Apostila-Física 4

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1 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Física 4 
 
 
 
 
Destinada aos cursos de engenharia da UTFPR 
 Unidade Londrina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, o Universo deixa de ser determinista 
 e revela-se maravilhosamente mágico. 
 Bem-vindos a toca do coelho. 
Tic-tac, tic-tac... 
 
 2 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Sumário 
Apresentação do Curso de Física 4 ............................................................................................................. 5 
Atividade em grupo:.............................................................................................................................. 9 
CAPÍTULO 1: ELETROMAGNETISMO ......................................................................................................... 10 
1.1 Questões relevantes ...................................................................................................................... 10 
1.2 As equações de Maxwell ................................................................................................................ 10 
1.2.1 Desenvolvendo as equações de Maxwell .................................................................................. 11 
1.2.2 Ondas eletromagnéticas .......................................................................................................... 15 
1.3 Eletromagnetismo: Pressão de radiação e fluxo de energia .............................................................. 19 
1.3.1 Intensidade de uma onda ........................................................................................................ 20 
1.3.2 Revisão: densidade volumétrica de energia elétrica e de energia magnética .............................. 21 
1.3.3 Vetor de Poynting ................................................................................................................... 23 
1.3.4 Pressão associada a uma onda eletromagnética........................................................................ 26 
1.3.5 Momento associado a uma onda eletromagnética .................................................................... 30 
1.4 Testes e exercícios......................................................................................................................... 32 
CAPÍTULO 2 - A VELHA TEORIA QUÂNTICA................................................................................................ 43 
2.1 Introdução .................................................................................................................................... 43 
2.2 Catástrofe do ultravioleta .............................................................................................................. 44 
2.2 Efeito Fotoelétrico......................................................................................................................... 47 
2.3 Espectroscopia e Átomo de Bohr .................................................................................................... 52 
2.3.1 Elétrons, prótons e o átomo .................................................................................................... 52 
2.3.2 Espectroscopia. ....................................................................................................................... 53 
2.3.3 O modelo atômico de Bohr. ..................................................................................................... 56 
2.4 Testes e exercícios......................................................................................................................... 62 
CAPÍTULO 3 - Teoria da Relatividade Especial ........................................................................................... 74 
3.1 A experiência de Michelson e Morley ............................................................................................. 74 
3.2 Simultaneidade ............................................................................................................................. 75 
3.3 Postulados .................................................................................................................................... 77 
3.4 Cinemática relativística .................................................................................................................. 78 
3.4.1 A relatividade do tempo .......................................................................................................... 78 
3.4.2 A relatividade do espaço.......................................................................................................... 82 
3.4.3 Transformações de Lorentz...................................................................................................... 85 
3.4.4 Transformações de velocidade................................................................................................. 91 
3.5 Dinâmica relativística..................................................................................................................... 92 
 3 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
3.5.1 Momento linear ...................................................................................................................... 92 
3.5.2 Força relativística .................................................................................................................... 94 
3.5.3 Energia relativística ................................................................................................................. 94 
3.6 Testes e exercícios........................................................................................................................100 
CAPÍTULO 4 - Teoria Quântica Moderna ..................................................................................................117 
4.1 Introdução ...................................................................................................................................117 
4.2 Espalhamento Comptom ..............................................................................................................119 
4.3 Difração de raios X em cristais.......................................................................................................120 
4.4 A luz como uma onda de probabilidade. ........................................................................................122 
4.5 Elétrons e ondas de matéria: o comprimento de onda de Louis de Broglie. ......................................122 
4.3O experimento de Stern-Gerlach (SG) e seu contexto histórico ........................................................128 
4.4 A equação de Schrödinger ............................................................................................................133 
4.5 O princípio da indeterminação de Heisenberg ................................................................................134 
4.6 Princípio de exclusão de Pauli .......................................................................................................135 
4.7 Testes e exercícios .......................................................................................................................138 
CAPÍTULO 5 - Física Nuclear....................................................................................................................145 
5.1 Do átomo ao núcleo .....................................................................................................................145 
5.1.1 As Primeiras Idéias: Demócrito E Dalton ..................................................................................145 
5.1.2 A descoberta do elétron ........................................................................................................1455.1.3 Átomo de Thomson:...............................................................................................................148 
5.1.4 A descoberta do próton..........................................................................................................149 
5.1.5 A descoberta do nêutron ........................................................................................................152 
5.1.6 A descoberta do neutrino .......................................................................................................154 
5.1.7 A descoberta do pósitron .......................................................................................................156 
5.2 Número atômico e massa atômica ................................................................................................157 
5.3 Decaimento beta - datação por carbono 14 ...................................................................................158 
5.4 Fissão nuclear ..............................................................................................................................162 
5.4.1 Projeto Manhattan.................................................................................................................164 
5.5 Fusão termo-nuclear ....................................................................................................................165 
5.5.1 Reatores nucleares de fissão...................................................................................................165 
5.6 Energia liberada nas reações nucleares ......................................................................................167 
5.6 O Modelo Padrão .........................................................................................................................171 
5.6.1 As dimensões das partículas elementares ................................................................................173 
5.7 Testes e exercícios........................................................................................................................179 
 4 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Apêndice 1: Prefixos ..............................................................................................................................187 
Apêndice 2: Algumas constantes e valores de referência..........................................................................188 
Apêndice 3: Tabela de isótopos ..............................................................................................................189 
 
 
 
 
 5 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Apresentação do Curso de Física 4 
 
 Na Universidade tecnológica Federal do Paraná, o curso de Física divide-se em Física 1 
(Mecânica), Física 2 (Gravitação, Ondulatória e Termodinâmica), Física 3 (Eletricidade e 
Magnetismo) e Física 4 (Eletromagnetismo) e Física Moderna (Relatividade e Quântica). Esta 
divisão segue o desenvolvimento histórico da ciência no mundo ocidental, intimamente 
relacionada ao desenvolvimento histórico de nossa sociedade, de modo que para entendermos os 
novos conceitos da Física, precisamos entender os conceitos da Física Clássica, e como ocorreu a 
transição. Esta condição está vinculada ao contexto histórico e se tentarmos dissociar a ciência 
do processo histórico, entraremos em um ambiente extremamente tecnicista: a estufa perfeita 
para o desenvolvimento de cidadãos alienados. Tendo esta perspectiva, iniciaremos nossos 
estudos com um brevíssimo passeio pela história. 
 
Durante a Idade Moderna, compreendida entre a tomada de Constantinopla (1453) e a 
Revolução Francesa (1789), ocorre profunda mudança econômica, filosófica e científica na 
Europa. O Renascimento científico do século XVI está associado ao desenvolvimento econômico 
Europeu, e a sede de saber racional e rejeição dos dogmas da igreja. Aqui inicia a cisão entre 
ciência e religião, e os conflitos oriundos destes questionamentos, como o caso do cientista 
italiano Galileu Galilei (1564-1642) acerca do movimento dos corpos celestes. A Filosofia propõe 
métodos mais racionais de análise, tendo como propostas o Empirismo do filósofo inglês Francis 
Bacon (1561-1526) e o Racionalismo do filósofo francês Rene Descartes (1596-1650), que 
também ficou conhecido como o pai da matemática moderna e o fundador da filosofia moderna. 
 
A literatura é marcada pelo final do período Humanista (1418-1527, subjetivo e emocional) 
e início do Classicismo (1527-1580, objetivo e racional). Luís Vaz de Camões (1524 — 1580), 
autor de Os Lusíadas, onde enaltece os feitos dos portugueses, é um dos maiores poetas do 
período. No Brasil tem início o Quinhentismo, iniciado pela carta de Pero Vaz de Caminha. O 
período foi marcado por uma literatura de exaltação a nova terra e elementos religiosos, 
destacando-se o padre São José de Anchieta 1534 —1597). A escola literária brasileira e a 
portuguesa estão ligeiramente defasadas no tempo, devido a distância que dificultava a 
comunicação. Aa arte Clássica sofreu forte influência do Renascimento, que se inicia na Itália do 
séc. XIV, e segue até o séc. XVI, período em que viveram os italianos Galileo Galilei (1564 —
1642) e Leonardo di Ser Piero da Vinci (1452 — 1519). 
 
Portugal viveu anos de desenvolvimento com as regências de D. Manuel, o venturoso, 
(1469 – 1521), e de João IV (1604 –1656), apelidado de João, o Restaurador líder da Guerra da 
Restauração pela conquista e reconhecimento da independência de Portugal do controlo da 
Espanha. No século XVII surgem e os conflitos decorrentes da divisão das terras do Novo Mundo 
entre espanhóis e portugueses e pela busca de novos mercados. De um lado estão os ingleses, 
detentores de uma marinha muito forte e abundância de carvão e minério de ferro, valorizando 
as descobertas científicas e promovendo o desenvolvimento da ciência com a criação da Royal 
Society em Londres, no ano de 1660. Isaac Newton (1643-1727) foi membro desta sociedade e 
tornou-se presidente, apresentando seus estudos sobre Óptica aos membros da Royal Society. 
Na França, em 1666, foi fundada a Académie des Sciences por Luís XIV em 1666, com o objetivo 
de promover a investigação científica francesa. 
 
A França, em 1789, estava falida. Os exageros da corte, os gastos excessivos com guerras, 
a indisposição com a Inglaterra e os privilégios dispensados ao clero e à nobreza, desestabilizaram 
a monarquia e fizeram aumentar a insatisfação da população. A Revolução Francesa tem início 
em 1789, mas prolonga-se até 1799, quando Napoleão Bonaparte (1769-1821) assume o poder 
dando origem a era napoleônica. 
 
Na literatura brasileira, após o Quinhentismo, segue o Barroco (1601-1768, subjetivo, 
rebuscado, conflitos entre o teocentrismo e o antropocentrismo). O Padre Antônio Vieira (1608-
 6 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
1697) foi o maior pregador do seu tempo. Escreveu em defesa dos negros, dos índios e dos 
cristãos-novos (judeus convertidos). Foi preso por isto. Em contrapartida, o advogado e poeta 
brasileiro, Gregório de Matos Guerra (1636 1696), alcunhado de Boca do Inferno ou Boca de 
Brasa é o mais importante poeta satírico da literatura em língua portuguesa, no período colonial. 
 
