FUNDAMENTOS DE ANÁLISE EXERCICIO 6A10

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
6a aula 
Lupa 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 Se a e b são números naturais diferentes de zero , quantos são maiores que ab e menores que a(b+1)? 
 
 b-1 
 
Nenhum 
 
a + b -1 
 
Um 
 a-1 
Respondido em 09/05/2020 12:36:44 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
Seja a sequência {n2n+1n2n+1}. Marque a alternativa que indica o limite 
da sequência quando n tende ao infinito. 
 
 1/2 
 1/3 
 
1 
 
2/3 
 
3/2 
Respondido em 09/05/2020 12:36:46 
 
 
Explicação: 
Basta calcular o limite da função quando x tende a infinito. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se : 
 
 
x > 0 
 x = -1 
 x > -1 
 
x< -1 
 
x < 0 
Respondido em 09/05/2020 12:36:34 
 
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 4a Questão 
 
 
 
Considerando o teorema que apresenta o teste de séries 
alternadas 
(-1)n . an (Teste de Leibniz), em qual das opções abaixo não 
apresenta a característica para definir a convergência: 
 
 an+1 > an para todo n inteiro positivo 
 
termos da série decrescendo 
 
Termos alternadamente com sinais trocados. 
 
an >0 para todo n. 
 lim an = 0 
Respondido em 09/05/2020 12:36:36 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
Analise a convergência da série ∞∑n=2(−1)nlnn∑n=2∞(-1)nlnn é. 
 
 Pelo teste de Leibniz a série converge, então ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣∑n=1∞|(-
1)nlnn| converge e ∞∑n=21lnn∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a série dada é 
condicionalmente convergente. 
 Pelo teste de Leibniz a série diverge, então ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣∑n=1∞|(-
1)nlnn| diverge e ∞∑n=21lnn∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a série dada é 
condicionalmente convergente. 
 
 
 Pelo teste de Leibniz a série converge, 
entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣∑n=1∞|(-1)nlnn| diverge 
e ∞∑n=21lnn∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a série dada é condicionalmente 
convergente. 
 Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣∑n=1∞|(-
1)nlnn| diverge e ∞∑n=21lnn∑n=2∞1lnn converge. Portanto, a série dada é 
condicionalmente divergente. 
 Pelo teste de Leibniz a série converge, entretanto ∞∑n=1∣∣∣(−1)nlnn∣∣∣∑n=1∞|(-
1)nlnn| diverge e ∞∑n=21lnn∑n=2∞1lnn diverge. Portanto, a série dada é 
condicionalmente convergente. 
Respondido em 09/05/2020 12:36:39 
 
 
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 6a Questão 
 
 
 As séries 1-1/2+1/2-1/3+1/3 - 1/4 +1/4 - 1/5+1/5 -..... e 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/4.5 +.... convergem ? 
 
 Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1 
 
Sim , convergirão, tendo as séries como o limite 1 e limite 0 respectivamente. 
 
Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 0,4 
 
Não convergirá 
 
Sim , convergirão, tendo como o mesmo limite 1,5 
Respondido em 09/05/2020 12:36:43 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
Seja a sequência {4n2/(2n2+1)}. 
Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao 
infinito. 
 
 4 
 
3 
 2 
 
5 
 
1 
Respondido em 09/05/2020 12:37:01 
 
 
Explicação: 
Basta calcular o limite da sequência usando os conhecimentos estudados sobre limite de uma função no 
infinito. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
Seja a sequência {n.sen(ππ/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da 
sequência quando n tende ao infinito. 
 
 ππ 
 
2ππ 
 
3ππ 
 ππ/2 
 
3ππ/2 
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Respondido em 09/05/2020 12:37:07 
 
 
Explicação: 
Basta calcular o limite da função quando x tende a infinito. Nessa questão usamos o limite trigonométrico 
fundament 
 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
7a aula 
Lupa 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 
Analisando a convergência da série (-1)n+1[n+2/n(n+1)] a 
forma mais correta possível de concluir a classificação dessa 
série,quanto a convergência, é : 
 
 
divergente 
 
convergente 
 
Absolutamente convergente 
 condicionalmente convergente 
 Análise inconcludente. 
Respondido em 09/05/2020 12:37:23 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
Analise a convergência da série ∞∑n=1|cosn|(3nn!)∑n=1∞|cosn|(3nn!). 
 
