trigonometria no triangulo retangulo e medidas de arcos e angulos na circunferencia

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Trigonometria no Triângulo Retângulo e 
Medidas de arcos e ângulos na circunferência 
Notas de Aula 02 – 
Semestre 2 - 2010 
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática – 
Osasco -2010 
 
 
1 
 
Triângulo Retângulo 
São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados 
de um triângulo retângulo é “oposto” ao vértice onde se encontra o ângulo reto 
e á chamado de hipotenusa. Os outros dois lados menores são chamados de 
catetos. 
Exemplo: 
 
 
O ângulo do vértice em é reto. 
 
O lado é a hipotenusa. 
 
Os lados e são os catetos. 
 
O lado é oposto ao ângulo , e é 
adjacente ao ângulo . 
 
O lado é oposto ao ângulo , e é 
adjacente ao ângulo . 
 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
Consideremos um triângulo retângulo qualquer: 
 
No : 
 é a medida do cateto . 
 é a medida do cateto . 
 é a medida da hipotenusa. 
 é a altura do triângulo quando se 
 toma por base a hipotenusa ( ) 
 é o ângulo formado no vértice 
 é o ângulo formado no vértice 
 
Os e são retângulos e 
são semelhantes ao , pois 
pode-se concluir que os três 
triângulos possuem os três ângulos 
internos congruentes. 
 
 
 
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Medidas de arcos e ângulos na circunferência 
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2 
 
Pela semelhança dos triângulos , , e , temos as seguintes relações 
entre as medidas: 
Como 
 
 
 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
 
 
, o que implica que o produto dos catetos é igual ao produto da altura pela 
hipotenusa. 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras 
Das relações (1) e (2) acima, temos 
 
Mas, 
Então 
 
Concluímos, 
 
 
Trigonometria no Triângulo Retângulo 
 
 
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Se tomarmos vários triângulos retângulos semelhantes, digamos , 
 ,..., , podemos dispô-los conforme a figura abaixo: 
 
Ao tomarmos os triângulos deste conjunto, por semelhança de triângulos 
teremos que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e a 
hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão 
chamamos de “seno” do ângulo e representamos por . 
Também por semelhança de triângulos teremos que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a 
hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre constante. A esta razão 
chamamos de “cosseno” do ângulo e representamos por . 
Também por semelhança de triângulos teremos que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a razão entre o cateto oposto a um determinado ângulo e o cateto 
adjacente ao mesmo ângulo de um triângulo retângulo é sempre constante. A 
esta razão chamamos de “tangente” do ângulo e representamos por . 
Ainda por semelhança de triângulos teremos que : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ou seja, a razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e o 
cateto oposto ao mesmo ângulo de um triângulo retângulo é sempre constante. 
A esta razão chamamos de “cotangente” do ângulo e representamos por 
 . 
 
Resumindo : 
Dado um triângulo retângulo qualquer de ângulos internos e , teremos 
sempre que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das relações acima concluímos diretamente que o seno de um ângulo é igual 
ao cosseno de seu complementar , o cosseno de um ângulo é igual ao seno de 
seu complementar, e que a tangente de um ângulo é igual a cotangente (ou ao 
inverso da tangente) de seu complementar. 
Lembrando: Ângulos complementares são aqueles cuja soma das medidas 
resulta em um ângulo reto. 
 
 
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Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razões Trigonométricas para alguns ângulos Notáveis 
Consideramos os valores de , comovalores de ângulos 
notáveis, para os quais os valores de Seno, Cosseno e Tangente estão listados 
na tabela abaixo. 
Medida do 
âgulo (em 
graus) 
seno cosseno tangente cotangente 
 Não há 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não há 
 
Observação: 
 como a medida dos catetos nunca excede a medida da hipotenusa de 
um triângulo retângulo, os valores de seno e cosseno dos ângulos 
internos ao triângulo nunca excedem o valor de 1. 
 Note que quanto temos ângulos internos de , não temos 
triângulos de fato, mas podemos estender o cálculo do seno e cosseno 
para estes casos. 
 
