Tópico 7 Campo Magnético Parte 3 08 05 18 Júlio

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Tópico 7
CAMPO MAGNÉTICO
(parte 3)
Força magnética em um fio percorrido por corrente
Quando o fio for retilíneo “e” o campo magnético 𝑩 uniforme, a força vale
𝑭𝑩 = 𝒊𝑳 × 𝑩
𝑭𝑩 = 𝒊𝑳𝑩𝒔𝒆𝒏𝒐(∅)
onde
• 𝑳: vetor comprimento do condutor [m];
• 𝒊: corrente elétrica, que é uma grandeza escalar [A]. 
O módulo da força magnética é calculado por 
onde ∅ representa o ângulo entre os vetores 𝑳 e 𝑩. 
OBS.: quando usar a fórmula
do módulo, pode-se definir a
orientação de 𝑭𝑩 usando a
regra da “mão direita”.
Força magnética em um fio percorrido por corrente
Quando o fio não for retilíneo, o cálculo
da força magnética usa os diferenciais.
1) 𝑑 Ԧ𝐹𝐵 = 𝑑𝑞 ∙ ( Ԧ𝑣 × 𝐵)
2) 𝑑 Ԧ𝐹𝐵 = 𝑑𝑞 ∙
𝑑𝐿
𝑑𝑡
× 𝐵
3) 𝑑 Ԧ𝐹𝐵 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
∙ (𝑑𝐿 × 𝐵)
𝑑 Ԧ𝐹𝐵 = 𝑖 ∙ (𝑑𝐿 × 𝐵)
Cálculo da força magnética ( Ԧ𝐹𝐵)
Exemplo 3
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑖𝐿 × 𝐵 = [i ∙ 𝐿 ∙ 𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃 ]෠𝑘
Um segmento de fio de 3 mm de comprimento é
percorrido por uma corrente de 3 A na direção x. O fio
está em um campo magnético B=0,02 T que está no plano
xy fazendo um ângulo de 30° com o eixo x. Qual a força
magnética 𝑭𝑩 exercida no segmento de fio?
Resolução:
A força magnética sobre um fio imerso em um campo magnético vale
Ԧ𝐹𝐵 = [3 ∙ 3 ∙ 10
−3 ∙ 0,02 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑜 30° ]෠𝑘
Ԧ𝐹𝐵 = 9 ∙ 10
−5 𝑁 ෠𝑘
Nota: como esperado, a força Ԧ𝐹𝐵 é perpendicular ao plano formado por 𝑖𝐿 e 𝐵.
Resposta: 9 ∙ 10−5 𝑁 ෠𝑘
Torque em uma espira de corrente
• Neste caso, o fio condutor é representado por um circuito fechado em forma de espira;
• Uma corrente 𝑖 circula por toda a espira, interagindo com o campo 𝐵, oriundo dos polos;
• Dessa interação, surge uma força magnética em cada uma dos quatro lados da espira.
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑖𝐿 × 𝐵
Torque em uma espira de corrente
A força magnética deve ser calculada para os quatro lados da espira.
Lado 1 Ԧ𝐹𝐵1 = 𝑖𝐿1 × 𝐵
NA FIGURA AO LADO, A ESPIRA
É VISTA NO SENTIDO DO POLO
NORTE PARA O POLO SUL
(vista lateral esquerda).
Lado 2 Ԧ𝐹𝐵2 = 𝑖𝐿2 × 𝐵
Lado 3 Ԧ𝐹𝐵3 = 𝑖𝐿3 × 𝐵
Lado 4 Ԧ𝐹𝐵4 = 𝑖𝐿4 × 𝐵
Ԧ𝐹𝐵 = 𝑖𝐿 × 𝐵
𝐵
Torque em uma espira de corrente
Lado 1 Ԧ𝐹𝐵1 = 𝑖𝐿1 × 𝐵
Lado 2 Ԧ𝐹𝐵2 = 𝑖𝐿2 × 𝐵
Lado 3 Ԧ𝐹𝐵3 = 𝑖𝐿3 × 𝐵
Lado 4 Ԧ𝐹𝐵4 = 𝑖𝐿4 × 𝐵
As forças Ԧ𝐹𝐵2 e Ԧ𝐹𝐵4 estão na direção do eixo da 
espira, não produzindo torque (ou binário). 
As forças Ԧ𝐹𝐵1 e Ԧ𝐹𝐵3 possuem 𝜃 = 90° para qualquer ponto 
nos lados 1 e 3, respectivamente, ao longo do giro da espira.