No ano de 1768, o Cláudio Manuel da Costa publica “Obras”, que marcou o final do Barroco 
brasileiro e início do Arcadismo. A elite brasileira enviou seus filhos para estudar em Portugal. 
Estes, entraram em contato com as ideias iluministas dos autores árcades, e as trouxeram para 
o Brasil. Daí nasceram as idéias que eclodiram com a inconfidência mineira Com ideais iluministas 
absorvidos fora do país, os jovens voltavam usando isso como base para agir contra o governo, 
etambém foi a base para a concretização da inconfidência mineira – os escritores destaques da 
literatura participaram ativamente da Inconfidência Mineira, em 1789, durante o ciclo do ouro. 
Desta data em diante temos o término da economia mineradora e a crise do sistema colonial 
brasileiro. A cana de açúcar foi a base econômica da segunda metade do séc. XVII até a primeira 
metade do séc. XVIII. 
 
No século XIX, temos o início da Idade Contemporânea, o período histórico mais 
vertiginoso para o desenvolvimento científico da humanidade, até os dias de hoje. A 
Termodinâmica é plenamente desenvolvida, as máquinas a vapor tornam-se eficientes e no final 
do século os motores à explosão interna são desenvolvidos. O Eletromagnetismo também atinge 
seu apogeu, houve a invenção da lâmpada por Thomas Edison (1847-1931), do telefone por 
Alexander Graham Bell (1847-1922), do rádio por Nikola Tesla (1856-1943), da pasteurização 
por Louis Pasteur (1822-1895), o uso do clorofórmio como anestésico e a invenção do elevador 
por Elisha Graves Otis (1811-1861), que alterou significativamente o mercado imobiliário e 
permitiu a construção dos arranha céus. Charles Darwin (1809-1882) escreve “Da Origem das 
Espécies”, criando a Teoria da Evolução das Espécies. 
 
Em 1808, a coroa portuguesa veio para cá, fugindo de Napoleão. A esquadra portuguesa, 
que constava de 14 navios, trouxe além da família real, centenas de funcionários. O príncipe 
regente, D. João IV, toma uma série de ações que promoveram o desenvolvimento do Brasil: 
abertura dos portos, criação de indústrias, de estradas, a fundação do Banco do Brasil e da 
Faculdade de Medicina do Rio de Janeiro. Em 1816, com a missão artística francesa, chega ao 
Brasil o pintor Jean-Baptiste Debret (1768 —1848). Ele é o responsável pelas imagens do Brasil 
do século XIX, que hoje temos nos livros de história. D. João retorna a Portugal em 1821. 
 
José Bonifácio de Andrada e Silva (1763-1838), foi o homem decisivo para a proclamação 
da Independência do Brasil, em 7 de setembro de 1822, tanto pelos seus ideais como pelas suas 
ações militares. É conhecido como o Patriarca da Independência. Era poeta, estudou direito, 
matemática e filosofia natural (precursora da Física). Era um homem na frente do seu tempo, 
sugerindo um programa de trabalho: abolição do tráfico de escravos, abolição da escravatura, 
incorporação dos índios à sociedade, visando extinguir o choque entre as classes. Ele foi o 
primeiro a empregar a palavra tecnologia no Brasil. 
 
D. Pedro I, proclama a independência e se intitula imperador do Brasil. Segue-se um 
período marcado pelo autoritarismo de D. Pedro I. Em 1830 o assassinato do italiano Líbero 
Badaró, médico e jornalista político, liberal e grande crítico do império, fragilizou ainda mais o 
governo imperial. Em 1831 D. Pedro I abdicou do trono e foi para Portugal. 
 
Na literatura, em 1836, tem início o Romantismo brasileiro com a publicação do "Suspiros 
poéticos e saudades", de Domingos José Gonçalves de Magalhães. Temos três gerações: a 
nacionalista ou indianista (1836-1846) de José de Alencar, a ultrarromântica (1846-1855) e a 
condoreira (1855-1888) de Castro Alves, com os ideais abolicionistas. 
 
 7 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Contrapondo-se a fuga da realidade romântica, em 1881, surgem o Realismo, com 
“Memórias Póstumas de Brás Cubas” de Machado de Assis, e o Naturalismo, com “O Mulato”, de 
Aluízio de Azevedo. São escolas deterministas, positivistas e evolucionistas. 
 
Em 1893 tem início o Simbolismo brasileiro, com a publicação de “Missal” e “Broquéis” de 
Cruz e Souza, contrapondo-se ao cientificismo realista e naturalista. É uma escola sinestésica, 
buscando elementos profundos da mente. 
 
A economia brasileira no século XIX era essencialmente agrícola. Neste período iniciou-se 
o ciclo do café, que teve seu apogeu no início do século XX, com mão de obra essencialmente 
escrava. Enquanto isto, na Europa, estava ocorrendo o maior desenvolvimento científico de todos 
os tempos. Na área da saúde, no final do século XIX e início do XX, destacou-se o médico brasileiro 
Oswaldo Cruz, responsável pela erradicação da peste bubônica em Santos (1899), e pela 
vacinação contra a febre amarela que, por ser obrigatória, gerou a infeliz revolta da vacina 
(1904). Outro grande pesquisador brasileiro foi o médico Vital Brazil Mineiro da Campanha (1850-
1945), que também participou das campanhas de erradicação da febre amarela e da peste 
bubônica, foi criador do Instituto Butantã, responsável pela produção do soro antiofídico. 
 
O pensamento republicano brasileiro desenvolveu-se após a Guerra do Paraguai (1864-
1870), com a fundação do Partido Republicano. O reinado de D. Pedro II estava com os dias 
contados. A Lei Áurea (1888) não resolve o problema dos negros, foi ideologicamente bonita 
mas não preparou os libertos para uma inclusão social. Além disso, os imigrantes que começaram 
a chegar ao Brasil seriam a mão-de-obra, agora assalariada, e a base da lavoura cafeeira, voltada 
para o mercado externo. 
 
A crise da Monarquia atingiu o pico em 1889, quando o Marechal Deodoro da Fonseca 
liderou o golpe militar que derrubou a Monarquia e proclamou a República no dia 15 de novembro. 
A cidade do Rio de Janeiro continuou a ser a capital do Brasil, e o Marechal Deodoro tornou-se o 
primeiro presidente da nossa República. Curiosamente, foi poupado o imperador Dom Pedro II 
(1825-1891) e a família real, ao contrário do que ocorreu em outros países no momento de tão 
profunda transição de poder. Dois dias após a proclamação, o imperador é deportado, e passou 
a residir sozinho no Hotel Bedford, em Paris, até sua morte. 
 
 
Em 23 de setembro de 1909, foram criadas as Escolas de Aprendizes Artífices em várias 
capitais do país pelo então presidente, Nilo Peçanha. No Paraná, a escola foi inaugurada no dia 
16 de janeiro de 1910, em Curitiba. O objetivo era educar os meninos pobres, a imensa maioria 
filhos de escravos libertos. “... Pela manhã, esses meninos recebiam conhecimentos elementares 
(primário) e, à tarde, aprendiam ofícios nas áreas de alfaiataria, sapataria, marcenaria e 
serralheria. Inicialmente, havia 45 alunos matriculados na escola, que, logo em seguida, instalou 
seções de Pintura Decorativa e Escultura Ornamental. 
 
Aos poucos, a escola cresceu e o número estudantes aumentou, fazendo com que se 
procurasse uma sede maior. Então, em 1936, a Instituição foi transferida para a Avenida Sete de 
Setembro com a Rua Desembargador Westphalen, onde permanece até hoje. O ensino tornou-se 
cada vez mais profissional até que, no ano seguinte (1937), a escola começou a ministrar o ensino 
de 1º grau, sendo denominada Liceu Industrial do Paraná. 
 
Cinco anos depois (1942), a organização do ensino industrial foi realizada em todo o país. 
A partir disso, o ensino passou a ser ministrado em dois ciclos. No primeiro, havia o ensino 
industrial básico, o de mestria e o artesanal. No segundo, o técnico e o pedagógico. Com a 
reforma, foi instituída a rede federal de instituições de ensino industrial e o Liceu passou a 
chamar-se Escola Técnica de Curitiba. Em 1943, tiveram início os primeiros cursos técnicos: 
Construção de Máquinas e Motores, Edificações, Desenho Técnico e Decoração de Interiores. 
 
 8 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Antes dividido em ramos diferentes, em 1959 o ensino técnico no Brasil foi unificado pela 
legislação. A escola ganhou, assim, maior autonomia e passou a chamar-se Escola Técnica Federal 
do Paraná. Em 1974, foram implantados os primeiros cursos de curta duração de Engenharia de 
Operação (Construção Civil e Elétrica). 
Quatro anos depois(1978), a Instituição foi transformada em Centro Federal de Educação 
Tecnológica do Paraná (Cefet-PR), passando a ministrar cursos de graduação plena. A partir da 
implantação dos cursos superiores, deu-se início ao processo de “maioridade” da Instituição, que 
avançaria, nas décadas de 80 e 90, com a criação dos Programas de Pós-Graduação. 
 
Em 1990, o Programa de Expansão e Melhoria do Ensino Técnico fez com que o Cefet -PR 
se expandisse para o interior do Paraná, onde implantou unidades. Com a Lei de Diretrizes e 
Bases da Educação (LDBE), de 1996, que não permitia mais a oferta dos cursos técnicos 
integrados, a Instituição, tradicional na oferta desses cursos, decidiu implantar o Ensino Médio e 
cursos de Tecnologia. Em 1998, em virtude das legislações complementares à LDBE, a diretoria 
do então Cefet-PR tomou uma decisão ainda mais ousada: criou um projeto de transformação da 
Instituição em Universidade Tecnológica. 
 
Após sete anos de preparo e o aval do governo federal, o projeto tornou-se lei no dia 7 de 
outubro de 2005. O Cefet-PR, então, passou a ser a UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO 
PARANÁ (UTFPR) – a primeira especializada do Brasil. Atualmente, a Universidade Tecnológica 
conta com 13 câmpus, distribuídos nas cidades de Apucarana, Campo Mourão, Cornélio Procópio, 
Curitiba, Dois Vizinhos, Francisco Beltrão, Guarapuava, Londrina, Medianeira, Pato Branco, Ponta 
Grossa, Santa Helena e Toledo...” (http://www.utfpr.edu.br/a-instituicao/historico). 
 
Voltando-nos para a Europa, no final do século XIX, a termodinâmica e o eletromagnet ismo 
já estavam completamente estruturados. Duas grandes unificações haviam ocorrido: a 
eletricidade e o magnetismo converteram-se no eletromagnetismo, e a Óptica passava a fazer 
parte do eletromagnetismo, uma vez que James Clerk Maxwell (1831-1879) previu a existência 
destas ondas, e detectadas por Heinrich Hertz (1857-1894). 
 
