A TEIA DA VIDA - FRIJOT CAPRA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
Resumo do Capítulo VI do livro “A teia da vida”: A Matemática da complexidade
Cruz das Almas /BA
 Julho de 2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
ELLEN RAYSSA OLIVEIRA
Resumo do Capítulo VI do livro “A teia da vida”: A Matemática da complexidade
Resumo apresentado na Universidade Federal do Recôncavo da Bahia para fins de avaliação parcial na disciplina GCCA235 – Fundamentos de Filosofia. 
Professora: Maria Nilza de Jesus
Cruz das Almas /BA
Julho de 2018
CAPÍTULO VI: “A Matemática da complexidade”
Fritjof Capra, pós doutorado em física teórica, é cientista, educador, ativista e autor de muitos livros de alcance internacional que conectam mudanças conceituais na ciência com mudanças mais amplas de visão de mundo e valores na sociedade.
Capra inicia o capítulo explicando que por volta das últimas três décadas, emergiu um novo conjunto de conceitos e técnicas na sociedade. Ele pontua que essa nova matemática não possui um nome definitivo, mas popularmente vem sido denominada de "a nova matemática da complexidade", informa também que o termo "teoria dos sistemas dinâmicos" é talvez o mais amplamente utilizado. Além disso, elucida que essa teoria não está relacionada a fenômenos físicos, e se apresenta como uma teoria matemática que pode ser aplicada a uma ampla faixa de fenômenos.
Essa nova matemática possui características distintas da matemática convencional, já que se trata de uma matemática de relações e padrões, tem caráter mais qualitativo do que quantitativo, incorporando assim a mudança de ênfase, característica do pensamento sistêmico. Capra argumenta que o desenvolvimento de computadores de alta velocidade possibilitou aos matemáticos a capacidade de resolver equações de alta complexidade, que anteriormente não eram possíveis serem resolvidas. 
CIÊNCIA CLÁSSICA
Nesse tópico do texto o autor faz um breve relato do histórico da ciência e argumenta que para um maior esclarecimento acerca da nova matemática da complexidade, é necessário um contraste da mesma com a matemática da ciência clássica. A ciência, com seu sentido atual, teve início no final do século XVI a partir de Galileu Galilei, sendo o primeiro a realizar experimentos sistemáticos e empregar a linguagem matemática para elaborar as leis da natureza que descobriu. Durante essa época a ciência era conhecida como "filosofia natural" e quando Galileu se referia a matemática, se tratava da geometria, essa visão foi herdada pelos filósofos da antiga Grécia que estavam habituados a geometrizar todos os problemas matemáticos e procuravam solucioná-los através das figuras geométricas.
Alguns séculos depois, filósofos islâmicos da Pérsia desenvolveram uma abordagem diferente para solucionar problemas matemáticos, denominado de álgebra. A álgebra elementar engloba equações nas quais certas letras - por convenção, tiradas do começo do alfabeto representam vários números constantes. Dessa maneira, a álgebra superior representa as relações, denominadas de funções, nas quais números desconhecidos (variáveis) são denotados por letras tiradas, por convenção, do fim do alfabeto. O autor apresenta equações que representam a álgebra elementar e a álgebra superior.
René Descarte, fundador da filosofia moderna e um brilhante matemático foi capaz de unificar as duas abordagens distintas para a resolução de problemas matemáticos existentes na época de Galileu. Esse método ficou conhecido como geometria analítica, que expressa as equações algébricas de maneira visível através das formas geométricas.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
O novo método proposto por Descarte possibilitou que as leis da mecânica de Galileu fossem expressas tanto em forma algébrica quanto em forma geométrica. Apesar desse avanço proporcionado pela geometria analítica, a mesma não conseguia descrever o movimento de um corpo animado de velocidade variável, acelerando ou desacelerando. 
O autor exemplifica essa limitação de Galileu e seus contemporâneos através de uma situação em que dois corpos em movimento, um deles viajando com velocidade constante e o outro acelerando. A distância percorrida por eles e o tempo gasto para percorrê-la, pode ser representada em dois gráficos, que são mostrados no texto. No entanto, no caso do corpo em aceleração, a velocidade varia a cada instante, algo que eles não podiam expressar matematicamente, pois eram incapazes de calcular a velocidade exata do corpo em aceleração num dado instante.
