ESTATÍSTICA PARA ANALISTA DO TESOURO

ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 1 Sumário APRESENTAÇÃO .......................................................................... 2 1. CONCEITOS ......................................................................... 4 2. TABELAS DE F REQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS ........................... 8 3. GRÁFICOS DE PA RETO ........................................................ 12 4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ....................................... 16 5. ASSIMETRIA ...................................................................... 19 6. GRÁFICOS DE CAIXA ( BLOXPLOT), QUARTIS E PERCENTIS ...... 21 7. MEDIDAS DE VARIABILIDADE .............................................. 22 8. FÓRMULA ABREVIADA D A VARIÂNCIA ................................... 26 9. PROPRIEDADES DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA .......................... 27 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................... 31 11. ENUNCIADOS DE EXERCÍCIOS ............................................. 79 12. GABARITOS ....................................................................... 93 13. FORMULÁRIO DESTA A ULA ................................................... 95 14. TIPOS DE GRÁFICOS V ISTOS ............................................... 97 15. RESUMÃO DE CONCEITOS ................................................... 99 ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 2 APRESENTAÇÃO Futuros analistas, Em preparação ao nosso longo edital de Anali sta do Tesouro, é bom já ir se preparando em nossas mat érias básicas. Tema Data Item do edital 0 Estatísti ca Descritiv a imediata Descrição uni variada: popul ação e amostra; estatíst ica descrit iva e inferencial; classi ficação e caracterização de uma va riável e statística; níveis de mensuraçã o; dados em série e agru pados; distribu ições de freqüên cias; histograma e polígono d e freqüênci as; medidas de tendênci a central; medidas de variabilidade a bsoluta e relativa; medida s de as simetria e curtose. 1 Estatísti ca Probabilíst ica 18/02 Fundamentos da Teoria de Probabilidad es: experiment o alea tório; espaço amostra e ev entos; os principai s conceitos de p robabilidade e os teoremas fundamentais do cálculo; probabilidade condicional ; independência de eventos; teo rema de Ba yes 2 Distribuição de Probabilidades 28/02 Técnicas de Cont agem e Análise Combi natória. Distribuições de probabilidades discretas e contín uas (conceitos ge rais e usos de desc ritiva). Proporções e regras de proporcional idade de grandeza s. Co mbinações, Arranjos e Permutação. 3 Probabilidades Discretas 10/03 Variáveis aleat órias unidimen sionais disc retas: conceito de va riável aleatória; função de pro babilidade e fun ção de distribui ção; val or esperad o e desvio padrão de va riável aleat ória discreta; modelos probabilísti cos discret os: Binomial e P oisson. 4 Probabilidades Contínuas 20/03 . Variáveis aleat órias unidime nsionais contí nuas: funçã o de den sidade e função de dist ribuição; val or esperado e desvio pad rão de v ariável aleató ria contínua; modelos probabi lísticos contí nuos; distribui ção No rmal; 5 Inferência Estatísti ca 30/03 Variáveis cont ínuas: distribu ição T de Student; distribuição F de Snedec or e distribuição Qui- quadrado. Amost ragem e est imação: esti mador, e stimati va e distribuiçõe s amostrais; distribuição amostral da média; d istribuição amostral da pr oporção; características de um bom estimado r. Intervalos de confiança: int ervalo para a média p opulacional; inter valo para a proporção; cálculo do taman ho da amo stra para os intervalos de confia nça para m édia e proporção. 6 Teste de hipóteses 10/04 Testes de Hipótes es: tipos de erros; significância e potência de um test e; testes sobre a média e a proporçã o populacionais 7 Correlação e Índices 20/04 Variável aleatória bidimensional : independência de va riáveis aleatórias; covariância e independência linear; o coeficiente de correla ção de Pearson Análise de variância de classi ficação si mples. Modelo de Regressão Linea r Simples e Múltipla: pressupostos básic os; estimado res de Mínimos Quadrados e suas propriedades; testes de sign ificância; coe ficientes d e determinaçã o; coeficiente d e determinação ajustado; estimação de formas linearizáveis; predição por regressão simples e múltipla. Testes d e hipóteses para médias e proporçõ es. Correlaçã o e Regressão Linear simpl es. Descrição de variações: