trabalho final Laplace

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Índice 
1. Introdução ........................................................................................................................................... 1 
2. Objectivos ............................................................................................................................................ 1 
2.1. Objectivo Geral ........................................................................................................................... 1 
2.2. Objectivos Especificos................................................................................................................. 1 
3. Metodologia de investigação .............................................................................................................. 2 
4. Transformada de Laplace .................................................................................................................. 3 
4.1. Definição de transformada de Laplace ..................................................................................... 3 
4.2. Condições suficientes para a existência de Transformada de Laplace .................................. 4 
4.3. Tabela de Transformadas de Laplace ....................................................................................... 6 
4.4. Propriedade da Transformada de Laplace ............................................................................... 9 
4.4.1. Propriedade da linearidade ................................................................................................ 9 
4.5. Transformada Inversa de Laplace .......................................................................................... 10 
4.5.1. Propriedades de Transformada Inversa de Laplace ...................................................... 11 
4.6. A transformada de Laplace da derivada de uma função ...................................................... 12 
5. Convolução ........................................................................................................................................ 14 
5.1. Convolução de sinais de tempo contínuo ................................................................................ 14 
5.2. Convolução de sinais de tempo discreto .................................................................................. 14 
5.3. Convolução de sinais contínuos infinitos ................................................................................ 15 
5.4. Convolução de sinais contínuos finitos .................................................................................... 15 
5.5. Convolução discreta .................................................................................................................. 16 
5.6. Convolução como uma integral indefinida ............................................................................. 17 
5.7. Convolução de Transformada de Laplace .............................................................................. 18 
6. Resolução de equações diferenciais ordinárias através da transformada de Laplace ................ 19 
7. Resolução de problemas com valor inicial de equações diferencias da primeira ordem. ........... 19 
8. Resolução de problemas com valor inicial de equações diferenciais da segunda ordem ............ 22 
9. Conclusão ........................................................................................................................................... 25 
10. Bibliografia .................................................................................................................................... 26 
 
 
1 
 
1. Introdução 
O presente trabalho irá abordar uma transformada especial do Cálculo Diferencial e Integral, 
denominada Transformada de Laplace, desde a sua definição formal, que se auxilia na integral 
imprópria para a sua determinação, até as suas aplicações. 
As Transformadas de Laplace têm maior importância para as soluções de problemas da física, da 
mecânica e da electricidade. Nessa óptica, o principal foco do trabalho será introduzir, apresentar 
as propriedades e fornecer todas as ferramentas sobre essas Transformadas, de modo a usá-las na 
resolução de Equações Diferenciais Ordinárias bem como na solução de problemas de valor 
inicial. 
 
2. Objectivos 
2.1. Objectivo Geral 
 Transmitir um conhecimento sobre a Transformada de Laplace. 
2.2. Objectivos Especificos 
 Definir a Transformada de Laplace; 
 Descrever as propriedades lineares de Transformada de Laplace; 
 Detalhar a Transformada inversa de Laplace; 
 Desenvolver a Transformada de Laplace de derivadas de funcoes; 
 Detalhar as propriedades de convoluoes de funcoes; 
 Saber resolver equacoes diferencias odinarias atraves da tranformada de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
2 
 
3. Metodologia de investigação 
O presente trabalho foi elaborado na base de consultas bibliográficas, acesso a páginas web, foi 
identificada uma estratégia para melhor participação dos elementos do grupo no processo da 
elaboração do trabalho, a qual distou-se na distribuição dos subtemas a cada elemento, que 
culminou com a realização de encontros semanais que tinham como objectivo aferir o grau de 
cumprimento do programa de investigação atribuído a cada elemento do grupo, bem como a 
consolidação do tema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
4. Transformada de Laplace 
Segundo Júnior (2011, P.21), do Cálculo Diferencial e Integral, pode-se considerar a 
diferenciação e a integração como transformações, isto é, essas operações transformam uma 
dada função em outra. 
Uma transformação integral especial é a transformada de Laplace, onde a ideia básica consiste 
em considerar um conjunto de funções definidas no intervalo [ ] onde, a cada função 
deste conjunto, associa-se uma função definida no intervalo [ ], ao qual denomina-se 
“Transformada de Laplace de ”. Esta associação é construída de tal modo que as operações 
“diferenciais” com as funções , correspondem a operações “algébricas” com as funções . Isso 
possibilita, por exemplo, transformar certas equações diferenciais em equações algébricas, sendo 
esta a principal aplicação da transformada de Laplace. 
A transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace 
(1749-1827). 
 
