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Estatística para Engenharia AULA 7 A N A L A R R A N A G A : A N A L A R R A @ P R O D U C A O . U F R G S . B R ENG09004 – Estatística para Engenharia ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. Mín = 23,08 → Limite Inferior (LI) = 23,00 Máx = 27,08 → Limite Superior (LS) = 27,10 𝐾 = 𝑛 = 50 = 7,07 𝑎 = (𝐿𝑆−𝐿𝐼) 𝐾 = (27,10−23,00) 7 ≈ 0,58 Resolução - Exercício 1 Intervalo de Classe Frequência Absoluta Frequência Relativa Frequência Acumulada Absoluta Frequência Acumulada Relativa 23,00 a 23,58 3 6% 3 6% 23,59 a 24,16 6 12% 9 18% 24,17 a 24,74 8 16% 17 34% 24,75 a 25,32 13 26% 30 60% 25,33 a 25,90 11 22% 41 82% 25,91 a 26,48 8 16% 49 98% 26,49 a 27,10 1 2% 50 100% ENG09004 – Estatística para Engenharia 2. Resolução - Exercício 1 obs: corrigir gráfico 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral 1900ral ENG09004 – Estatística para Engenharia 2. Resolução - Exercício 1 obs: corrigir eixo x 0% 20% 40% 60% 80% 100% 120% ENG09004 – Estatística para Engenharia 3. 𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 23,08 + ⋯+ 27,08 50 = 25,01 P𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎: 𝑛+1 2 → 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 𝑋25+𝑋26 2 = 25,00+25,08 2 = 25,04 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 24,92; 25,17; 25,92 4 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑄1: 𝑛+1 4 = 12,75 → 𝑄1 = 24,33 × 0,25 + 24,50 × 0,75 = 24,46 𝑃𝑄3: 3(𝑛+1) 4 = 38,25 → 𝑄3 = 25,58 × 0,75 + 25,67 × 0,25 = 25,60 Resolução - Exercício 1 ENG09004 – Estatística para Engenharia 3. 𝑅 = 27,08 − 23,08 = 4,00 𝑆 = (23,08 − 25,01)2+⋯+ (27,08 − 25,01)2 50 = 0,859 𝐶𝑉 = 100 × 𝑆 𝑋 = 3,43% Resolução - Exercício 1 ENG09004 – Estatística para Engenharia 4. O item 3 apresenta: Mediana = 25,04; Q1 = 24,46; Q3 = 25,60 TC = Q3 – Q1 = 25,60 – 24,46 = 1,14 PIinf = Q1 – 1,5.TC = 24,46 – 1,5.1,14 = 22,75 Pisup = Q3 + 1,5.TC = 25,60 + 1,5.1,14 = 27,31 Xmín = 23,08; Xmáx = 27,08 LCinf = max(PIinf, Xmin) = 23,08; Lcsup = min(PIsup,Xmax) = 27,08 Não existem outliers! Resolução - Exercício 1 23,08 24,46 25,04 25,60 27,08 ENG09004 – Estatística para Engenharia 5. Distribuição normal, visto que: Média ≈ Mediana ≈ Moda Histograma se aproxima do formato da curva normal Resolução - Exercício 1 ENG09004 – Estatística para Engenharia 6. LEI = 24,00 LES = 26,00 P{24,00 ≤ x ≤ 26,00} = P{x ≤ 26,00} – P{x ≤ 24,00} 𝑃 𝑍 ≤ 26,00 − 25,01 0,859 − 𝑃 𝑍 ≤ 24,00 − 25,01 0,859 𝑃 𝑍 ≤ 1,15 − 𝑃 𝑍 ≤ −1,18 = 0,8749 − 0,1190 = 0,7559 = 75,59% Resolução - Exercício 1 ENG09004 – Estatística para Engenharia 7. P{X > x} = 1- P{X ≤ x} = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 𝑥−25,01 0,859 = 0,15 𝑃 𝑍 ≤ 𝑥−25,01 0,859 = 0,85 Tabela Z = 1,04 Assim, 1,04 = 𝑥−25,01 0,859 X = 25,90 Resolução - Exercício 1 ENG09004 – Estatística para Engenharia 8. Resolução - Exercício 1 23,08 23,33 23,58 23,67 23,75 23,75 23,92 24,08 24,08 24,17 24,25 24,33 24,50 24,50 24,50 24,58 24,67 24,75 24,83 24,92 24,92 24,92 24,92 25,00 25,00 25,08 25,17 25,17 25,17 25,17 25,42 25,42 25,50 25,50 25,50 25,58 25,58 25,58 25,67 25,67 25,75 25,92 25,92 25,92 25,92 26,08 26,08 26,25 26,33 27,08 24,85 24,93 25,03 25,07 25,17 Média 𝑋 = 𝜇 = 24,85 + ⋯+ 25,17 5 = 25,01 𝜎𝑥 = (24,85 − 25,01)2+⋯+ (25,17 − 25,01)2 5 − 1 𝜎𝑥 = 0,1241 𝜎= 𝜎𝑥 × 𝑛 = 0,1241 x 10 = 0,3924 ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. 𝜇 = 72 ℎ 𝜎 = 6 ℎ 𝑃 𝑋 > 84 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 84 𝑃 𝑍 ≤ 84 − 72 6 = 𝑃{𝑍 ≤ 2} 𝑃 𝑋 > 84 = 1 − 0,9772 = 0,0228 = 2,28% Resolução - Exercício 2 ENG09004 – Estatística para Engenharia 2. P{60 ≤ x ≤ 70} = P{x ≤ 70} – P{x ≤ 60} 𝑃 𝑍 ≤ 70 − 72 6 − 𝑃 𝑍 ≤ 60 − 72 6 𝑃 𝑍 ≤ −0,33 − 𝑃 𝑍 ≤ −2 = 0,3707 − 0,0228 = 0,3479 = 34,79% Resolução - Exercício 2 ENG09004 – Estatística para Engenharia 3. 