Lista 3

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Prof. Rafael Clarim - Cálculo III
Lista III
Teorema de Green
Questão 1: Resolva o que se pede abaixo, utilizando o Teorema de Green (todas as curvas estão
orientadas no sentido positivo):
(a)
∫
C
F1dx+ F2dy, onde F(x,y) = [arctang
(
y
x
)
, ln(x2 + y2)] e C é definida, em coordenadas polares,
por 1 < r < 2 e 0 < θ < pi;
(b)
∫
C
F1dx+ F2dy, onde F(x,y) = [−sen(y), xcos(y)] e C é definida pelo quadrado cujos vértices
são (0,0), (pi/2, 0), (pi/2, pi/2) e (0, pi/2);
(c)
∫
C
xydx+ x2y3dy, onde C é o triângulo com vértices nos pontos (0, 0),(1, 0) e (1, 2);
(d) A área da região limitada pela curva σ(t) =
(
t2, t
3
3 − 1
)
, com t pertencendo ao intervalo [−√3,√3] ;
(e)
∫
C
F1dx+ F2dy, onde F(x,y) = (x
3 + xy2, yx2 + y3 + 3x) e C é a fronteira da região x
2
9 +
y2
4 ≤ 1 ;
(f)
∫
C
x−1eydx+ (eylnx+ 2x)dy, onde C é a fronteira da região limitada por x = y4 + 1 e x=2;
(g)
∫
C
F1dx+ F2dy, onde F(x,y) = (2xy + e
x2 , x2 + 2x+ cos(y2)) na região interior a elípse x
2
25 +
y2
9 = 1
e exterior a circunferência x2 + y2 = 4;
(h)
∫
C
(ex
3
+ y2)dx+ (x+ y5)dy, onde C é formada por y = x e y = 0, 0 < x < 1, que vai do ponto (1,1) a (1,0);
(i)
∫
C
F1dx+ F2dy, onde F(x,y) =
(
−y
x2+y2 ,
x
x2+y2
)
, onde C é a fronteira do quadrado de vértices
(-1,-1), (1,-1), (1,1), (-1,1);
(j)
∫
C
x2dx+ xydy, onde C é a fronteira do retângulo de vértices (0,0), (3,0), (3,1), (0,1).
1
Campos Conservativos no Plano
Questão 2: Resolva o que se pede abaixo, com base nos estudos de campos conservativos no plano:
(a) A partir da integral de linha
∫
C
(y2 − xy)dx + k(x2 − 4xy)dy, determine o valor da constante k
para que a integral independa do caminho e, a partir desse valor de k, determine o valor da integral de
A = (0,0) e B(1,1) ;
(b) Encontre uma função potencial para F (x, y) = (2xy3 − y2cosx, 1− 2ysenx+ 3x2y2) ;
(c) Mostre que a integral
∮
C
F1(x, y)dx + F2(x, y)dy é nula para qualquer caminho fechado C no
domínimo das funções F1 e F2, onde: (ci) F1(x, y) = senx+4xy e F2(x, y) = 2x
2−cosy; (cii) F1(x, y) =
y
x2+y2 e F2(x, y) =
−x
x2+y2 (em cii não envolve a origem);
(d) Verifique que a integral
∫ (x0,y0)
(0,0)
senydx+ xcosydy independe do caminho e calcule o seu valor;
(e) Encontre todos os possíveis valores de
∫
C
(x+y)dx+(y−x)dy
x2+y2 , onde C é uma curva fechada qualquer
que não passa pela origem;
2
Gabarito
Questão 1:
(a) 0;
(b) pi ;
(c)
2
3 ;
(d)
8
5
√
3;
(e) 18pi;
(f)
16
5 ;
(g) 22pi;
(h) -1;
(i) 2pi;
(j)
3
2 .
Questão 2:
(a) k = − 12 e integral = 12
(b) f(x, y) = x2y3 − y2senx+ y
(d) x0seny0
(e) 0, 2pi,−2pi.
3