A palavra psicologia é criada no século XVIII, mas seu estudo teve realmente início no 
século XIX e grande desenvolvimento no início do século XX. Em destaque, neste período, 
encontramos Ivan Pavlov (1849-1936), como o estudo comportamental, seguido por Burrhus 
Frederic Skinner(1904 - 1990), Simund Freud (1856-1939), com a psicanálise, Carl Gustav 
Jung 1875 — Küsnacht, 6 1961), discípulo de Freud que fundou a psicologia analítica, e Jean 
Piaget (1896-1980), pioneiro no campo da inteligênc ia infantil. Nas artes plásticas, o pintor 
espanhol Salvador Domingo Felipe Jacinto Dali i Domènech (1904-1989) destaca-se como mestre 
do Surrealismo, explorando o sonho e o inconsciente. 
 
Voltando-nos para a Física, dois problemas ainda estavam para serem resolvidos no final 
do século XIX: um modelo matemático para a radiação do corpo negro, e a detecção de éter, 
suposto meio onde a luz se propagaria. Os estudos destes problemas levaram-nos até a maior 
revolução científica de todos os tempos, dando origem a Mecânica Quântica e a Teoria da 
Relatividade. 
 
No curso de Física IV, iniciaremos com o eletromagnetismo. Acompanharemos o processo 
histórico para entendermos a evolução dos conceitos que permitiram a transição da Física Clássica 
para a Moderna. Desta forma, estaremos apresentando os fundamentos da Física Quântica e da 
Teoria da Relatividade especial, suas aplicações e impactos sobre a humanidade. 
 
 
 
 
 9 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Atividade em grupo: 
 
Construa linhas de tempo paralelas, indicando os anos 1400, 1500 ... 2000 e os séculos 
XV, XVI... XXI. Na primeira, localize os principais eventos políticos que ocorreram na 
Europa. Na segunda, localize os principais eventos políticos que ocorreram no Brasil. Na 
terceira, localize as escolas literárias e filosóficas. Na última, localize qual parte da Física 
foi desenvolvida e os principais cientistas. 
 
 
 
 10 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 
CAPÍTULO 1: ELETROMAGNETISMO 
 
1.1 Questões relevantes 
 
Considerando o volume de temas dispostos na ementa do curso de Física IV, nossa intensão 
não é promover uma dedução detalhada e cansativa das equações de Maxwell, nem de como 
delas deduzimos as equações das ondas eletromagnéticas. Esperamos que o estudante entenda 
de onde elas vieram e o significado de cada equação, e tenha em mente as principais relações 
matemáticas para que possamos realizar algumas aplicações. 
 
Desejando tornar a aula mais significativa e interessante, iniciaremos com os seguintes 
questionamentos: 
 
O que é a luz? Qual a diferença entre uma onda de FM e o raio X? Qual é o comprimento de uma onda 
de rádio AM? O que é o espectro eletromagnético? O que é efeito estufa? Como o falcão localiza um rato 
no meio do milharal seco, a dois quilômetros de distância? 
 E esperamos que o estudante seja capaz de respondê-las no final da aula. 
 
1.2 As equações de Maxwell 
 
 
 
✓ Por que vemos o arco íris, mas não vemos as ondas de rádio? 
 
 
James Clerk Maxwell(1831-1879) 
 
 
Ele também contribuiu com o desenvolvimento da mecânica estatística, da teoria cinética dos gases e 
chegou na distribuição de Maxwell-Boltzmann. Seu trabalho foi a base para o desenvolvimento da Física 
Moderna: do eletromagnetismo saiu um dos pilares da relatividade restrita de Einstein, e da teoria cinética 
de gases para a mecânica quântica. 
 
 
 
 
 
 
 
 O professor Maxwell era escocês. Físico e matemático brilhante, talvez o mais 
produtivo desde Newton, é o responsável por reunir toda eletricidade e magnetismo 
em um conjunto de quatro equações. Além disso, demonstrou que os campos 
magnético e elétrico propagam-se com a velocidade da luz, e apresentou a luz como 
onda eletromagnética. 
 
 11 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
1.2.1 Desenvolvendo as equações de Maxwell 
 
 
 O professor Maxwell tomou como base as Leis De Gauss, de Ampere e de Faraday, 
acrescentou a corrente de deslocamento na Lei de Faraday e escreveu um conjunto de quatro 
equações na forma diferencial, as quais ficaram conhecidas como Equações de Maxwell. Vamos 
fazer um breve comentário sobre o significado de cada equação. 
 
 
 
a) Equação de Gauss para o campo Elétrico: ela analisa o fluxo do campo elétrico através de 
uma superfície fechada, e informa que para haver fluxo, ∅𝑬, através da superfície, deverá 
haver carga no interior desta superfície, sendo o fluxo proporcional a esta carga: 
 
∅𝑬 = ∮ 𝑬.𝒅𝑨
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 
𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉
= 
1
𝜀0
 ∮ 𝜌. 𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 𝑉
 (1) 
(𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎) 
 
 
 Empregando o teorema da divergência, a equação acima pode ser escrita na forma 
diferencial: 
 
𝛁. 𝑬 = 
𝜌
𝜀0
 (2) 
 
Usando uma analogia bastante modesta, o processo acima equivaleria ao relacionamento 
entre a velocidade e o deslocamento: o deslocamento é a integral da velocidade, como na 
equação (1), enquanto a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo, como na 
equação (2). 
 
 Vamos tecer alguns comentários relevantes com respeito as equações (5) e (6). Quando 
o divergente de uma função é não nulo significa que o campo diverge de um ponto (divergente 
positivo), ou converge para um ponto. Fisicamente falando, a existência de um divergente do 
campo elétrico diferente de zero implica na existência de monopólios , ou seja, de fontes 
ou de sorvedouros. No caso do campo elétrico, o divergente diferente de zero implica que haja 
cargas positivas ou cargas negativas isoladas. Consequentemente,no vácuo, não havendo 
portadores de cargas (prótons, elétrons, íons, pósitrons...), o divergente do campo elétrico 
sempre será nulo. Veja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 
b) Equação de Gauss para o campo Magnético: ela analisa o fluxo do campo magnétic o 
através de uma superfície fechada, e informa que não pode haver fluxo do campo 
magnético, ∅𝑴, através de qualquer superfície fechada porque as linhas de 
campo são fechadas e não existem monopólios magnéticos: 
 
∅𝑩 = ∮ 𝑩.𝒅𝑨
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 
𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉
= 0 (3) 
 
Analogamente ao que foi feito com o campo elétrico, aplica-se o teorema da divergência, 
para escrever a equação acima na forma diferencial: 
 
 
𝛁. 𝑩 = 0 (4) 
 
A figura abaixo ilustra as idéias apresentadas nas equações (3) e (4): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A equação de Ampere descreve o campo magnético gerado pelo movimento de cargas 
elétricas livres. Com ela podemos calcular o campo magnético gerado por uma bobina, ou 
por uma antena. De um modo bastante simples, em primeira análise, ela diz que se 
caminharmos na borda de uma superfície, encontraremos o campo magnético devido as 
cargas livres que atravessam esta superfície (corrente de condução), ou devido ao campo 
elétrico variável através desta superfície (corrente de deslocamento): 
 
∮ 𝑩. 𝒅𝒍
𝑩𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆 𝑺
 = 
 
 Observe que o número de linhas que entram na superfície é igual ao número que sai dela. Isto 
sempre ocorrerá porque não é possível separar o dipolo magnético em dois monopolos. 
 13 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
= 𝝁𝟎 .∫ 𝒋. 𝒅𝑨𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆 
𝑺
 + 𝝁𝟎 . 𝝐𝟎 
𝒅
𝒅𝒕
∫ 𝑬.𝒅𝑨
 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆
𝒄𝒐𝒏𝒕𝒐𝒓𝒏𝒂𝒅𝒂
 𝒑𝒆𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝑪
 (𝟓) 
 
(𝒋 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢çã𝑜) 
 
 
d) A Lei de Faraday descreve a fem (ddp) que surge nas bordas de uma espira aberta quando 
o fluxo do campo elétrico através desta espira for variável. Aplicando esta equação 
podemos dimensionar o gerador elétrico por indução e o transformador: 
 
𝑓𝑒𝑚 = ∮ 𝑬.𝒅𝒍
𝐵𝑜𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆
 = − 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑩.𝒅𝑨
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 
𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
 (6) 
 
 O professor Maxwell aplicou o Teorema de Stokes nas equações de Ampere e Faraday, 
encontrando: 
𝛁𝒙𝑩 = 𝜇0 𝒋 + 𝜇0. 𝜖0 
𝜕
𝜕𝑡
𝑬 (7) 
e 
 
𝛁𝒙𝑬 = − 
𝜕 
𝜕𝑡
 𝑩 (8) 
 
 Aqui também faremos uma análise modesta do significado do operador rotacional 
e a interpretação física das equações (7) e (8). Quando o rotacional de um campo vetorial não 
é nulo, indica que há redemoinhos (ou vórtices), e o rotacional é um vetor que mostra o eixo do 
vórtice. Quando um capacitor está carregado, através do fio condutor não haverá mais corrente 
de condução, j = 0, E = 0, de modo que o rotacional do campo magnético é nulo: não há campo 
magnético ao redor do fio. No interior do capacitor, o campo elétrico entre as placas é constante, 
de maneira que ∂E/∂t = 0, e também é nulo o rotacional do campo magnético, coo na figura 
baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 Enquanto o capacitor está sendo carregado (ou descarregado), a coisa e diferente. Pelo 
condutor existe uma corrente de condução, e no interior do capacitor o campo varia em módulo, 
de tal modo que há rotacional do campo magnético: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De modo análogo, quando houver variação do campo magnético no tempo, haverá um 
campo elétrico associado a ele. O campo elétrico terá linhas cujo eixo será dado pela variação 
temporal do campo magnético. Se uma espira envolver um núcleo de ferro e o campo magnétic o 
variar através deste núcleo, como ocorre em um transformador, o campo elétrico irá se 
estabelecer dentro desta espira. Contudo, a equação (8) prevê que mesmo que não existindo o 
núcleo de ferro nem a espira, haverá um campo magnético cujas linhas terão como eixo a variação 
do campo magnético, como na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
Para facilitar o estudo, apresentando as equações de Maxwell na tabela abaixo: 
 
