Aula_11 (1)

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Unidade curricular: Estatística e Probabilidade 
Curso: Engenharia de Controle e Automação – IFSC Chapecó 
Profª.: Carise E. Schmidt 
Período letivo: 2020/1 
Aula 11: 22/05/2020 (não-presencial) 
 
 
INTERVALOS DE CONFIANÇA 
 
Introdução 
Uma estimativa intervalar de um parâmetro populacional 𝜃 é um intervalo, cujos limites, 
inferior e superior, dependem do valor da estatística Θ̂ para uma amostra em particular e também 
da distribuição amostral de Θ̂. Ele é denominado intervalo de confiança. 
 Na estimação por intervalos, constrói-se um intervalo em torno da estimativa por ponto, 
de modo que esse intervalo tenha uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro valor do 
parâmetro. 
Seja o parâmetro 𝜃, tal que 
𝑃(𝑡1 ≤ 𝜃 ≤ 𝑡2) = 1 − 𝛼 
 O intervalo 𝑡1 ≤ 𝜃 ≤ 𝑡2 é denominado intervalo de confiança (I.C.); 
 Os extremos desse intervalo (𝑡1; 𝑡2) são denominados limites de confiança; 
 A probabilidade conhecida 1 − 𝛼 é denominada nível de confiança. 
A escolha do nível de confiança (1 − 𝛼) depende da precisão com que se deseja estimar o 
parâmetro. É muito comum a utilização dos níveis de 95% e 99%. Evidentemente, o aumento da 
confiança no intervalo implica no aumento de sua amplitude. 
 
Intervalos de confiança para a média populacional 𝝁 (variância conhecida) 
Suponha uma população normal, com média desconhecida 𝜇 e variância conhecida 𝜎2. Se 
�̅� for a média amostral de uma amostra aleatória, de tamanho 𝑛, proveniente dessa população, 
então, considerando um nível de confiança (1 − 𝛼), tem-se: 
𝑃(−𝑧𝛼/2 < 𝑧 < 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼 
onde 
𝑧 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
 
 Substituindo a expressão de 𝑧 em 𝑃(−𝑧𝛼/2 < 𝑧 < 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼 e isolando 𝜇: 
𝑃 (�̅� − zα
2
∙
σ
√n
≤ 𝜇 ≤ �̅� + zα
2
∙
σ
√n
) = 1 − 𝛼 
 
 Portanto, um intervalo de confiança para a média populacional 𝜇 é dado por: 
�̅� − zα
2
∙
σ
√n
≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑧α
2
∙
σ
√n
 
onde 𝑧α/2 é o ponto superior, com 
𝛼
2
 da distribuição normal padrão. 
 Na figura abaixo é possível visualizar a área sob a curva normal correspondente a um 
nível de confiança de 95%. 
 
 
Limites unilaterais de confiança, para a média de uma distribuição normal, com variância 
conhecida são dados conforme segue. O limite superior para 𝜇, com nível de confiança (1 − 𝛼) 
é 𝜇 ≤ �̅� + zα ∙
σ
√n
; e o limite inferior para 𝜇, com nível de confiança (1 − 𝛼), é �̅� − zα ∙
σ
√n
≤ 𝜇. 
As figuras a seguir ilustram tais situações, respectivamente, considerando um nível e confiança 
de 95%: 
 
