05 Karnaugh dont care

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Mapa de Karnaugh com condições que não importam 
 
 
1) O que são condições que não importam (Don't-care conditions)? 
 
A soma lógica de mintermos associada com uma função Booleana especifica as condições 
sob as quais a função é igual a 1. A função será igual a zero para o resto dos mintermos. Isto 
assume que todas as combinações dos valores para as variáveis da função são válidas. Na prática, 
existem algumas aplicações onde a função não é especificada para certas combinações de 
variáveis de entrada. Como um exemplo, vejamos a identificação dos algarismos da base 5 que 
são pares. Neste caso, só existem 5 possibilidades a verificar, se forem usadas três variáveis, 
poderemos representar até 8 algarismos binários diferentes. As possibilidades 5, 6, 7, não 
precisam ser verificadas, porque elas não existem na base 5, serão avaliadas apenas as 
combinações de 0 a 4, sendo constatados 3 casos iguais a 1 e 2 iguais a zero. Os casos 5, 6, 7, são 
as condições que não importam, se a considerarmos 0 ou 1, a função será executada 
adequadamente. Funções que têm saídas não especificadas para algumas combinações de entrada 
são chamadas funções incompletamente especificadas. Na maioria das aplicações, nós apenas 
desprezamos, ou não nos importamos com qual valor será assumido pela função para os 
mintermos não especificados. As condições que não importam podem ser usadas no mapa para 
fornecer maiores simplificações na expressão Booleana. 
Pode-se imaginar que as condições que não importam sejam combinações de variáveis 
cujos valores lógicos não são especificados. Elas não podem ser marcadas com 1 no mapa porque 
seria necessário que a função fosse sempre 1 para estas combinações. Por outro lado, colocar um 
0 no quadrado correspondente requer que a função seja zero. Para distinguir a condição que não 
importa das condições 1 e 0, um X é usado. Portanto, um X dentro de um quadrado (célula) no 
mapa de Karnaugh indica que não nos importa se o valor da função será 0 ou 1 para aquela 
combinação de entradas. 
Quando formos escolher células adjacentes para simplificar a função no mapa, os 
mintermos correspondentes às condições que não importam podem ser considerados como 1 ou 
como 0, dependendo de qual combinação fornece a melhor simplificação. 
 
 
 
 
2) Exemplo 
 
Identificar os números pares no conjunto dos algarismos da base 5 
 
Utilizando 3 variáveis de entrada, teremos 8 combinações possíveis que levam às seguintes 
condições: 
 
• Condições que resultam em 1: 0, 2, 4. 
• Condições que resultam em 0: 1, 3. 
• Condições que não importam: 5, 6, 7. 
 
A tabela verdade do identificador será: 
 
A B C S 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
1 0 0 1 
1 0 1 X 
1 1 0 X 
1 1 1 X 
 
O Mapa de Karnaugh correspondente a esta tabela é: 
 
 B' B 
A' 1 0 0 1 
A 1 X X X 
 C' C C' 
 
a) Se considerarmos as condições que não importam todas como 0, teremos a seguinte 
simplificação: 
 
 B' B 
A' 1 0 0 1 
A 1 0 0 0 
 C' C C' 
S = AB' + A'C' 
 
Correspondendo aos conjuntos com números de fundo azul e às células amarelas 
respectivamente. 
 
b) Se considerarmos as condições que não importam todas como 1, teremos a seguinte 
simplificação: 
 
 B' B 
A' 1 0 0 1 
A 1 1 1 1 
 C' C C' 
S = A + C' 
 
Correspondendo aos conjuntos com números de fundo azul e às células amarelas 
respectivamente. É uma expressão mais simples que a primeira. 
 
c) Finalmente se considerarmos tomarmos como 1 ou 0 as condições que não importam em 
células mais adequadas, teremos a seguinte simplificação: 
 
 B' B 
A' 1 0 0 1 
A 1 0 0 1 
 C' C C' 
S = C' 
Que é a expressão mais simples das três. 
3) Exemplo 
 
Identificar os números primos no conjunto dos algarismos decimais 
 
Utilizando 4 variáveis de entrada, teremos 16 combinações possíveis que levam às seguintes 
condições: 
 
• Condições que resultam em 1: 2 (0010), 3 (0011), 5 (0101), 7 (0111). 
• Condições que resultam em 0: 0 (0000), 1 (0001), 4 (0100), 6 (0110), 8 (1000), 9 (1001). 
• Condições que não importam: 10(1010), 11(1011), 12(1100), 13(1101), 14(1110), 15(1111). 
 