4.1. Definição de transformada de Laplace 
Segundo Strauch (2006, P.4), seja uma função definida para , multiplica-se por 
 , sendo , e integra-se com relação a no intervalo [ ]. 
Se esta integral existir, então ela será uma função de , isto é: 
 ∫ 
 
 
 
A função é chamada de Transformada de Laplace, ou integral de Laplace. 
É usual a seguinte notação: { } onde é a função original e é o operador 
Transformada de Laplace. 
 
4 
 
A operação inversa que recupera a função original é chamada de Transformada Inversa ou 
simplesmente Inversa de Laplace: 
 { } { } 
Segundo Júnior (2001, P.21), adopta-se e porque em geral as equações diferenciais provêm 
da Física. 
Ex1: Considere a função definida por , encontre a sua Transformada de Laplace a partir 
da definição. 
Resolução: 
 { } ∫ 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
Fazendo , tem-se , os limites de integração também mudam, portanto 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2. Condições suficientes para a existência de Transformada de Laplace 
Segundo Strauch (2006, P.5), a Transformada de Laplace é uma integral imprópria e em vista 
disso precisa-se atentar para os processos de limite que decorrem da integração. Mas são poucos 
os casos em que efectivamente se precisará calcular a integral para encontrar uma determinada 
Transformada, ressalta Strauch. 
Outro aspecto, que num estudo mais rigoroso, deveria ser considerado, é a condição de 
existênciadesta integral imprópria. É de esperar que existam funções para as quais a integral de 
Laplace diverge para , ou seja, estas funções não possuem Transformadas de Laplace. 
5 
 
“Felizmente, na maior parte dos problemas práticos, estaremos a tratar de funções para as quais 
existam a Transformada de Laplace” (Strauch, 2006: 6). 
Segundo Lustosa (2017:3), a integral que define a Transformada de Laplace não necessariamente 
converge. As seguintes condições garantem a existência da transformada: 
1) é contínua por partes em [ ], ou seja, em todo intervalo , há apenas 
um número finito de descontinuidades e toda descontinuidade é de primeira espécie, isto 
é, existem os limites laterais. 
2) é de ordem exponencial, conforme a definição a seguir. 
Definição (Ordem exponencial). Segundo Lustosa (2017:3), diz-se que [ ] é de 
ordem exponencial se existe , e tais que | | para todo . 
Se é crescente, a definição acima simplesmente diz que o gráfico de no intervalo [ ] 
está abaixo do gráfico da função exponencial com . Por exemplo, as funções 
 , e são todas de ordem exponencial para . Para estes 
casos, tem-se, respectivamente, | | , | | e | | . 
Teorema (Condições Suficientes para a Existência da Transformada de Laplace de uma dada 
Função). Segundo Lustosa (2017:4), seja uma constante real, se é uma função contínua 
por partes em [ ] e de ordem exponencial para , então, sua Transformada de Laplace 
existe para . 
Demonstração: Tem-se, por definição, que 
 
 ∫ 
 
 
 
Como , pode-se escrever 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
6 
 
Sejam ∫ 
 
 
 
 e ∫ 
 
 
 
. Percebe-se que existe, pois pode ser escrita 
como uma soma de integrais em intervalos em que seja contínua. 
Por outro lado, 
| | |∫ 
 
 
 
| ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Fazendo , tem-se e, portanto, 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 ∫ (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] |
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] 
 
 
 
 
Logo, converge para . Portanto, a Transformada de Laplace existe para . 
 
4.3. Tabela de Transformadas de Laplace (segundo Strauch, 2006: P. (6-9)) 
Apresenta-se a seguir, a tabela que irá ser usada para a resolução dos exercícios de transformada 
de Laplace. Para usá-la de forma eficiente é necessário que se entenda como está organizada. Na 
coluna da esquerda estão as funções originais e na da direita as funções transformadas. 
Observa-se que a tabela será usada nos dois sentidos. Da esquerda para a direita para achar a 
Transformada conhecida a função original, e da direita para a esquerda para achar a função 
original conhecida a sua Transformada. 
 