 
Exemplo: O desvio padrão dos comprimentos das peças produzidas por certa máquina é 2 mm. 
Uma amostra de 50 peças produzidas por essa máquina apresentou média �̅� = 25 mm. Construir 
o I. C. de 95% para o verdadeiro comprimento das peças produzidas por essa máquina. 
Solução: De acordo com o problema �̅� = 25; 𝜎 = 2; 𝑛 = 50. Considerando o I.C. de 95% (𝛼 =
0,05), e conforme a tabela normal padrão 𝑧𝛼
2
= 𝑧0,025 = 1,96. 
Como o I.C. �̅� − zα
2
∙
σ
√n
≤ 𝜇 ≤ �̅� + zα
2
∙
σ
√n
, tem-se 25 − 1,96 ∙
2
√50
≤ 𝜇 ≤ 25 + 1,96 ∙
2
√50
, o que 
resulta em: 24,4 ≤ 𝜇 ≤ 25,6 mm. 
𝛼 𝛼 
Intervalos de confiança para a média populacional 𝝁 (variância desconhecida) 
Para construir um intervalo de confiança para a média 𝜇 de uma população, em casos onde 
a amostra é pequena e a variância populacional 𝜎2 é desconhecida, é necessário fazer uma 
suposição sobre a forma da distribuição em estudo, de modo a obter um procedimento válido para 
o intervalo de confiança. 
 Assim, suponha que uma amostra aleatória pequena tenha sido retirada de uma população 
com distribuição normal e com média 𝜇 e variância 𝜎2 desconhecida. Considerando um nível de 
confiança (1 − 𝛼), tem-se: 
𝑃(−𝑡𝛼/2,n−1 < 𝑡 < 𝑡𝛼/2,n−1) = 1 − 𝛼 
onde 
𝑡 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
 
com 𝜐 = 𝑛 − 1 graus de liberdade. 
Substituindo a expressão de 𝑡 em 𝑃(−𝑡𝛼/2,n−1 < 𝑡 < 𝑡𝛼/2,n−1) = 1 − 𝛼 e isolando 𝜇: 
𝑃 (�̅� − t𝛼/2,n−1 ∙
σ
√n
≤ 𝜇 ≤ �̅� + t𝛼/2,n−1 ∙
σ
√n
) = 1 − 𝛼 
Portanto, nesse caso, um intervalo de confiança para a média populacional 𝜇 é dado por: 
�̅� − t𝛼/2,n−1 ∙
σ
√n
≤ 𝜇 ≤ �̅� + t𝛼/2,n−1 ∙
σ
√n
 
onde tα/2,n−1 é o ponto superior, com 
𝛼
2
 da distribuição 𝑡, com 𝜐 = 𝑛 − 1 graus de liberdade. 
Os graus de liberdade medem o volume de informação disponível nos dados que podem 
ser utilizados para estimar 𝜎2; por isso, medem a confiabilidade de 𝑠2 como estimador de 𝜎2. As 
distribuições com menores graus de liberdade são mais dispersas. Conforme os graus de liberdade 
aumentam, a distribuição 𝑡 se aproxima da distribuição normal padrão. Isso ocorre porque, 
conforme o tamanho da amostra aumenta, 𝑠 torna-se uma estimativa mais confiável de 𝜎. A figura 
a seguir ilustra a distribuição 𝑡 para diferentes graus de liberdade 𝑘. 
 
Na figura abaixo é possível visualizar os pontos percentuais da distribuição 𝑡 a área sob 
a curva normal correspondente a um nível de confiança de 95%. 
 
 
Exemplo: Um ensaio sobre as tensões de ruptura em uma amostra de cabos produzidos por uma 
indústria gerou os seguintes dados: 750 – 780 - 745 – 770 – 765 kgf. Construir o I.C. de 99% para 
a verdadeira tensão de ruptura desses cabos. 
Solução: A média calculada para essa amostra é �̅� = 762, com 𝑛 = 5. O desvio-padrão amostral 
calculado é 𝑠 = 14,4 Considerando o I.C. de 99% (𝛼 = 0,01), e conforme a tabela 𝑡, com 𝜐 =
𝑛 − 1 = 4 graus de liberdade, temos 𝑡𝛼/2,n−1 = 𝑡0,005;4 = 4,604. 
Como o I.C. é dado por �̅� − t𝛼/2,n−1 ∙
σ
√n
≤ 𝜇 ≤ �̅� + t𝛼/2,n−1 ∙
σ
√n
 , tem-se: 
762 − 4,604 ∙
14,4
√5
≤ 𝜇 ≤ 762 + 4,604 ∙
14,4
√5
, o que resulta em: 732,35 ≤ 𝜇 ≤ 791,65 kgf. 
 
