Lista Série de Funções
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Lista Série de Funções


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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´ - UFPI
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DM
Disciplina: Ca´lculo III - EP
Professor: Elianderson Santos
3a Lista de Exerc´\u131cios
1) Determine x para que a se´rie seja convergente.
(a) \u2211+\u221en=1 xn
(b) \u2211+\u221en=1 xnn!
(c) \u2211+\u221en=1 n!xnnn
(d) \u2211+\u221en=1 1·3··5·...·(2n\u22121)2·4·6...·2n x2n
(e) \u2211+\u221en=1 enx
2) Considere a se´rie alternada\u2211+\u221ek=1(\u22121)kak (ak > 0) e suponha que a seque\u2c6ncia ak e´ decrescente,
com limk\u2190+\u221e ak = 0. Utilizando o Crite´rio de Dirichlet, prove que a se´rie e´ convergente.
3) Mostre que a seque\u2c6ncia fn(x) = xn converge para a func¸a\u2dco identicamente nula f : R \u2192 R,
onde f(x) = 0,\u2200 x \u2208 R.
4) Mostre que a seque\u2c6ncia fn(x) = 1n sin(nx) converge uniformemente para f(x) = limn\u2192+\u221e fn(x).
5) Para cada n \u2265 1, seja fn(x) = 1nx2 .
a) Determine o dom\u131´nio da func¸a\u2dco f dada por f(x) = limn\u2192+\u221e fn(x).
b) Esboce os gra´ficos de f e das fn.
6) Para cada n \u2265 1, seja fn(x) = nnx2+1
a) Determine o dom\u131´nio da func¸a\u2dco f dada por f(x) = limn\u2192+\u221e fn(x).
b) Esboce os gra´ficos de f e das fn.
7) Seja f dada por f(x) = limn\u2192+\u221e nxe\u2212nx
2
, x \u2208 [0, 1].
a) Calcule
\u222b 1
0 f(x)dx e limn\u2192+\u221e
\u222b 1
0 nxe
\u2212nx2dx.
b) A converge\u2c6ncia de fn a f e´ uniforme em [0,1]?
8) Mostre que a seque\u2c6ncia fn(x) = xn, x \u2208 [0, 1] converge para f(x) = limn\u2192+\u221e fn(x), pore´m a
converge\u2c6ncia na\u2dco e´ uniforme.
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