Graphmatica - David Leonardo

Prévia do material em texto

Graphmatica
O GRAPHMATICA é um programa que nos permite traçar gráficos a partir de uma função que você determine, basta escrever a forma algébrica e o software desenha o gráfico. 
Possui alguns comandos que nos possibilitam fazer algumas observações e estabelecer relações sobre o gráfico estudado:
“GRAPH” – traça o gráfico da função digitada
“CLEAR” – apaga o que foi feito
“ZOOM IN” – possibilita “aproximar” o gráfico; ou seja, visualizar o comportamento da função em um pequeno intervalo; logo se há alguma dúvida quanto a interseção entre duas ou mais funções, este comando pode esclarece-la
“ZOOM OUT” – possibilita visualizar o gráfico como um todo, devemos estar atentos para perceber perda das características iniciais; ele também serve para desfazer o “ZOOM IN”
“REDRAW ALL” – permite que voltemos as funções trabalhadas anteriormente, isto é, até as 25 últimas funções desenhadas pelo software
“DEFAULT GRID” – possibilita voltar as coordenadas padrão
“COORD CURSOR” – possibilita visualizar as coordenadas dos pontos pertencentes a cada função que está sendo estudada, assim permitindo esclarecer qualquer dúvida sobre a localização de determinados pontos.
Existe no software uma barra de ferramentas que nos permite:
“FICHEIRO” – permite abrir lista de equações possíveis de serem realizadas , imprimir e arquivar
“EDITAR” – permite copiar os gráficos realizados no software para área de transferência para uso em outros programas
“REDESENHAR” – manipula as equações na fila de equações, desenha e apaga as os gráficos feitos
“VER” – altera a aparência da malha ( por exemplo, podemos colocar um fundo quadriculado facilitando a observação dos pontos do gráfico, assim como o traçado da curva da função
“ETIQUETAS” – coloca título, legenda, anotações no gráfico
“OPÇÕES” – possibilita AVISO DE MENSAGEM – aparecimento de mensagens de erro, PAPEL DO GRÀFICO” – personalizar as coordenadas,o fundo do gráfico, escala utilizada,IMPRESSÃO DE TABELAS
“PONTOS” – encontra as coordenadas exatas de um ponto no gráfico, podemos ver o que acontece com a função no ponto que escolhermos
“CÁLCULOS” – realiza operações de cálculo para uma função: derivada, integral.
Podemos ainda desenhar uma função ou várias funções que passam por dois pontos, marcar áreas determinadas ( basta clicar em um ponto no eixo e arrastar o mouse), e embaixo traz as medidas dos lados, traçar a reta tangente do gráfico no ponto desejado.
Através do estudo das funções ( x^4 – x):x e x^3 – 1, verificamos que o software não mostra a descontinuidade da primeira função, é importante que se faça a análise e discussão com “os alunos” sobre a “ não apresentação da restrição”. A descontinuidade só é vista quando usamos o ícone COORD CURSOR, , porém quando pedimos para calcular o valor da função no ponto x=0 ela nos dá resposta ERRO.
Vários aspectos podem ser trabalhados além dos que foram relacionados acima, entre eles: estudo de coordenadas, intervalos, interseção de funções, relações entre equações de primeiro e segundo graus, área, derivada, integral,...
Tutorial Apresentação:
Graphmatica é um software muito poderoso por utilizar um grande número de funções matemáticas, e além disso, dispor de uma interface muito amigável. Podemos utilizá-lo para visualizar gráficos de equações algébricas, sendo que podemos representá-los através de vários tipos de escalas, incluindo logarítmicas e polares. 
 
Logo abaixo, temos o layout do software:
Funções básicas do Graphmatica
Como plotar um gráfico? 
Para se obter um gráfico de uma certa função, devemos escrevê-la adequadamente na linha de comando. Se houver erro na expressão, o software não a aceitará dando um aviso. 
 
Barra de Comandos
O graphmatica além de ter os comandos usuais existentes em outros software, como copiar, salvar, imprimir etc, possui funções específicas.
Os comandos mais usados aparecem numa barra de botões, logo abaixo da barra de comando, facilitando o acesso. 
Das muitas funções que o programa possui, podemos destacar algumas como: 
  
 
View
  
No menu View temos vários comandos que nos possibilitam trocar cores, fontes, mudando a aparência da "tela" de acordo com o gosto de cada usuário.
Neste mesmo menu podemos também escolher determinado tipo de gráfico, as proporções do mesmo, e a escala desejada. 
Selecionando a opção "Graph Paper" deste mesmo menu, teremos a janela da figura ao lado, nos possibilitando determinar o tipo de gráfico que precisamos para uma certa atividade.
    Na opção do estilo de gráfico, podemos optar por retangular, trigonométrico, polar ou logarítmico. Sendo que neste último podemos escolher entre papel log-log ou semi-log.
Além do tipo de gráfico, podemos também optar pelo seu formato e/ou aparência. 
Labels	
Este é um menu onde podemos definir legendas e título do gráfico. Podemos também plotar anotações sobre ele.
Para que apareçam o título e as expressões laterais, devemos ativar a opção "Show Labels". 
Options
Aqui podemos selecionar a opção "Settings...", de modo que teremos um painel de opções dos principais menus do software.
    