Intervalos de confiança para a diferença entre duas médias populacionais 𝝁𝟏 e 𝝁𝟐 
Caso 1: quando as variâncias populacionais σ1
2 e σ2
2 forem conhecidas 
Dada a estatística teste 
𝑧 =
(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎�̅�1−�̅�2
 
com 𝜎�̅�1−�̅�2 = √
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
. 
Substituindo a expressão de 𝑧 em 𝑃(−𝑧𝛼/2 < 𝑧 < 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼 e isolando 𝜇1 − 𝜇2, 
obtém-se o I.C. para 𝜇1 − 𝜇2 com nível de confiança de 1 − 𝛼: 
(�̅�1 − �̅�2) − zα
2
∙ √
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑧α
2
∙ √
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
 
onde 𝑧α/2 é o ponto superior, com 
𝛼
2
 da distribuição normal padrão. 
 
Exemplo: Os desvios padrões das durações das lâmpadas elétricas fabricadas pelas indústrias A 
e B são, respectivamente, 50 h e 80 h. Em um ensaio com 40 lâmpadas de cada marca, as durações 
médias obtidas foram 1200 h e 1100 h, para A e B, respectivamente. Construa um I.C. de 99% 
para a diferença entre os tempos médios de vida das lâmpadas de marcas A e B. 
Solução: �̅�1 = 1200; �̅�2 = 1100; 𝜎1 = 50; 𝜎2 = 80; 𝑛1 = 𝑛2 = 40. Considerando 𝛼 = 0,01 e 
um intervalo bilateral, temos 𝑧α
2
= 2,575. Assim, como I.C. para 𝜇1 − 𝜇2 é dado por: 
(�̅�1 − �̅�2) − zα
2
∙ √
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑧α
2
∙ √
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
 
(1200 − 1100) − 2,575 ∙ √
502
40
+
802
40
≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (1200 − 1100) + 2,575 ∙ √
502
40
+
802
40
 
Tem-se: 61,59 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 138,41. 
 
Caso 2: quando as variâncias populacionais σ1
2 e σ2
2 forem desconhecidas e supostamente iguais. 
Dada a estatística teste 
𝑡 =
(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)
√𝑠𝑝
2 (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
 
onde 𝑠𝑝
2 =
(𝑛1−1)𝑠1
2+(𝑛2−1)𝑠2
2
𝑛1+𝑛2−2
 
Substituindo a expressão de 𝑡 em 𝑃(−𝑡𝛼/2,𝜐 < 𝑡 < 𝑡𝛼/2,𝜐) = 1 − 𝛼 e isolando 𝜇1 − 𝜇2, 
obtém-se o I.C. para 𝜇1 − 𝜇2 com nível de confiança de 1 − 𝛼: 
(�̅�1 − �̅�2) − 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √𝑠𝑝
2 (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √𝑠𝑝
2 (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
) 
onde 𝑡𝛼/2,𝜐 é o ponto superior da distribuição 𝑡, com 𝜐 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 graus de liberdade . 
 
Exemplo: Os diâmetros (em mm) de uma amostra de 5 tubos da fábrica A são: 45, 47, 45, 44, 46, 
e da fábrica B uma amostra de 6 tubos apresentou os diâmetros: 43, 45, 44, 44, 46 e 43 mm.Construir o I.C. de 95% para as diferenças entre os diâmetros médios. 
Solução: �̅�1 = 45,4; �̅�2 = 44,2; 𝑠1
2 = 1,3; 𝑠2
2 = 1,4; 𝑛1 = 5; 𝑛2 = 6. A partir disso, calcula-se: 
𝑠𝑝
2 =
(𝑛1−1)𝑠1
2+(𝑛2−1)𝑠2
2
𝑛1+𝑛2−2
=
(5−1)1,3+(6−1)1,4
5+6−2
= 1,4 
Considerando 𝛼 = 0,05 e um intervalo bilateral com 𝜐 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 = 6 + 5 − 2 = 9 temos 
𝑡𝛼/2,n−1 = 2,262. Assim, como I.C. para 𝜇1 − 𝜇2 é dado por: 
(�̅�1 − �̅�2) − 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √𝑠𝑝
2 (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √𝑠𝑝
2 (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
) 
 (45,4 − 44,2) − 2,262 ∙ √1,4 (
1
5
+
1
6
) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (45,4 − 44,2) + 2,262 ∙ √1,4 (
1
5
+
1
6
) 
Tem-se: −0,42 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 2,82. 
 
