Formulário de estatística, Inferência

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Formulário: 
 
 
�̅� =
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 e 𝑠2 =
1
𝑛−1
[∑ 𝑋𝑖
2𝑛
𝑖=1 −
(∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 )
2
𝑛
] 
 
Se 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) → 𝑋~𝑁(𝜇;
𝜎2
𝑛
) ∀ 𝑛 > 1 e 𝑍 =
�̅�−𝜇
𝜎
√𝑛
→ 𝑍~𝑁(0;1) 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
1 -Intervalo com 1-α ou 100(1- 𝛼)% de confiança para 𝜇 com 𝜎2 conhecida: 
𝐼𝐶(1−𝛼) (𝜇) = (𝑋 − 𝑧𝛼 2⁄ ×
𝜎
√𝑛
; 𝑋 + 𝑧𝛼
2⁄
×
𝜎
√𝑛
) 
2- Intervalo com 1-α ou 100(1- 𝛼)% de confiança para para 𝜇 com 𝜎2 desconhecida: 
 𝐼𝐶(1−𝛼) (𝜇) = (𝑋 − 𝑡(𝑛−1; 𝛼 2⁄ ) ×
𝑠
√𝑛
; 𝑋 + 𝑡(𝑛−1; 𝛼 2⁄ ) ×
𝑠
√𝑛
) 
3- Intervalo de confiança para diferença de médias 
 1 2 
com variâncias 
2
1
 e 
2
2
. 
a) Para 
2
1
 e 
2
2
conhecidas: 
       
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 21
1 2 1 22 2
;IC X X z X X z
n n n n
 
    

 
          
  
 
b) Para 
2
1
 e 
2
2
 desconhecidas, porém iguais (
2 2
1 2 
) 
       
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 21
2; 2;
1 2 1 22 2
1 1 1 1
;p p
n n n n
IC X X t s X X t s
n n n n
       
      
   
    
             
     
 em que 
2
ps
 é a variância amostral ponderada 
   2 21 1 2 22
1 2
1 1
2
p
n s n s
s
n n
  

 
 
c) Para 
2
1
 e 
2
2
 desconhecidas, porém diferentes (
2 2
1 2 
). 
       
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 21
; ;
1 2 1 22 2
;
v v
s s s s
IC X X t X X t
n n n n
       
   
   
    
             
     
 
 
 
 
 
Testes de hipóteses - Estatística para o teste: 
 
i. Para a média 𝜇 de uma população normal com variancia populacional 𝜎2 conhecida 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
√𝑛
⁄
~𝑁(0,1) 
ii. Para a média 𝜇 de uma população normal com variância populacional 𝜎2 
desconhecida 
𝑡 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛⁄
~𝑡(𝑛−1)𝑔𝑙 
 
iii. Para comparar médias 𝜇1 e 𝜇2 de duas populações normais com variâncias 
conhecidas 
 
𝑍 =
(𝑋1̅̅ ̅ − 𝑋2̅̅ ̅) − (𝜇1 − 𝜇2)
√
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
~𝑁(0,1) 
 
iv. Para comparar médias 𝜇1 e 𝜇2 de duas populações normais com variâncias 
desconhecidas, porém iguais 
 
𝑡 =
(𝑋1̅̅̅̅ −𝑋2̅̅̅̅ )−(𝜇1− 𝜇2)
√𝑠𝑝
2 (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
~𝑡(𝑛1+𝑛2−2)𝑔𝑙 e 𝑠𝑝
2 =
(𝑛1−1)𝑠1
2+(𝑛2−1)𝑠2
2
(𝑛1+𝑛2−2)
 
 
v. Para comparar médias 𝜇1 e 𝜇2 de duas populações normais com variâncias 
desconhecidas, porém diferentes 
𝑡 =
(𝑋1̅̅̅̅ −𝑋2̅̅̅̅ )−(𝜇1− 𝜇2)
√(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
)
~𝑡(𝑣)𝑔𝑙 e 𝑣 =
(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
)
2
[
 
 
 
 (
𝑠1
2
𝑛1
)
2
𝑛1−1
]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 (
𝑠2
2
𝑛2
)
2
𝑛2−1
]