Filtros 156
Ganho em dB a 1kHz:
AvdB = 20 log 10
1√
1+
(
fc
f
)2 = 20 log10 1√
1+
(
1591,55 Hz
1000
)2
= 20 log 10
1√
1+ (1,592)2
= 20 log 100,5318=−5,49 dB
(c)Diagrama de Bode da fase:
Figura 198 – Diagrama de Bode da fase (Adaptado de [1])
CAPÍTULO 9
Ressonância
9.1 Introdução
Neste capítulo, estudaremos o circuito ressoante, que é uma combinação de elementos
R, L e C que possui uma frequência de ressonância quando a resposta é máxima para
fr , diminuindo sua resposta conforme sai dessa frequência.
Figura 199 – Curva de ressonância (Adaptado de [1])
Podemos concluir que em uma determinada faixa de frequência, a resposta do
circuito tem valor um igual ou próximo do valor máximo.
Um receptor de rádio ou TV tem uma curva de resposta para cada emissora, dessa
forma, quando ele é sintonizado para uma determinada emissora, sua frequência fica
próxima de fr , não sendo influenciado pelas outras frequências.
9.2 Circuito ressoante em série
Para que um circuito seja ressoante, é necessário que ele tenha um elemento capacitivo
e um indutivo, como nem a fonte, o capacitor e o indutor são ideias, teremos também a
Capítulo 9. Ressonância 158
presença de um elemento resistivo. A resistência serve para controlar a forma da curva
de ressonância.
Figura 200 – Circuito ressoante em série (Adaptado de [1])
Podemos simplificar o circuito juntando as resistências, dessa forma:
R =Rs +Rl +Rd (9.1)
Onde a impedância total do circuito para qualquer frequência será:
ZT =R+ j XL− j XC =R+ j (XL−XC )
Dessa forma, as condições de ressonância acorrem quando:
XL = XC (9.2)
A partir disso, podemos concluir que a impedância total na ressonância é igual a:
ZTs =R (9.3)
Figura 201 – Circuito ressoante em série simplificado (Adaptado de [1])
Assim, podemos determinar a frequência de ressonância em termos da indutância
e capacitância usando a equação 9.2 fazendo a seguinte substituição:
ωL = 1
ωC
e ω2 = 1
LC
Dessa forma:
ωs = 1p
LC
(9.4)
Capítulo 9. Ressonância 159
Ou ainda:
fs = 1
2pi
p
LC
(9.5)
Com f = hertz(Hz), L= henries(H) e C = Farads(F).
Na condição de ressonância, a corrente no circuito será:
I = E 6 0
o
R 6 0o
= E
R
6 0o
Com isso concluímos que, na condição de ressonância, a máxima corrente circulará
pois ZT =R será o menor possível. E a tensão e a corrente estão em fase nessa condição.
Uma vez que a corrente que passa no capacitor e no indutor é a mesma as tensões
nestes elementos são defasadas 180o :
VL = (I 6 0o)(XL 6 90o)= I XL 6 90o
VC = (I 6 0o)(XL 6 −90o)= I XL 6 −90o
Sabendo que XL = XC , as magnitudes das tensões do capacitor e indutor são as
mesmas:
VLs =VCs (9.6)
No diagrama fasorial mostrado a seguir, é possível observar que na ressonância a
tensão no resistor é igual a tensão E da fonte, e que I e VR estão em fase na ressonância.
Figura 202 – Diagrama fasorial (Adaptado de [1])
Temos que na ressonância, a potência média dissipada pelo resistor será I 2R e as
potências reativas que serão armazenadas no capacitor e indutor podem ser calculadas
com I 2XC e I 2XL , respectivamente.
Dessa forma, é possível observar que no triângulo de potências na ressonância, a
potência total aparente é igual à potência média dissipada pelo resistor, uma vez que
QL =QC .
Capítulo 9. Ressonância 160
Figura 203 – Triângulo de potências (Adaptado de [1])
Assim, o fator de potência de um circuito em ressonância pode ser calculado da
seguinte forma:
FP = cos θ = P
S
e
FPS = 1 (9.7)
Em um circuito ressoante, a potência reativa total é nula para qualquer instante
de tempo, contudo, a energia a energia continua sendo armazenada e liberada pelo o
indutor e capacitor, como podemos ver na imagem a seguir.
Figura 204 – Curvas de potência de um circuito ressoante em série (Adaptado de [1])
9.3 Fator de qualidadeO fator de qualidade (Q) de um circuito ressoante é definido como a razão entre a po-
tência reativa e a potência média dissipada pelo resistor na frequência de ressonância.