Caso 3: quando as variâncias populacionais σ1
2 e σ2
2 forem desconhecidas e supostamente 
diferentes. 
Nesse caso, usamos um método aproximado, cuja estatística teste é dada por: 
𝑡 =
(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)
√(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
)
 
com 𝜐 graus de liberdade, dados por: 
𝜐 ≅
(𝑤1 + 𝑤2)
2
𝑤1
2
𝑛1 − 1
+
𝑤2
2
𝑛2 − 1
 
onde 𝑤1 =
𝑠1
2
𝑛1
 e 𝑤2 =
𝑠2
2
𝑛2
 
O I.C. para 𝜇1 − 𝜇2 com nível de confiança de 1 − 𝛼 é expresso através de: 
(�̅�1 − �̅�2) − 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
) 
onde 𝑡𝛼/2,𝜐 é o ponto superior da distribuição 𝑡, com 𝜐 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 graus de liberdade . 
 
Exemplo: Em certo município, registros pluviométricos mostraram que nos últimos 8 anos, 
durante o mês de janeiro, a queda média foi de 125 mm com desvio padrão de 25 mm. Outro 
município apresentou nos últimos 5 anos, também durante o mês de janeiro, uma queda média de 
100 mm com desvio padrão de 5 mm. Construa um I. C. de 99% para a diferença entre as quedas 
pluviométricas médias, supondo que os desvios padrões populacionais sejam diferentes. 
Solução: �̅�1 = 125; �̅�2 = 100; 𝑠1 = 25; 𝑠2 = 5; 𝑛1 = 8; 𝑛2 = 5. A partir disso, calcula-se: 
𝑤1 =
𝑠1
2
𝑛1
=
252
8
= 78,125; 𝑤2 =
𝑠2
2
𝑛2
=
52
5
= 5; 𝜐 ≅
(𝑤1 + 𝑤2)
2
𝑤1
2
𝑛1 − 1
+
𝑤2
2
𝑛2 − 1
=
(78,125 + 5)2
78,1252
8 − 1
+
52
5 − 1
≅ 8 
Considerando 𝛼 = 0,01 e um intervalo bilateral com 𝜐 = 8 temos 𝑡𝛼/2,𝜐 = 3,355. Assim, como 
I.C. para 𝜇1 − 𝜇2 é dado por: 
(�̅�1 − �̅�2) − 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (�̅�1 − �̅�2) + 𝑡𝛼/2,𝜐 ∙ √(
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
) 
 (125 − 100) − 3,355 ∙ √(
252
8
+
52
5
) ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (125 − 100) + 3,355 ∙ √(
252
8
+
52
5
) 
Tem-se: −5,59 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 55,59. 
 
 Intervalo de confiança para a variância populacional 𝝈𝟐 
 Suponha uma população normal, com média 𝜇 e variância 𝜎2. Se �̅� e 𝑠2 forem, 
respectivamente, a média e a variância de uma amostra aleatória de tamanho 𝑛, proveniente dessa 
população. Então, considerando um nível de confiança (1 − 𝛼), tem-se: 
𝑃 (𝜒
1−
𝛼
2
2 < 𝜒2 < 𝜒
1−
𝛼
2
2 ) = 1 − 𝛼 
onde 
𝜒2 =
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜎2
 
Substituindo a expressão de 𝜒2 em 𝑃 (𝜒
1−
𝛼
2
2 < 𝜒2 < 𝜒
1−
𝛼
2
2 ) = 1 − 𝛼 e isolando𝜎2, obtém-
se o I.C. para 𝜎2 com nível de confiança de 1 − 𝛼: 
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒𝛼/2,𝑛−1
2 ≤ 𝜎
2 ≤
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒1−𝛼/2,𝑛−1
2 
onde 𝜒𝛼/2,𝑛−1
2 e 𝜒1−𝛼/2,𝑛−1
2 são os pontos percentuais superior e inferior, relativos a 
𝛼
2
 e 1 −
𝛼
2
 da 
distribuição qui-quadrado, com 𝜐 = 𝑛 − 1 graus de liberdade, respectivamente. 
 Os pontos percentuais da distribuição 𝜒2 são dados pela Tabela qui-quadrado. Uma 
ilustração é expressa na figura abaixo. 
 
