AP1 PreCalculo Eng 2018 1 gabarito CEDERJ

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Gabarito da AP 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018/1
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
Considere a equac¸a˜o
√
1− 2x = |x|+ 1.
a) [0,5 ponto] Determine para quais valores de x a expressa˜o
√
1− 2x esta´ bem definida.
b) [1,5 ponto] Resolva a equac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
a) A expressa˜o
√
1− 2x esta´ bem definida se 1− 2x ≥ 0, ou seja, se x ≤ 1/2.
b) Vamos considerar o quadrado de ambos os membros, e a equac¸a˜o continua sendo satisfeita:
(
√
1− 2x)2 = (|x|+ 1)2 =⇒ 1− 2x = |x|2 + 2|x|+ 1.
Temos dois casos a considerar: (i) x ≥ 0 (pois da´ı |x| = x) e (ii) x < 0 (assim, |x| = −x).
Analisando ambos os casos na equac¸a˜o acima:
(i) 1− 2x = |x|2 + 2|x|+ 1 = x2 + 2x+ 1⇒ x2 + 4x = 0, cujas soluc¸o˜es sa˜o x = 0 e x = −4.
Entretanto, −4 deve ser desconsiderado ja´ que estamos no caso x ≥ 0.
(ii) 1− 2x = |x|2 + 2|x|+ 1 = x2 − 2x + 1⇒ x2 = 0, cuja u´nica soluc¸a˜o e´ x = 0.
Como x = 0 satisfaz o requisito do item (a), enta˜o e´ u´nica a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Questa˜o 2 [3,0 pontos]
Considere a expressa˜o E(x) =
(x + 3)
(x− 1)(x + 2).
Fac¸a o que se pede:
(a)[0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
Soluc¸a˜o: Note que E(x) = 0, se e somente se, x + 3 = 0.
Assim, x = −3
(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressa˜o escrita na
tabela. Observe que o estudo do sinal ja´ foi feito para a expressa˜o x + 3.
Soluc¸a˜o:
x < −3 −3 < x < −2 −2 < x < 1 x > 1
x + 3 −−−− + + + + + + + + +
x− 1 −−−− −−− −−− + + +
x + 2 −−−− −−−− + + + + + +
E(x) = (x+3)
(x−1)(x+2) −−−− + + + −−− + + +
(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
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Soluc¸a˜o:
Pelo o estudo do sinal feito no item (b), temos que:
E(x) < 0 para x ∈ (−∞,−3) ∪ (−2, 1).
O enunciado abaixo refere-se a`s questo˜es 3 e 4.
Uma pequena vin´ıcola produz 10 garrafas de vinho por dia. O produtor acredita que se
aguardar bastante tempo, tera´ uma grande reserva para vender e ganhara´ mais. Entretanto, o
prec¸o de cada garrafa, que hoje e´ de 80 reais, esta´ se depreciando 10 centavos por dia.
Questa˜o 3 [1,5 ponto]Escreva as expresso˜es que determinam o nu´mero de garrafas, o
prec¸o de cada uma, e a receita (ganhos) da vin´ıcola apo´s t dias, supondo que o produtor na˜o
possui garrafas em estoque.
Soluc¸a˜o: O nu´mero de garrafas produzidas por dia e´ dada por 10t. O prec¸o de cada garrafa e´
80− 0, 1t. Assim, como a receita e´ o nu´mero de garrafas multiplicado pelo prec¸o de cada uma,
temos que ela fica 10t(80− 0, 1t) = 800t− t2.
Questa˜o 4 [1,5 ponto] Determine o melhor dia para a venda da produc¸a˜o, e apo´s quanto
tempo a receita da vin´ıcola sera´ igual a zero, se pelo menos um dia se passou.
Soluc¸a˜o:
O melhor dia para a venda sera´ o valor de t para o qual a receita e´ ma´xima. Como a receita
e´ uma expressa˜o quadra´tica, representada por uma para´bola com a concavidade para baixo
neste caso, este valor de t e´ o que nos da´ o ve´rtice da para´bola. As ra´ızes de y = 800t− t2 sa˜o
t = 0 e t = 800. A me´dia entre as ra´ızes e´ 400, que nos da´ a abcissa do ve´rtice da para´bola.
Portanto t = 400 e´ o dia que nos da´ a receita ma´xima para a vin´ıcola.
A receita da vin´ıcola e´ zero se t = 800, ja´ que o enunciado pede que t > 0 (pelo menos um
dia se passou).
Questa˜o 5 [1,0 ponto] Determine a equac¸a˜o da reta r que corta o eixo Ox em x = −2 e
o eixo Oy em y = 3.
Soluc¸a˜o: Se a reta r corta o eixo Ox em x = −2, enta˜o a reta conte´m o ponto (−2, 0) e se
corta o eixo Oy em y = 3, enta˜o a reta conte´m o ponto (0, 3). Assim, o coeficiente angular da
reta r e´: m = 3−0
0−(−2) =
3
2
Logo, y − 3 = 3
2
x. Portanto, y =
3x
2
+ 3 e´ a equac¸a˜o da reta r.
Questa˜o 6 [1,0 ponto] Determine a equac¸a˜o da reta s, que passa pelo ponto A = (1, 2)
e e´ perpendicular a` reta r de equac¸a˜o 2y + 6x + 14 = 0. Responda se esta reta s passa por
B = (−1, 1).
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Soluc¸a˜o: A reta 2y + 6x + 14 = 0 pode ser escrita como y + 3x + 7 = 0, dividindo todos os
coeficientes por 2. Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o y = −3x− 7, temos que o
coeficiente angular da reta s e´ ms = − 1−3 = 13 .
Assim, a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y − 2 = 1
3
(x− 1).
Logo, y =
x + 5
3
e´ a equac¸a˜o da reta s, que passa pelo ponto A = (1, 2) e e´ perpendicular a`
reta r, 2y + 6x + 14 = 0.
Substituindo as coordenadas de B em y =
x + 5
3
, temos 1 =
4
3
, absurdo. Logo, B na˜o
pertence a` reta s.
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