 é convergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente convergente. 
 é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente divergente. 
 não podemos afirmar nada. 
 é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
absolutamente convergente. 
 é divergente, pelo critério da razão, pelo que a série dada é 
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absolutamente convergente. 
Respondido em 09/05/2020 12:37:12 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 A equação |x-1| = |x| +1 
 
 tem uma infinidade de soluções 
 
tem exatamente 4 soluções 
 
tem somente duas soluções 
 
tem uma única solução 
 não tem solução 
Respondido em 09/05/2020 12:37:15 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 A soma dos valores reais de x que são raízes da equação |2x+2| = 6x-18 é: 
 
 
8 
 
5 
 6 
 
9 
 7 
Respondido em 09/05/2020 12:40:47 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Se |x-3| = 5 então podemos afirmar que o número real x é igual a : 
 
 x = 8 e x = - 2 
 x = 2 
 
x = 3 
 
x = 8 
 
x = -2 
Respondido em 09/05/2020 12:37:17 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Se |x| = |y| então é correto afirmar que 
 
 
x = -y 
 
x > 0 
 
y < 0 
 x = y e x = -y 
 x = y 
Respondido em 09/05/2020 12:37:34 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução: 
 
 ] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[ 
 
] 1 , 4 ] 
 [1 , 4 [ 
 
[ 1 , 4 ] 
 
{ 1 , 4 } 
 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
8a aula 
Lupa 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 Achar o ínfimo, se existir , do conjunto A ={ x∈ R : x = 1n1n , n ∈∈ N* }. 
 
 4 
 
1 
 
3 
 0 
 
-5 
Respondido em 09/05/2020 12:37:57 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
Seja afunção f(x) = 3√ x x3. 
determine a aproximação por um polinômio de Taylor de grau 3 em a = 8. 
 
 
 
 
 
 
 
a aproximação será 3√ x x3 ≈≈ T1x 
 a aproximação será T3x 
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a aproximação será 3√ x x3 ≈≈ T3x 
 a aproximação será T2x 
 
a aproximação será 3√ x x3 ≈≈ T2x 
Respondido em 09/05/2020 12:37:46 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Seja A={x∈Q:x=(−1)nn−1,n∈N}A={x∈Q:x=(-1)nn-1,n∈N} O supremo e o ínfimo do conjunto dado A 
são respectivamente: 
 
 
0 e -1 
 
1 e 0 
 1/2 e -1 
 
1 e -1 
 
1/2 e 0 
Respondido em 09/05/2020 12:37:49 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência 
da série ∞∑n=1(x+2)n2n∑n=1∞(x+2)n2n. 
 
 raio de convergência R = 2 e o intervalo de convergência (-4,0). 
 raio de convergência R = 3 e o intervalo de convergência (-6,0). 
 
 
raio de convergência R = 3 e o intervalo de convergência (0,-6). 
 
raio de convergência R = 5 e o intervalo de convergência (-10,0). 
 
raio de convergência R = 4 e o intervalo de convergência (-4,0). 
Respondido em 09/05/2020 12:38:06 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Encontre Dx (1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ...). 
 
 ∞∑n=1(n+1)xn−1∑n=1∞(n+1)xn-1 , |x|< 1 
 
∞∑n=1n(n+1)xn−1∑n=1∞n(n+1)xn-1 , |x|> 1 
 ∞∑n=1nxn−1∑n=1∞nxn-1 , |x|< 1 
 
∞∑n=1xn−1∑n=1∞xn-1 , |x|< 1 
 ∞∑n=1n(n+1)xn−1∑n=1∞n(n+1)xn-1 , |x|< 1 
Respondido em 09/05/2020 12:37:54 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Considere os dois conjuntos A={y ∈ Q tal que 0<y<="y<=1}." 
Com relação a estes dois conjuntos e a teoria de cotas superiores, inferiores, supremos e infimos é somente 
correto afirmar que 
(I) SupA=1 e 1∈A 
(II) Sup A= Sup B 
(III) Inf B=-1 e 1/2 ∈B</y 
 
