AP1 PreCalculo Eng 2018 1 gabarito CEDERJ
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AP1 PreCalculo Eng 2018 1 gabarito CEDERJ


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Gabarito da AP 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018/1
Questa\u2dco 1 [2,0 pontos]
Considere a equac¸a\u2dco
\u221a
1\u2212 2x = |x|+ 1.
a) [0,5 ponto] Determine para quais valores de x a expressa\u2dco
\u221a
1\u2212 2x esta´ bem definida.
b) [1,5 ponto] Resolva a equac¸a\u2dco.
Soluc¸a\u2dco:
a) A expressa\u2dco
\u221a
1\u2212 2x esta´ bem definida se 1\u2212 2x \u2265 0, ou seja, se x \u2264 1/2.
b) Vamos considerar o quadrado de ambos os membros, e a equac¸a\u2dco continua sendo satisfeita:
(
\u221a
1\u2212 2x)2 = (|x|+ 1)2 =\u21d2 1\u2212 2x = |x|2 + 2|x|+ 1.
Temos dois casos a considerar: (i) x \u2265 0 (pois da´\u131 |x| = x) e (ii) x < 0 (assim, |x| = \u2212x).
Analisando ambos os casos na equac¸a\u2dco acima:
(i) 1\u2212 2x = |x|2 + 2|x|+ 1 = x2 + 2x+ 1\u21d2 x2 + 4x = 0, cujas soluc¸o\u2dces sa\u2dco x = 0 e x = \u22124.
Entretanto, \u22124 deve ser desconsiderado ja´ que estamos no caso x \u2265 0.
(ii) 1\u2212 2x = |x|2 + 2|x|+ 1 = x2 \u2212 2x + 1\u21d2 x2 = 0, cuja u´nica soluc¸a\u2dco e´ x = 0.
Como x = 0 satisfaz o requisito do item (a), enta\u2dco e´ u´nica a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco.
Questa\u2dco 2 [3,0 pontos]
Considere a expressa\u2dco E(x) =
(x + 3)
(x\u2212 1)(x + 2).
Fac¸a o que se pede:
(a)[0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
Soluc¸a\u2dco: Note que E(x) = 0, se e somente se, x + 3 = 0.
Assim, x = \u22123
(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressa\u2dco escrita na
tabela. Observe que o estudo do sinal ja´ foi feito para a expressa\u2dco x + 3.
Soluc¸a\u2dco:
x < \u22123 \u22123 < x < \u22122 \u22122 < x < 1 x > 1
x + 3 \u2212\u2212\u2212\u2212 + + + + + + + + +
x\u2212 1 \u2212\u2212\u2212\u2212 \u2212\u2212\u2212 \u2212\u2212\u2212 + + +
x + 2 \u2212\u2212\u2212\u2212 \u2212\u2212\u2212\u2212 + + + + + +
E(x) = (x+3)
(x\u22121)(x+2) \u2212\u2212\u2212\u2212 + + + \u2212\u2212\u2212 + + +
(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Pa´gina 1 de ??
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Soluc¸a\u2dco:
Pelo o estudo do sinal feito no item (b), temos que:
E(x) < 0 para x \u2208 (\u2212\u221e,\u22123) \u222a (\u22122, 1).
O enunciado abaixo refere-se a`s questo\u2dces 3 e 4.
Uma pequena vin´\u131cola produz 10 garrafas de vinho por dia. O produtor acredita que se
aguardar bastante tempo, tera´ uma grande reserva para vender e ganhara´ mais. Entretanto, o
prec¸o de cada garrafa, que hoje e´ de 80 reais, esta´ se depreciando 10 centavos por dia.
Questa\u2dco 3 [1,5 ponto]Escreva as expresso\u2dces que determinam o nu´mero de garrafas, o
prec¸o de cada uma, e a receita (ganhos) da vin´\u131cola apo´s t dias, supondo que o produtor na\u2dco
possui garrafas em estoque.
Soluc¸a\u2dco: O nu´mero de garrafas produzidas por dia e´ dada por 10t. O prec¸o de cada garrafa e´
80\u2212 0, 1t. Assim, como a receita e´ o nu´mero de garrafas multiplicado pelo prec¸o de cada uma,
temos que ela fica 10t(80\u2212 0, 1t) = 800t\u2212 t2.
Questa\u2dco 4 [1,5 ponto] Determine o melhor dia para a venda da produc¸a\u2dco, e apo´s quanto
tempo a receita da vin´\u131cola sera´ igual a zero, se pelo menos um dia se passou.
Soluc¸a\u2dco:
O melhor dia para a venda sera´ o valor de t para o qual a receita e´ ma´xima. Como a receita
e´ uma expressa\u2dco quadra´tica, representada por uma para´bola com a concavidade para baixo
neste caso, este valor de t e´ o que nos da´ o ve´rtice da para´bola. As ra´\u131zes de y = 800t\u2212 t2 sa\u2dco
t = 0 e t = 800. A me´dia entre as ra´\u131zes e´ 400, que nos da´ a abcissa do ve´rtice da para´bola.
Portanto t = 400 e´ o dia que nos da´ a receita ma´xima para a vin´\u131cola.
A receita da vin´\u131cola e´ zero se t = 800, ja´ que o enunciado pede que t > 0 (pelo menos um
dia se passou).
Questa\u2dco 5 [1,0 ponto] Determine a equac¸a\u2dco da reta r que corta o eixo Ox em x = \u22122 e
o eixo Oy em y = 3.
Soluc¸a\u2dco: Se a reta r corta o eixo Ox em x = \u22122, enta\u2dco a reta conte´m o ponto (\u22122, 0) e se
corta o eixo Oy em y = 3, enta\u2dco a reta conte´m o ponto (0, 3). Assim, o coeficiente angular da
reta r e´: m = 3\u22120
0\u2212(\u22122) =
3
2
Logo, y \u2212 3 = 3
2
x. Portanto, y =
3x
2
+ 3 e´ a equac¸a\u2dco da reta r.
Questa\u2dco 6 [1,0 ponto] Determine a equac¸a\u2dco da reta s, que passa pelo ponto A = (1, 2)
e e´ perpendicular a` reta r de equac¸a\u2dco 2y + 6x + 14 = 0. Responda se esta reta s passa por
B = (\u22121, 1).
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Soluc¸a\u2dco: A reta 2y + 6x + 14 = 0 pode ser escrita como y + 3x + 7 = 0, dividindo todos os
coeficientes por 2. Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a\u2dco y = \u22123x\u2212 7, temos que o
coeficiente angular da reta s e´ ms = \u2212 1\u22123 = 13 .
Assim, a equac¸a\u2dco da reta s e´ dada por y \u2212 2 = 1
3
(x\u2212 1).
Logo, y =
x + 5
3
e´ a equac¸a\u2dco da reta s, que passa pelo ponto A = (1, 2) e e´ perpendicular a`
reta r, 2y + 6x + 14 = 0.
Substituindo as coordenadas de B em y =
x + 5
3
, temos 1 =
4
3
, absurdo. Logo, B na\u2dco
pertence a` reta s.
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