7 
 
Tabela de Transformada de Laplace 
 { } 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
4 
 
√ 
 
 
√ 
 
5 √
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
7 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
8 
 
17 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 √ 
 √ √ 
28 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
9 
 
4.4. Propriedade da Transformada de Laplace 
4.4.1. Propriedade da linearidade 
Segundo Strauch (2006, P.10), a Transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, se e 
são duas constantes, então: 
 { } { } { } 
Demonstração (segundo Strauch, 2006: P. 10) 
Parte-se da definição, 
 { } ∫ [ ] 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 { } { } 
Ex1: Considere a função definida por , encontre a sua Transformada de Laplace a 
partir da propriedade da linearidade. 
Resolução: 
 { } {
 
 
} 
 
 
 { } 
 
 
 { } { } 
 
 
(
 
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
4.5. Transformada Inversa de Laplace 
Segundo (Sauter, Souto de Azevedo e Strauch, 2019: P. 11-13), se { } é a 
transformada de Laplace de , então diz−se que { } é a transformada inversa 
de Laplace da função . Essa definição só faz sentido se a transformação definida no 
conjunto de funções que possuem transformada de Laplace for bijectora, ou seja, cada função 
 está relacionada a uma única transformada . É fácil observar que duas funções iguais a 
partir de possuem a mesma transformada de Laplace. Porem, se duas transformadas são 
iguais para , Por exemplo, então 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Ou seja, 
∫ ( ) 
 
 
 
Para cada mas, o facto dessa integral de ser nula, não quer dizer a função é 
nula, por exemplo {
 
 
 
, que não é nula, mas a integral 
∫ 
 
 
 
No entanto, a função não pode ser diferente de zero em um conjunto muito grande. 
Tomar-se-á como exemplo uma função que não se anula em um intervalo pequeno: 
 ,
 
 
 
para . Por menor que seja , a integral não se anula para 
Sabe-se que existe um conceito que diz que duas funções e são iguais quase sempre 
em [ ] se: 
11 
 
∫ | | 
 
 
 
Observa−se que o modulo no conceito é importante, pois pode−se tomar uma função diferente de 
zero em intervalos grandes e com integral zero, por exemplo, 
 {
 
 
 
 
 Observe que a integral deverá ser zero todo , o que compensar a falta do módulo. Por 
exemplo, a integral aplicada a função não é zero 
∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
Usando esse conceito, se duas transformadas de Laplace são iguais, as respectivas inversas são 
iguais quase−sempre. Nesse sentido, uma função que possui transformada de Laplace. Se 
observar cada funções como um elemento de um conjunto, então a transformada de Laplace é 
bijetora. Isso significa que a transformada inversa está bem definida, mesmo não escrevendo 
uma forma integral fechada para ela. Uma forma integral fechada para a transformada de Laplace 
aparecerá naturalmente na teoria de transformada de Fourier. 
4.5.1. Propriedades de Transformada Inversa de Laplace 
P1: [ ] [ ] [ ] 
P2: [ ] [ ] 
P3: [ ] 
P4: [ ] 
P5: [ ] 
P6: [ ] 
12 
 
P7: *
 
 
+ ∫ 
 
 
 
 
4.6. A transformada de Laplace da derivada de uma função 
Teorema (propriedade da transformada da derivada). Se é contínua e de ordem 
exponencial e é contínua por partes para , então 
 { } { } 
Demostração. Primeiro considere e contínuas nos reais não negativos. 
Usando integraçao por partes na definiçao de tranformada de Laplace, temos 
 { } ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 { } 
 
Se Sefor contínua por partes, então separamos as integrais em somas de tal forma que 
 seja contínua em cada parcela. Aplicamos integração por partes em cada parcela e 
obtemos o resultado desejado. 
Considere e contínuas e contínua por partes. Então podemos aplicar a 
expressão anterior duas vezes e obter: 
 { } { } 
 ( { } ) 
 { } 
Analogamente, se são contínuas e é contínua por partes, então 
 { } { } 
Vamos usar a propriedade acima da transformada da derivada para calcular transformadas de 
Laplace. 
13 
 
Exemplo: 
Vamos calcular a transformada de usando a propriedade acima. Observe as 
derivadas: 
 
Logo, 
 
Aplicando a transformada de Laplace e usando a propriedade, tem-se: 
 
Usando o facto que , obtemos desta forma 
 
Ou seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
5. Convolução 
A convolução opera com duas funções ou com dois sinais, g(x) e h(x), para gerar uma terceira 
função ou sinal como resultado da operação, f(x). 
 
