Lista Série de Funções

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´ - UFPI
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DM
Disciplina: Ca´lculo III - EP
Professor: Elianderson Santos
3a Lista de Exerc´ıcios
1) Determine x para que a se´rie seja convergente.
(a) ∑+∞n=1 xn
(b) ∑+∞n=1 xnn!
(c) ∑+∞n=1 n!xnnn
(d) ∑+∞n=1 1·3··5·...·(2n−1)2·4·6...·2n x2n
(e) ∑+∞n=1 enx
2) Considere a se´rie alternada∑+∞k=1(−1)kak (ak > 0) e suponha que a sequeˆncia ak e´ decrescente,
com limk←+∞ ak = 0. Utilizando o Crite´rio de Dirichlet, prove que a se´rie e´ convergente.
3) Mostre que a sequeˆncia fn(x) = xn converge para a func¸a˜o identicamente nula f : R → R,
onde f(x) = 0,∀ x ∈ R.
4) Mostre que a sequeˆncia fn(x) = 1n sin(nx) converge uniformemente para f(x) = limn→+∞ fn(x).
5) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = 1nx2 .
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por f(x) = limn→+∞ fn(x).
b) Esboce os gra´ficos de f e das fn.
6) Para cada n ≥ 1, seja fn(x) = nnx2+1
a) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por f(x) = limn→+∞ fn(x).
b) Esboce os gra´ficos de f e das fn.
7) Seja f dada por f(x) = limn→+∞ nxe−nx
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, x ∈ [0, 1].
a) Calcule
∫ 1
0 f(x)dx e limn→+∞
∫ 1
0 nxe
−nx2dx.
b) A convergeˆncia de fn a f e´ uniforme em [0,1]?
8) Mostre que a sequeˆncia fn(x) = xn, x ∈ [0, 1] converge para f(x) = limn→+∞ fn(x), pore´m a
convergeˆncia na˜o e´ uniforme.
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