Lei Forma diferencial Forma integral 
 
Gauss 
 
𝛁. 𝑬 = 
𝜌
𝜀0
 ∮ 𝑬. 𝒅𝑨
𝒔𝒖𝒑
= 
1
𝜀0
 ∮ 𝜌. 𝑑𝑉
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 
 
Gauss para 
o 
magnetismo 
 
𝛁. 𝑩 = 0 ∮ 𝑩. 𝒅𝑨
𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆
= 0 
 
Apere com a 
 
 correção de 
 
Maxwell 
 
 
 
𝛁𝒙𝑩 = 𝜇0 𝒋 + 𝜇0. 𝜖0 
𝜕
𝜕𝑡
𝑬 
∮ 𝑩. 𝒅𝒍
𝐵𝑜𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑆
 =
= 𝜇0 .∫ 𝒋. 𝒅𝑨
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 
𝑆
 
+ 𝜇0. 𝜖0 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑬. 𝒅𝑨
 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑎𝑑𝑎
 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐶
 
 
 
 
 
Faraday 
 
 
𝛁𝒙𝑬 = − 
𝜕 
𝜕𝑡
 𝑩 
 
∮ 𝑬.𝒅𝒍
𝐵𝑜𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆
 = − 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑩.𝒅𝑨
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 
𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
 
 
 
1.2.2 Ondas eletromagnéticas 
 
Finalmente, consideraremos as equações de Maxwell para o espaço livre (vácuo), de modo 
que a densidade de carga seja nula: 
𝜌 = 0, 
e que a densidade de corrente também deve ser nula (no vácuo não há cargas elétricas): 
 
 𝒋 = 𝟎 
para obtermos 
 
Lei Forma diferencial das equações de Maxwell no 
vácuo 
 
 
Gauss 
 
𝛁. 𝑬 = 0 
 
(9) 
 
Gauss para o 
magnetismo 
 
𝛁. 𝑩 = 0 
 
(10) 
 
Apere com a correção 
de Maxwell 
𝛁𝒙𝑩 = 𝜇0 . 𝜖0 
𝜕
𝜕𝑡
𝑬 
 
(11) 
 
Faraday 𝛁𝒙𝑬 = − 
𝜕 
𝜕𝑡
 𝑩 
 
 
(12) 
 
 16 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
A partir das equações (9), (10), (11) e (12), isolando-se os campos elétrico, e magnético, 
encontrando-se as equações de onda 
∇2𝑬 = 
1
𝑐²
 
𝜕2
𝜕𝑡2
𝑬 (13) 
e 
∇2𝑩 = 
1
𝑐²
 
𝜕2
𝜕𝑡2
𝑩 (14) 
sendo 
𝑐 = 
1
√𝜇0. 𝜖0 
 (15) 
 
 Considerando ainda que 
 
𝑐 = 
1
√4𝜋10−7
𝑊𝑏
𝐴. 𝑚 . 8,854188.10
−12 𝐶
2
𝑁. 𝑚2
 = 2,997924.108𝑚/𝑠 
 
pois 
 
√
𝑊𝑏
𝐴. 𝑚
.
𝐶2
𝑁. 𝑚2
= √
𝑉. 𝑠
𝐶
𝑠 . 𝑚
.
𝐶 2
𝑁. 𝑚2
= √
𝑉. 𝑠²
𝑚
.
𝐶
𝑁. 𝑚2
= √
𝐶𝑉
𝑁𝑚
.
𝑠²
𝑚2
= √
𝐽
𝐽
.
𝑠²
𝑚2
=
𝑠
𝑚
 
 
 
 Para compreendermos algumas propriedades importantes das ondas eletromagnéticas, 
restringiremos nosso estudo a ondas eletromagnéticas planas, na qual o vetor campo elétrico 
possua apenas a componente y, 𝑬 = 𝐸𝒋, e o campo magnético possua apenas a componente z, 𝑩 =
𝐵𝒌, e que se propaguem ao longo do eixo X: 
 
𝑬 = 𝐸0 . cos(
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) 𝒋 (16) 
com 
 
𝑩 = 𝐵0. cos(
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) 𝒌 (17) 
 
pois ambas apresentam a forma geral da onda que se propaga ao longo do eixo X, com velocidadepositiva e de módulo “c”. Podemos mostrar que estas equações satisfazem, respectivamente, as 
equações (13) e (14), lembrando que 
 
𝑐 = . 𝑓 = /𝑇 (18) 
 
 Como estudamos em ondulatória (Física 2) para as ondas mecânicas, as equações (17) e 
(18) tratam de uma onda que se propaga no sentido positivo dos eixos dos X, que é justamente 
a direção dada pelo produto vetorial 
 
𝑬𝒙 𝑩 = 𝐸 𝒋 𝒙 𝐵 𝒌 = 𝐸𝐵 𝒊 (19) 
 
e como veremos mais adiante, este resultado é geral. 
 
 17 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 Outro resultado relevante ocorre com a razão dos módulos de E e de B, a partir das 
equações (16) e (17), levadas na equação (12): 
 
 𝐸 = 𝑐 𝐵 (20) 
 
ou 
 
 
𝐸0 . cos(
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) = 𝑐 𝐵0. cos(
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) (21) 
 
 
 
 
As figuras que se seguem mostrarão como as ondas eletromagnéticas são classificadas de 
acordo com a sua frequência ou comprimento de onda. O conjunto formado pelas ondas 
eletromagnéticas, classificadas pela sua frequência ou pelo seu comprimento de onda, é 
denominado eletromagnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A luz visível está localizada na faixa com frequências da ordem de 1014 Hz. O Infravermelho 
é a onda eletromagnética cuja frequência é inferior a frequência da luz vermelha. Ele não pede 
ser visto elos nossos olhos, mas podemos senti-lo através da nossa pele quando passamos ao 
lado de um forno quente, por exemplo. O infravermelho está relacionado com o efeito estufa e 
também é conhecido como onda de calor. O ultravioleta possui frequência acima da frequência 
da luz violeta, e é prejudicial à saúde. 
 
http://www.vision.ime.usp.br/~ronaldo/mac0417-03/aula_02.html 
 18 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.ced.ufsc.br/men5185/trabalhos/63_lampadas/incand/funciona03.htm 
http://www.apice.coop.br/fisicanet/TabelasConstantes/Espectroeletromagnetico.htm 
 19 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
EXEMPLO 1: (Equações de E e de B) Um laser de dióxido de carbono emite ondas 
eletromagnéticas senoidais que se propagam no vácuo no sentido negativo dos eixos dos X. O 
comprimento de onda do laser é 10,6m, o campo E é paralelo ao eixo Y e seu módulo máximo 
é igual a 1,5MV/m. Encontre a frequência deste laser e a amplitude do campo B. 
 
SOLUÇÃO: Para resolvermos este problema, necessitamos saber que há uma relação entre a 
frequência e o comprimento do onda, e que esta relação é a equação fundamental da ondulatória, 
v = .f, com v = c, equação (18). Também precisamos sabemos saber que, em uma onda 
eletromagnética, há uma relação entre os módulos do campo elétrico e do campo magnético, 
E = c.B, equação (19), das equações de Maxwell. 
 
 Com o comprimento de onda: 
 
𝑐 = .𝑓 → 𝑓 =
𝑐

 = 
3,00.108𝑚/𝑠
 10,6. 10−6𝑚
= 2,83.1013𝐻𝑧 
 
 Conhecendo o valor máximo (amplitude) do campo elétrico, 𝐸0 = 1,5 10
6𝑉/𝑚 
encontraremos o valor máximo do campo magnético: 
 
𝐵0 = 
𝐸0
𝑐
 → 𝐵0 = 
1,5 106𝑉/𝑚
3,00. 108
𝑚
𝑠
 = 5,00.10−3 𝑇 
 
 
 
1.3 Eletromagnetismo: Pressão de radiação e fluxo de energia 
 
 
 
✓ Se nos afastamos de uma antena emissora, o sinal fica mais fraco. Por que isto ocorre? 
✓ No dia 18 de maio de 2015, jornalista científico Salvador nogueira escreveu: 
 
Navegando ao sabor do vento solar 
 
Nas Grandes Navegações, embarcações à vela eram conduzidas sem qualquer forma de propulsão 
própria, viajando ao sabor do vento, durante as longas travessias oceânicas. Agora, novas 
espaçonaves começam a se preparar para fazer a mesma coisa, só que no espaço — são os 
veleiros solares. Nesta quarta-feira (20), a ONG Planetary Society vai lançar ao espaço seu 
primeiro satélite do tipo, impulsionado apenas pelo suave sopro do vento solar. 
 
 
(http://mensageirosideral.blogfolha.uol.com.br/2015/05/18/navegando-ao-sabor-do-
vento-solar/ 20-07-2017) 
 
 
 
O que é o vento solar? A radiação eletromagnética(luz, raio X, raio ) pode exercer pressão sobre 
uma vela? 
 
 
 
 20 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
1.3.1 Intensidade de uma onda 
 
 A intensidade de uma onda é definida como a energia depositada por unidade de tempo 
(média temporal) por unidade de área da superfície na qual ela incide, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e é dada por 
 
𝐼 = 
𝑃
𝐴
 = 
𝐹. 𝑣
𝐴
 = 
𝐹.𝑥
𝐴.𝑥
 . 𝑣 = 
𝜀
𝑉
 . 𝑣 → 
 
 
𝐼 = 𝑒 .𝑣 (𝟐𝟐) 
 
 Justificamos: a potência instantânea é igual o produto da força pela velocidade 𝑃 = 𝐹. 𝑣, 
o trabalho realizado no deslocamento 𝑥 é igual produto da força por este deslocamento, 𝐹.𝑥 , 
e é responsável pela variação de energia 𝜀 = 𝐹. 𝑥 , no volume 𝑉 = 𝐴.𝑥 . A razão 𝜀/𝑉 = 𝑒 
é igual a densidade volumétrica de energia. 
 
 
 A pressão exercida pela onda, 𝑃𝑅 = 𝐹/𝐴 , pode ser obtida assim: 
 
 
 
𝐼 = 
𝑃
𝐴
 = 
𝐹. 𝑣
𝐴
 = 
𝐹
𝐴
 . 𝑣 = 𝑃𝑅 .𝑣 → 
 
 
 𝑷𝑹 = 
𝑰
𝒗
 (𝟐𝟑) 
 
 
Nota: 𝑃𝑅 = ∆𝜀/𝑉 = 𝑒. (Tente provar.) 
 