Qs = pot eˆncia reati va
pot eˆncia me´dia
(9.8)
O fator de qualidade é um indicativo de quanta energia é armazenada na contínua
transferência de uma reatância para a outra, comparada com a energia dissipada.
Capítulo 9. Ressonância 161
Se substituirmos o valor da reatância indutiva e da potência média na expressão do
fator de qualidade, temos:
Qs = I
2XL
I 2R
e
Qs = XL
R
= ωsL
R
(9.9)
Se em um circuito R é somente a resistência do indutor (RL) o fator de qualidade é o
Q do próprio indutor, dessa forma:
Qs =Qindutor =Ql =
XL
Rl
(9.10)
9.4 Impedância total em função da frequência
Podemos definir a curva de impedância total de um circuito ressoante em série utili-
zando a curva de impedância em função da frequência de cada elemento do circuito,
dessa forma:
ZT ( f )=
√
[R( f )]2+ [XL( f )−XC ( f )]2 (9.11)
Assim, a parcela de ZT ( f ) relativa ao resistor apenas em função da frequência é uma
reta constante, como mostra a imagem a seguir.
Figura 205 – Resistência em função da frequência (Adaptado de [1])
De forma análoga, podemos representar a parcela de ZT ( f ) do indutor e capacitor,
onde suas respectivas curvas são mostradas nas imagens a seguir.
Figura 206 – Indutância em função da frequência (Adaptado de [1])
Capítulo 9. Ressonância 162
Figura 207 – Capacitância em função da frequência (Adaptado de [1])
Podemos ver claramente a condição de ressonância XL = XC traçando as curvas
vistas acima em um único gráfico. Assim, para frequências menores que fs , o circuito
tende a ser capacitivo, e para frequências maiores que fs , o circuito tende a ser indutivo.
Figura 208 – Resposta em frequência de reatâncias capacitiva e indutiva (Adaptado de
[1])
Podemos traçar também a curva característica de ZT , que nos mostra que a impe-
dância total do circuito é igual a R na frequência fs .
Figura 209 – ZT em função da frequência (Adaptado de [1])
Capítulo 9. Ressonância 163
Assim, podemos calcular o ângulo de fase da impedância total da seguinte forma:
θ = t g−1 (XL−XC )
R
(9.12)
Analisando, vemos que em baixas frequências, XC > XL e θ se aproxima de −90o ,
tornando-se capacitivo. Já para altas frequências, XL > XC e θ se aproxima de −90o ,
tornando-se indutivo. Portanto, podemos caracterizar um circuito ressoante em série
da seguinte maneira:
f < fs ; Circuito capacitivo com a corrente I adiantada em relação a tensão E;
f > fs ; Circuito indutivo com a tensão E adiantada em relação a corrente I;
f = fs ; Circuito resistivo com a tensão E e a corrente I em fase.
Figura 210 – Gráfico de fase de um circuito ressoante em série (Adaptado de [1])
9.5 Seletividade
Se plotarmos a corrente I em função da frequência para uma amplitude constante da
tensão E, obteremos uma curva correspondente ao recíproco da impedância em função
da frequência. No qual a corrente aumenta de zero até um valor máximo ER no ponto de
fs , e depois tende a zero novamente, como é possível observar a imagem a seguir.
Figura 211 – I em função da frequência em um circuito ressoante em série (Adaptado
de [1])
Capítulo 9. Ressonância 164
A Largura de banda (BW-bandwidth) é uma faixa definida de frequência onde
a corrente está próxima do valor máximo, e a impedância total está perto do valor
mínimo. As frequências correspondentes a 0,707 da corrente máxima são conhecidas
como: frequências de banda, frequências de corte, frequências de meia potência ou
ainda como frequências de canto. Indicadas na Figura 211 por f1 e f2.
As frequências de meia potência (half-power frequencies) são aquelas em que a
potência dissipada é a metade da potência dissipada na frequência de ressonância. E
podemos encontrá-las da seguinte maneira:
PHPF = 1
2
Pma´x (9.13)
A curva de seletividade é o resultado do ajuste do circuito ressoante a fim de seleci-
onar uma faixa de frequências. A curva expressa o quanto um circuito é seletivo para as
frequências desejadas. Dessa forma, quanto menor a largura de banda, maior a seletivi-
dade do circuito. Se a indutância e capacitância do circuito tiverem valores constantes,
quando menor a resistência R, menor a largura de banda, e consequentemente, maior
a seletividade do circuito.
Figura 212 – Curva de seletividade e os efeitos da resistência R (Adaptado de [1])
Se considerarmos a resistência constante, quando maior a relação L/C, menor a
largura de banda e consequentemente, maior a seletividade.