Isso só foi conseguido por Isaac Newton, considerado como o gigante da ciência clássica e aproximadamente na mesma época pelo filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. De modo a solucionar o problema enfrentado pelos matemáticos e filósofos anteriormente, Newton e Leibniz, de maneira independente, desenvolveram um novo método matemático, conhecido agora como cálculo e é considerado o portal para a "matemática superior".
O cálculo desenvolvido por Newton e Leibniz ficou conhecido por "cálculo diferencial", já que apresenta equações envolvendo diferenciais. A invenção do cálculo diferencial foi uma passo importante para a ciência, já que pela primeira vez a concepção de infinito, que tanto intrigava os filósofos agora recebia uma definição matemática precisa, possibilitando novas análises dos fenômenos naturais.
Capra argumenta que o poder dessa nova ferramenta, referindo-se ao cálculo diferencial, pode ser ilustrada através do paradoxo de Zenão, proveniente da antiga escola Eleata, de filosofia grega. Segundo Zenão, o grande atleta Aquiles nunca pode alcançar uma tartaruga numa corrida na qual se concede a esta uma vantagem inicial. Devido ao fato de que sempre que Aquiles completasse a distância da vantagem inicial, a tartaruga já teria avançado uma distância a mais. 
Durante muitos séculos os filósofos gregos e seus sucessores argumentaram sobre esse paradoxo mas nunca o solucionaram, somente por meio das ferramentas do cálculo de Newton, foi possível mostrar que um corpo em movimento percorrerá um número infinito de intervalos infinitamente pequenos num tempo finito.
ENCARANDO A COMPLEXIDADE
Durante os séculos XVIII e XIX as equações de Newton sofreram sucessivas reformulações, não de modo a alterar o conteúdo das mesma, mas conferindo maior sofisticação que propiciou aos cientistas uma faixa mais ampla de análise dos fenômenos naturais. O sucesso das equações diferenciais de Newton fez com que os cientistas do século XIX acreditassem que o universo, era de fato, um grande sistema mecânico funcionando de acordo com as leis newtonianas do movimento. Dessa forma, as equações diferenciais de Newton se tornaram o fundamento matemático do paradigma mecanicista.
No entanto, na prática, as limitações da modulação da natureza por meio das equações de Newton ficaram evidentes, porque as soluções eram restritas a alguns fenômenos simples e regulares, enquanto que a complexidade de várias áreas não era englobada nesse método.
NÃO-LINEARIDADE
Em seguida, ao tratar da não linearidade, Capra esclarece que aproximadamente no século XIX, os cientistas desenvolveram novas ferramentas matemáticas para analisar os fenômenos naturais — as equações do movimento exatas utilizadas para sistemas simples; e as equações da termodinâmica, que se baseiam em análises estatísticas de quantidades médias, para os sistemas complexos. Apesar de apresentarem diferenças esses dois métodos exibiam equações lineares. 
O autor menciona que as sistema não lineares possuem resolução mais complexa, por causa da natureza caótica dos fenômenos físicos, e por isso são evitados pelos cientistas. Dessa forma, a ciência clássica não dispunha de equações não lineares, pois desde a elaboração das equações elas eram linearizadas, proporcionando aproximações ao invés de descrever os fenômenos em sua total complexidade. 
Como consequência desse hábito, a maioria dos cientistas e engenheiros passarama acreditar que todos os fenômenos naturais podiam ser explicados mediante as equações lineares, mesmo que os fenômenos não lineares tenham uma parcela muito maior no mundo inanimado do que havia sido presumido e se apresentam como um constituinte essencial aos sistemas vivos. Dessa maneira, Capra afirma que a teoria dos sistemas dinâmicos é a primeira matemática que possibilita aos cientistas encarar a complexidade dos fenômenos não-lineares.
REALIMENTAÇÃO E ITERAÇÕES
Nesse tópico o autor afirma que quando se trata de sistemas lineares as mudanças provocam efeitos diversos, estando diretamente relacionado com as intensidades das mudanças ocorridas. No entanto, em sistemas não lineares, pequenas mudanças podem ter efeitos notáveis, já que podem ser amplificadas repetidamente por meio de realimentação de auto reforço.
