A3 AULA

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Cálculo Diferencial Integral a Uma Variável 
Aula 3 
 
 
 
 
Professor Guilherme Lemermeier Rodrigues 
 
CONVERSA INICIAL 
 
Olá, aluno! 
 
Seja bem-vindo(a) à aula 3 de Cálculo Diferencial e Integral! 
 
Hoje vamos estudar as Derivadas! 
 
E o que são essas Derivadas? 
 
Logo a seguir vamos descobrir a resposta! 
 
 
Anote aí os assuntos que envolvem as derivadas: 
 
 Definição 
 Derivadas de funções elementares 
 Regras de derivação 
 Derivada de função composta 
 Derivada implícita e Derivada de função logarítmica 
 Interpretação geométrica da derivada 
 
Então, vamos começar!! 
 
 
PESQUISE 
 
 Definição 
 Derivadas de funções elementares 
 Regras de derivação 
 Derivada de função composta 
 Derivada implícita e Derivada de função logarítmica 
 Interpretação geométrica da derivada 
 
 
 
 
 
 
Definição 
 
 
 
 
 
 
 
A derivada de uma função em um 
ponto é um elemento fundamental 
na disciplina, bem como dentro do 
curso superior da área exata. 
 
Para melhor esclarecer a 
importância desse conteúdo, vamos 
utilizar o gráfico ao lado (graf. 1). 
Nesse gráfico temos alguns 
elementos que merecem nossa 
atenção inicial. 
 
Veja o gráfico: 
 
Temos que, 
 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
=
∆𝑦
∆𝑥
 
 
Portanto, segundo Silva 
 (2009, p.244) podemos dizer que uma função é derivável em um ponto 𝑥0 se o limite da razão incremental 
existir e for finito: 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
 
 
Nesse caso, a derivada da função 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥0 será determinada pelo valor desse limite e 
representada por 𝑓′(𝑥0). 
Calcular a derivada da função 𝒇(𝒙) = 𝒙² no ponto 𝒙𝟎 = 𝟐. 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 
𝑓′(2) = 2 + 2 = 4 
𝑓′(2) = 4 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² é derivável, ou diferenciável no ponto 𝑥0 = 2 e tem valor 𝑓
′(2) = 4. 
Calculando a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 1 no ponto 𝑥0 = 2. 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 1, então 𝑓(2) = 3. 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥2 − 1) − (3)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥 + 2) = 
𝑓′(2) = 2 + 2 = 
𝑓′(2) = 4 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 1 é derivável, ou diferenciável no ponto 𝑥0 = 2 e tem valor 𝑓
′(2) = 4. 
Calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 1 no ponto 𝑥0 = 2. 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(2𝑥2 − 1) − (7)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
2𝑥2 − 8
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
2(𝑥 + 2) = 
𝑓′(2) = 2(2 + 2) = 
𝑓′(2) = 8 
 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 1 é derivável, ou diferenciável no ponto 𝑥0 = 2 e tem valor 𝑓
′(2) = 8. 
Calculando a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ no ponto 𝑥0 = 2. 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) − 𝑓(2)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
𝑥3 − 8
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
𝑥 − 2
= 
𝑓′(2) = lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2𝑥 + 4) = 
𝑓′(2) = 2² + 2 ∙ 2 + 4 = 
𝑓′(2) = 12 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = 𝑥³ é derivável, ou diferenciável no ponto 𝑥0 = 2 e tem valor 𝑓
′(2) = 12. 
 
Dúvida nessa parte da aula? 
O professor Guilherme está de volta para nos ajudar! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170012-
A03-P01.mp4 
 
Saiba Mais 
Vamos praticar? 
Calcular a derivada da função no ponto indicado 
a) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 1 no ponto 𝑥0 = 0 
 
b) 𝑓(𝑥) =
3
√𝑥
 em 𝑥0 = 4 
 
 
Veja mais sobre as derivadas nos acessando os sites: 
 
 
http://mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/limderiv/DefDer.html 
 
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/int_geom/interp_geom.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de funções elementares 
 
 
 
 
 
 
Contudo, não precisamos ficar presos ao conceito de limites para calcularmos derivadas. Até 
porque, temos funções de maiores complexidades e nesses casos, lidar com limites pode ser 
além de oneroso, pouco prático. 
Portanto, lançamos a ideia de usarmos algumas regras práticas de derivação. 
 