Capítulo 9. Ressonância 165
Figura 213 – Curva de seletividade e os efeitos da indutância e capacitância (Adaptado
de [1])
Podemos fazer a análise da seletividade com relação ao fator de qualidade Qs do
circuito. Assim, para umQs pequeno, a curva de ressonância apresenta grande largura
de banda e baixa seletividade. Dessa forma, para um Qs elevado, temos a condição
contrária.
Em circuitos ondeQs ≥ 10 podemos considerar a aproximação de que a frequência
de ressonância está no centro da largura de banda, sendo a curva de ressonância assim,
simétrica em relação à fs .
Figura 214 – Curva de ressonância de um circuito comQs ≥ 10 (Adaptado de [1])
Podemos encontrar as frequências f1 e f2 da Figura 211 usando as seguintes fórmu-
las:
f1 = 1
2pi
− R
2L
+ 1
2
√(
R
L
)2
+ 4
LC
 (Hz) (9.14)
e
f2 = 1
2pi
 R
2L
+ 1
2
√(
R
L
)2
+ 4
LC
 (Hz) (9.15)
Capítulo 9. Ressonância 166
Podemos ainda encontrar a largura de banda (BW) através de:
BW = f2− f1 = R
2piL
(9.16)
Temos que:
BW = R
2piL
=
(
1
2pi
) (
R
L
)
=
(
fs
ωs
) (
ωs
Qs
)
Assim:
BW = fs
Qs
(9.17)
Podemos ainda escrever a função em termos de frequência e fator de qualidade.
f2− f1
fs
= 1
Qs
(9.18)
E é possível definir a frequência de ressonância a partir da média geométrica das
frequências de corte. Veja a seguir.
fs =
√
f1 f2 (9.19)
9.6 Circuito ressoante em paralelo
O circuito ressoante em paralelo possui uma combinação de elementos R, L e C as-
sociados em paralelo, e ao contrário do circuito ressoante em série, a impedância na
frequência de ressonância é relativamente alta, proporcionando tensões significativas
em VC e VL . A ressonância ocorre para esse caso quando XL = XC .
Figura 215 – Circuito ressoante em paralelo ideal (Adaptado de [1])
Devemos considerar que o indutor apresenta uma resistência Rl , e embora muito
pequena, não podemos combiná-la em série ou paralelo com as demais resistências,
pois ela pode ter uma importante influência sobre as características de ressonância do
circuito. Uma idealização prática de um circuito ressoante em paralelo é mostrada a
seguir.
Capítulo 9. Ressonância 167
Figura 216 – Circuito ressoante em paralelo prático (Adaptado de [1])
Vamos encontrar um circuito paralelo equivalente ao ramo RL da seguinte maneira.
ZR−L =Rl + j XL
e
YR−L = 1
ZR−L
= 1
Rl + j Xl
= Rl
R2l +X 2L
− j XL
R2l +X 2L
= 1
R2l +X 2L
Rl
+ 1
j
(
R2l +X 2L
XL
) = 1
RP
+ 1
j XLP
com
RP =
R2l +X 2L
Rl
(9.20)
e
XLP =
R2l +X 2L
Xl
(9.21)
Agora podemos redesenhar o circuito levando em consideração o circuito visto na
Figura 216 e considerando que a fonte possui uma resistência interna Rs .
Figura 217 – Circuito paralelo equivalente (Adaptado de [1])
Dessa forma, podemos completar o circuito adicionando a fonte.
Capítulo 9. Ressonância 168
Figura 218 – Substituição da combinação RL por um circuito equivalente em paralelo
(Adaptado de [1])
Por fim, chegamos ao circuito equivalente final onde Rs e RP são associados em
paralelo.
Figura 219 – Substituição de Rs ∥RP por R no circuito (Adaptado de [1])
Onde YT pode ser calculado da seguinte maneira.YT = 1
Z1
+ 1
Z2
+ 1
Z3
= 1
R
+ 1
j XLP
+ 1− j XC
= 1
R
− j
(
1
XLP
)
+ j
(
1
XXC
)
e
YT = 1
R
+ j
(
1
XC
− 1
XLP
)
(9.22)
9.7 Fator de potência unitário fP
Para que o fator de potência de um circuito seja unitário, sua componente reativa deve
ser nula, assim:
1
XC
− 1
XLP
= 0
Capítulo 9. Ressonância 169
Portanto:
XLP = XC (9.23)
Podemos ainda, substituir XLP :
R2l +X 2L
Xl
= XC (9.24)
Assim, podemos definir a frequência de ressonância fP como sendo:
R2l +X 2L = XCXL =
(
1
ωC
)
ωL = L
C
ou
X 2L =
L
C
−R2l
com
2pi fPL =
√
L
C
−R2l
e
fP = 1
2piL
√
L
C
−R2l
Multiplicando o numerador e o denominador dentro da raiz por C/L:
fP = 1
2piL
√
1−R2l (C/L)
C/L
assim
fP = 1
2pi
p
LC
√
1− R
2
l C
L
(9.25)
Ou ainda, podemos substituir o termo que multiplica a raiz por fs .