 
(I) e (III) 
 (III) 
 
(II) e (III) 
 (II) 
 
(I) 
Respondido em 09/05/2020 12:37:56 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Seja A={x∈Q:x=(−1)nn−1,n∈N}A={x∈Q:x=(-1)nn-1,n∈N} O supremo e o ínfimo do conjunto dado A 
são respectivamente: 
 
 
1 e 0 
 1/2 e -1 
 
1/2 e 0 
 
1 e -1 
 0 e -1 
Respondido em 09/05/2020 12:37:59 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
Determine o supremo do conjunto E 
= {x∈R;3x2−10x+3<0}{x∈R;3x2-10x+3<0}. 
 
 Sup E = 0 
 Sup E = 1/3 
 Sup E = 2 
 Sup E = 3 
 Sup E = 1/2 
 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
9a aula 
Lupa 
 
 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 Analisando a série de termos positivos cujo termo geral é 1/raiz(n) , verifica-se que a série: 
 
 diverge 
 
converge para n 
 
converge para 0 
 converge para 1 
 
converge para 1/3 
Respondido em 09/05/2020 12:38:14 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Desenvolva f (x) = cos(kx) , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no intervalo (-pi,+pi) . 
 
 f (x) = ncos(kx) . 
 
f (x) = cos(x) . 
 f (x) = cos(kx) 
 
f (x) = cos(2x) . 
 
f (x) = cos(kx/2) . 
Respondido em 09/05/2020 12:38:31 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
Seja a função = x2 se 0 < x < 2ππ, com f(x+ 2ππ) = f(x) 
para todo x real e sua série de Fourier definida como 
g(x) = (4π2π2)/3+ 4∞∑n=1(cos(nx)n2)∑n=1∞(cos(nx)n2) - 
(ππ sen nx)/n . 
Analise a convergência em x = 0. 
 
 
 
Em x = 0 a série de Fourier diverge para 2 + π2π2. 
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Em x = 0 a série de Fourier converge para 2π2π2. 
 
Em x = 0 a série de Fourier converge para 2ππ. 
 Em x = 0 a série de Fourier diverge. 
 
Em x = 0 a série de Fourier converge para π2π2. 
Respondido em 09/05/2020 12:38:19 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
Suponha que f(x) possui período 2ππ.Determine a série de 
Fourier da função f(x), onde f(x) é definida por zero se -
 ππ < x < 0 ou 
 1 se 0 < x < ππ. 
 
 
A série de Fourier será f(x) = 1/2+2/ππ(sen x+ 1/3 
sen (3x)+ ...) 
 A série de Fourier será f(x) = 2+5(cos x+ cos (x)+ ...) 
 série de Fourier será f(x) = 1+ 2 (3sen x+ 5 sen 
(2x)+ ...) 
 A série de Fourier será f(x) = 1/2+2 (sen x+ 1/3 sen 
(3x)+ ...) 
 A série de Fourier será f(x) = 3+ (sen 3x+ 7 sen (x)+ 
...) 
Respondido em 09/05/2020 12:38:22 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
Suponha que f(x) possui período 2. Determine a série de 
Fourier da função f(x). f(x) é a função k - π < t <0 e será -k 
se 0<t< body="" constante.<="" uma="" é="" k="" onde="" π,=""></t<> 
 
 f(x) = -4k/π ( sen t+1/3 sen (3t)+1/5 sen(5t)+...) 
 f(x)= - 4k/π( sen t+sen (3t)+sen(5t)+⋯) 
 f(x)= 4k/π( sen t+1/3 sen (3t)+1/5 sen(5t)+...) 
 f(x) = -k/π( sen t+sen(5t)+⋯) 
 f(x) = (sen t+1/3 sen (3t)+1/5 sen(5t)+⋯) 
Respondido em 09/05/2020 12:38:25 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
Considere as seguintes séries: 
(a) ∑∑1n1n (série harmônica de ordem 1) 
(b) ∑∑1n21n2 (série harmônica de ordem 2) 
(c) ∑∑1√ n 1n (série harmônica de ordem 1/2) 
(d) ∑∑(−1)n+1n(-1)n+1n (série harmônica alternada) 
(e) ∑∑1n31n3 (série harmônica de ordem 3) 
Identifique as séries convergentes. 
 