Constante 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑓′(𝑥) = 0 
Afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓′(𝑥) = 𝑎 
Identidade 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 
Potência 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 
(𝑥 ∈ 𝑅+ 
∗ 𝑒 𝑛 ∈ 𝑅) 
𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 
Logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥) 
(𝑥 ∈ 𝑅+ 
∗ 𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1) 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ ln(𝑎)
 
Logarítmica 
(Base Natural) 
𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
 
Exponencial 
(Base qualquer) 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
(𝑎 > 0) 
𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln(𝑎) 
Exponencial 
(base Natural) 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
Seno 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥) 
Cosseno 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Tangente 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
Cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²(𝑥) 
Secante 𝑓(𝑥) = sec (𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) ∙ sec (𝑥) 
Cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
Arco-seno 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
√1 − 𝑥²
 
Arco-cosseno 𝑓(𝑥) = arccos (𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
1
√1 − 𝑥²
 
Arco-tangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
1 + 𝑥²
 
Arco-cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
1
1 + 𝑥²
 
Arco-secante 𝑓(𝑥) = arcsec (𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ∙ √𝑥² − 1
 
Arco-cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥 ∙ √𝑥² − 1
 
Agora é fácil calcular as derivadas das funções a seguir: 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
Usando a tabela de derivadas (função Afim), temos que 𝑓′(𝑥) = 1 
2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 
Usando a tabela de derivadas (função Potência), temos que 𝑓′(𝑥) = 12𝑥² 
3) 𝑓(𝑥) = log4(𝑥) 
Usando a tabela de derivadas (função Logarítmica), temos que 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥∙ln(4)
 
4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
Usando a tabela de derivadas (função Exponencial), temos que 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ∙ ln(2) 
5) 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 
Usando a tabela de derivadas (função Seno), temos que 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
Mais detalhes aqui com o professor Guilherme: 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170
012-A03-P02.mp4 
 
Saiba Mais 
Existem três notações distintas para indicar a derivada, considerando a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
Notação de Leibniz → 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 ou 
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
 
Notação Linha → 𝑦´ ou 𝑓´(𝑥) 
Notação de Newton → �̇� ou 𝑓(𝑥)̇ 
 
Agora é com você 
Utilizando a tabela e propriedades da matemática básica (se necessário), determine as derivadas das 
seguintes funções: 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log4 𝑥 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 
d) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥 
e) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √3𝑥
4
 
g) 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
4𝑥+3
𝑥2
 
h) 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
3𝑥3−3𝑥+2
𝑥2
 
 
 
 
Veja mais detalhes aqui: http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php 
 
Calcule as derivadas das funções a seguir: 
Pratiquemais um pouco: 
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 
Usando a tabela de derivadas (função Afim), temos que 𝑓′(𝑥) = 2 
 
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
Usando a tabela de derivadas (função Potência), temos que 𝑓′(𝑥) = 3𝑥² 
 
3) 𝑓(𝑥) = log3(𝑥) 
Usando a tabela de derivadas (função Logarítmica), temos que 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥∙ln(3)
 
 
4) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 
Usando a tabela de derivadas (função Exponencial), temos que 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 ∙ ln(3) 
 
5) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Usando a tabela de derivadas (função Seno), temos que 𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras de derivação 
 
 
 
 
 
 
Obviamente, nem sempre nos depararemos com derivadas de formas fundamentais como as mostradas 
agora a pouco. Aliás, é bem mais comum essas formas fundamentais não aparecerem de forma tão direta. 
É mais comum no dia a dia nos depararmos com formas mais elaboradas. 
Nesse momento da aula veremos algumas regras ou propriedades do cálculo de derivadas. 
 