Também podemos acionar as barras de rolagem através de "Show Scrollbars". 
Outro recurso disponível neste menu é "Print Tables", com o qual podemos visualizar uma tabela à direitado gráfico. Esta tabela nos informa os valores da função para determinados pontos.
    
A cada novo gráfico e a cada mudança no mesmo, teremos uma nova listagem de valores.
  
  
   
Point
    
Podemos calcular o valor de y dado um x, selecionando a opção "Evaluate..." do menu.  Além disso, podemos determinar  o domínio do gráfico e as coordenadas de algum ponto, usando o cursor do mouse. 
Selecionando "Variables Panel", temos uma janela que nos possibilita mudar o valor das variáveis livres.
  
A variável a pode assumir valores num intervalo a ser determinado, no entanto b e c, funcionam como constantes depois de escolhidas.
  
  
                              
Calculus
   
Em Calculus encontramos opções que nos possibilitam calcular derivadas e integrais da função, e achar pontos críticos e tangentes do gráfico. 
 
Operadores Básicos
	=
	sinal de igual
	<, >
	desigualdade rígida
	<=, >=
	maior e igual ou menor e igual
	+
	adição
	-
	subtração
	*
	multiplicação
	/
	divisão
	^
	exponencial
	[( )]
	parênteses
	;
	separa uma equação paramétrica
	' 
	comentário para a equação
	{m, n}
	especifica o domínio da função
Significado de algumas funções
	abs
	valor absoluto
	cos
	cosseno
	cot
	cotangente
	csc
	cossecante
	ln, log
	logaritmos
	sin
	seno
	sec
	secante
	sqrt
	raiz quadrada
	tan
	tangente
As variáveis utilizadas
	      x, y 
	coordenadas retangulares
	r, t
	raio e ângulo em coordenadas polares
	x, y, t
	x e y em função de t na forma paramétrica
	a, b, c
	variáveis livres
Escalas Logarítmicas
As escalas logarítmicas facilitam a visualização de gráficos em que numa pequena variação de x, há grandes "saltos" em y. Isto acontece geralmente em fenômenos químicos (reações), físicos (aceleração muito grande), biológicos (crescimento de uma população),etc. E por isso sua grande utilização em várias áreas do conhecimento, como por exemplo, na Física, Biologia, Química, Agricultura, Engenharia Ambiental, entre outros.
        Uma  das grandes aplicações das escalas logarítmicas, é a possibilidade de transformar numa linha reta as curvas que representam as funções exponenciais e potências de x, permitindo assim encontrar a equação matemática adequada para tais curvas. Isto é possível devido à forma de construção dos papéis semi-log e log-log.
         E é nesse sentido que o Graphmatica (com o auxílio de escalas logarítmicas) pode ajudar-nos a identificar o modelo matemático que melhor se adapta a certo fenômeno da natureza.
        Utilizando o Graphmatica, encontre o modelo matemático que melhorse ajusta às situações abaixo. Faça isto plotando os pontos no gráfico,analisando a diferença entre os resultados do papel log-log e semi-log.
Analisando o crescimento de uma população de peixes, obtivemos os seguintes dados:
	Tempo (em anos )
	   População 
	0
	500
	5
	760
	10
	1150
	15
	1800
	20
	2750
  
 	Um população (100 animais) de uma certa espécie de aves é introduzida numa ilha. Um biólogo observa esta população durante seis anos e obtém os seguintes dados:
	Anos
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	nº de aves
	100
	274
	730
	2000
	5500
	14830
	40350
  
 		Um farmacêutico observa o crescimento de uma colônia de fungos da espécie Aspergillus fumigatus (fungo causador de doenças respiratórias no homem) em um meio de cultura. Durante uma semana ele observa o crescimento da colônia a partir do raio da mesma; e obtém os seguintes dados: 
 
	dias
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	raio da colônia (em cm)
	3
	12
	27
	48
	75
	108
	147
Construindo a escala logarítmica
	
Os papéis semi-log têm escala logarítmica somente na vertical. Um ponto de coordenadas (x, y) neste papel corresponde ao ponto de coordenadas (x, log y) em  escala usual. Os papéis log-log possuem escala logarítmica nos dois eixos. Um ponto (x, y) neste papel corresponde ao ponto (log x, log y) em escala retangular.
	