5.1. Convolução de sinais de tempo contínuo 
A operação de convolução para sinais de tempo contínuo, na qual o símbolo * (asterisco) é a 
representação gráfica da operação de convolução entre as funções g(x) e h(t), e a integral é 
denominada de integral da convolução. Lê-se que o sinal f(x) é o sinal g(x) convoluído com o 
sinal h(t). A variável de integração é alterada para (letra grega – tal). Na integral de 
convolução, uma das funções sofre apenas a mudança de variável g( ), enquanto a outra função 
sofre a mudança de variável h( ), seguida pela operação de reflexão h(- ), e por um 
deslocamento pela variável t, resultando em h(t - ). 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
A operação de convolução é um operador linear possuindo as seguintes propriedades 
matemáticas: 
 Comutativa 
 [ ] Distributiva 
 [ ] [ ] Associativa 
 
5.2. Convolução de sinais de tempo discreto 
A definição matemática da convolução para sinais de tempo discreto é semelhante à de sinais de 
tempo contínuo, sendo que as variáveis envolvidas agora são variáveis discretas, e a integral 
transforma-se em um somatório. 
 
 ∑ 
 
 
 
15 
 
A convolução é denominada de soma de convolução. E as propriedades ilustradadas 
anteriormente também são aplicáveis na convolução de sinais de tempo discreto. 
 
5.3. Convolução de sinais contínuos infinitos 
Na convolução de sinais contínuos infinitos, serão utilizadas como exemplo duas funções 
exponenciais decrescentes: 
 
 
 
 
 
 
Para realizar a operação de convolução pela definição, normalmente é necessário o auxílio de 
gráficos apresentando a iteração dos sinais para determinar as condições de integração. Na 
interpretação da convolução, um sinal permanece na sua posição, no caso da figura abaixo, o 
sinal g( ), e o outro sinal h(t - ) é posicionado em t = -∞ sendo deslocado até t = +∞ realizando 
a convolução. 
 
 
Para as situações t < 0 e t = 0 , representados pelos casos (a) e (b), resultam em valor 0 para a 
convolução, pois os sinais não possuem sobreposição. Para a situação t > 0, apresentado pelo 
caso (c), os sinais são sobrepostos, sendo que a convolução dos sinais resulta em valor diferente 
de 0. Observa-se, na figura, que o intervalo de integração é de 0 até t. 
 
5.4. Convolução de sinais contínuos finitos 
Estes sinais elementares possuem a sua definição através de sentenças matemáticas, indicadas 
pelas Equações abaixo. 
 
16 
 
 ,
 
 
 
 
 ,
 
 
 
 
5.5. Convolução discreta 
Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por 
 
 ∑ 
 
 
 
 
Onde f e g são sequencias de tamanho n e a formula fornece valor k-esimo elemento do 
resultado. Deve – se notar que o tamanho de h é 2n-1, isto é, k varia de 0 a 2n-2 na formula 
acima. 
A convolução discreta pode ser escrota em fora matricial: 
 { } 
onde f é um operador que transforma o vector (ou matriz-coluna) g em outro vector (ou matriz 
coluna) h, conforme abaixo: 
 
[
 
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
Note que deve receber elementos nulos de modo a ficar 2n-1 linhas, o mesmo tamanho de 
sera uma matriz de (2n-1) x (2n-1) elementos. Devido a presença desses n-1 zeros anexados a , 
os valores nas n-1 colunas mais a direita f não influem no resultado, podem por condeguinte sr 
também zerados. Assim, pode – se escrever como: 
 