índices, fatores e taxas; índices de preços e d e quantidades pelo critério de Laspeyres e Paasche; p oder aquisit ivo e def lacionamento A banca provavelmente será a ESAF, e certamente as questões seguirão a linha da estatística para os concursos de fiscal . A ESAF, tradicional banca d a Receita Federal, é bem heterodoxa n a sua abordagem de estatística. Seu caminho das pedras só será entendido por quem tiver bastante prática. Por isso, além da ESAF, incluí exercícios de outras bancas como FGV e FCC, especialmente a FCC que tem se tornado o benchmarking em estatística fiscal. Faça exercícios de outras bancas, afinal, antes de e ntender com o a ESAF pensa estatística, você precisa entender estat ística. Quanto a mim, seu professor , Sou André L uiz dos Santos, sou formado engenheiro pela USP, com mestrado pelo I PT - SP. Fu i aprovado nos concursos ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 3 fiscais da prefeitura de Cotia (15º ), Arujá (10º) e no Tribunal de Justiça do Estado de São Paulo (14º). Concluí um MBA pela notória FGV, estrela de tantos outros concursos . Como trabalho na área técnica, pro curo ser bem \u201cmão na massa\u201d com matemática. Trabalho com Estatística na minha vida profissional, você está lendo mat erial de quem lida com o que ensina. E e m concursos temos que ser pragmáti cos Sigo a abordagem tradicional, porque sei que a ma ioria de vocês não tem habilidade, e mesmo para tomar atalhos é re querida habilidade. N o começo é melhor i r com segurança. A primeira parte da aula será a teoria explicada devagar e com exemplos bem simples. Depois t eremos os exercícios resolvidos, ai vem a parte pesada. Não passe por ela sem faze r. Dificilmente alguém entende lendo apenas a t eoria. Procurei fazer este curso com re speitando a dedicação, p ragmatismo e senso de objetivo do candidato. Espero que vocês n ão só gostem, mas passem. Vamos lá, bons estudos! André L. Santos ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 4 Aula 0 ESTATÍSTI CA DESCRITIV A 1. CONCEITOS Durante nossos exercícios de estatís tica para concurso, vamos ver diversos conceit os espalhados pelos enunciados. No início dest a aula d e estatística descritiva é prudente que repassemos o s conceitos mais pedido s pelas bancas . Dessa forma, tendo visto o conceit o com rig or, podere mos rapidamente compreender os enunciados. A Ciência da Estatística é a ra mo da Matemática que se preocupa com a organização, des crição, análise e interpretação dos dado s experimentais . Exemplo: Este curso visa ensinar a Ciência da Estat ística População é uma coleção co mpleta de todos os elementos a serem estudados . Exemplo que veio da vida para a mate mática, o conjunto de todos os b rasileiros é a população brasileira. O conj unto de t odos os planetas do sistema solar é uma população. Censo é uma coleção de dados re lativos a todos os elementos de uma população . Como exemplo, a contagem dos cidadã os do um país feito pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (por que será que tem este nome, hein?) Amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população . Ao se sortear pessoas para uma entrevista, fazemos u ma \u201camostra\u201d da população. Ao se tirar 2 ml de sangue para um exame clínico com uma seringa, tiramos uma \u201camostra\u201d de sangue para análise. Neste exemplo, a população seria todo o sangue do paciente. Rapidamente percebe - se que trabalhar com populações é inviável. Parâmetro é u ma medida numérica que descreve uma característica de uma população . Por exemplo, o parâmetro de expectativa de vida d o brasileiro (até agora) é 76 an os. Em média, a população de cidadãos brasileiros vive 76 anos. ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 5 Uma estatística no sentido estrito é uma medida numérica que descreve uma carac terística de uma am ostra . No exemplo do sangue, se a análise resultar que o nível de glicose é de 86 mg/dl esta é uma e statíst ica da amostra, e só se re fere à amostra. No decorrer do curso, veremos como avaliar se a amos tra é representativa da população. Pode não ser. Se tomarmos uma amostra de óbitos de cidadãos brasileiros de zonas notadamente care ntes de saúde, teremos uma e statística d e e xpectativa de vida menor que 76 anos, q ue é diferente do parâmetro da populaçã o brasileira. Um dado é uma unidade básica de informaçã o , normalm ente o resultado da experiência ou observação . Por exemplo, \u201ceste frasco de talco tem peso líquido de 199,8g \u201d Uma informação é o conhecimento