Cálculo 2: Derivadas Direcionais e Máximos e Mínimos

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Ca´lculo 2
Professor: Josimar Ramirez Aguirre
Derivada direcional, Ma´ximos e Mı´nimos
1. Calcule
∂f
∂u
(1, 2), onde f(x, y) = x2 + xy, e u o versor de
a) v = (1, 1) b) w = (3, 4)
2. Seja f(x, y) = x2y.
(a) Determine u de modo que
∂f
∂u
(1, 1) seja ma´ximo.
(b) Qual o valor de
∂f
∂u
(1, 1)?
(c) Estando-se em (1, 1), que direc¸a˜o e sentido deve-se tom
3. (a) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 2) e na direc¸a˜o
do vetor 2i− j.
(b) Calcule a derivada direcional de f(x, y, z) = xyz no ponto (1, 1, 3) na direc¸a˜o
i+ j + k.
4. Uma func¸a˜o diferencia´vel f(x, y) tem, no ponto (1, 1), derivada direcional igual a 3
na direc¸a˜o 3i+ 4j e igual a −1 na direc¸a˜o 4i− 3j. Calcule
(a) ∇f(1, 1)
(b)
∂f
∂u
(1, 1), onde u e´ o versor de i+ j.
5. Seja f(x, y) = xy. Determine a reta tangente ao gra´fico de f , no ponto (1, 2, f(1, 2)),
que forma com o plano xy aˆngulo ma´ximo.
6. Suponha que T (x, y) = 40 − x2 − 2y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura
no plano xy. (Ainda que x e y sejam dados em km e a temperatura de ◦C.) Um
indiv´ıduo encontra-se na posic¸a˜o (3, 2) e pretende dar um passeio.
(a) Descreva o lugar geome´trico dos pontos que ele devera´ percorrer se for seu
desejo desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2).
(b) Qual a direc¸a˜o e sentido que devera´ tomar se for seu desejo caminhar na direc¸a˜o
de maior crescimento da temperatura?
(c) De quanto a temperatura se elevara´ aproximadamente, caso caminhe 0, 01km
na direc¸a˜o encontrada no item b?
(d) De quanto decrescera´, aproximadamente, a temperatura, caso caminhe 0, 01km
na direc¸a˜o j?
7. A func¸a˜o diferencia´vel f(x, y, z) tem, no ponto (1, 1, 1), derivada direcional igual a 1
na direc¸a˜o 4j+ 3k, igual a 2 na direc¸a˜o −4i+ 3j e igual a zero na direc¸a˜o j. Calcule
o valor ma´ximo de
∂f
∂u
(1, 1, 1).
8. Calcule todas as derivadas parciais de 2da ordem.
(a) f(x, y) = x3y2 (b) z = ex
2−y2
(c) z = ln(1 + x2 + y2) (d) g(x, y) = 4x3y4 + y3
9. Verifique que x
∂2z
∂x∂y
+ y
∂2z
∂y2
= 0 onde z = (x+ y)ex/y.
10. Selecione os candidatos a extremantes locais, sendo f(x, y) =
(a) 2x2 + y2 − 2xy + x− y (b) x2 − y2 + 3xy − x+ y
(c) x3 − y2 + xy + 5 (d) x3 + y3 − xy
11. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de paralep´ıpedo-retaˆngulo
e com 1m3 de volume. O material a ser utilizado nas laterais custa o triplo do que
sera´ utilizado no fundo. Determine as dimenso˜es da caixa que minimiza o custo do
material.
12. Estude com relac¸a˜o a extremantes globais a func¸a˜o f(x, y) =
(a) x2 + 2xy + 2y2 − x+ 2y (b) x2 − y2 − 3xy + x+ 4y
(c) x+ 2y − 2xy − x2 − 3y2 (d) 3x2 + y2 + xy − 2x− 2y
13. Determine o ponto do plano x+2y−z = 4 que se encontra mais pro´ximo da origem.
14. Para produzir determinado produto cuja quantidade e´ representada por z, uma
empresa utiliza dois fatores de produc¸a˜o (insumos) cujas quantidades sera˜o indicadas
por x e y. Os prec¸os unita´rios dos fatores de produc¸a˜o sa˜o, respectivamente, 2 e 1.
O produto sera´ oferecido ao mercado consumidor a um prec¸o unita´rio igual a 5. A
func¸a˜o de produc¸a˜o da empresa e´ dada por z = 900−x2−y2+32x+41y. Determine
a produc¸a˜o que maximiza o lucro.
15. Determine o ponto do plano 3x+2y+z = 12 cuja soma dos quadrados das distaˆncias
a (0, 0, 0) e (1, 1, 1) seja minima.
16. (Me´todo de multiplicadores de Lagrange) Seja f(x, y) diferencia´vel no aberto A e
B = {(x, y) ∈ A|g(x, y) = 0} sendo g de classe C1 em A e ∇g 6= (0, 0), os candidatos
a extremais locais de f em B sa˜o os (x, y) ∈ A que tornam compat´ıvel o sistema:
∇f(x, y) = λ∇g(x, y), g(x, y) = 0
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(a) Determine os extremantes de f(x, y) = 3x+ 2y com a restric¸a˜o x2 + y2 = 1.
(b) Estude, com relac¸a˜o a ma´ximo e mı´nimo, a func¸a˜o f(x, y) = y + x3 com a
restric¸a˜o y − x3 = 0.
(c) Encontre o ponto da curva xy = 1, x > 0 e y > 0 que se encontra mais pro´ximo
da origem.
(d) Determine a reta tangente a` curva x2 +y2/4 = 1, x > 0 e y > 0 que forma com
os eixos triaˆngulo de a´rea mı´nima.
(e) Determine o ponto do elipsoide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 cuja soma das coordenadas
seja ma´xima.
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