 
 
Os limites inferior e superior de confiança de (1 − 𝛼) para 𝜎2 são, respectivamente, 
(𝑛−1)𝑠2
𝜒𝛼,𝑛−1
2 ≤ 𝜎
2 e 𝜎2 ≤ 
(𝑛−1)𝑠2
𝜒1−𝛼,𝑛−1
2 . 
Um intervalo de confiança para o desvio padrão 𝜎 tem limites inferior e superior dados 
pelas raízes quadradas dos limites correspondentes para a variância 𝜎2: 
√
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒𝛼/2,𝑛−1
2 ≤ 𝜎 ≤ √
(𝑛 − 1)𝑠2
𝜒1−𝛼/2,𝑛−1
2 
onde 𝜒𝛼/2,𝑛−1
2 e 𝜒1−𝛼/2,𝑛−1
2 são os pontos percentuais superior e inferior, relativos a 
𝛼
2
 e 1 −
𝛼
2
 da 
distribuição qui-quadrado, com 𝜐 = 𝑛 − 1 graus de liberdade, respectivamente. 
 
Exemplo: Um mesmo ângulo foi medido 5 vezes e os resultados foram: 3015’ - 3013’- 3017’ 
- 3015’ - 3014’. Estimar a variância e o desvio padrão através de I.C. de 95%. 
Solução: �̅� = 3014,8′; 𝑠2 = 2,2′. Considerando 𝜐 = 𝑛 − 1 = 4; 𝛼 = 0,05, temos, da tabela 
qui-quadrado 𝜒𝛼/2
2 = 11,14 e 𝜒1−𝛼/2
2 = 0,48. Assim, o I.C. é dado por: 
𝜒𝛼/2,𝑛−1
2 𝜒1−𝛼/2,𝑛−1
2 
(𝑛−1)𝑠2
𝜒𝛼/2,𝑛−1
2 ≤ 𝜎
2 ≤
(𝑛−1)𝑠2
𝜒
1−
𝛼
2,𝑛−1
2 →
(5−1)2,2
11,14
≤ 𝜎2 ≤
(5−1)2,2
0,48
 
0,79 ≤ 𝜎2 ≤ 18,33 
√0,79 ≤ 𝜎 ≤ √18,33 → 0,89 ≤ 𝜎 ≤ 4,28 
 
 Intervalo de confiança para a proporção populacional 𝒑 
 Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral das proporções 
populacionais tem distribuição aproximadamente normal, com: 
𝑧 =
�̂� − 𝑝
√𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
 
Substituindo a expressão de 𝑧 em 𝑃(−𝑧𝛼/2 < 𝑧 < 𝑧𝛼/2) = 1 − 𝛼 e isolando 𝑝, obtém-se 
o I.C. com nível de confiança de 1 − 𝛼: 
�̂� − 𝑧𝛼/2√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
≤ 𝑝 ≤ �̂� + 𝑧𝛼/2√
�̂�(1 − �̂�)
𝑛
 
onde 𝑧𝛼/2 é o ponto 
𝛼
2
 superior da distribuição normal padrão. 
 Limites unilaterais aproximados, inferior e superior, de confiança de (1 − 𝛼) são dados, 
respectivamente, por �̂� − 𝑧𝛼√
𝑝(1−𝑝)
𝑛
≤ 𝑝 e 𝑝 ≤ �̂� + 𝑧𝛼√
�̂�(1−𝑝)
𝑛
. 
 