Trabalharemos como as 4 principais ideias: 
Derivada da soma de funções 
Derivada da subtração de funções 
Derivada do produto de funções 
Derivada de quociente de funções 
 
 
 
Por uma imposição do tempo, não teremos as demonstrações das fórmulas. Contudo, é muito fácil de 
encontrá-las dentro que qualquer livro de referência da disciplina de Cálculo. 
Derivada da soma de funções 
𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥) 
Derivada da subtração de funções 
𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) − 𝑣′(𝑥) 
Derivada do produto de funções 
𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥) + 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) 
Derivada de quociente de 
funções 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) / 𝑣(𝑥) 
𝑓′(𝑥) =
𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)
(𝑣(𝑥))²
Calcule as derivadas das funções a seguir: 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥² 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 𝑓′(𝑥) = 1 + 2𝑥 
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥³ 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 3𝑥² 
3) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2) 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 
𝑓′(𝑥) = (𝑥2 − 2)(4𝑥3) + (2𝑥)(𝑥4 + 2) = 4𝑥5 − 8𝑥3 + 2𝑥5 + 4𝑥 = 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 − 8𝑥3 + 4𝑥 
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥3−1
 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 
𝑓′(𝑥) =
(2𝑥)(𝑥3 − 1) − (𝑥2)(3𝑥2)
(𝑥3 − 1)²
= 
−𝑥4 − 2𝑥
(𝑥3 − 1)²
= −
𝑥4 + 2𝑥
(𝑥3 − 1)2
 
Professor Guilherme, precisamos de ajuda! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2
015/SET/MT170012-A03-P03.mp4 
 
Saiba mais 
Calcule as derivadas das funções a seguir: 
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥³ 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 𝑓′(𝑥) = 2 + 3𝑥² 
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥³ 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 6𝑥² 
3) 𝑓(𝑥) = (𝑥2) ∙ (𝑥3) 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 
𝑓′(𝑥) = (2𝑥) ∙ (𝑥3) + (𝑥2). (3𝑥2) = 2𝑥4 + 3𝑥4 = 5𝑥4 
4) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥3+2
 
Usando a tabela de derivadas e as regras de derivação, temos que 
𝑓′(𝑥) =
(2𝑥)(𝑥3 + 2) − (𝑥2 − 1)(3𝑥2)
(𝑥3 + 2)²
= 
−𝑥4 + 3𝑥2 + 4𝑥
(𝑥3 + 2)²
 
5) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 𝑒𝑥 
Usando a fórmula para derivada de produto (𝑢. 𝑣´ + 𝑣. 𝑢´) 
𝑢 = 𝑥2 𝑣 = 𝑒𝑥 
𝑢´ = 2𝑥 𝑣´ = 𝑒𝑥 
𝑦´ = 𝑢. 𝑣´ + 𝑣. 𝑢´ = 𝑥2. 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥. 2𝑥 
Evidenciando 𝑥. 𝑒𝑥 vem: 
𝑦´ = 𝑥. 𝑒𝑥(𝑥 + 2) 
 
 
6) 𝑦 = (𝑥3 + 3). 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Usando a fórmula para derivada de produto (𝑢. 𝑣´ + 𝑣. 𝑢´) 
𝑢 = 𝑥3 + 3 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑢´ = 3𝑥2 𝑣´ = cos (𝑥) 
𝑦´ = (𝑥3 + 3). cos(𝑥) + 3𝑥2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
 
 
Confira mais exemplos aqui: http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/regras_derivacao/regras_derivacao.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada de função composta 
 
 
 
 
 
 
 
A derivação de função composta, também conhecida como Regra da Cadeia é uma das mais poderosas 
ferramentas que temos para calcular as derivadas. O método é bem simples e consiste em substituir 
variáveis. A Regra da Cadeia ou Derivada da Função Composta é definida, por Stewart (2014, p.180) como: 
 
Se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta F=f °g definida por 
F(x)=f(g(x)) é derivável em x e F’ é dada pelo produto: 
 
𝐹´(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 
 
Na notação de Leibniz, se 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔(𝑥) forem funções deriváveis, então: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 →
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥′
 
Acompanhe: 
1. Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑒3𝑥 
𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑒3𝑥 = 
𝑓(𝑥) = (1 + 2𝑒3𝑥)
1
2 = 
 
Para efeito de cálculo consideraremos 𝑢 = 1 + 2𝑒3𝑥. Portanto, teremos: 
𝑓(𝑥) = (𝑢)
1
2 = 
 
E nesse caso, seguindo a fórmula 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 →
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
, ficamos com 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
1
2
(𝑢)
1
2−1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥 
 