 
 
 
 21 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 1.3.2 Revisão: densidade volumétrica de energia elétrica e de energia magnética 
 
 Faremos uma pequena revisão de capacitores e de indutores para chegarmos nas 
expressões da densidade de energia elétrica por unidade de volume e da energia magnética por 
unidade de volume. Começaremos com o capacitor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e aplicaremos a Lei de Gauss para o campo elétrico, observando que há apenas fluxo através da 
superfície destacada no lado direito da figura anterior, cuja área é “A”. A superfície gaussiana, 
em amarelo, determina uma região cuja carga contida é “Q”, e uma densidade superficial de 
carga 𝜎 = 𝑄/𝐴 , então: 
 
∅𝑬 = ∮ 𝑬. 𝒅𝑨
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 
𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉
= 
1
𝜖0
 ∮ 𝜌. 𝑑𝑉
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 𝑉
 (24) 
 
 
 
𝐸. 𝐴 = 
1
𝜖0
 𝑄 → 𝐸 = 
1
𝜀0
 
𝑄
𝐴
 
 
𝑬 = 
𝝈
𝝐𝟎
 (𝟐𝟓) 
 
 A capacitância de um capacitor é definida como 𝐶 = 𝑄/𝑈 , sendo Q a quantidade de 
carga e sua ddp, então, com as informações que nós já temos, considerando uma campo elétrico 
uniforme entre as placas, 𝑈 = 𝐸. 𝑑 : 
 
 
𝐶 = 
𝑄
𝑈
 = 
𝜎. 𝐴
𝐸. 𝑑
= = 
𝜎. 𝐴
𝜎
𝜖0
.𝑑
 → 
 
𝑪 = 
𝝐𝟎 . 𝑨
𝒅
 (𝟐𝟔) 
 
 
 
 
 
 22 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 Considerando que na região entre as placas do capacitor, cujo volume é 𝑉 = 𝐴, 𝑑 , há uma 
quantidade de energia 𝜀 = 𝐶. 𝑈2 /2 armazenada pelo campo elétrico. Se dividirmos esta energia 
pelo volume, teremos a densidade volumétrica de energia elétrica: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑒𝐸 = 
𝜀
𝑉
=
𝐶. 𝑈2
2
𝐴. 𝑑
 = 
𝜖0.𝐴
𝑑 . (𝐸. 𝑑)
2
2𝐴. 𝑑
 → 
 
 
𝒆𝑬 =
𝝐𝟎 . 𝑬
𝟐
𝟐
 (𝟐𝟕) 
 
 Pondere ainda que se o campo elétrico variar, esta densidade varia. Para a onda plana 
que temos estudado, o valor máximo desta energia 
 
𝒆𝑬𝒎á𝒙 = 
𝝐𝟎𝑬𝟎²
𝟐
 (𝟐𝟖) 
 
 
 Faremos algo análogo ao que fizemos com o capacitor para encontrarmos a densidade de 
energia magnética: dividiremos a energia armazenada em um indutor de “𝑛 = 𝑁/𝑙 ” espiras por 
unidade de comprimento, com secção transversal de área “A”, percorrido pela corrente “i”, pelo 
seu volume, “A.𝑙”: 
 
 
 
 
 
 Se aplicarmos a Lei de Ampere, impondo que seja nula a corrente de deslocamento, 
porque dE/dt = 0, considerando o percurso definido pelo perímetro do quadrado (em verde) da 
figura anterior obteremos: 
 
∮ 𝑩. 𝒅𝒍
𝐵𝑜𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆
 = 𝜇0 .∫ 𝒋. 𝒅𝑨𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 
𝑆
 (29) 
 
 
𝐵. 𝑙 = 𝜇0 . 𝑁𝑖 → 𝐵 = 𝜇0 . 𝑖 .
𝑁
𝑙
 → 
 
𝑩 = 𝝁𝟎 . 𝒊 .𝒏 (𝟑𝟎) 
 
 Consideraremos também a definição de indutância, 𝐿, para o solenoide com “N” espiras e 
comprimento “𝑙”: 
 
 
 
 23 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 

𝑩
= 𝑳. 𝑵. 𝒊 (𝟑𝟏) 
 
∫ 𝑩.𝒅𝑨
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 
𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
 = 𝐿. 𝑁𝑖 → 𝜇0 . 𝑖 .𝑛. 𝐴 = 𝐿.𝑛𝑙. 𝑖 → 
 
 
𝑳 = 𝝁𝟎 .𝒏
𝟐 . 𝑨. 𝒍 (𝟑𝟐) 
 
 
reforçando que “𝑉 = 𝐴. 𝑙” é o volume definido pelo solenoide. 
 
 
 A energia armazenada no campo magnético, por unidade de volume, no interior do 
solenoide será: 
 
 
𝑒𝑀 =
𝐿. 𝑖 2
2
𝑉
= 
𝐿𝑖²
2
𝐴. 𝑙
=
1
2
 .
(𝜇0.𝑛². 𝐴. 𝑙). (
𝐵
𝜇0. 𝑛
)²
𝐴. 𝑙
 
 
𝒆𝑴 = 
𝑩²
𝟐𝝁𝟎
 (𝟑𝟑) 
 
 Analogamente ao que dissemos para o campo elétrico, se o campo magnético variar, esta 
densidade varia, e para a onda plana que temos estudado, o valor máximo desta energia será 
 
𝒆𝑩𝒎á𝒙 = 
𝑩𝟎²
𝟐𝝁𝟎
 (𝟑𝟒) 
 
 
 Não é difícil mostrarmos que os valores máximos das densidades de energias elétrica e 
magnética são iguais. Apoiados pela equação (4.1-23d): 
𝑒𝐸𝑚á𝑥
𝑒𝐵𝑚á𝑥
= 
𝜖0𝐸0²
2
𝐵0²
2𝜇0
= 
𝜇0𝜖0𝐸0 ²
𝐵0²
= 
 
1
𝑐2
𝐸²
𝐵0²
 = 
 𝐸0²
𝑐2 𝐵0²
= 1 
 
𝒆𝑩𝒎á𝒙 = 𝒆𝑬𝒎á𝒙 (35) 
1.3.3 Vetor de Poynting 
 
 
 A densidade total de energia é dada pela soma das densidades de energia elétrica e 
magnética. Somando-se os resultados das equações (33) e (34) teremos, observando que 𝑣 =
𝑐 = √𝜇0. 𝜖0: 
 
𝑒 = 𝑒𝐸 + 𝑒𝑀 = 
1
2
 𝜖0 𝐸
2 + 
1
2
 
1
𝜇0
𝐵2 = 
1
2
 𝜖0 𝐸
2 + 
1
2
 𝜖0 𝐸
2 = 𝜖0 𝐸
2 
 24 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
ou 
𝑒 = 𝜖0 (
1
√𝜇0. 𝜖0 
 𝐵)2 = 
𝐵²
𝜇0 
 
ou 
𝑒 = 𝐵 .
 𝐵
𝜇0 
= 
𝐸
𝑐
 .
 𝐵
𝜇0 
= 
 𝐸. 𝐵
𝑐𝜇0 
 
 
portanto 
𝒆 = 𝝐𝟎𝑬
𝟐 = 
𝑩²
𝝁𝟎 
 = 
 𝑬.𝑩
𝒄𝝁𝟎 
 (35) 
 
 
 Vamos usar este último resultado para obtermos a intensidade da onda eletromagnética, 
partindo da a equação (4.1-28): 
 
 
𝐼 = 𝑒 .𝑣 = 
 𝐸. 𝐵
𝑐𝜇0 
 . 𝑐 → 
 
𝑰 = 
 𝑬.𝑩
 𝝁𝟎 
 (𝟑𝟔) 
 
 
é a intensidade instantânea da onda. Observe que o resultado acima é o módulo do vetor de 
Poynting, 
 
𝑺 = 
 𝑬 𝒙 𝑩
 𝝁𝟎 
 (𝟑𝟕) 
 
 O módulo do vetor de Poynting oferece a intensidade instantânea da radiação 
eletromagnética, e sua direção é a direção de propagação da onda eletromagnética , 
como já havíamos comentado anteriormente. 
 
 
 Para uma onda eletromagnética com a forma senoidal, poderemos definir a intensidade 
média em um ciclo como 
 
 
𝐼𝑚 = 
1
𝑇
 ∫ 𝐼. 𝑑𝑡
𝑇
0
 (38) 
 
mas, com as equações (4.1-20): 
 
 
𝐼 = 
 𝐸. 𝐵
 𝜇0 
= 
 𝐸0. cos (
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇 𝑡) . 𝐵0. cos(
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇 𝑡)
 𝜇0 
 
 
𝐼 = 
 𝐸0. 𝐵0
 𝜇0 
 . cos2 (
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) (39) 
 25 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
obteremos 
 
𝐼𝑚 = 
 𝐸0.𝐵0
 𝜇0 
 .
1
𝑇
 ∫ cos2 (
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) . 𝑑𝑡
𝑇
0
 (40) 
 
 
 A integral acima é bstante conhecida, e vamos calcular o valor medio para x = 0, apenas 
para somplificarmos os cálculos: 
 
1
𝑇
 ∫ cos2 (− 
2𝜋
𝑇
𝑡) . 𝑑𝑡
𝑇
0
= 
1
𝑇
 ∫ cos2 (− 
2𝜋

𝑥) . 𝑑𝑡
𝑇
0
= 
 
porque a função cosseno é par, f(u) = f(-u), com uma pequena mudança de variável: 
 
𝜃 = 
2𝜋
𝑇
𝑡 → 
 
𝑑𝜃 =
 2𝜋 
𝑇
 𝑑𝑡 → 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃.
 𝑇 
2𝜋
 
𝑡 = 0 → 𝜃 = 0 
𝑡 = 𝑇 → 𝜃 = 2𝜋 0 
 
1
𝑇
 ∫ cos2 (0 
2𝜋
𝑇
𝑡) . 𝑑𝑡
𝑇
0
= 
1
𝑇
 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 .𝑑𝜃.
 𝑇 
2𝜋
2𝜋 
0
= 
 1 
2𝜋
 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 . 𝑑𝜃
2𝜋
0
 
 
mas 
 
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 . 𝑑𝜃
2𝜋 
0
 → 
 
 
 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 . 𝑑𝜃
2𝜋 
0
= 
1
2
(∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
) = 
 
= 
1
2
(∫ (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃).𝑑𝜃
2𝜋 
0
) = 
1
2
∫ 1 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
= 𝜋 
 
assim 
 
1
𝑇
 ∫ cos2 (− 
2𝜋
𝑇
𝑡) . 𝑑𝑡
𝑇
0
= 
 1 
2𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
 = 
 1 
2𝜋
𝜋 → 
 
 1 
2𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
 =
 1 
2𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 .𝑑𝜃
2𝜋 
0
 = 
1
2
 
 
e por isto 
 
 26 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
𝐼𝑚 = 
 𝐸0. 𝐵0
 𝜇0 
 .
1
𝑇
 ∫ cos2 (
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) . 𝑑𝑡
𝑇
0
= 
 𝐸0.𝐵0
 𝜇0 
 .
1
2
 → 
 
 
𝑰𝒎 = 
 
𝑬𝟎
√𝟐
.
𝑩𝟎
√𝟐
 𝝁𝟎 
 = 
 𝑬𝒓𝒎𝒔 .𝑩𝒓𝒎𝒔
 𝝁𝟎 
 
 𝑬𝟎.𝑩𝟎
𝟐 𝝁𝟎 
= 
 𝑬𝟎
𝟐
𝟐𝒄 𝝁𝟎 
= 
 𝑩𝟎
𝟐𝒄𝟐
𝟐 𝝁𝟎
 (𝟒𝟏) 
 
 
 
sendo que definimos os valores quadráticos médios, rms =root mean square, 𝐸𝑟𝑚𝑠 = 
𝐸0
√2
 e 
𝐵𝑟𝑚𝑠 = 
𝐵0
√2
. Observe que a intensidade da onda é proporcional ao quadrado da sua 
amplitude. 
 