fP = fs
√
1− R
2
l C
L
(9.26)
9.8 Impedância máxima fm
Temos que quando f = fP , a impedância de entrada do circuito é próxima do valor
máximo, mas ainda não o atingiu. O motivo é que RP também é determinado pela
frequência. Desse modo, temos que a impedância é máxima quando o circuito ressoante
paralelo está em uma frequência fm que é maior que fP . Podemos encontrar fm usando
a equação mostrada a seguir.
fm = fs
√√√√1− 1
4
(
R2l C
L
)
(9.27)
Capítulo 9. Ressonância 170
Podemos dizer também que,
fs > fm > fP (9.28)
Tendo o valor de fm , podemos definir o módulo e a fase da impedância na frequência
máxima fazendo a substituição de f por fm durante os cálculos.
ZTm =R ∥ XLP ∥ XC ( f = fm) (9.29)
Figura 220 – Z em função da frequência em um circuito ressoante paralelo (Adaptado
de [1])
Em um circuito ressoante em paralelo, a impedância total é aproximadamente igual
a Rl em f = 0 Hz.
9.9 Curva de seletividade em circuitos ressoantes pa-ralelos
Temos que para um circuito ressoante em paralelo, o fator de qualidade também é
encontrado através da razão entre potência ativa e potência real.
QP =
V 2P /XLP
V 2P /R
sendo R =Rs ∥RP e VP a tensão nos ramos em paralelo, temos:
QP = R
XLP
= Rs ∥RP
XLP
(9.30)
ou ainda, assumindo que XLP = XC na ressonância,
QP = Rs ∥RP
XC
(9.31)
No caso de uma fonte de corrente ideal, ou seja, Rs = ∞Ω ou quando Rs À RP ,
podemos fazer a seguinte aproximação:
R =Rs ∥RP ∼=RP
Capítulo 9. Ressonância 171
e
QP = Rs ∥RP
XLP
= RP
XLP
= (R
2
l +X 2L )/Rl
(R2l +X 2L )/XL
Assim,
QP = XL
Rl
=Ql (Rs ∼=RP ) (9.32)
A largura de banda está relacionada com a frequência de ressonância e o fator de
qualidade de forma análoga ao visto no circuito em série.
BW = f2− f1 = fr
QP
(9.33)
Podemos encontrar as frequências de corte f1 e f2 usando o circuito da Figura 219
e a condição descrita pelo fator de potência unitário na ressonância. Assim como as
frequências de meia potência são definidas quando a tensão de saída é 0,707 vezes o
valor máximo. No caso do circuito ressoante em paralelo alimentado por uma fonte de
corrente, a resposta em frequência de ZT é a mesma para a tensão de saída do circuito.
Dessa forma, é possível afirmar que nas frequências de corte, a impedância é 0,707
vezes o valor total.
f1 = 1
4piC
[
−1
R
+
√
1
R2
+ 4C
L
]
(9.34)
f2 = 1
4piC
[
1
R
+
√
1
R2
+ 4C
L
]
(9.35)
Estudando o circuito em ressoante em paralelo, vemos que Rl , L e C tem um efeito
significativo na curva de resposta do circuito, semelhante ao circuito em série. Dessa
forma, na ressonância, se aumentarmos o valor de Rl ou diminuirmos o valor de L na
relação L/C o valor da impedância diminui, aumentando assim a largura de aumenta,
tornando o circuito menos seletivo.
Figura 221 – Efeito deRl , L e C na curva de impedância de um circuito ressoante paralelo
(Adaptado de [1])
Capítulo 9. Ressonância 172
O circuito ressoante em paralelo apresenta reatância capacitiva elevada em baixas
frequências, enquanto a reatância indutiva é pequena. Desse modo, como os elementos
estão associados em paralelo, para baixas frequências, a impedância total é indutiva,
já para altas frequências, o circuito é capacitivo. Na ressonância fP as reatâncias se
cancelam e o circuito é puramente resistivo. A curva de fase abaixo nos mostra o
comportamento do circuito, e como podemos observar, é o oposto do circuito ressoante
em série.