Assim, 
𝑓′(𝑥) =
1
2
(𝑢)
1
2−1 ∙ (2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥) = 
𝑓′(𝑥) =
1
2
(𝑢)−
1
2 ∙ (2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥) = 
𝑓′(𝑥) =
(2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥)
2√𝑢
= 
Substituindo o valor de 𝑢 = 1 + 2𝑒3𝑥 
𝑓′(𝑥) =
2 ∙ 3 ∙ 𝑒3𝑥
2√1 + 2𝑒3𝑥
= 
𝑓′(𝑥) =
3 ∙ 𝑒3𝑥
√1 + 2𝑒3𝑥
= 
 
2. Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 
1
𝑥
)3 
Aplicando 𝑢 = 𝑥 − 
1
𝑥
= 𝑥 − 𝑥−1 
𝑓(𝑥) = (𝑢)3 
Aplicando 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 →
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥′
 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3(𝑢)2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 + 𝑥−2 
Portanto, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(𝑢)2 ∙ (1 + 𝑥−2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(𝑥 − 
1
𝑥
)2 ∙ (1 + 𝑥−2) 
𝑓′(𝑥) = 3(𝑥 − 
1
𝑥
)2 ∙ (1 +
1
𝑥²
) 
 Derivada de função composta? O professor Guilherme sabe tudo! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2
015/SET/MT170012-A03-P04.mp4 
 
Saiba Mais 
Determine as derivadas das seguintes funções compostas: 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (√𝑥) 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = (3. 𝑥3 + 3)4 
d) 𝑦 = ln (4𝑥 + 1) 
e) 𝑦 = (3𝑥2 + 2)5. (cos(𝑥 + 1)) 
f) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 43𝑥
2+2 
g) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒−3𝑥
3+5 
h) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √(𝑥2 + 3). 𝑒2𝑥
3
 
Mais exercícios para você: 
1. Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑘𝑥 
Note que nesse caso temos um produto de funções com regra da cadeia. 
Aplicando 
Derivada do produto de 
funções 
𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) 
𝑓′(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥) + 𝑢′(𝑥)
∙ 𝑣(𝑥) 
Onde 𝑢(𝑥) = 𝑥 e 𝑣(𝑥) = 𝑒−𝑘𝑥, sendo que no detalhe, 
𝑣′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒−𝑘𝑥) = (𝑒−𝑘𝑥) ∙ (−𝑘) 
𝑣′(𝑥) = −𝑘𝑒−𝑘𝑥 
Portanto, 
𝑓′(𝑥) = (𝑥) ∙ (−𝑘𝑒−𝑘𝑥) + (1) ∙ (𝑒−𝑘𝑥) 
 
Evidenciando o termo comum, 
𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑘𝑥 ∙ (1 − 𝑘𝑥) 
 
 
2. 1. Calcule a derivada da função 𝑓(𝑥) = 101−𝑥² 
Aplicando 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
𝑢 = 1 − 𝑥², 𝑢′ = −2𝑥 
𝑓(𝑥) = 10𝑢 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑎 
 
E para encerrar essa parte dos nossos estudos, veja dois materiais bem interessantes aqui: 
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/regras_cadeia/regra_cadeia.htm 
http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/regrcadeia/regcadeia.html 
 
 
 
 
Derivada implícita e Derivada de função logarítmica 
 
 
 
 
 
 
 
A derivação implícita em vias gerais é uma derivação comum, como o detalhe que não conseguimos 
explicitar a variável 𝑦 como nos casos anteriores. 
 
Portanto, para efetivar o cálculo da derivada utilizaremos um recurso.Acompanhe no exemplo logo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
1. Calcule 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 da função 𝒙³ + 𝒚³ = 𝟏, por derivação implícita. 
Aplicando a derivação em relação à 𝑥, 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3 + 𝑦3) =
𝑑
𝑑𝑥
(1) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3) + [
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦3)]
∗
=
𝑑
𝑑𝑥
(1) *
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦3) =
𝑑(𝑦3)
𝑑𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦2 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦2 ∙ 𝑦′ 
3𝑥2 + 3𝑦² ∙ 𝑦′ = 0 
 
Isolando o 𝑦′, 
𝑦′ = −
3𝑥2
3𝑦²
 
𝑦′ = −
𝑥2
𝑦²
 
 
2. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝑦, por derivação implícita. 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 + 𝑥𝑦) 
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥) +
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑦) 
 