 
 (b) ,(d), (e) 
 (b) , (c) ,(e) 
 (c) ,(d) ,(e) 
 (a), (b) , (c) 
 (b) , (c) ,(d) 
Respondido em 09/05/2020 12:38:29 
 
 
Explicação: 
Basta verificar para cada série a definição de convergência. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Verifique se a sequência de intervalos encaixante In = [0,1/n), com n ∈∈N possui um 
ponto em comum. 
 
 
 Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 1, ou 
seja,In = {1} 
 
Há uma interseção entre a sequencia de intervalos, que é o número zero, ou 
seja, In = {0}. 
 Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 4, ou seja 
In = {4} 
 Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 2, ou seja 
In = {2} 
 Há uma interseção entre a sequência de intervalos, que é o número 3, ou seja 
In = {3} 
Respondido em 09/05/2020 12:38:33 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Indique, entre as opções abaixo, a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [- 3,3]. Esboce o gráfico da função 
gerada pela série no conjunto dos números reais 
 
 f(x)= 4/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 f(x)= 6/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 
f(x)= 7/pi somatório de sen( n.pi.t) [(-1)¿n+1]/n 
 
f(x)= 3/pi somatório de sen( n.t/3) [(-1)¿n+1]/n 
 
f(x)= 8/pi somatório de sen( n.pi.t/3) [(-1)¿n]/n 
 
FUNDAMENTOS DE ANÁLISE 
10a aula 
Lupa 
 
 
 
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 1a Questão 
 
 
 
<r}`A noção de bola é fundamental no estudo de espaços métricos. Considerando x como 
um ponto no espaço métrico E e dado um número real r>0r>0, considere as afirmativas a 
seguir. </r}` 
<r}`(I) Uma bola aberta de centro x e raio r é também chamada uma vizinhança de x.</r}` 
<r}`(II) Uma boa aberta pode ser indicada 
por N(x,r)={y∈Rp, ∣|x−y|}∣N(x,r)={y∈Rp,∣|x-y|}∣</r}` 
<r}`(III) Uma boa aberta pode ser indicada 
por N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)}N(x,r)={y∈Rp, d(x,y)} 
</r}` 
<r}`Com relação anoção de bola e ás afirmativas acima, é correto</r}` 
 
 
I e II somente. 
 
I, somente. 
 I e III somente. 
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II e III somente. 
 I, II e III . 
Respondido em 09/05/2020 12:38:47 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Seja F um corpo ordenado e A um subconjunto de F limitado inferiormente. 
Com relação a noção de ínfimo de um conjunto é somente correto afirmar que 
 
(I) O ínfimo de A é a maior das cotas inferiores de A. 
(II) x ∈ F é ínfimo de A, se x for uma cota inferior de A, e se z for uma cota inferior de A então x<=z. 
(III) O ínfimo de A sempre pertence ao conjunto A. 
 
 
(I) e (III) 
 
(I) 
 (I) e (II) 
 
(II) 
 
(III) 
Respondido em 09/05/2020 12:38:49 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
Considere o conjunto S1=[2,4[U[5}⊆RS1=[2,4[U[5}⊆R e as afirmativas abaixo. 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S1=]2,4[S1=]2,4[ 
(II) Conjunto dos pontos fronteiros de S: fr(S1)={2,4,5}S1)={2,4,5} 
(III) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´1=[2,4]S´1=[2,4] 
Com relação ao conjunto em questão e as afirmativas, é correto 
 