Figura 222 – Gráfico de fase do circuito ressoante em paralelo (Adaptado de [1])
Exemplo 9.9
Exemplo retirado do Boylestad.
Dado o circuito RLC paralelo ideal, determine: (a) a frequência de ressonância fP ;
(b) a impedância total na ressonância; (c) o fator de qualidade, largura de banda, e as
frequências de corte.
Figura 223 – Exemplo (Adaptado de [1])
Solução:
(a) frequência de ressonância fP :
fp = fs = 1
2pi
p
LC
= 1
2pi
√
(1 mH) 1 µF
= 5,03 kHz
(b) Impedância total na ressonância:
Capítulo 9. Ressonância 173
ZL ∥ ZC = (XL
6 90o)(XC 6 −90o)
+ j (XL−XC )
como XL = XC na ressonância,
ZTP =Rs ∥ ZL ∥ ZC =Rs = 10 kΩ
(c) Q, BW, e as frequências de corte:
QP = Rs
XLP
= Rs
2pi fPL
= 10 kΩ
2pi(5,03 kHz)(1 mH)
= 316,41
BW = fP
QP
= 5,03 kHz
316,41
= 15,90 Hz
f1 = 1
4piC
[
−1
R
+
√
1
R2
+ 4C
L
]
= 1
4pi(1µF )
[
−1
10 kΩ
+
√
1
(10 kΩ)2
+ 4(1µF )
1 mH
]
= 5,025 kHz
f2 = 1
4piC
[
1
R
+
√
1
R2
+ 4C
L
]
= 5,041 kHz
9.10 Exercícios
1-Um circuito RLC série possui uma frequência de ressonância de 12000 Hz, deter-
mine: (a) calcule a largura de banda se R = 5Ω e XL na ressonância é de 300Ω; (b) as
frequências de corte.
2-Para a curva de resposta abaixo, determine: (a) Qs e a largura de banda; (b) os
valores de R e L do circuito ressonante se C=100nF; (c) a tensão aplicada.
Capítulo 9. Ressonância 174
Figura 224 – Exercício (Adaptado de [1])
CAPÍTULO 10
Bipolos e Quadripolos
10.1 Introdução
Uma rede geral que conta com dois pares de terminais (bipolos), um denominado
"terminal de entrada"e o outro "terminal de saída", é um bloco constitutivo muito
importante dos sistemas eletrônicos, de comunicação, de controle automático, de
transmissão e distribuição ou outros sistemas onde o sinal ou a energia entram pelos
terminais de entrada, onde a rede atua sobre elas e sai pelos terminais de saída. O par
de terminais de saída deveriam se conectar perfeitamente com o par de terminais de
entrada de outra rede. Quando foi estudado Thévenin e Norton, se apresentou a idéia de
que nem sempre é necessário conhecer as funções detalhadas de uma parte do circuito.
Este capítulo amplia conceitos deste tipo em situações onde não são conhecidas as
funções internas do circuito. Equipados apenas com o conhecimento de que o circuito
é linear, e com a capacidade de medir tensões e correntes, veremos em breve que
é possível determinar as características de redes desta classe com um conjunto de
parâmetros que permita prediser como irá interagir a rede com as outras.
10.2 Definições
10.2.1 O que é um bipolo?
Um par de terminais que permite a entrada e saída de um sinal em uma rede é chamado
de: Porta, Acesso ou Bipolo. Eles não podem realizar conexões com qualquer outro nó
interno, e portanto, é evidente que a corrente ia deve ser igual a ib .
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 176
Figura 225 – Bipolo (Adaptado de [2])
10.2.2 O que é um quadripolo?
Uma rede com um par de portas será chamada de: Quadripolo ou Rede de Dois Acessos.
As correntes ia e ib também devem ser iguais, assim como ic e id .
Figura 226 – Quadripolo (Adaptado de [2])
10.2.3 O que é um multipolo?
Quando uma rede tem múltiplas portas é chamada de rede multipolo.
No método que será apresentado aqui: fontes e cargas devem ser conectadas di-
retamente nos terminais das portas;cada porta só pode ser conectada a uma outra
porta, sendo esta outra porta, um bipolo, ou porta de rede multipolo, por exemplo: não
se pode conectar dispositivos entre a e c, ou b e d , pois estes terminais são de portas
diferentes.
10.3 Quadripolos
No estudo dos circuítos elétricos é bastante comum haver um acoplamento entre uma
fonte (ou excitação) conectada a porta de entrada, e uma carga associada à outra porta
de saída (entre a porta de entrada e a de saída, muitas vezes a estrutura interna é
bastante complexa).