Exemplo: Em uma amostra de 200 peças produzidas por certa máquina, verificou-se que 10 
eram defeituosas. Estimar a verdadeira proporção de peças defeituosas produzidas por essa 
máquina, utilizando um I. C. de 90%. 
Solução: Como 𝑛 = 200, �̂� =
10
200
= 0,05. Para 𝛼 = 0,10, tem-se 𝑧𝛼/2 = 1,645. Assim, como o 
I.C. é dado por: 
�̂� − 𝑧𝛼/2√
�̂�(1−𝑝)
𝑛
≤ 𝑝 ≤ �̂� + 𝑧𝛼/2√
𝑝(1−𝑝)
𝑛
 
0,05 − 1,645√
0,05(1−0,05)
200
≤ 𝑝 ≤ 0,05 + 1,645√
0,05(1−0,05)
200
 
0,0246 ≤ 𝑝 ≤ 0,0754 
 
Tamanho da amostra 
O objetivo do dimensionamento de amostras é a determinação do tamanho mínimo que se 
deve tomar para a amostra, de modo que, o erro cometido ao estimar o parâmetro seja menor do 
que um valor especificado. 
Como exemplo, considere a precisão de um intervalo de confiança bilateral para a média 
𝜇, quando a variância populacional é conhecida. Ele é dado por 2 ∙ 𝑧𝛼/2 ∙
𝜎
√𝑛
. Isso significa que, 
usando �̅� para estimar 𝜇, o erro 𝐸 = |�̅� − 𝜇| é menor ou igual do que zα/2 ∙
σ
√n
 com nível de 
confiança (1 − 𝛼). Assim, em situações onde o tamanho da amostra pode ser controlado, é 
possível escolher 𝑛 de modo que o erro na estimação de 𝜇 seja menor do que um limite 
especificado para o erro 𝐸, com nível de confiança (1 − 𝛼). O tamanho apropriado da amostra é 
encontrado para 𝑛 tal que 𝐸 = 𝑧α/2 ∙
σ
√n
. Assim, temos: 
𝑛 = (
𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎
𝐸
)
2
 
No caso de considerar a precisão de um intervalo de confiança bilateral para a proporção 
da população 𝑝, o tamanho apropriado da amostra é encontrado para 𝑛, tal que 𝐸 =
𝑧𝛼/2√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛: 
𝑛 = (
𝑧𝛼/2
𝐸
)
2
𝑝(1 − 𝑝) 
Quando na expressão que fornece o valor de 𝑛 houver um parâmetro desconhecido, deve-
se tomar uma amostra piloto com 𝑛𝑎 elementos, para com base nela estimar-se esse parâmetro. 
Em seguida, aplica-se a expressão obtida para n e caso 𝑛 ≤ 𝑛𝑎 , a amostra piloto já terá sido 
suficiente para a estimação. Caso contrário, aumenta-se o tamanho 𝑛𝑎 da amostra piloto e repete-
se o processo. 
 
Exemplo: Qual tamanho de amostra é suficiente para estimarmos a média de uma população 
infinita cujo desvio padrão é 3,2 considerando 95% de confiança e precisão de 0,8? 
Solução: Para 𝛼 = 0,05 tem-se 𝑧𝛼/2 = 1,96. Como 𝐸 = 0,8 e 𝜎 = 3,2, tem-se: 
𝑛 = (
𝑧𝛼
2
∙𝜎
𝐸
)
2
= (
1,96∙3,2
0,8
)
2
≅ 62 
 
Exercícios propostos: 
01. O rendimento de um processo químico está sendo estudado. Experiências prévias com esse 
processo indicam que o rendimento é normalmente distribuído e 𝜎 = 3. Os últimos cinco dias de 
operaçãoda planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais: 91,6 – 88,75 – 90,8 – 89,95 
– 91,3. Encontre um intervalo bilateral com 95% de confiança para o rendimento médio 
verdadeiro. 
 
02. Um fabricante produz anéis para pistões de um motor de um carro. Sabe-se que o diâmetro do 
anel é distribuído normalmente com 𝜎 = 0,001 mm. Uma amostra aleatória de 15 anéis tem um 
diâmetro médio de �̅� = 74,036 mm. 
a) Construa um intervalo bilateral de confiança de 99% para o diâmetro médio do anel do pistão. 
b) Construa um limite inferior de confiança de 99% para o diâmetro médio do anel do pistão. 
 
03. Sabe-se que a vida, em horas, de um bulbo de uma lâmpada de 75W é distribuída normalmente 
com 𝜎 = 25 horas. Uma amostra aleatória de 20 bulbos tem uma vida média de �̅� = 1014 horas. 
Suponha que quiséssemos que a largura total do intervalo bilateral de confiança para a média 
fosse de seis horas, com 95% de confiança. Que tamanho de amostra deveria ser usado? 
 