Nesse ponto identificamos duas derivadas de produto de funções. 
Portanto, 
 
(𝑒𝑦) ∙ cos (𝑥) + (𝑒𝑦 ∙ 𝑦′) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1 + 𝑥𝑦′ + 1𝑦 
 
 
Separando termos com 𝑦′, 
 
𝑒𝑦 ∙ 𝑦′ ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥 ∙ 𝑦′ = 1 + 𝑦 − 𝑒𝑦 ∙ cos (𝑥) 
 
Evidenciando 𝑦′, 
 
𝑦′(𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥) = 1 + 𝑦 − 𝑒𝑦 ∙ cos (𝑥) 
 
Isolando 𝑦′, 
 
𝑦′ =
1 + 𝑦 − 𝑒𝑦 ∙ cos (𝑥)
𝑒𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥
 
 
Para você exercitar 
 
Determinar as derivadas implícitas das funções a seguir: 
a) 𝑥𝑦 + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑦2 = 0 
 
b) cos(−2𝑥𝑦2) + ln(𝑦3) = 4𝑥3 + 8 
 
c) 𝑦3 + 3𝑥2. 𝑦 + 2𝑥4 + 𝑒𝑥𝑦 = 𝑥5 
 
 
 
 
 
Derivação logarítmica 
Esse não é um tópico novo ou um aprofundamento complexo da teoria, ele trata tão somente de outra 
prática para o cálculo de derivadas. 
Entretanto, essa prática cobra sua parte por meio da teoria de logaritmos e suas propriedades operatórias. 
Acompanhe no exemplo. 
01. Calcule a deriva a seguir por derivação logarítmica: 
𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2) 
𝑦 = (𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2) 
Aplicando logaritmo Natural (ln) na função 
ln [𝑦] = ln [(𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2)] 
Aplicando as propriedades operatórias de logaritmo 
ln(𝑦) = ln(𝑥2 − 2) + ln (𝑥4 + 2)] 
 
Derivando implicitamente 
 
1
𝑦
𝑦′ =
1
(𝑥2 − 2)
(2𝑥) +
1
(𝑥4 + 2)
(4𝑥3) 
 
1
𝑦
𝑦′ =
2𝑥
(𝑥2 − 2)
+
4𝑥3
(𝑥4 + 2)
 
 
1
𝑦
𝑦′ =
2𝑥(𝑥4 + 2) + 4𝑥3(𝑥2 − 2)
(𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
 
 
𝑦′ = 𝑦 [
2𝑥(𝑥4 + 2) + 4𝑥3(𝑥2 − 2)
(𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
] 
 
𝑦′ = (𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4
+ 2) [
2𝑥(𝑥4 + 2) + 4𝑥3(𝑥2 − 2)
(𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
] 
 
𝑦′ = 2𝑥(𝑥4 + 2) + 4𝑥3(𝑥2 − 2) 
 
𝑓′(𝑥) = 6𝑥5 − 8𝑥3 + 4𝑥 
 
 Continua > 
Agora você confere mais exemplos aqui: http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp7.php 
 
Saiba mais 
1. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 𝑥4 ∙ (𝑥 + 𝑦) = 𝑦2 ∙ (3𝑥 − 𝑦), por derivação implícita. 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥4 ∙ (𝑥 + 𝑦)] =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑦2 ∙ (3𝑥 − 𝑦)] 
 
(𝑥4)(1 + 𝑦′) + (4𝑥3)(𝑥 + 𝑦) = (𝑦2)(3 − 𝑦′) + (2𝑦𝑦′)(3𝑥 − 𝑦) 
 
𝑥4 + 𝑥4𝑦′ + 4𝑥4 + 4𝑥3𝑦 = 3𝑦² − 𝑦2𝑦′ + 6𝑥𝑦𝑦′ − 2𝑦²𝑦′ 
 
𝑦′(𝑥4 + 3𝑦2 − 6𝑥𝑦) = 3𝑦² − 5𝑥4 − 4𝑥3𝑦 
𝑦′ =
3𝑦² − 5𝑥4 − 4𝑥3𝑦
𝑥4 + 3𝑦2 − 6𝑥𝑦
 
 
2. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 da função 1 + 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2), por derivação implícita. 
𝑑
𝑑𝑥
(1 + 𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2) 
 