É importante haver metodologias para o estudo destes quadripolos, e de forma
sistematizada, a partir de um modelo levantar o comportamento deste submetido à
diferentes cargas e fontes ou excitações.
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 177
O estudo dos quadripolos procura obter relações entre as correntes e tensões em
seus acessos sem precisar especificar a estrutura interna.
A vantagem do método de análise de quadripolos é óbvia: a descrição detalhada
da estrutura interna poderá ser substituída por um pequeno número de parâmetros
do quadripolo, ao menos para efeito do cálculo de circuitos onde o quadripolo esteja
inserido.
Esses parâmetros podem ser em muitos casos obtidos de medidas executadas em
um quadripolo físico, assim um dispositivo físico tal como um filtro, um transistor ou
um circuito integrado operando como um quadripolo poderá ser caracterizado. Alguns
filtros e transistores são dispositivos de 3 terminais, mas isto não impede que possam
ser descritos como quadripolos.
Figura 227 – Transistor (Adaptado de [2])
10.3.1 Hipóteses Básicas
-Vamos pressupor que os quadripolos são lineares e invariantes no tempo, ou seja,
contituem-se de apenas elementos lineares e invariantes no tempo;
-Vamos supor ainda, que o quadripolo não contém fontes independentes no circuito,
embora fontes dependentes sejam permitidas;
-Admitiremos também que não há nenhuma energia armazenada nos elementos do
circuito;
-A corrente que entra em um dos terminais de uma porta tem que ser igual à corrente
que deixa o outro terminal da mesma porta.
10.3.2 Matrizes de Parâmetros
-Os quadripolos que respeitam as hipóteses básicas apresentadas podem ser descritos
por Matrizes de Parâmetros;
-Note porém que nem todos os quadripolos podem ser descritos por todas as matrizes
que serão apresentadas;
-As matrizes de parâmetros são: Matriz de Impedâncias em Circuito Aberto e Matriz
de Admitâncias em Curto Circuito.
10.3.3 Parâmetros de Impedância
Existem vários conjuntos de parâmetros que proporcionam uma análise mais simples
para os quadripolos, os de impedância em circuito aberto por sua vez são o tema desta
seção.
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 178
Começaremos com os polos gerais lineares que não contém nenhuma fonte inde-
pendente. Vamos supor que aos quadripolos são ligados duas fontes de corrente aos
acessos deste:
Figura 228 – Quadripolo ligado à duas fontes de corrente (Adaptado de [2])
{
V1 = Z11I1+Z12I2
V2 = Z21I1+Z22I2 (10.1)
Matricialmente: [
V1
V2
]
=
[
Z11 Z12
Z21 Z22
] [
I1
I2
]
(10.2)
Sendo a Matriz de Impedâncias em Circuito-Aberto:
z =
[
Z11 Z12
Z21 Z22
]
(10.3)
Desde agora, ao usar estas equações não é necessário que I1 e I2 são fontes de correntes,
e nem mesmo que V1 e V2 são fontes de tensão. Em geral,poderiamos ter, em qualquer
extremo, quaisquer redes que terminem nas de dois polos. A medida que escrevemos as
equações, talvez poderemos considerar que V1 e V2 são as quantidades indicadas, ou
variáveis independentes, e que I1 e I2 são incognitas, ou variáveis dependentes.
As seis formas que se podem escrever das esquações para relacionar estas quatro
quantidades definem os diferentes sistemas de parâmetros.
A descrição mais informática dos parâmetros z, definida na equação (1.1), é obtida
igualando a zero uma das correntes. Portanto:
Z11 = V1I1
∣∣∣
I2=0
(10.4)
Z12 = V1I2
∣∣∣
I1=0
(10.5)
Z21 = V2I1
∣∣∣
I2=0
(10.6)
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 179
Z22 = V2I2
∣∣∣
I1=0
(10.7)
Portanto, Z11 e Z22 são impedâncias de entrada em circuito aberto, enquanto Z12 e Z21
são impedâncias de transferência em circuito aberto.