Qual é a equação usual de uma reta no papel semi-log? E em papel log-log? Há alguma diferença? Explique por que isto ocorre. 
 
Faça o gráfico das equações abaixo nos papéis semi-log e log-log. O que você observa?
a)
b)  
Analisando gráficos
        Sabemos das dificuldades dos alunos do ensino médio na identificação das curvas planas (cônicas) a partir de sua equação. A partir disso, apresentamos uma atividade com o software Graphmatica que possibilita aos alunos um "manuseio" da equação com uma imediata visualização de seu gráfico, identificando assim suas propriedades.
Digite a equação ax^2 + by^2 = c  na barra de comandos do Graphmatica, e analise o significado de cada parâmetro.
  
1) Se a=1  e  b=1, e variarrmos o valor de c, que tipo de gráfico estamos representando? O que acontece quando c<0 ? Qual o significado de c na equação? 
 
2) Agora mantenha c constante ( c=1, por exemplo).
a) Quando b=1,variando o valor de a em valores positivos ( inclusive fracionários), o que acontece com o gráfico? Explique.
b) Quando a=1, variando o valor de b em valores positivos (inclusive fracionários), o que acontece com o gráfico? Explique.
3) Com c e b constantes, atribua valores negativos para a. Que tipo de gráfico obtemos? Observe o que acontece no gráfico quando a varia. Qual o significado do parâmetro a?. 
 
4) Com c e a constantes, atribua valores negativos para b. O que acontece? Qual a relação entre estes gráficos e os da questão anterior? 
 
5) Que tipo de gráfico obtemos quando a  e b são menores que zero? Explique por que isto ocorre. 
 
6) A partir do valor (negativo ou positivo) dos parâmetros analisados,  determine o tipo de cônica que podemos obter.
Mude a equação da barra de comandos para (x-a)^2 + (y-b)^2 = 1. 
 
1) Interprete o gráfico quando a=0 e b=0. 
 
2) Mantenha b=0 e faça variar o valor de a. O que acontece? Qual o significado do parâmetro a nesta equação? Repita o procedimento para a=0 e variando o valor de b.
3) Atribua valores aleatórios para a e b. O que podemos dizer da coordenada (a, b) na equação analisada? 
 
Acrescente o parâmetro c na barra de comandos: (x-a)^2 + c*(y-b)^2 =1. 
 
1) Com a e b constantes, faça variar o valor de c em valores positivos. Há alguma mudança no gráfico? Tente com valores negativos de c. O que acontece no gráfico? Há alguma relação com resultados já obtidos anteriormente? 
 
2) Faça novamente o exercício anterior, mas agora variando também os valores de a e de b. 
 
3) Identifique o significado de c  na equação c*(x-a)^2 + (y-b)^2 =1.
Estude agora as equações b*(x-a)^2 + y = c   & b*(y-a)^2 + x =c.
Assim como nos exercícios anteriores, faça variar o valor dos parâmetros e determine o significado de cada um deles.
Compare os resultados da atividade com a equação geral da respectiva cônica.
Talvez seria mais interessante se conseguíssemos analizar a equação 
a*x^2 + b*y^2 + c*x + d*y + e* xy + f = 0. Não o podemos fazer com o Graphmatica pois este software não permite que usemos a vaiável dependente ( y ) duas vezes.
Algumas Cônicas
          Para uma melhor compreensão do significado de cada parâmetro das equações, faça a expanção das fórmulas dadas, e as compare com os resultados daAtividade 2:
Circunferência de centro (h, k) e raio r: 
  
	
	ou
	
 
	Elipse de centro (h, k):
 
  
 
Com régua e compasso, desenhamos facilmente um circunferência qualquer. Mas, você conseguiria desenhar uma elipse com régua e compasso? 
Observe a figura ao lado e a interprete!
	
Hipérbole de centro (h, k): 
	ou
	
	Observe as figuras ao lado e defina um procedimento de construção da hipérbole com régua e compasso.
	   
	
	
ESTÁCIO UNIRADIAL SANTO ANDRÉ
CURSO ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS
“MATEMATICA DISCRETA”
Nome: David Santana	201201716659
Nome: Leonardo Santos	201201700991
Trabalho de Graphimatica
Santo André
2014
David de Santana
Leonardo Santos
Graphimatica 
	
	Trabalho apresentado ao Curso de Análise e Desenvolvimento de Sistemas da Faculdade Estácio de Santo André sob orientação do professor Moretti Matemática discreta.
Santo André
2014