 
 
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Encontrando o valor de um ângulo a partir do valor de uma razão 
trigonométrica. 
Se pensarmos em estabelecer uma relação entre o conjunto dos ângulos 
no intervalo e o conjunto dos números reais, veremos que tal relação é 
uma função injetora. Portanto, pode-se estabelecer uma “função inversa” pela 
qual, a partir de uma valor dado de , podemos encontrar o valor de . 
Sendo assim definimos para os ângulos internos de um triângulo 
retângulo que : 
Se , então , e se , então . 
Ou seja, 
 
 
 
Da mesma forma definimos: 
 
 
 
e 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Arcos de Circunferência 
Um arco de circunferência é a curva que temos que percorrer sobre uma 
circunferência para sairmos de um ponto A sobre ela e atingirmos um ponto B 
sobre ela. Abaixo estão exemplificados os arcos , e 
 
 
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Note que, dados dois pontos sobre uma circunferênciahá duas possibilidades 
para traçarmos arcos ligando estes dois pontos. 
O Radiano 
O radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que contém o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um 
arco de medida igual a 1 radiano. 
 
Sabemos que a razão entre o diâmetro de uma circunferência e seu perímetro 
é sempre igual a 3,1415927..., que é um número irracional que chamamos de 
 . Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferência, temos 
 
 
 
 
Então, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de 
circunferência completo (ou simplemente uma circunferência) terá sempre o 
comprimento de rad. 
A correspondência entre radianos e graus 
Estabelecemos a seguinte correspondência para a conversão de unidades de 
medida de arco de circunferência: 
 
 
Medidas de arcos e ângulos 
 
 
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Dado um ângulo , consideremos uma circunferência de centro e raio . 
Sejam e os pontos onde os lados do ângulo intercepta a 
circunferência traçada. 
 
Fazendo construções desta forma, a cada arco corresponderá um único 
ângulo . Convencionando que a um arco unitário corresponde um ângulo 
central unitário, decorre que o arco e o ângulo central correspondente 
passam a ter a mesma medida. 
 
Comprimento de arcos de circunferência 
Da forma como definimos, dado um arco de circunferência medido em 
radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo 
comprimento é ( o raio da circunferência). Então, dado o raio da 
circunferência e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco 
da circunferência ( ) será dado por: . 
 
 
 
 
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Exercícios 
1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relação à hipotenusa num 
triângulo retângulo cujos catetos medem 3 e 4. 
Resposta: medida da hipotenusa . 
Altura em relação à hipotenusa 
 
 
. 
 
2)Calcule as medidas x,y,z e t, no triângulo abaixo: 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
3)Calcular a área de um triângulo retângulo em que as projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e . 
Resposta: . 
 
4)Qual é a hipotenusa de um triângulo retângulo de perímetro 56 e altura 
igual a 
 
 
. 
Resposta: 25 
 
5)A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada 
colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. Calcule o 
comprimento dessa escada. 
 
 
 
 
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6)Na figura tem-se que 
BCAB 
 e F é ponto médio do lado 
BE
 do retângulo 
BCDE. 
 
Qual é a área do retângulo 
BCDE? 
 
7)Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, 
determine o valor de x: 
a) b) 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
8)Com base no triângulo abaixo, assinale a alternativa correta. 
 
6 
n 12 
 
3 9 
b 
 
3 
62
 
x 
y 
 
h 
b 
c 
a 
2 4 
 
 
 
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9)Assinale a opção correta dentre as alternativa abaixo. 
 
 
10)O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma 
encosta, ao topo da encosta é de 60º. Que medida deve ter um cabo 
para ligar o pé da árvore ao topo da encosta? 
 
 
11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o 
barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob 
um ângulo de 45º. Qual deve ser a distância entre o barco e costa, se a 
distância entre os observadores é igual a 50 metros? 
 
12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direção de seu 
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a 
largura do rio 60 m, qual a distância AB percorrida pelo barco na viagem 
que faz de uma margem à outra? 
 
13)Calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo no qual os 
catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se não encontrar valores notáveis para 
as relações trigonométricas dê a resposta em função da “relação 
trigonométrica inversa. 
Resposta: Os dois ângulos internos medem 
 
 
 e 
 
 
 . 
 