 
 
1.3.4 Pressão associada a uma onda eletromagnética 
 
 
 
 Vamos retomar a equação (4.1-29) que trata da pressão exerc ida pela onda: 
 
 𝑃𝑅 = 
𝐼
𝑣
 
sendo que empregamos os símbolos “P” para a potência e “P r” para a pressão. Considerando 
ainda que 𝑣 = 𝑐 e que a intensidade é dada pela equação (4.1-30): 
 
𝐼 = 𝑃𝑟 . 𝑐 → 
 
 𝑷𝒓 = 
𝑰
𝒄
 (𝟒𝟐) 
 
 
 
𝑷𝒓 = 
 𝑬𝟎 .𝑩𝟎
𝟐 𝝁𝟎𝒄 
= 
 𝑬𝟎
𝟐
𝟐 𝝁𝟎𝒄
𝟐 
=
 𝑩𝟎
𝟐
𝟐 𝝁𝟎
=
 𝑬𝒓𝒎𝒔 .𝑩𝒓𝒎𝒔
 𝝁𝟎 𝒄
 (𝟒𝟑) 
 
 Concluímos nosso estudo assinalando que se uma onda colide com uma superfície e é 
totalmente absorvida, o momento que transfere a superfície é dado pela equação (4.1-39), 
exercendo uma pressão dada pela equação (4.1-41). Porém, se a onda é totalmentereflet ida, o 
momento transferido a superfície é o dobro daquele que obtivemos na equação (4.1-39), assim 
como a pressão também é o dobro daquele que obtivemos na equação (4.1-41). 
 
 
 
 
 
 
 27 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
EXEMPLO 2: (Energia em uma onda de rádio senoidal) Uma estação de rádio na superfície 
terrestre irradia ondas senoidais com uma potência total de 50kW. Suponha que a emissora 
irradie uniformemente em todas as direções acima do solo (o que não é provável em situações 
reais), e determine as amplitudes máximas detectadas dos campos elétrico e magnético por um 
satélite situado a 100km de altitude.. 
 
 
SOLUÇÃO: Iniciaremos considerando a definição de intensidade média: 
 
𝐼𝑚 = 
𝑃
 𝐴
 → 𝐼 = 
𝑃
 4𝜋𝑅2
 → 𝐼 = 
50.10³𝑊
 4𝜋(100.10³𝑚)2
 = 7,96. 10−7𝑊/𝑚2 
 
 
 
 A intensidade da onda é igual ao módulo do valor médio do vetor de Poynting, ou seja, 
da equação (4.1-28): 
 
𝐼𝑚 = 𝑆𝑚 → 𝐼𝑚 = 
 
𝐸0
√2
.
𝐵0
√2
 𝜇0 
 =
 𝐸𝑟𝑚𝑠. 𝐵𝑟𝑚𝑠
 𝜇0 
 → 𝐼𝑚 = 
 𝐸0. 𝐵0
 2𝜇0 
 → 𝐼𝑚 = 
 𝐸0.
𝐸0
𝑐
 2𝜇0 
 → 
 
 𝐼𝑚 = 
 2
 2𝜇0. 𝑐 
 → 𝐸0
2 = 𝐼𝑚. 2𝜇0. 𝑐 → 𝐸0 = √𝐼𝑚. 2𝜇0. 𝑐 
 
 
 𝐸0 = √(7,96. 10
−7𝑊/𝑚2 ).2(4𝜋. 10−7𝑇. 𝑚/𝐴).(3,00. 108
𝑚
𝑠
) = 2,54. 10−2𝑉/𝑚 
 
e 
𝐵0 = 
 𝐸0
 𝑐
 → 𝐵0 = 
 2,54. 10−2𝑉/𝑚
 3,00.108
𝑚
𝑠
 = 8,17.10−11 𝑇 
 
 
 
EXEMPLO 3: (Vetor de Poynting, energia transportada por uma onda não senoidal) 
Considere uma onda plana, ou seja, os vetores E e B são constantes no tempo, possuem direção 
constante, contidos no plano YZ, e esta onda plana desloca-se na direção de X positivo. 
Considerando que o módulo do campo elétrico seja E = 100V/m, calcule: (a) o valor de B; (b) a 
densidade de energia e (c) a taxa d fluxo de energia por unidade de área. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
a) O valor do campo magnético é dado por 
 
 
𝐵 = 
𝐸
𝑐
 → 𝐵 = 
100𝑉/𝑚
3,00. 108
𝑚
𝑠
 = 3,33.10−7𝑇 
 
 
 28 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
b) A densidade de energia é 
 
𝑒 = 𝜖0 . 𝐸
2 → 𝑒 = 8,85.10−12
(3,00. 108
𝑚
𝑠 )²
𝑁𝑚²
 . (100𝑉/𝑚)2 = 8,85.10−8 
𝐽
𝑚³
 
 
 
c) O módulo do vetor de Poynting é 
 
𝑆 = 
𝐸0 .𝐵0
 𝜇0
 → 𝑆 = 
100𝑉/𝑚. 3,33. 10−7𝑇
 4𝜋. 10−7𝑇. 𝑚/𝐴
 = 26,5
𝑉. 𝐴
𝑚²
= 26,5
𝑊
𝑚²
 
 
 
 
EXEMPLO 5: (Lei de Faraday) Uma antena constituída por uma única espira de 10cm de raio 
é usada para detectar ondas eletromagnéticas dadas pelas equaç ões (4.1-20), com intensidade 
tal que Erms = 0,15V/m. Determine o valor rms da tensão induzida na antena se a frequência 
da onda for (a) 600kHz; (b) 600MHz. 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) A tensão induida na espira deve-se a taxa de variação do fluxo magnético. Para que se 
possa induzir uma tensão máxima na espira, o campo B deve ser normal ao seu plano. 
Se este for o caso, usaremos a Lei de Faraday, (equação (4.1-11d), em módulo: 
 
|𝑓𝑒𝑚| = 
|
|
 
𝑑
𝑑𝑡
∫ 𝑩. 𝒅𝑨
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 
𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
 
|
|
= 
|
|
 
𝑑
𝑑𝑡
 𝐵. ∫ 𝑑𝐴
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 
𝑑𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎
𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎
 
|
|
= | 
𝑑
𝑑𝑡
 𝐵. 𝜋𝑅2 | = 
 
|𝑓𝑒𝑚| = 𝜋𝑅2 | 
𝑑
𝑑𝑡
 𝐵 | = 𝜋𝑅2 | 
𝑑
𝑑𝑡
 
𝐸
𝑐
 | = 
𝜋𝑅2
𝑐
| 
𝑑
𝑑𝑡
 𝐸 | = 
 
|𝑓𝑒𝑚| = 
𝜋𝑅2
𝑐
| 
𝑑
𝑑𝑡
 𝐸0. cos (
2𝜋

𝑥 − 
2𝜋
𝑇
𝑡) | = 
 
|𝑓𝑒𝑚| = 
𝜋𝑅2
𝑐
| 
𝑑
𝑑𝑡
 𝐸0. cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) | = 
 
|𝑓𝑒𝑚| = 
𝜋𝑅2 𝐸0.𝜔
𝑐
| sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) | 
 
 Considerando a média temporal já definida anteriormente, (4.1-27a): 
 
𝑓𝑒𝑚𝑟𝑚𝑠 = 
𝜋𝑅2 .𝜔
𝑐
 𝐸𝑟𝑚𝑠 = 
𝜋𝑅2 .2𝜋𝑓
𝑐
 𝐸𝑟𝑚𝑠 (4.1 − 36) 
 
mostrando que as femrms é proporcional a frequência da onda. 
 
 Substituindo-se os valores: 
 29 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 
𝑓𝑒𝑚𝑟𝑚𝑠 = 
𝜋(0,10𝑚)2 .2𝜋. 600. 103𝐻𝑧
3,0. 108𝑚/𝑠
.
0,15𝑉
𝑚
= 59𝜇𝑉 
 
b) Quando a frequência for 600MHz, oou seja, mil vezes maior, a fem também será mil vezes maior: 
59mV. 
 
 
 
EXEMPLO 6: (potência e pressão dos raios solares sobre um satélite) Um satélite em 
órbits em torno da Terra possui um painel solar com área total igual a 4,00m². Sabendo que a 
luz solar incide normalmente (90°) na superfície do painel e é totalmente absorvida, calcule (a) 
a potência solar média absorvida; (b) a força média exercida pela pressão de radiação. Considere 
que a intensidade da radiação solar que atinge o satélite seja de 1,4.10³W/m². 
 