𝑃 𝑍 ≤ 𝑥−72 6 = 0,719 Tabela: Z = 0,58 0,58 = 𝑥−72 6 x = 75,48 h Resolução - Exercício 2 ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. Distribuição Binomial 𝑃 𝑋 = 1 = 10 1 (0,1)1(1 − 0,1)10−1= 10! 1! 10 − 1 ! 0,1(0,9)9= 0,3874 2. 𝑃 𝑋 = 0 = 10 0 (0,1)0(1 − 0,1)10−0= 10! 0! 10 − 0 ! (0,9)10= 0,3486 3. 𝑃 𝑋 = 2 = 10 2 (0,1)2(1 − 0,1)10−2= 10! 2! 10 − 2 ! (0,1)2(0,9)8= 0,1937 Resolução - Exercício 3 P x p pxn x n x( ) ( ) 1 )!(! ! xnx nn x ENG09004 – Estatística para Engenharia 4. 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 1 − 𝑃 𝑋 = 0 − 𝑃 𝑋 = 1 = 1 − 0,3486 − 0,3874 = 0,264 5. 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 0,3486 + 0,3874 + 0,1937 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 0,9297 Resolução - Exercício 3 ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. Distribuição Exponencial 𝜆 = 1 28700 𝑃 𝑇 ≤ 24000 = 1 − 𝑒−𝜆𝑡 = 1 − 𝑒− 24000 28700 = 0,5666 Resolução - Exercício 4 t1}{ etTP ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. 𝜆 = 0,2 Defeito por unidade → Distribuição de Poisson 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑒−0,2(0,2)2 2! = 0,0164 2. 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑒−0,2(0,2)1 1! = 0,1637 3. 𝑃 𝑋 = 0 = 𝑒−0,2(0,2)0 0! = 0,8187 Resolução - Exercício 5 ! )( x e xP x ENG09004 – Estatística para Engenharia Eventos A = {“Carro da marca A”} B = {“Carro da marca B”} C = {“Carro da marca C”} X = {“Carro novo”} X = {“Carro Usado”} Dados 𝑃 𝑋 = 0,70 𝑃 𝐴 𝑋 = 0,80 𝑃 𝐴 𝑋 = 0,60 𝑃 𝑋 = 0,30 𝑃 𝐵 𝑋 = 0,10 𝑃 𝐵 𝑋 = 0,30 𝑃 𝐶 𝑋 = 0,10 𝑃 𝐶 𝑋 = 0,10 Resolução - Exercício 6 ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝑋 ∪ 𝑃 𝐴 ∩ 𝑋 = 𝑃 𝐴 𝑋 . 𝑃 𝑋 + 𝑃 𝐴 𝑋 . 𝑃 𝑋 𝑃 𝐴 = 0,80.0,70 + 0,60.0,30 = 0,74 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝑋 ∪ 𝑃 𝐵 ∩ 𝑋 = 𝑃 𝐵 𝑋 . 𝑃 𝑋 + 𝑃 𝐵 𝑋 . 𝑃 𝑋 𝑃 𝐵 = 0,10.0,70 + 0,30.0,30 = 0,16 𝑃 𝐶 = 𝑃 𝐶 ∩ 𝑋 ∪ 𝑃 𝐶 ∩ 𝑋 = 𝑃 𝐶 𝑋 . 𝑃 𝑋 + 𝑃 𝐶 𝑋 . 𝑃 𝑋 𝑃 𝐶 = 0,10.0,70 + 0,10.0,30 = 0,10 Resolução - Exercício 6 ENG09004 – Estatística para Engenharia 2. 𝑃 𝑋|𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑋 . 𝑃(𝑋) 𝑃(𝐴) = 0,80.0,70 0,74 = 0,7568 𝑃 𝑋 |𝐴 = 𝑃 𝐴 𝑋 . 𝑃(𝑋 ) 𝑃(𝐴) = 0,60.0,30 0,74 = 0,2432 OU 𝑃 𝑋 |𝐴 = 1 − 𝑃 𝑋|𝐴 = 1 − 0,7568 = 0,2432 Resolução - Exercício 6 ENG09004 – Estatística para Engenharia 1. 𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) ∪ 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃 𝐵 𝐶 × 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐵 𝐶 × 𝑃(𝐶 ) 𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐶 × 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐵 𝐶 × 1 − 𝑃 𝐶 = 5 9 × 1 2 + 4 9 × 1 − 1 2 = 1 2 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐴|𝐵) × 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) → P A = 𝑃(𝐴|𝐵) × 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵|𝐴) = 4 9 × 1 2 2 3 = 1 3 Resolução - Exercício 7 ENG09004 – Estatística para Engenharia 2. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 × 𝑃 𝐵 = 4 9 × 1 2 = 2 9 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝐶 × 𝑃 𝐶 = 1 3 × 1 2 = 1 6 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵 𝐶 × 𝑃 𝐶 = 5 9 × 1 2 = 5 18 Resolução - Exercício 7 ENG09004 – Estatística para Engenharia 3. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝐶 × 𝑃 𝐶 = 2 9 × 1 2 = 1 9 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 1 3 + 1 2 + 1 2 − 2 9 − 1 6 − 5 18 + 1 9 = 7 9 Resolução - Exercício 7
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