Exemplo 10.3.1
Achar as impedâncias de circuito aberto da rede resistiva em T abaixo:
Figura 229 – Exemplo 1 (Adaptado de [2])
Solução:
Z11 = V1I1
∣∣∣
I2=0
→ V1 = (R1+R3)× I1 = (20Ω+25Ω)× I1 = 45× I1 → Z11 = V1
I2
= 45Ω
Z12 = V1I2
∣∣∣
I1=0
→ V2 = (R2+R3)× I2(poi s I2 ci r cula por R2 e R3)
→ V1 = V2×R3
(R2+R3) =
(R2+R3)× I2×R3
(R2+R3) → Z12 =
V1
I2
=R3= 25Ω
Z21 = V2I1
∣∣∣
I2=0
→ V2 =R3× I1 → Z21 = V2
I1
=R3= 25Ω
Z22 = V2I2
∣∣∣
I1=0
→ V2 = (R2+R3)× I2 = (20Ω+50Ω)× I2 = 75 × I2 → Z22 = V2
I2
= 75Ω
10.3.4 Parâmetros de Admitância
Iremos considerar que um quadripolo está composto por elementos lineares e que
não contém fontes independentes, porém pode conter fontes dependentes. Outras
condições também serão impostas em alguns casos especiais
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 180
Figura 230 – Quadripolo ligado à duas fontes de tensão (Adaptado de [2])
Como a rede é linear e não contém fontes independentes, as correntes I1 e I2 podem
ser consideradas como a superposição das componentes devido as duas fontes V1 e V2:{
I1 = y11 V1+ y12 V2
I2 = y21 V1+ y22 V2 (10.8)
Onde as ynm não são mais que constantes de proporcionalidade, ou coeficientes desco-
nhecidos, no presente. Porém, suas unidades de dimensão devem ser AV ou S.
Os parâmetros y são representados em forma concisa como matrizes. Em notação
matricial: I=yV [
I1
I2
]
=
[
y11 y12
y21 y22
] [
V1
V2
]
(10.9)
E após a multiplicação das matrizes y e V:[
I1
I2
]
=
[
y11V1+ y12V2
y21V1+ y22V2
]
(10.10)
Podemos ainda escrever os parâmetros ynm como:
y11 =
I1
V1
∣∣∣
V2=0
(10.11)
y12 =
I1
V2
∣∣∣
V1=0
(10.12)
y21 =
I2
V1
∣∣∣
V2=0
(10.13)
y22 =
I2
V2
∣∣∣
V1=0
(10.14)
Visto que cada parâmetro é uma admitância obtida através de um curto-circuito da
porta de saída ou de entrada, os parâmetros y são conhecidos como Parâmetros de
Admitância de Curto-Circuito.
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 181
Especificamente y11 é conhecida como Admitância de Curto-Circuito de Entrada;
y22 como Admitância de Curto-Circuito de Saída, e os demais parâmetros como Ad-
mitâncias de Curto-Circuito de Transferência;
Exemplo 10.3.2
Achar as admitâncias de curto-circuito da rede resistiva em T abaixo:
Figura 231 – Exemplo 2 (Adaptado de [2])
Solução:
y11 =
I1
V1
∣∣∣
V2=0 →
V1 = (R1+R2||R3)× I1 → y11 = I1
V1
= 1
(R1+R2||R3) = 0,027 S
y12 =
I1
V2
∣∣∣
V1=0
→ V2 = (R2+R1||R3)× I2(poi s V1 e´ um cur to− ci r cui to)
→ I1 = −I2×R3
(R1+R3 → I2 =
−I1× (R1+R3)
R3
→ y12 = I1
V2
= −R3
(R1×R2)+ (R2×R3)+ (R3×R1) =−0,0091 S
y21 =
I2
V1
∣∣∣
V2=0
→ y21 = y12 =−0,0091 S
y22 =
I2
V2
∣∣∣
V1=0
→ V2 = (R1||R3+R2)∗ I2 → y22 = I2
V2
= 1
(R1||R3+R2) = 0,016 S
10.3.5 Parâmetros Híbridos
A dificuldade para medir quantidades como os parâmetros de impedância em circuito
aberto surgem quando devemos medir um parâmetro como z21. Uma corrente senoidal
conhecida é fornecida com facilidade nos terminais de entrada, mas devido ao elevado
excedente da impedância de saída do circuito transistorizado, faz com que se torne
difícil deixar os terminais de saída em circuito aberto, incluindo fornecer as tensões
contínuas necessárias e medir a tensão senoidal de saída. Se torna bem mais fácil
utilizar uma medição de corrente em curto-circuito nos terminais de saída.