 
17 
 
[
 
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
Onde não recebe elementos nulos extras e é uma matriz de (2n-1) x (n-1) elementos. 
Em muitas aplicações praticas as sequencias são grandes o suficiente para considera - las como 
se fossem finitas, isto é, como contendo um numero infinito de zeros no inicio e no final. 
Seguindo – se essa convenção, não é preciso preocupar – se o facto de as sequencias 
terem tamanhos dispares. Nesses casos, a fórmula da convolução discreta pode ser escrita na 
forma alternativa 
 ∑ 
 
 
 
 
Essa expressão é mais gral e mais útil para demostração de teoremas. Se for usada, 
evidentemente ode acontecer que o valor k-j ser negativo. Isso ocorre porque, uma vez que as 
sequencias são tornadas infinitas, a origem k=0 passa a ser arbitraria. 
Essa expressão é a única admissível se as duas sequencias f e g forem naturalmente infinitas. 
 
5.6. Convolução como uma integral indefinida 
Uma expressão alternativa para a definição de convolução continua de funções e 
definidas no intervalo [ ] é a seguinte: 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
5.7. Convolução de Transformada de Laplace 
O produto das transformada de Laplace não é igual a transformada de Laplace do produto de 
funções, mas se tomarmos [ ] e [ ]. Então podemos escrever da 
seguinte forma: 
 [ ] 
Em particular, se , então 
 
 
 para , tem-se 
 [ ] 
 
 
 
Tendo , para , tem-se 
 [ ] *∫ 
 
 
+ *∫ 
 
 
+ *∫ 
 
 
+ 
Sabendo que [ ] 
 
 
, tem-se 
 
 
 *∫ 
 
 
+ 
Tomando as transformada de , respectivamente 
 
 
 
 , temos 
 
 
 *∫ (∫ 
 
 
) 
 
 
+ 
 
Exemplo: Calcule 
Resolução: 
Para nota-se que 
Colocando na integral teremos: 
∫ 
 
 
∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
6. Resolução de equações diferenciais ordinárias através da transformada de Laplace 
Teorema (Derivação). 
a) Supondo que [ seja dirivavel com seccionalmente contínua. Então: 
 
Em que é a transformada de Laplace de . 
b) Supondo que que [ seja dirivavel duas vezes com seccionalmente 
continua. Então: 
 
 
Em que é a transformada de Laplace de . 
7. Resolução de problemas com valor inicial de equações diferencias da primeira ordem. 
a) 
Resolução:20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compondo os termos, teremos: 
{
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a transformada inversa, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Compondo os seguintes, termos teremos o seguinte sistema 
{
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformando para a transformada inversa, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Resolva 
Resolucao: 
 [ ] [ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se 
 
 
 
 
22 
 
8. Resolução de problemas com valor inicial de equações diferenciais da segunda ordem 
a) 
Resolucao: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
Resolucao: 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando o segundo termo, tem-se: 
 
Compondo-se os termos, tem-se: 
{
 
 
 
 {
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a transformada inversa, tem-se: 
 
 
 
 
c) 
Resolução: 
Aplicando a transformada de Laplace à equação acima obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Compondo-se os termos, tem-se: 
24 
 
{
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
9. Conclusão 
Após a realização do presente trabalho conclui-se que a Transformada de Laplace tem como 
grande objectivo transformar equações diferenciais ordinárias em equações algébricas tal que 
encontrada a solução da equação algébrica é aplicada a transformada inversa de Laplace obtendo-
se deste modo a solução da equação diferencial. Também conclui-se que quando se fala de 
convoluções de funções existem conceitos de tamanha relevância que não devem ser deixados de 
fora, é o caso de função seccionalmente contínua entre outros que devem ser conhecidos. 
 
 
 
26 
 
10. Bibliografia 
COELHO, S. P.; POLCINO MILIES, C. Matemática. São Paulo: Editora da Universidade de 
São Paulo, 2000. 
JÚNIOR, Valmei Abreu. Transformada de Laplace: uma introdução com aplicações. 
Florianópolis: 2011. 
LUSTOSA, José I. Siqueira. A Transformada de Laplace e Algumas Aplicações. João Pessoa: 
2017. 
SAUTER, Ezequia; AZEVEDO, Fabio; STRAUCH, Irene. Transformada de Laplace. 2019. 
STRAUCH, Irene. Transformada de Laplace. Porto Alegre: 2006.