Prova de Cálculo a uma Variável

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
T3 14 junho de 2013 (versa˜o I)
In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 2
2a 1, 2
3a 1, 6
Total 4, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta de tinta azul ou preta. E´
proibido escrever com caneta de tinta verde ou vermelha.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. Se voceˆ usar o verso da folha, indique
explicitamente na frente da folha.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
1. Considere a func¸a˜o f : R→ R, dada por f(x) = 1
x2 + 1
.
(a) Determine, se houver, os intervalos nos quais f e´ crescente.
(b) Determine, se houver, os intervalos nos quais o gra´fico de f tem concavidade para
cima.
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f . Marque no seu gra´fico pelo menos um ponto
(x0, f(x0)) com valores expl´ıcitos de x0 e f(x0). Esboce tambe´m, pontilhadas,
as retas tangentes ao gra´fico de f nos pontos em que a derivada e´ zero e nos pontos
de inflexa˜o.
2. O desenho de um retaˆngulo feito no computador esta´ sendo ampliado. No instante em
que a altura e´ 4 cm e a a´rea e´ 20 cm2, a a´rea do retaˆngulo esta´ crescendo 36 cm2/s e
a altura esta´ decrescendo 5 cm/s. A que taxa esta´ variando a base do retaˆngulo nesse
instante? Obs: Fornec¸a as unidades na sua resposta.
3. Em cada item abaixo, derive f :
(a) f(x) =
√
x− 3
cos(5x)
(b) f(x) =
(
5
x2
− 2
x3
)1/5
(c) f(x) =
2x3 − x2
−5 x+ 1 +
3
√
pi x
(d) f(x) = sen ((g(x))3 − x4), onde g e´ uma func¸a˜o deriva´vel.
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
T3 14 junho de 2013 (versa˜o II)
In´ıcio: 17:00 Te´rmino: 18:50
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 2
2a 1, 2
3a 1, 6
Total 4, 0
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta de tinta azul ou preta. E´
proibido escrever com caneta de tinta verde ou vermelha.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro. Se voceˆ usar o verso da folha, indique
explicitamente na frente da folha.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
1. Considere a func¸a˜o f : R→ R, dada por f(x) = 1
3 x2 + 1
.
(a) Determine, se houver, os intervalos nos quais f e´ decrescente.
(b) Determine, se houver, os intervalos nos quais o gra´fico de f tem concavidade para
cima.
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f . Marque no seu gra´fico pelo menos um ponto
(x0, f(x0)) com valores expl´ıcitos de x0 e f(x0). Esboce tambe´m, pontilhadas,
as retas tangentes ao gra´fico de f nos pontos em que a derivada e´ zero e nos pontos
de inflexa˜o.
2. O desenho de um retaˆngulo feito no computador esta´ sendo ampliado. No instante em
que a altura e´ 10 cm e a a´rea e´ 30 cm2, a a´rea do retaˆngulo esta´ crescendo 40 cm2/s e
a altura esta´ decrescendo 5 cm/s. A que taxa esta´ variando a base do retaˆngulo nesse
instante? Obs: Fornec¸a as unidades na sua resposta.
3. Em cada item abaixo, derive f :
(a) f(x) =
(
5
x3
− 2
x4
)1/3
(b) f(x) =
√
x− 5
cos(3x)
(c) f(x) =
2x4 − x2
−3 x+ 1
(d) f(x) = sen ((g(x))4 − x3), onde g e´ uma func¸a˜o deriva´vel.