Lista 15 Séries de Maclaurin e Taylor

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Lista de Cálculo II - Séries de Maclaurin e séries de Taylor. 
1- Encontre a série de Maclaurin da função 𝑓(𝑥) e seu raio de convergência. 
a- 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 resp.: ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛
(2𝑛)!
∞
𝑛=0 𝑅 = ∞ 
b- 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 resp.: ∑
(−1)𝑛22𝑛+1𝑥2𝑛+1
(2𝑛+1)!
∞
𝑛=0 𝑅 = ∞ 
c- 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)−3 resp.: ∑
(−1)𝑛(𝑛+2)(𝑛+1)𝑥𝑛
2
∞
𝑛=0 𝑅 = 1 
d- 𝑓(𝑥) = ln (1 + 𝑥) resp.: ∑
(−1)𝑛−1
𝑛
𝑥𝑛∞𝑛=1 𝑅 = 1 
e- 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥 resp.: ∑
5𝑛𝑥𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0 𝑅 = ∞ 
f- 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 resp.: ∑
𝑥𝑛+1
𝑛!
∞
𝑛=0 𝑅 = ∞ 
2- Encontre a série de Taylor para 𝑓(𝑥) centrada no valor dado de 𝑎 e seu raio de 
convergência. 
a- 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 + 𝑥2, 𝑎 = 2 resp.: 7 + 5(𝑥 − 2) + (𝑥 − 2)2 𝑅 = ∞ 
b- 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , 𝑎 = 3 resp.: ∑
𝑒3
𝑛!
(𝑥 − 3)𝑛∞𝑛=0 𝑅 = ∞ 
c- 𝑓(𝑥) = 𝑥3, 𝑎 = −1 resp.: −1 + 3(𝑥 + 1) − 3(𝑥 + 1)2 + (𝑥 + 1)3 𝑅 = ∞ 
d- 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 , 𝑎 = 2 resp.: ln 2 + ∑ (−1)𝑛−1∞𝑛=0 
(𝑥−2)𝑛
𝑛2𝑛
 𝑅 = 2 
e- 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 , 𝑎 = 𝜋 resp.: ∑ (−1)𝑛+1∞𝑛=0
(𝑥−𝜋)2𝑛
(2𝑛)!
 𝑅 = ∞ 
f- 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 , 𝑎 =
𝜋
2
 resp.: ∑ (−1)𝑛∞𝑛=0 
(𝑥−
𝜋
2
)
2𝑛
(2𝑛)!
 𝑅 = ∞ 
g- 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥
 , 𝑎 = 9 resp.: ∑ (−1)𝑛∞𝑛=0 
1∙3∙5∙ ⋯ ∙(2𝑛−1)
2𝑛32𝑛+1𝑛!
 (𝑥 − 9)𝑛 𝑅 = 9 
h- 𝑓(𝑥) = 𝑥−2, 𝑎 = 1 resp.: ∑ (−1)𝑛(𝑛 + 1)(𝑥 − 1)𝑛∞𝑛=0 𝑅 = 1