Sendo assim, somente as forças 𝑭𝑩𝟏 e 𝑭𝑩𝟑 contribuem para o torque sendo calculadas por 
Ԧ𝐹𝐵1 = Ԧ𝐹𝐵3 = 𝑖𝐿𝐵 = 𝑖𝑎𝐵
𝐵
Torque em uma espira de corrente
De acordo com a equação do torque
Ԧ𝜏1 =
𝑏
2
× Ԧ𝐹𝐵1 =
𝑏
2
𝐹𝐵1𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃)
Ԧ𝜏3 =
𝑏
2
× Ԧ𝐹𝐵3 =
𝑏
2
𝐹𝐵3𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃)
Ԧ𝜏 = Ԧ𝜏1 + Ԧ𝜏3
Ԧ𝜏 = 𝑖𝑎𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃 = 𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃)
Sabendo, pela página anterior, que Ԧ𝐹𝐵1 = Ԧ𝐹𝐵3 = 𝑖𝐿𝐵 = 𝑖𝑎𝐵
O torque total é a soma dos torques produzidos pelas forças Ԧ𝐹𝐵1 e Ԧ𝐹𝐵3
Ԧ𝜏 =
𝑏
2
𝐹𝐵1𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃 +
𝑏
2
𝐹𝐵3𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃)
Torque em uma espira de corrente
Ԧ𝜏 = 𝑖𝑎𝑏𝐵𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃 = 𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃)
Onde,
• 𝑁: é o número de espiras, adimensional;
• 𝑖 : é a corrente elétrica [A];
• 𝐴: é a área do laço da espira [m²];
• 𝐵: é o campo magnético [T].
Por fim, havendo uma quantidade de espiras maior, a fórmula do torque fica 
Ԧ𝜏 = 𝑁𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝑜(𝜃)
Da página anterior
Exemplo 4
Uma enrolamento circular com 20 voltas de
fio repousa em um campo magnético uniforme
B = 0,5 T, de maneira que a normal ao plano do
enrolamento faz um ângulo ϴ = 60° com a
direção de B. Os lados da espira valem a = 6 cm
e b = 4 cm, e por ela circula uma corrente de 3 A.
(a) Qual o módulo e sentido (fig. 2) das forças
que produzem o torque?
(b) Qual o módulo do torque exercido sobre o
enrolamento?
𝜃
𝑛
𝐵Ԧ𝐹
Ԧ𝐹
Resposta:
a) Ԧ𝐹𝐵 = 18 𝑁, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 (𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑜);
b) τ = 0,088 𝑁𝑚;
𝑛
𝐹𝐵 = 𝑁𝑖𝐿𝐵
τ = 𝑁𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃
Momento de dipolo magnético (𝝁)
Ԧ𝜏 = Ԧ𝜇 × 𝐵
A orientação do vetor ( Ԧ𝜇) de momento de dipolo
magnético pode ser encontrada conforme descrito na
figura ao lado:
• A mão “abraça” a espira no mesmo sentido da corrente;
• O dedo indicador mostra a orientação do vetor Ԧ𝜇.
Ԧ𝜇 = 𝑖 Ԧ𝐴
O momento de dipolo magnético é calculado por
Onde Ԧ𝐴 (unidade em m²) é um vetor perpendicular ao plano da espira 
cujo módulo é justamente a área do plano da espira. 
O torque pode ser calculado em função do momento de dipolo magnético por
A energia potencial de um dipolo magnético na presença de um campo magnético vale
𝑈 = − Ԧ𝜇 ∙ 𝐵
Exemplo 5
Em um enrolamento quadrado de 12 voltas, com
comprimento total de 40 cm, passa uma corrente de 3 A. O
enrolamento está localizado em um plano xy de maneira
que sobre o enrolamento atua um campo magnético
uniforme 𝐵 = 0,3 𝑇 Ƹ𝑖 + 0,4 𝑇෠𝑘.
(a) Encontre o momento magnético sobre o enrolamento;
(b) Calcule o torque exercido sobre o enrolamento;
(c) Qual a energia potencial sobre o enrolamento?
Resposta:
(a) Ԧ𝜇 = 3,6 𝐴𝑚2 ෠𝑘;
(b) τ = 1,08 𝑁𝑚 Ƹ𝑗;
(c) 𝑈 = −1,44 𝐽.
Exemplo 6
Há um anel formado por dois semicírculos concêntricos, conectados por fios retilíneos,
conforme a figura ao lado. Uma corrente de 1,5 A percorre os condutores conforme o sentido
indicado na figura. Qual o momento magnético do anel de corrente?
Resposta: Ԧ𝜇 = 0,377 𝐴𝑚2.