SOLUÇÃO: 
a) A potência solar média sobre o satélite é dada por: 
 
𝐼𝑚 = 
𝑃
 𝐴
 → 𝑃 = 𝐼𝑚 .𝐴 → 𝑃 = 1,4.10
3
𝑊
𝑚²
. 4,00 𝑚² = 5,6.103𝑊 = 5,6𝑘𝑊 
 
 
b) A pressão de radiação é dada por: 𝑃𝑟 =
𝐼
𝑐
 , então 
 
𝑃𝑟 =
𝐼
𝑐
 → 𝑃𝑟 =
1,4.103
𝑊
𝑚²
3,00. 108
𝑚
𝑠
 = 4,7. 10−6𝑃𝑎 
 
de modo que a força total sobre o satélite será 
 
𝐹 = 𝑃𝑟 .𝐴 → 𝐹 = 4,7. 10
−6 𝑃𝑎 .4,0𝑚² = 1,9. 10−5 𝑁 
 
 
 
EXEMPLO 7: (Intensidade e pressão de radiação) Uma lâmpada emite ondas 
eletromagnéticas esféricas, uniformemente, com potência de radiação igual a 50,0W. Determine, 
para uma distância de 3,00m da lâmpada: (a) A intensidade da radiação; (b) A pressão da 
radiação; (c) Os valores máximos dos campos elétrico e magnético. 
 
SOLUÇÃO: 
a) Por definição: 𝐼 = 
𝑃
𝐴
= 
𝑃
4𝜋𝑟2
→ 
 
𝐼 = 
50,0𝑊
4𝜋(3,00𝑚)2
= 0,442𝑊/𝑚² 
 
b) A pressão é dada por: 𝑃𝑟 =
𝐼
𝑐
 → 
 
𝑃𝑟 =
0,442𝑊/𝑚²
3,00. 108𝑚/𝑠
 = 1,47.10−9𝑃𝑎 
 30 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
 
 
c) Os valores máximos podem ser obtidos a partir de 𝑃𝑟 = 
 𝐸0
2
2 𝜇0𝑐
2 
=
 𝐵0
2
2 𝜇0
 → 
 
𝐵0
2 = 𝑃𝑟 .2 𝜇0 → 𝐵0 = √𝑃𝑟 . 2 𝜇0 → 
 
𝐵0 = √1,47. 10
−9𝑃𝑎 .2 .4𝜋10−7𝑇. 𝑚/𝐴 = 6,08. 10−8𝑇 
 
 Sendo 𝐸0 = 𝑐. 𝐵0 → 
 
𝐸0 = 3,00.
108𝑚
𝑠
. 6,08. 10−8𝑇 = 18,2𝑉/𝑚 
 
 
 
Obs.: quanto as unidades: 
 
𝑃𝑟 =
𝐼
𝑐
 → 
𝑊/𝑚²
𝑚/𝑠
=
𝑊
𝑚2
.
𝑠
𝑚
= 
𝐽
𝑚3
 = 
𝑁. 𝑚
𝑚3
 = 
𝑁
𝑚2
 = 𝑃𝑎 
 
 
𝐵0 = √𝑃𝑟 . 2 𝜇0 → √𝑃𝑎 𝑇.
𝑚
𝐴
 = √
𝑁
𝑚2
. 𝑇.
𝑚
𝐴
 = √𝑇.
𝑁
𝑚2
.
𝑚
𝐴
 = √𝑇.
𝑁
𝑚2
.
𝑚
𝐴
 = 
 
= √𝑃𝑎 𝑇.
𝑚
𝐴
 = √𝑇.
𝐽
𝑚2
.
1
𝐴
 = √𝑇.
𝐶. 𝑉
𝑚2
.
1
𝐴
 = √𝑇.
𝐶. 𝑉
𝑚2
.
1
 
𝐶
𝑠
 = √𝑇.
𝑉. 𝑠
𝑚2
. = √𝑇.
𝑊𝑏
𝑠 . 𝑠
𝑚2
=
 
 
= √𝑇.
𝑊𝑏
𝑚2
 = √𝑇. 𝑇 = 𝑇 
 
 
1.3.5 Momento associado a uma onda eletromagnética 
 
 
 
 Poderemos entender o momento associado a uma onda pensando no momento que onda 
transferirá a uma pequenina partícula de massa “m” e carga “q” atingida pela onda. 
Simplificaremos nosso estudo empregando o campo eletromagnético definido nas equações (4.1-
20). O campo elétrico acelerará a partícula no eixo Y dando-lhe a aceleração: 
 
𝑎𝑌 = 
𝑞𝐸
𝑚
 
 
que resultará na componente Y da velocidade da partícula 
 
 31 Professor Marcos Roberto Rossini𝑣𝑌 = 
𝑞𝐸
𝑚
. 𝑡 
 
 A energia cinética adquirida pela partícula no instante “T” é 
 
𝜀 = 
𝑚. 𝑣𝑌
2
2
=
𝑚. (
𝑞𝐸
𝑚 .𝑇)
2
2
 
 
𝜀 = 
1
2
 
𝑞². 𝐸²
𝑚
 𝑇² (4.1 − 37) 
 
 Logo em seguida, o campo magnético atuará sobre a partícula, aplicando-lhe a força 
magnética na direção do eixo X, porque FM = q v x B terá a direção de j x k = i, ou seja, do 
eixo X, acelerando-a nesta direção: 
 
 𝑭𝑴 = 𝑞. 𝑣𝑌 . 𝐵𝒊 = 
𝑞2𝐸𝐵
𝑚
. 𝑡 𝒊 
 
 O momento transferido a partícula na direção do eixo X, entre os instantes t = 0 e t = T, 
pode ser obtido considerando-se que FM = dpx/dt  dpx = FM . dt: 
 
 
 
𝑝𝑥 = ∫ 𝐹𝑀 . 𝑑𝑡
𝑇
0
= ∫
𝑞2𝐸𝐵
𝑚
. 𝑡. 𝑑𝑡
𝑇
0
= 
1
2
.
𝑞2𝐸𝐵
𝑚
. 𝑇² 
 
como B = E/c 
 
𝑝𝑥 =
1
𝑐
( 
1
2
.
𝑞2𝐸2
𝑚
. 𝑇2) (4.1 − 38) 
 
 Esta última relação mostra que o termo entre parênteses é a energia cinética da partícula, 
equação (4.1-37), então 
 
𝑝𝑥 =
𝜀
𝑐
 (4.1 − 39) 
 
 
 32 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
1.4 Testes e exercícios 
Testes 
1) Se uma régua passa a tocar a água 20 vezes em cada 5,0 segundos, então essa mudança 
provocará uma alteração: 
a) na freqüência da onda e em seu comprimento de onda; 
b) na velocidade e na freqüência da onda. 
c) na velocidade da onda e em seu comprimento de onda; 
d) no comprimento da onda, na velocidade e na freqüência da onda; 
e) somente na freqüência da onda. 
2) (USF) Duas ondas propagam-se no mesmo meio, com a mesma velocidade. O 
comprimento de onda da primeira é igual ao dobro do comprimento de onda da segunda. 
Então podemos dizer que a primeira terá, em relação à segunda: 
a) mesmo período e mesma frequência; 
b) menor período e maior freqüência; 
c) maior período e menor freqüência; 
d) menor período e menor frequência; 
e) maior período e maior freqüência. 
3) (FUVEST) O ouvido humano consegue ouvir sons desde aproximadamente 20Hz até 20 
000Hz. Considerando que o som se propaga no ar com velocidade de módulo 330m/s, 
qual é o intervalo de comprimento de onda detectado pelo ouvido humano? 
a) 16,5m até 16,5mm b) 165m até 165m c) 82,5m até 82,5mm d) 8,25m até 8,25m 
e) 20m até 20mm 
4) (UFJF) Um homem balança um barco no qual se encontra e produz ondas na superfície de 
um lago cuja profundidade é constante até a margem, observando o seguinte: 1° - o 
barco executa 60 oscilações por minuto 2° - a cada oscilação aparece a crista de uma 
onda;3° - cada crista gasta 10s para alcançar a margem. Sabendo-se que o barco se 
encontra a 9,0m da margem e considerando as observações anteriores, pode-se afirmar 
que as ondas do lago têm um comprimento de onda de: a) 6,6 
 b) 5,4m c) 3,0m d) 1,5m e) 0,90m 
5) (FUVEST) Um vibrador, operando com freqüência igual a f, perturba a superfície tranqüila 
da água de um tanque num dado ponto O, produzindo um trem de ondas circulares. Essas 
ondas, ao se propagarem, atingem uma pequena bóia situada a 2,0m do ponto O, em um 
intervalo de tempo de 0,50s depois de terem sido emitidas pelo vibrador. Se a distância 
entre uma crista e um vale consecutivos das ondas é igual a 10cm, o valor de f, em hertz, 
é: 
a) 5,0 b) 10 c) 20 d) 4 e) 80 
6) (MACKENZIE) Uma onda transversal se propaga obedecendo à função y(x,t) = 4,0 cos 
[(20t - 4,0x)], no sistema CGS. O módulo da velocidade de propagação dessa onda é: 
a) 5,0cm/s b) 3,1cm/s c) 1,0cm/s d) 0,50cm/s e) 0,20cm/s 
7) Ondas senoidais, observadas de um referencial Oxy, propagam-se ao longo de uma corda 
ideal obedecendo à função y = 4 sen [p(2x - 4t)], onde x e y são dados em metros e t é 
dado em segundos. Para as ondas referidas, a freqüência e o comprimento de onda valem, 
respectivamente: 
a) 0,5Hz e 1m b) 0,25Hz e 0,5m c) 2Hz e 1m d) 4Hz e 2m e) 2Hz e 4m 
 
8) (UnB) um mostruário de uma exposição é iluminado por uma lâmpada de potência P1, a 
uma distância r1. Por motivos de estética, resolve-se dobrar a distância da luz ao 
 33 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
mostruário, mantendo-se, no entanto, a mesma intensidade luminosa sobre ele. Para isso, 
tiveram que trocar a lâmpada por outra de potência igual a: 
a) 2P1 b) 4P1 c) 8P1 d) 16P1 e) 32P1 
 
 
9) (UFRS) uma onda esférica, gerada por uma fonte puntiforme, propaga-se num meio não-
absorvedor. A energia que incide por segundo sobre uma superfície de 1m2, colocada 
perpendicularmente à direção de propagação da onda, a 1km da fonte, é 5 joules. As 
energias que incidem por segundo sobre a mesma superfície, colocada nas mesmas 
condições a 2km e a 3km da fonte são, respectivamente, em joules, iguais a: 
a) 5 e 5 b) 4 e 3 c) 5/2 e 5/3 d) 5/4 e 5/9 e) 5/8 e 5/27 
 
 
10) A quantidade média de energia que a Terra recebe do Sol por minuto e por cm2 é de 
2,00cal. Se o raio da órbita terrestre é de 1,50.1011m e o de Plutão, 6,00.1012m, qual a 
quantidade média de energia que Plutão recebe do Sol, por minuto e por cm2? 
a) 2,00cal b) 5,00.10-1cal c) 4,00.102cal d) 1,25.10-3cal 
e) não há elementos para o cálculo. 
 