Além disso, Capra apresenta um mecanismo matemático denominado de mapeamento, e entre os matemáticos é chamado de mapeamento logístico, e tem aplicabilidades diversas. Por exemplo, para descrever o crescimento de uma população sujeita a tendências opostas, os ecologistas utilizam esse mapeamento, sendo conhecido como "equação de crescimento".
POINCARÉ E AS PEGADAS DO CAOS
O autor descreve a teoria dos sistema dinâmicos como a matemática que tornou possível trazer ordem ao caos. Além disso, declara que é uma matemática nova, desenvolvida recentemente, no entanto, seus princípios já haviam sidos estabelecidos pro Jules Henri Poincaré na virada do século. Poincaré é tido como um dos maiores matemáticos da Idade moderna e o último grande generalista, contribuiu significativamente em todos as vertentes da matemática, formando uma vasta coleção de obras. Uma de suas maiores contribuições foi retomar o imaginário visual à matemática.
	Capra esclarece que a matemática baseada em padrões visuais proposta por Poincaré difere da geometria de Euclides. Essa matemática visual se apresenta como uma nova matemática, composta de padrões e relações, ficando conhecida como topologia, uma geometria em que todos os comprimentos, ângulos e áreas podem ser distorcidos à vontade.
TRAJETÓRIAS EM ESPAÇOS ABSTRATOS
O autor explica que para resolver equações não lineares, que descreviam fenômenos naturais, os meios analíticos usados habitualmente não são eficazes, sendo necessário resolver essas equações numericamente, que consiste num método de tentativas e erros. Porém, quando os novos computadores começaram a adentrar nesse contexto, tudo mudou, pois agora dispomos de programas que solucionam essas equações numericamente, só que de forma muito ágil e com precisão.
O físico aborda sobre uma técnica desenvolvida na virada do século, na área da termodinâmica, que consiste num método em que as variáveis de um sistema complexo são expressas num espaço matemático abstrato denominado "espaço de fase", onde um único ponto descreve todo o sistema e conforme o sistema se altera, o ponto irá descrever uma trajetória diferente no espaço de fase.
ATRATORES ESTRANHOS
Ao abordar sobre atratores estranhos, Capra explica que no espaço de fase bidimensional, o movimento representado por uma curva que se espirala para dentro, em direção ao centro, é chamada de "atrator", pois de acordo com os matemáticos, o ponto fixo no centro do sistema de coordenadas "atrai" a trajetória.
Além disso, aponta que os pesquisadores descobriram que existem um número limitado de atratores diferentes. Basicamente, há três tipos de atrator: atratores punctiformes, correspondentes a sistemas que atingem um equilíbrio estável; atratores periódicos, correspondentes a oscilações periódicas; e os assim chamados atratores estranhos, correspondentes a sistemas caóticos.
Um aspecto a ser considerado sobre os atratores estranhos é que eles possuem a tendência de ser de dimensionalidade muito baixa, mesmo que se encontre num espaço de fase com um número elevado de dimensões. Pontua também que os atratores estranhos possibilitam que dados aparentemente aleatórios sejam transformados em formas visíveis distintas.
O "EFEITO BORBOLETA"
O autor salienta que alterações por menores que sejam na fase inicial do sistema provocaram consequências em grande escala e afirma que na teoria do caos isso é conhecido como efeito borboleta, descoberto no início da década de 60 por Edward Lorenz, um meteorologista que desenhou um simples modelo de condições meteorológicas consistindo em três equações não-lineares inter-relacionadas, constatando que as soluções eram significativamente sensíveis às condições iniciais.
DA QUANTIDADE PARA A QUALIDADE
O autor ressalta o que foi afirmado no início do capitulo que a nova matemática apresenta uma mudança da quantidade para a qualidade, característica amis notória do pensamento sistêmico em geral. Enquanto que a matemática convencional lida com quantidades e com fórmulas, a teoria dos sistemas dinâmicos trabalha com qualidades e com padrões. 
Dessa forma, a análise qualitativa de um sistema dinâmico significa distinguir os atratores e as bacias de atração do sistema, e categorizá-los consoante as suas características topológicas.
