Transformada de laplace

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
*
*
Ensino Superior
3 – Transformada de Laplace
Amintas Paiva Afonso
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
*
*
*
Sumário
3.1 Introdução
3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas.
3.3 Transformada de Laplace.
3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.
3.5 Transformada inversa de Laplace.
*
*
*
3.1 Introdução
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
	 f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0
	s = uma variável complexa
	F(s) = transformada de Laplace de f(t)
L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace 
	Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.
Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por
Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s.
A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares.
Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo.
Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em uma equação algébrica em uma variável complexa s.
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das transformadas de Laplace.
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Vantagens da Transformada de Laplace
Converte uma equação diferencial linear em uma equação algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a solução transitória quanto a permanente;
Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas;
Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas equações diferenciais.
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Aplicando a Definição
Exemplo 1:
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 2:
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 3:
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 4:
*
*
*
3.2 Definição da Transformada de Laplace
*
*
*
Transformação Linear
*
*
*
*
*
*
Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s.
Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim:
Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A   existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.
*
*
*
Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t , t  1, então 
Converge?
Logo, a integral imprópria diverge.
Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t  2, então a integral 
*
*
*
Temos que:
Logo a integral dada converge para o valor 1/2.
Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t  a, se |f(t)|  g(t) quando t  M para alguma constante positiva M e se 
também converge. Por outro lado, se f(t)  g(t)  0 para t  M e se 
também diverge.
*
*
*
Teorema: (Existência da transformada de Laplace).
Suponha que: 
1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0  t  A para qualquer A positivo;
2) |f(t)|  Keat quando t  M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação
 L [f(t)] = F(s) = 
Existe para s > a.
Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t  0. Então
*
*
*
Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t  0. Então
Temos integrando por partes
Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0
Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t  0, então
*
*
*
L
F(s)
aF(s) + bF(s)
sF(s) – f(0)
s 2F(s) - sf(0) - f’(0)
f(t)
af(t) + bf(t)
f ’(t)
f ”(t)
Transformada de Laplace
*
*
*
Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. 
Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)|  ke at para t  M. Então L[f’(t)] existe para s > a e, além disso, L[f’(t)] = sL[f(t)] = sL[f(t)] – f(0).
Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0  t  A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)|  ke at , |f’(t)|  ke at ...|f(n-1)(t)|  ke at para t  M. Então L[f(n)(t)] existe para s > a e é dado por
L[f(n)(t)] = snL[[f(t)] – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0). 
*
*
*
Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x2.
Por definição e tabela de transformada, temos:
F(s) = L(3 + 2x2) = 3L(1) + 2L(x2) = 3(1/s) + 2(2/s3) = 3/s + 4/s 3.
Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y”– y’– 2y = 0 com y(0) = 1, y’(0) = 0.
Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t + 1/3e2t usando equação característica.
Usando transformada de Laplace, temos:
 L[y”] – L[y’] – 2L[y] = 0,
 s2L[y] – sy(0) – y’(0) – [sL[y] – y(0)] – 2L(y) = 0
*
*
*
ou (s2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y’(0) = 0
Y(s) = (s – 1) / (s2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)]
que acaba chegando à mesma solução.
*
*
*
Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – y’ - 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.
Solução: L[y”] – L[y’] – 6L[y] = 0
 s2L[y] – sy(0) – y’(0) – {sL[y] – y(0)} – 6L[y] = 0.
Como L[y] = Y(s), temos:
 s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0
 Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0
 Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2)
Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2)
Consultando a tabela de Laplace, temos
 Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t) 
*
*
*
Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.
Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)
 sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 + 1), Y(s)(s + 1) = 1 + 1 / (s2 + 1)
 Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s2 + 1)
Separando em frações, temos: 
 1/(s + 1)(s2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s2 + 1) 
Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então
 Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s2 + 1)] + ½ [1/(s2 + 1)]
Logo: 
 y = (3/2)e–x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e–x – cos(x) + sen(x))
*
*
*
Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por
A função de Laplace de c é determinada por 
*
*
*
*
*
*
Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então
 L[µc(t) f(t - c)] = e – cs L[f(t)] = e – cs F(s), s > a
Reciprocamente, se f(t) = L –1[F(s)], então 
 µc(t) f(t - c) = L –1[e – cs F(s)]
Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a  0 e se c é uma constante positiva, então L[ectf(t)] = F(s - c), s > a + c
Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.
*
*
*
Exemplo 10: Usando a função
Reescreva a função 
Assim podemos escrever f(t) = a(t) sen(t
- a)
ou 
*
*
*
Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então
Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
*
*
*
Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t, 0  t < 1, f(t +1) = f(t).
Integrando por partes, temos
[1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)] 
*
*
*
Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x)  E. 
A convolução de f(x) e g(x) é dada por
Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e 
Teorema: Se L[f(x)] = F(s) e L[g(x)] = G(s), então 
L[f(x) . g(x)] = L[f(x)] . L[g(x)] = F(s) . G(s) podem ser escrita na forma L –1[F(s) . G(s)] = f(x) . g(x)
*
*
*