 I, II e III. 
 I somente. 
 II e III somente. 
 I e III somente. 
 I e II somente. 
Respondido em 09/05/2020 12:39:07 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
Considere o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} da figura e as afirmativas 
 
(I) Conjunto dos pontos interiores de S: int S={(x,y)∈R2:x<y}S={(x,y)∈R2:x<y} 
(II) Conjunto dos pontos de acumulação de S: S´=SS´=S 
(III) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y} 
Para este conjunto é correto 
 
 I, II e III. 
 I e II apenas. 
 I apenas. 
 I e III apenas. 
 II e III apenas. 
Respondido em 09/05/2020 12:39:10 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
Observe o conjunto S={(x,y)∈R2:x≤y}S={(x,y)∈R2:x≤y} e as afirmativas referentes a 
ele. 
 
(I) Conjunto dos pontos exteriores de S: extS={(x,y)∈R2:x>y}S={(x,y)∈R2:x>y} 
(II) Conjunto dos pontos fronteira de S: fr S={(x,y)∈R2:x=y}S={(x,y)∈R2:x=y} 
(III) Fecho de S: ¯¯̄S2=SS¯2=S 
Com relação ao conjunto dado e as afirmativas, é correto 
 
 I, II e III. 
 I e II somente. 
 I e III somente. 
 II e III somente. 
 I somente. 
Respondido em 09/05/2020 12:39:00 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 No espaço métrico R, um ponto x=c é denominado ponto interior de um conjunto S, se 
existe uma vizinhança aberta do ponto x=c, inteiramente contida no conjunto S. Além disso, 
o interior de um conjunto S é a coleção de todos os pontos de S para os quais podemos 
construir vizinhanças abertas contidas inteiramente no conjunto S. 
No espaço métrico R, considere as afirmativas. 
 
(I) x=5 é um ponto interior dos conjuntos: A=[0,10) e B=(-6,8). 
(II) x=5 não é ponto interior do conjunto C=[5,7) pois é uma extremidade de C. 
(III) (a,b) é o interior dos conjuntos [a,b], [a,b), (a,b] e de (a,b). 
 
Com relação a estas afirmativas e o espaço metrico R, é CORRETO 
 
 
I e III somente. 
 
II e III somente. 
 
III somente. 
 I, II e III. 
 
I e II somente. 
Respondido em 09/05/2020 12:39:19 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Considere cada uma das afirmativas abaixo que dizem respeito à noção de vizinhança no 
espaço métrico R. 
 
(I) Uma vizinhança aberta de um ponto x=c em R é um intervalo aberto da forma Vc=(c-
r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. 
 
(II) Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é construir um 
intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-r,c+r) onde r>0 é 
pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. 
 
(III) A distância entre os números reais x e y pode ser notada por d(x,y)=|x-y|. 
 
Com relação as afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO 
afirmar 
 
 III somente. 
 
I e II somente. 
 
II e III somente. 
 
I e III somente. 
 I, II e III. 
Respondido em 09/05/2020 12:39:06 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
Seja a função f(t) = cos t, determine se a função é de 
ordem exponencial em [0,OOOO). 
 
 função f(t) = cos t2 não é de ordem exponencial em 
[0, OOOO) , pois para c = 0 e k = 0 temos |f(t)| =| 
cos t2| ≤ c e3t = 1, para todot > 0. 
 A função f(t) = cos t é de ordem exponencial em 
[0, OOOO) pois para c = 1 e k = 0 temos |f(t)| =| cos 
t| ≤ cekt = 1, para todot > 0. 
 função f(t) = cos t não é de ordem exponencial em 
[0, OOOO) , pois para c = 5 e k = 2 temos |f(t)| =| 
cos t| ≤ c =4, para todot > 0. 
 função f(t) = cos 2t é de ordem exponencial em 
[0, OOOO) , pois para c = 3 e k = 10 temos |f(t)| =| 
cos 2t| ≤ c = 10, para todot > 0. 
 função f(t) = sen t é de ordem exponencial em 
[0, OOOO) pois para c = 1 e k = 0 temos |f(t)| =| 
sen t| ≤ cekt = 1, para todot > 0.