GEOMETRIA FRACTAL
Durante décadas de 60 e 70, o matemático Benoît Mandelbrot inventou a geometria fractal, enquanto que os primeiros atratores estranhos vinham sendo estudados. A mesma fornecia uma linguagem matemática para descrever a estrutura em "escala fina" dos atratores caóticos. 
Seus estudos foram reunidos num livro denominado: The Fractal Geometry of Nature, de modo que exerceu muita influência sobra a nova geração de matemáticos que se dedicavam ao estudo da teoria do caos, além de outras vertentes da teoria dos sistemas dinâmicos. Capra relata que Mandelbrot em uma entrevista explicou que a geometria fractal analisa a complexidade das formas irregulares encontradas no mundo natural ao nosso redor.
Depois da publicação de seu livro Mandelbrot e outros matemáticos chegaram à conclusão de que os atratores estranhos é um exemplo fantástico de fractais, pois se alguma parte de sua estrutura for ampliada irá revelar uma subestrutura em muitas camadas nas quais os mesmos padrões são repetidos diversas vezes. A partir de então, a definição de atratores estranhos se tornou comum como trajetórias no espaço de fase que exibem geometria fractal.
NÚMEROS COMPLEXOS
No desenvolvimento da álgebra, foram explorados todos os tipos de equações e suas soluções foram classificadas, trabalho realizado pelos matemáticos. No entanto, haviam problemas que não possuíam solução no âmbito do conjunto de números que eles conheciam. Um problema persistente na época foi as raízes quadradas de números negativos.
Para alguns matemáticos essa expressão era totalmente sem sentido, outros utilizavam os termos: "fictícias", "sofisticadas" ou "impossíveis". Por sua vez Descartes afirmavam a existência de números imaginários, rotulação utilizada até os dias atuais.
Após o estudo de muitos matemáticos, Karl Friedrich Gauss, no século XIX, compreendeu que não existis lugar na linha de números para os números imaginários e os colocou sore um eixo perpendicular, criando uma sistema de coordenadas para representar todos os números. Dessa forma, no eixo real encontramos todos os números reais, e no eixo imaginário, os números imaginários.
PADRÕES DENTRO DE PADRÕES
Ao final da década de 70, depois da publicação de seu livro Madelbrot se dedicou ao estudo aos conjuntos de Julia, que foram pelo matemático Gaston Julia, no início do século. Na realidade Mandelbrot conheceu os trabalhos de Julia quando era estudante, mas não teve interesse. 
No entanto, depois dos estudos na geometria fractual, ele compreendeu que os desenhos feitos por Julia se tratavam de rudimentares traduções de formas complexas e fractais. Sendo assim, dedicou esforço para reproduzi-las em finos detalhes com o auxílio dos computadores mais prestigiados. Dessa forma, o conjunto de Julia é definido como o conjunto de todos os valores de z, ou pontos no plano complexo, que continuam finitos sob a iteração. 
O autor finaliza salientando que existeum isolamento da matemática em relação a outras atividades humanas, expondo a existência de um fenômeno vigente chamado de fragmentação intelectual. Capra afirma ser recente, já que ao longo de toda história, muitos matemáticos contribuiriam significativamente em outras áreas, citando como exemplo Omar Khayyám, Descartes, Newton, Leibniz, Gauss.
Esses exemplos evidenciam que a matemática nunca fora separada das outras áreas do conhecimento ou de atividades humanas. No entanto, no século XX, o reducionismo, a fragmentação e a especialização crescentes levaram a um extremo isolamento da matemática.
Atualmente, o estudo da teoria do caos e da geometria fractal desperta o interesse de uma ampla diversidade de pessoas, envolvidas em todas áreas do conhecimento, manifestando um possível término do isolamento da matemática. Além disso, os estudos sobra a nova matemática da complexidade propicia que muitas outras pessoas compreendam que a matemática não se limita a áridas fórmulas.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
CAPRA, Fritjof. A teia da vida. São Paulo: Editora Cultrix, 1996. Cap. 6. p. 88-117. Disponível em: <https://drive.google.com/drive/folders/0B-YLV8egGwSuYWtZaFRNOHhhdDg>. Acesso em: 25 de junho de 2018.