14)Calcular os lados de um triângulo retângulo cuja altura em relação à 
hipotenusa é 4 e um dos ângulos é . 
Resposta: hipotenusa=
 
 
. Catetos: 
 
 
 e . 
 
 
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15)Calcule os ângulos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20, 
sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se não 
encontrar valores notáveis para as relações trigonométricas dê a 
resposta em função da “relação trigonométrica inversa. 
Lembrete: a mediana de um triângulo é a reta que liga um vértice deste 
triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
16) (FFCLUSP – 66) 
Na figura ao lado, os ângulos 
 e , i= 1,2,... são 
retos. Quanto vale a soma dos 
segmentos , , ...em 
função da medida de 
( ) e de ? 
 
Resposta:
 
 
 
 
17)Calcular o ângulo formado pela diagonal e o menor lado de um 
retângulo cujos lados estão na razão 
 
 
. Se não encontrar valores 
notáveis para as relações trigonométricas dê a resposta em função da 
“relação trigonométrica” inversa. 
Resposta: 
 
 
 . 
 
18)Calcular a área de um triângulo isóceles cuja base mede 2 e 
 . 
 
Resposta: . 
 
 
 
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19) Um observador vê o topo de um prédio, construído em um terreno 
plano, sob um ângulo de . Afatando-se do edifício mais 30 metros, 
ele passa a ver o topo do prédio sob um ângulo de . Qual é a altura 
do prédio? 
 
Resposta: 
 
 
 metros. 
 
20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 
30º. Caminhando 24 m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, de 
onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60º. Desprezando a 
altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio. 
 
 
 
21)Para medir a altura de um prédio, um agrimensor sobe ao seu topo e 
avista a base de uma árvore sob um ângulo de depressão de 30º(ver 
figura). Em seguida, mede a distância do prédio à árvore e registra 
120√3m. Qual é a altura do prédio? 
 
 
 
 
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22)Para obter a altura H de uma chaminé, um engenheiro, com um 
aparelho especial, estabeleceu a horizontal AB e mediu os ângulos e 
 tendo a seguir medido BC=h. Qual é a altura da chaminé em função 
de e h ? 
 
Resposta: 
 
 
 
 
23)A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o 
piso horizontal. De quanto deve ser a medida aproximada de AT para 
que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 
metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da 
horizontal? 
 
 
 
24) Converter para radianos 
 
a. (Resposta:
 
 
) 
b. (Resposta:
 
 
) 
c. (Resposta:
 
 
) 
d. (Resposta:
 
 
) 
e. (Resposta:
 
 
) 
 
 
 
 
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25) Converter para Graus 
 
a. 
 
 
(Resposta: ) 
b. 
 
 
(Resposta: ) 
c. 
 
 
(Resposta: ) 
d. 
 
 
(Resposta: ) 
e. 
 
 
(Resposta: ) 
 
26) Transforme em radianos e 
 
 
 radianos em graus. 
Resposta: 
 
 
 , e 
 
 
 . 
 
27)Converter para radianos: 
a. (Resposta: 
 
 
) 
b. (Resposta: 
 
 
) 
 
28)Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento 
contido numa circunferência de raio igual a 8 cm ? 
Resposta: 2,5 radianos. 
 
29)Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede 
10 cm. Calcular a medida do arco em radianos. 
Resposta: 3 rad. 
 
30)Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo de , 
contido numa circunferência de raio igual a 1 cm ? 
Resposta:
 
 
 cm. 
 
31)O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 cm. Qual é a distância 
que sua extremidade percorre em 30 minutos? 
Resposta: Aproximadamente 31,4 cm. 
 
32) Calcular a medida do ângulo central que um arco de comprimento 
 
 
 
determina em uma circunferência de raio . 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
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33)Calcular o menor dos ângulos formados pelos ponteiros de um relógio 
que está marcando: 
 
a. 1 h (Resposta: ) 
b. 1 h 15 min (Resposta: ) 
c. 1 h 40 min. (Resposta: ) 
 
 
 
Referências 
Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3. 
Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003. 
Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 
3. Ed Atual. São Paulo. 1977.