Exercícios de Álgebra Linear

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Sociedade Brasileira de Matema´tica
Mestrado Profissional em Matema´tica em Rede Nacional
MA33 - Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear
Unidade 6 - Dependeˆncia e independeˆncia linear
Exerc´ıcios recomendados
1) Seja S = {v1, . . . , vr} um subconjunto LI de um espac¸o vetorial V . Mostre
que cada vetor de W = G(S) escreve-se de forma u´nica como combinac¸a˜o
linear dos elementos de S.
2) Considere o espac¸o vetorial dos polinoˆmios R[x]. Determine se os polinoˆmios
f(x) = x3 + 4x2−2x+ 3, g(x) = x3 + 6x2−x+ 4 e h(x) = 2x3 + 8x2−8x+ 7
sa˜o LI ou LD.
3) Determine o valor de m ∈ R para que o conjunto {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)}
⊂ R3 seja LI.
4) Assinale V (erdadeiro) ou F (also) quanto a` validez da afirmac¸a˜o: “A unia˜o
de dois subconjuntos LI de um espac¸o vetorial V ainda e´ um conjunto LI. . . ”.
No caso de ser verdadeira, demonstre a afirmac¸a˜o, e no caso de ser falsa,
apresente um contra-exemplo para a afirmac¸a˜o.
( ) Sempre;
( ) Nunca;
( ) Quando um deles e´ disjunto do outro;
( ) Quando um deles e´ parte do outro;
( ) Quando um deles e´ disjunto do subespac¸o gerado pelo outro.;
5) Dados os elementos v1, . . . , vr de um espac¸o vetorial V , mostre que esses sa˜o
linearmente independentes se, e somente se, e´ injetiva a seguinte aplicac¸a˜o:
ϕ : Rr → V
(a1, . . . , ar) 7→ a1v1 + · · ·+ arvr.
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6) Mostre que as func¸o˜es seno e cosseno sa˜o LI no espac¸o das func¸o˜es cont´ınuas.
7) Prove que o conjunto S = {1, ex, e2x, e3x} e´ um conjunto LI no espac¸o C∞(R).
8) Verifique que as func¸o˜es f(x) = cos(2x), g(x) = cos2(x) e h(x) = sen2(x) sa˜o
LD no espac¸o C1(R).
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