 
A tabela verdade do identificador será: 
 
A B C D S 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 1 
0 1 0 0 0 
0 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 
0 1 1 1 1 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 X 
1 0 1 1 X 
1 1 0 0 X 
1 1 0 1 X 
1 1 1 0 X 
1 1 1 1 X 
 
Veja que, embora existam 16 combinações possíveis para as variáveis de entrada, somente 
10 delas nos interessam, visto que são somente 10 os algarismos decimais. Se as outras 
combinações forem identificadas como primos ou não primos, não nos importa. 
 
O Mapa de Karnaugh correspondente a esta tabela é: 
 
 C' C 
 0 0 1 1 B' 
A' 0 1 1 0 B 
A X X X X 
 0 0 X X B' 
 D' D D' 
 
Embora seja possível se fazer 3 grupos de 4 células, basta tomarmos apenas 2 desses 
grupos para obtermos a melhor simplificação. 
 
 C' C 
 0 0 1 1 B' 
A' 0 1 1 0 B 
A X X X X 
 0 0 X X B' 
 D' D D' 
 
A melhor simplificação será: S = B'C + BD. 
 
Os dois termos correspondem respectivamente aos grupos amarelo e verde. O outro grupo 
de quatro células é o CD, correspondendo aos elementos em vermelho, mas este termo é 
desnecessário uma vez que todos os seus elementos iguais a 1 já estão incluídos nos dois grupos 
já formados. 
 
 
4) Decodificadores 
 
No início do desenvolvimento da eletrônica digital, vários códigos numéricos foram 
desenvolvidos com finalidades específicas, principalmente para representar os números decimais. 
O código mais conhecido por nós é o BCD8421. Além deste, existem outros como o Excesso_3, 
2_entre_5, Johnson, Gray. 
O decodificador é um circuito combinacional que faz a tradução de um código binário para 
outro. Se quisermos transcrever um número binário escrito em BCD8421 para sua representação 
em Excesso_3, deveremos construir um decodificador BCD8421/Excesso_3. 
As tabelas abaixo indicam as formações dos dois códigos. 
 
Decimal BCD8421 Decimal Excesso_3 
0 0000 0 0011 
1 0001 1 0100 
2 0010 2 0101 
3 0011 3 0110 
4 0100 4 0111 
5 0101 5 1000 
6 0110 6 1001 
7 0111 7 1010 
8 1000 8 1011 
9 1001 9 1100 
10 1010 
11 1011 
12 1100 
13 1101 
14 1110 
15 1111 
 
Verifica-se que o código BCD8421 representa os números de 0 a 15, enquanto o Excess0_3 
representa apenas de 0 a 9. 
Para fazermos um conversor de BCD para Excesso_3, devemos inicialmente construir a 
Tabela Verdade do Decodificador. 
 
BCD 8421 Excesso_3 
A B C D a b c d 
0 0 0 0 0 0 1 1 
0 0 0 1 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 1 0 1 
0 0 1 1 0 1 1 0 
0 1 0 0 0 1 1 1 
0 1 0 1 1 0 0 0 
0 1 1 0 1 0 0 1 
0 1 1 1 1 0 1 0 
1 0 0 0 1 0 1 1 
1 0 0 1 1 1 0 0 
1 0 1 0 X X X X 
1 0 1 1 X X X X 
1 1 0 0 X X X X 
1 1 0 1 X X X X 
1 1 1 0 X X X X 
1 1 1 1 X X X X 
 
 
Para cada variável componente do código Excesso_3 deverá ser construído um circuito 
lógico decodificador, portanto, teremos que fazer 4 mapas de Karnaugh para obtermos as 
expressões simplificadas de a, b, c, d. 
 
a C' C 
 0 0 0 0 B' 
A' 0 1 1 1 B 
A X X X X 
 1 1 X X B' 
 D' D D' 
a = A + BC + BD 
 
b C' C 
 0 1 1 1 B' 
A' 1 0 0 0 B 
A X X X X 
 0 1 X X B' 
 D' D D' 
b = B'C + B'D + BC'D' 
 
c C' C 
 1 0 1 0 B' 
A' 1 0 1 0 B 
A X X X X 
 1 0 X X B' 
 D' D D' 
c = C'D' + CD 
 
 
d C' C 
 1 0 0 1 B' 
A' 1 0 0 1 B 
A X X X X 
 1 0 X X B' 
 D' D D' 
d = D' 
 
O diagrama esquemático do circuito lógico do decodificador BCD8421/Excesso_3 é 
representado no desenho abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Desafio: Projetar o circuito decodificador Excesso_3/BCD8421