 
11) (IBMEC-2006) Isaac Asimov, conhecido escritor de Ficção Científica, criou em seus contos 
as três leis da robótica, às quais todos os robôs produzidos são programados para 
obedecer. 
 
1ª- Lei: Um robô não pode ferir um ser humano e nem, por omissão, permitir que um ser 
humano sofra algum mal. 
 
2ª- Lei: Um robô deve obedecer às ordens que lhe sejam dadas por seres humanos, exceto 
nos casos em que tais ordens contrariem a Primeira Lei. 
 
3ª- Lei: Um robô deve proteger sua própria existência, desde que tal proteção não entre 
em conflito com a Primeira e a Segunda Leis. 
 
a) Como um robô deve reagir à ordem “Destrua-se!”, dada por um ser humano? 
Justifique sua resposta. 
 
b) Um ser humano informa a seu robô: “Se meu irmão tentar me matar, então a única 
maneira de impedi-lo é matando-o.” Diante dessa situação, é possível que o robô não 
viole nenhuma das três leis? Justifique sua resposta. 
 
 
12) (ENEM-2007) Explosões solares emitem radiações eletromagnéticas muito intensas e 
ejetam, para o espaço, partículas carregadas de alta energia, o que provoca efeitos 
danosos na Terra. O gráfico abaixo mostra o tempo transcorrido desde a primeira 
detecção de uma explosão solar até a chegada dos diferentes tipos de perturbação e seus 
 34 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
respectivos efeitos na Terra. 
 
 
Considerando-se o gráfico, é correto afirmar que a perturbação por ondas de rádio 
geradas em uma explosão solar 
a) dura mais que uma tempestade magnética. 
b) chega à Terra dez dias antes do plasma solar. 
c) chega à Terra depois da perturbação por raios X. 
d) tem duração maior que a da perturbação por raios X. 
e) tem duração semelhante à da chegada à Terra de partículas de alta energia. 
 
 
13) (FMTM-2002) A medicina encontra nos raios LASER, cada dia que passa, uma nova 
aplicação. Em cirurgias, têm substituído os bisturis e há muito são usados para “soldar” 
retinas descoladas. Teoricamente idealizados em 1917 por Albert Einstein, podem hoje em 
dia ser obtidos a partir de sólidos, líquidos e gases. O primeiro LASER a gás empregava 
uma mistura de hélio e neônio e produzia um feixe de ondas eletromagnéticas de 
comprimento de onda 1,15m. Com base na tabela que segue e considerando-se a 
velocidadede propagação da luz 3.105 km/s, a “cor” do feixe emitido por este LASER era 
 
 
 
 
 
a) azul. 
b) azul - esverdeada. 
c) amarela. 
d) vermelha. 
e) infravermelha 
 35 Professor Marcos Roberto Rossini 
 
 
14) (Fuvest-1999) Considere três situações em que um raio de luz se desloca no vácuo: 
 
 
I) nas proximidades de uma esfera carregada eletricamente, representada na figura I. 
II) nas proximidades do pólo de um ímã, representada na figura II. 
III) nas proximidades de um fio percorrido por corrente elétrica i, representada na figura III. 
Podemos afirmar que o raio de luz: 
a) não é desviado em qualquer das três situações. 
b) é desviado nas três situações. 
c) só é desviado nas situações I e II. 
d) só é desviado nas situações II e III. 
e) só é desviado na situação I. 
 
15) Para pesquisar a profundidade do oceano numa certa região, usa-se um sonar instalado 
num barco em repouso. O intervalo de tempo decorrido entre a emissão do sinal ultrassom 
de freqüência 75 000Hz e a resposta ao barco (eco) é de 1 segundo. Supondo que o 
módulo da velocidade de propagação do som na água é igual a 1500m/s,a profundidade 
do oceano na região considerada é de: 
a) 25m b) 50m c) 100m d) 750m e) 1 500m 
 
16) (UNITAU) Independentemente da natureza de uma onda, sua propagação envolve, 
necessariamente: 
a) movimento de matéria; b) transporte de energia; c) transformação de energia; 
d) produção de energia; e) transporte de energia e de matéria. 
 
17) Todas as ondas abaixo podem se propagar no vácuo, exceto: 
a) os ultra-sons b) os raios X c) as ondas de rádio 
d) os raios laser e) o ultravioleta 
 
18) 04.O som não se propaga no vácuo porque: 
a) é uma onda longitudinal; b) é uma onda mecânica; c) não é tridimensiona l; 
d) é uma onda eletromagnética; e) não é uma onda estacionária. 
 
19) Analise as afirmativas e aponte a correta: 
a) Todas as ondas eletromagnéticas são visíveis. 
b) As ondas de rádio não se propagam no vácuo. 
c) As ondas sonoras têm freqüência maior que 30kHz. 
d) Os ultrassons no ar são ondas mecânicas longitudinais. 
e) O módulo da velocidade de propagação dos sons graves no ar é maior que o dos sons 
agudos. 
 
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20) (UFT) Um arco-íris se forma quando o Sol, as gotas de chuva e o observador estão 
dispostos em um determinado ângulo. Os raios de sol penetram na gota de chuva e, devido 
à forma da gota, emergem com a luz separada nos seus vários comprimentos de onda, 
atingindo então o olho do observador. OS fenômenos que ocorrem com a luz na formação 
do arco-íris são: 
A) Difração, interferência, dispersão. 
B) Interferência, reflexão, polarização. 
C) Polarização, interferência, difração. 
D) Reflexão, polarização, dispersão. 
E) Refração, reflexão, dispersão. 
 
21) (Unifor/CE/Janeiro/Conh. Gerais) Na figura está representada a configuração de uma onda 
mecânica que se propaga com velocidade de 20 m/s. 
 
A frequência da onda, em hertz, vale: 
a) 5,0 b) 10 c) 20 d) 25 e) 50 
 
22) (FUVEST) A figura abaixo representa imagens instantâneas de duas cordas flexíveis 
idênticas, C1 e C2, tracionadas por forças diferentes, nas quais se propagam ondas. 
 
Durante uma aula, estudantes afirmaram que as ondas nas cordas C1 e C2 têm 
I. A mesma velocidade de propagação 
II. O mesmo comprimento de onda. 
III. A mesma frequência. 
 
Adote: A velocidade de propagação de uma onda t ransversal em uma corda, onde T a 
tração na corda e μ e a densidade linear da corda. 
Está correto apenas o que se afirma em 
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. 
 
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23) (UFG) As ondas eletromagnéticas foram previstas por Maxwell e comprovadas 
experimentalmente por Hertz (final do século XlX). Essa descoberta revolucionou o mundo 
moderno. Sobre as ondas eletromagnéticas são feitas as afirmações: 
I. Ondas eletromagnéticas são ondas longitudinais que se propagam no vácuo com velocidade 
constante c = 3,0 × 108 m/s. 
II. Variações no campo magnético produzem campos elétricos variáveis que, por sua vez, 
produzem campos magnéticos também dependentes do tempo e assim por diante, permitindo 
que energia e informações sejam transmitidas a grandes distâncias. 
III. São exemplos de ondas eletromagnéticas muito freqüentes no cotidiano: ondas de rádio, 
sonoras, microondas e raios X. 
 Está correto o que se afirma em: 
a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) I e III, apenas. 
e) II e III, apenas. 
24) (UFRS) São exemplos de ondas os raios X, os raios gama, as ondas de rádio, as ondas 
sonoras e as ondas de luz. Cada um desses cinco tipos de onda difere, de algum modo, 
dos demais. Qual das alternativas apresenta uma afirmação que diferencia corretamente 
o tipo de onda referido das demais ondas acima citadas? 
a) Raios X são as únicas ondas que não são visíveis. 
b) Raios gama são as únicas ondas transversais. 
c) Ondas de rádio são as únicas ondas que transportam energia. 
d) Ondas sonoras são as únicas ondas longitudinais. 
e) Ondas de luz são as únicas ondas que se propagam no vácuo com velocidade de 300000 km/s. 
 
 
25) (FGV-SP) Analise as afirmações. 
I. Massa, carga elétrica, temperatura e densidade são algumas das várias grandezas físicas 
escalares que dispensam as noções de direção e sentido. 
II. Campos gravitacional, elétrico e magnético são grandezas vetoriais que caracterizam 
determinada propriedade física dos pontos de uma região 
III. O estudo das ondas em Física pode ser feito dispensando a aplicação de grandezas 
vetoriais. 
É correto apenas o que se afirma em 
a) I b) I c) II d) I e II e) II e III 
 
 
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26) (ENEM) Em viagens de avião, é solicitado aos passageiros o desligamento de todos os 
aparelhos cujo funcionamento envolva a emissão ou a recepção de ondas 
eletromagnéticas. O procedimento é utilizado para eliminar fontes de radiação que possam 
interferir nas comunicações via rádio dos pilotos com a torre de controle. 
A propriedade das ondas emitidas que justifica o procedimento adotado é o fato de 
a) terem fases opostas. 
b) serem ambas audíveis 
c) terem intensidades inversas. 
d) serem de mesma amplitude. 
e) terem frequências próximas. 
 
 
 
27) (Enem 2014) Ao sintonizarmos uma estação de rádio ou um canal de TV em um aparelho, 
estamos alterando algumas características elétricas de seu circuito receptor. Das inúmeras 
ondas eletromagnéticas que chegam simultaneamente ao receptor, somente aquelas que 
oscilam com determinada frequência resultarão em máxima absorção de energia. O 
fenômeno descrito é a: 
a) difração. b) refração c) polarização. d) interferência. e) ressonância. 
 
 
 
28) (EFOMM) As ondas contornam obstáculos. Isto pode ser facilmente comprovado quando 
ouvimos e não vemos uma pessoa situada em uma outra sala, por exemplo. O mesmo 
ocorre com o raio luminoso, embora este efeito seja apenas observável em condições 
especiais. 
O fenômeno acima descrito é chamado de: 
 
a) difusão b) dispersão c) difração d) refração e) reflexão 
 
 
 
29) (ITA) Luz linearmente polarizada (ou plano-polarizada) é aquela que: 
a) apresenta uma só freqüência; 
b) se refletiu num espelho plano; 
c) tem comprimento de onda menor que o da radiação ultravioleta; 
d) tem a oscilação associada a sua onda, paralela a um plano; 
e) tem