Os parâmetros híbridos são definidos escrevendo o par de equações que relacionam
V1, I1, V2 e I2 como se V1 e I2 sejam as variáveis independentes:{
V1 =h11× I1+h12×V2
I2 =h21× I1+h22×V2 (10.15)
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 182
Ou, matricialmente: [
V1
I2]
=
[
h11 h12
h21 h22
] [
I1
V2
]
(10.16)
Os parâmetros híbridos h podem ser obtidos pelas seguintes relações:
h11 = V1I1
∣∣∣
V2=0
(10.17)
h12 = V1V2
∣∣∣
I1=0
(10.18)
h21 = I2I1
∣∣∣
V2=0
(10.19)
h22 = I2V2
∣∣∣
I1=0
(10.20)
Especificamenteh12 é chamado deGanhodeTensão Inverso emCircuitoAberto, sendo
portanto, adimensional; h21 é chamado de Ganho de Corrente Direto em Curto Cir-
cuito, sendo também, adimensional; Os parâmetros h11 e h22 tem dimensões de impe-
dância e admitância, respectivamente
Dado que os parâmetros representam uma impedância, uma admitância, um ganho
de tensão e um ganho de corrente, são conhecidos como parâmetros híbridos.
Podemos observar que os parâmetros híbridos mantém as seguintes relações com
os parâmetros de impedância e admitância:
h11 = 1y11
h21 = y21y11
h12 = z12z22
h22 = 1z22
(10.21)
Essas simplificações são bastante utilizadas quando aplicadas a transistores. Dessa
forma, h11, h12, h21 eh22 são convertidas para hi , hr , h f e ho , respectivamente, onde os
subíndices denotam entrada, inverso, direto e saída.
Exemplo 10.3.3
Achar os parâmetros h da rede resistiva de 2 portas abaixo:
Figura 232 – Exemplo 3 (Adaptado de [2])
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 183
Solução: Da equação de h11:
h11 = V1I1
∣∣∣
V2=0
Curto-circuito na saída:
V1 = (1+6||4)× I1 → h11 = V1
I1
= 3,4Ω
Da equação de h12:
h12 = V1V2
∣∣∣
I1=0
Entrada Circuito Aberto:
V1 = V2×4
(6+4) → h12 =
V1
V2
= 0,4
Da equação de h21:
h21 = I2I1
∣∣∣
V2=0
Curto-Circuito na saída:
−I2 = I1×4
(6+4) → I2 =−0,4× I1 → h21 =
I2
I1
=−0,4
Da equação de h22:
h22 = I2V2
∣∣∣
I1=0
Circuito Aberto na saída:
V2 = (4+6)× I2 → h22 = I2
V2
= 0,1 S
10.3.6 Relação de Parâmetros
y11 = 1ZA +
1
ZB
= 1
Z1+ Z2×Z3(Z2+Z3)
y12 = y21 = −1ZB =
−Z3
(Z1×Z2)+(Z2×Z3)+(Z3×Z1)
y22 = 1ZC +
1
ZB
= 1
Z2+ Z1×Z3(Z1+Z3)
(10.22)
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 184
10.3.7 Modelo pi e T
Figura 233 – pi (Adaptado de [2])
Figura 234 – T (Adaptado de [2])
Transformação entre modelos pi e T:
ZA = (Z1×Z2)+(z2×Z3)+(Z3×Z1)Z2 Z1 =
ZA×ZB
ZA+ZB+ZC
ZB = (Z1×Z2)+(z2×Z3)+(Z3×Z1)Z3 Z2 =
ZB×ZC
ZA+ZB+ZC
ZC = (Z1×Z2)+(z2×Z3)+(Z3×Z1)Z1 Z3 =
ZC×ZA
ZA+ZB+ZC
10.3.8 Exercícios
1. Achar os parâmetros h para as redes resistivas de 2 portas abaixo:
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 185
Figura 235 – Exercício 1 (Adaptado de [2])
Resposta: [
20Ω 1
−1 25 ms
]
[
8Ω 0,8
−0,8 20 ms
]
2. Se a matriz de parâmetros híbridos de uma rede é a mostrada abaixo, achar as
matrizes de admitância e impedância:[
5Ω 2
−0,5 0,1 S
]
Resposta: [
0,2 −0,4
−0,1 0,3
]
S[
15 20
5 10
]
Ω
3. Determine as matrizes Y e Z para os circuitos:
a)
Figura 236 – Exercício 3-a (Adaptado de [2])
b)
Capítulo 10. Bipolos e Quadripolos 186
Figura 237 – Exercício 3-b (Adaptado de [2])
4. Para a rede resistiva de 2 portas abaixo:
Figura 238 – Exercício 4 (Adaptado de [2])
a) Achar as admitâncias de curto-circuito;
b) Achar a matriz de admitâncias;
c) Achar as impedâncias de circuito aberto;
d) Achar a matriz de impedâncias.
Referências
1- Boylestad, Robert L. – Introdução à Análise de Circuitos – Prentice Hall/Pearson, 12ª.
Ed, 2011;
2- Hayt Jr., Willian H. - Análisis de Circuitos en Ingeniería - McGraw-Hill Interamericana,
7ª. Ed, 2012.
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