0 + 1 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2) ∙ [(𝑥)(2𝑦𝑦′) + (1)(𝑦2)] 
 
 
0 + 1 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2)(𝑥)(2𝑦𝑦′) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2)(𝑦2) 
 
𝑦′ =
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2)(𝑦2)
(2𝑥𝑦)𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2)
 
 
 
3. Calcule a derivada a seguir por derivação logarítmica: 
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³ 
𝑦 = (𝑥2 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³ 
ln [𝑦] = ln [(𝑥2 − 2)² ∙ (𝑥4 + 2)³] 
ln(𝑦) = ln(𝑥2 − 2)² + ln (𝑥4 + 2)³ 
ln(𝑦) = 2 ln(𝑥2 − 2) + 3 ln (𝑥4 + 2) 
 
 
 
 
 
 
Derivando implicitamente 
1
𝑦
𝑦′ =
2
(𝑥2 − 2)
(2𝑥) +
3
(𝑥4 + 2)
(4𝑥3) 
 
1
𝑦
𝑦′ =
4𝑥
(𝑥2 − 2)
+
12𝑥3
(𝑥4 + 2)
 
 
1
𝑦
𝑦′ =
4𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(𝑥2 − 2)
(𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
 
 
𝑦′ = 𝑦 [
4𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(𝑥2 − 2)
(𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
] 
 
4𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(𝑥2 − 2) 
𝑦′ = (𝑥2 − 2)2 ∙ (𝑥4 + 2)3 [ (𝑥2 − 2)(𝑥4 + 2)
] 
𝑦′ = (𝑥2 − 2) ∙ (𝑥4 + 2)2 [4𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(𝑥2 − 2)] 
𝑦′ = (𝑥2 − 2) . (𝑥8 + 4𝑥4 + 4) . [4𝑥(𝑥4 + 2) + 12𝑥3(𝑥2 − 2)] 
𝑦′ = (𝑥10 + 4𝑥6 + 4𝑥2) + (−2𝑥8 − 8𝑥4 − 8) . [(4𝑥5 + 8𝑥) + (12𝑥5 − 24𝑥3)] 
𝑓′(𝑥) = (𝑥10 − 2𝑥8 + 4𝑥6 − 8𝑥4 + 4𝑥2 − 8) . (16𝑥5 − 24𝑥3 + 8𝑥) 
E o professor Guilherme está de volta! Veja outros detalhes com ele... 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170
012-A03-P05.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica da derivada 
 
 
 
 
 
 
 
Um bom uso do cálculo de derivadas em um ponto se refere à interpretação geométrica. 
Quando substituímos o valor no ponto na função derivada, obtemos o coeficiente angular da reta tangente 
à função no ponto dado. 
Utilizando o conhecimento de geometria analítica (feixe de retas) e a teoria da perpendicularidade temos 
além da reta tangente no ponto dado, também a reta normal. 
Acompanhe no exemplo a seguir. 
 
Calcule a reta tangente e a reta normal à função 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐 no ponto 𝒙𝟎 = 𝟏. 
 
1° passo 
Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada 𝑦0. 
𝑦0 = (1)
2 + 2 
𝑦0 = 3 
2° passo - Derivar a função 
𝑦 = 𝑥2 + 2 
𝑦′ = 2𝑥 
3° passo - Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o valor de 𝑥0 = 1 na 
derivada da função. 
𝑦′ = 2(1) 
 𝑦′ = 2, esse é o valor do coeficiente angular (𝑚𝑡 = 2) da reta tangente no ponto (1, 3) 
4° passo - Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 1) 
𝑦 − 3 = 2𝑥 − 2 
 𝑦 = 2𝑥 + 1 (Reta tangente ao ponto) 
 
 Cálculo da reta normal 
Como a reta normal é perpendicular à reta tangente, podemos definir que (𝑚𝑁 = − 
1
𝑚𝑡
). 
Portanto, 𝑚𝑁 = −
1
2
. 
Aplicando no feixe de retas, 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = −
1
2
(𝑥 − 1) 
2(𝑦 − 3) = −(𝑥 − 1) 
2𝑦 − 6 = −𝑥 + 1 
2𝑦 = −𝑥 + 7 
𝑦 =
−𝑥 + 7
2
 