04. De quanto o tamanho 𝑛 da amostra deve ser aumentado se o comprimento do intervalo de 
confiança para a média 𝜇, com variância conhecida, for reduzido à metade? 
 
05. Um engenheiro do setor de pesquisa de um fabricante de pneu está investigando a vida do 
pneu em relação a um novo componente da borracha. Ele fabricou 16 pneus e testou-os até o final 
da vida em um teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra são 60139,7 e 3645,94 
quilômetros. Encontre um intervalo do confiança de 90% para a vida média do pneu. 
 
06. O brilho de um tubo de imagem de televisão pode ser avaliado medindo-se a quantidade de 
corrente requerida para atingir um determinado nível de brilho. Uma amostra de 10 tubos resultou 
em �̅� = 317,2 e 𝑠 = 15,7 (microampères). Encontre um intervalo de confiança de 99% para a 
corrente média requerida. Estabeleça qualquer suposição necessária sobre a distribuição em foco 
dos dados. 
 
07. Um artigo em determinada revista considerou a aceleração de redes neurais celulares (RNC) 
para uma arquitetura computacional paralela com finalidade geral, baseada em seis transputers 
em diferentes áreas. Os dados são: 3,775302 – 3,350679 – 4,217981 – 4,030324 – 4,639692 – 
4,139665 – 4,395575 – 4,824257 – 4,268119 – 4,584193 – 4,930027 – 4,315973 – 4,600101 
a) Construa um intervalo bilateral de confiança de 95% para a aceleração média. 
b) Construa um limite inferior de confiança de 95% para a aceleração média. 
 
08. Um rebite deve ser inserido em um orifício. Uma amostra aleatória de 𝑛 = 15 peças é 
selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do 
orifício é 𝑠 = 0,008 mm. Construa um limite inferior de confiança de 99% para o desvio padrão. 
 
09. A percentagem de titânio em uma liga usada na fundição de aeronaves é medida em 51 peças 
selecionadas aleatoriamente. O desvio padrão amostral é 𝑠 = 0,37. Construa um intervalo 
bilateral de confiança de 95% para a 𝜎. 
 
10. A fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um processo de fotoliografia está 
sendo estudada. Uma amostra aleatória de 300 circuitos é testada, revelando 13 defeitos. 
a) Encontre um intervalo de confiança bilateral de 95% para a fração de circuitos defeituosos 
produzidos por essa ferramenta particular. 
b) Encontre um limite superior de confiança de 95% para a fração de circuitos defeituosos. 
 
11. Uma amostra aleatória de 12 pinos de desvio é retirada em um estudo da dureza Rockwell da 
cabeça dos pinos. Medições na escala de dureza foram realizadas para cada um dos 12 pinos, 
rendendo um valor médio de 48,5 com desvio padrão amostral de 1,5. Assumindo que as medidas 
são normalmente distribuídas, construa um intervalo de confiança de 90% para a média da dureza 
Rockwell. 
 
12. Um fabricante de baterias para carros afirma que suas baterias duram, em média, três anos, 
com variância de um ano. Se cinco dessas baterias têm vida útil de 1,9 – 2,4 – 3,0 – 3,5 – 4,2 
anos, construa um intervalo de confiança de 95% para 𝜎2 e decida se a afirmação do fabricante 
de que 𝜎2 = 1 é verdadeira. Assuma que a população da vida útil das baterias tenha distribuição 
aproximadamente normal. 
 
Respostas: 
1) [87,85; 93,11] 
2) a) [74,0353; 74,0367]; b) [74,035; ∞) 
3) 267 
4) 4 
5) [58541,87; 61737,53] 
6) [301,06; 333,34] 
7) b) [2237,3; 2282,5]; c) [2241,4; ∞) 
8) [0,0055; ∞) 
9) [0,31; 0,46] 
10) a) [0,02029; 0,06637]; b) (−∞; 0,00627] 
11) [47,722; 49,278] 
12) [0,293; 6,736]