𝑦 = −
𝑥
2
+
7
2
 (Reta normal ao ponto) 
 
 Continua ao lado > 
 
Agora o cálculo a reta tangente e a reta normal à função 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟏 no ponto 𝒙𝟎 = 𝟏. 
1° passo - Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada 𝑦0. 
𝑦0 = 2(1)
3 + 1 
𝑦0 = 3 
2° passo - Derivar a função 
𝑦 = 2𝑥3 + 1 
𝑦′ = 6𝑥² 
3° passo - Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo 𝑥0 = 1 na derivada da função. 
𝑦′ = 6 . (1)2 
 𝑦′ = 6, esse é o valor do coeficiente angular (𝑚𝑡 = 6) da reta tangente no ponto (1, 3) 
4° passo - Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = 6(𝑥 − 1) 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 > 
𝑦 − 3 = 6𝑥 − 6 
𝑦 = 6𝑥 − 3 (Reta tangente ao ponto)
 Cálculo da reta normal 
Como a reta normal é perpendicular à reta tangente, podemos definir que (𝑚𝑁 = − 
1
𝑚𝑡
). 
Portanto, 𝑚𝑁 = −
1
6
. 
Aplicando no feixe de retas, 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 − 3 = −
1
6
(𝑥 − 1) 
6(𝑦 − 3) = −(𝑥 − 1) 
6𝑦 − 18 = −𝑥 + 1 
6𝑦 = −𝑥 + 19 
𝑦 =
−𝑥 + 19
6
 
 𝑦 = −
𝑥
6
+
19
6
 (Reta normal ao ponto) 
Calcule a reta tangente e a reta normal à função 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙) no ponto 𝒙𝟎 =
𝝅
𝟑
. 
1° passo - Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada 𝑦0. 
 𝑦0 = 𝑠𝑒𝑛(
𝜋
3
) 
 𝑦0 =
√3
2
. 
2° passo - Derivar a função 
𝑦= 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑦′ = cos (𝑥) 
3° passo - Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o valor de 𝑥0 =
𝜋
3
 na derivada da 
função. 
𝑦′ = cos (
𝜋
3
) 
 𝑦′ =
1
2
, esse é o valor do coeficiente angular (𝑚𝑡 =
1
2
) da reta tangente no ponto (
𝜋
3
, 
√3
2
) 
4° passo. 
Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
𝑦 −
√3
2
=
1
2
(𝑥 −
𝜋
3
) 
𝑦 −
√3
2
=
1
2
𝑥 −
𝜋
6
 
𝑦 =
1
2
𝑥 −
𝜋
6
+
√3
2
 (Reta tangente ao ponto) 
 
Então como você pode notar, o único complicador nesse cálculo será a derivação da função. 
 
 
 
Agora veja mais exemplos aqui: http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/int_geom/interp_geom.htm 
 
Mais uma vez o professor Guilherme vai nos ajudar! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/SET/MT170
012-A03-P06.mp4 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo – 7ª.ed.: Cengage Learning, 2010. 
Silva, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula, Vol.3. São Paulo: FTD, 2009. 
 
Bibliografia Básica 
DEMANA, F. D.; WAITS, B.W.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D.; Pré-Cálculo. São Paulo - 2ª.ed.: Pearson, 
2013. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed.; rev. e 
ampl. São Paulo: Pearson, 2007. 
CASTANHERIA, N. P.; Matemática Aplicada. Curitiba - 3ª ed.: Ibpex, 2010. 
 
 
 
Bibliografia Complementar 
THOMAS, G. B.; Cálculo. São Paulo - 10ª ed.: Pearson, 2006. 
SWOKOWSKI, E. W.; Cálculo com geometria analítica. São Paulo - 2ª ed. vol. 1: Makron Books, 1994. 
LEITHOLD, L.; Cálculo com geometria analítica. São Paulo - 3ª. ed. vol. 1: Editora Harbra, 1994. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B.; Cálculo A: Função de uma variável. São Paulo - 2ª ed.: Pearson, 
2007. 
BOULOS, P.; Cálculo diferencial e integral. São Paulo - vol. 1: Makron Books, 1999.