obtido pela comparação de diversos dados . Po r exemplo, \u201cOs frascos de talco desta marca tem peso líquido médio de 200g\u201d. No ta -se que esta informação não poderia ter sido obtida do dado de um único frasco, ela veio de mais d e um dado, seja da medição de uma amostra ou população de frascos. Mas estas definições n ão são e scritas na ro cha: No caso, se o fabricante tivesse afirmado, seria um dado. Uma proposição é o conjunto de pa lavras ou símbolos que exprimem um pe nsamento ou juízo de sentido co mpleto . Por exemplo, \u201ceste frasco de talco tem peso líquido de 199,8g\u201d ou 9 As proposições são expressas em linguagem. Nos exemplos, a primeira foi em bom português, a segunda e m símbolos matemáticos. As proposições podem ser verdad eiras ou falsas. No e xemplo dado, 9 é uma proposição falsa. As proposições podem ser simples (no caso os exemplos) ou compostas, por exemplo \u201ceste frasco de talco tem peso líquido de 19 9,8g e tem gipsita em sua composição\u201d. A estatística lidará com propo sições, mas a disciplina que lida com elas por excelência é o raciocínio lógico. Dados quantitati vos consistem em números que represe ntam contagens ou medidas . Por exemplo, \u201cAlturas dos alunos de uma sala em metros: 1,52; 1,61; 1,54; 1,52; 1,85; 1,71\u201d Dados qualitat ivos (ou da dos categóricos ou dados at ributos ) podem ser separados em diferentes ca tegorias que se distinguem p or alguma característica não-numérica . Por exemplo, \u201cPrincipais bancas no Brasil: CESPE, ESAF, FCC, FGV , Cesgranrio, Vunesp\u201d ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 6 Dados discretos são dados quantitat ivos que resu ltam de um conjunto finito de valores possíveis , ou de um conjunt o enumerável destes valores. Por exemplo, \u201cPontuações possíveis num conc urso de 160 questões de alternativa de um ponto cada: 0,1,2,3... 157,158,159, 160\u201d Dados contínuos (numéricos) são dados quantitativos resultam de um número inf inito de valores possíveis que pode m ser associados a pontos em uma escala contínua de tal maneira que não haja interrupções . Por exemplo, \u201cVelocidades instantâneas de carr os num determinado ponto da estrada em km/h: 100,2; 110,5; 96,3\u201d Importante: A mínima unidade de medição não s ignifica que u m dado contínuo é discreto. Se minha ré gua mede até milímetros, não quer dizer que minha medida de distância é discreta em milímetr os. Se a régua mediu 25mm, a medid a real bem poderia ter sido 25,46mm se tivesse um instrumento com mais precisão, como um micrômetro, por exemplo. Nível nominal de mensuração é caracterizado por dados que consistem apenas em nomes, ró tulos ou categorias . Os dados não podem ser dispostos segundo um esquema ordenado. Exemplo, \u201c Respostas possíveis a uma pesquisa eleitoral de segundo turno: Candidato Al fa, Candidato Be ta, Branco, Nulos, Indecisos\u201d. Nível ordinal de mensuração envolve m dados que podem ser dispostos em alguma ordem, mas as diferenças e ntre valores dos dados não podem ser determinadas ou não tem sentido . Exemplo, \u201cRespostas possíveis a uma pergunta e m uma pesquisa: Concordo fortemente, concordo, indiferente, discordo, discordo fortement e, não sei\u201d. Dá para perceber que há uma ordem e hierarquia, mas não há u ma medição precisa da distância entre elas. Nível intervalar de mensuração é análogo ao nível ordinal, com a propriedade de que podemos determinar diferenças significativas entre os dados . Todavia não existe um ponto de partida zero inerente ou natural onde não haja qualquer quantidade presente. Isto é muito comum e m escalas com z ero arbitrado. Exemplo, \u201ctemperaturas médias mensais em São Paulo em graus Ce lsius, 25; 24;20;16;18;22;25\u201d. Não s e pode dizer que 20ºC é 2 0% mais quente que 24ºC porque 0ºC foi determinado arbitrariamente n o congelamento da á gua (isto não se aplica graus Kelvin, que parte do z ero absoluto) ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 7 Nível de razão de mensuração é o nível de intervalo mo dificado de mo do a incluir o ponto de part ida zero inerente, o nde zero significa nenhuma quanti dade presente . Para valores neste nível, ta nto as diferenças como as razões tem significado. Exemplo, \u201cRe ceitas trimestrais de uma e mpresa em milhões de reais: 250, 300, 200, 180\u201d. Pod e-se dizer que R$ 200.000.000,00 é 20% menor que 240.000.000,00. Pode -se dizer que R$ 300.000.000,00 é cem milhões de reais maior q ue R$ 2 00.000.000,00. E qu e receita zero é receita nenhu ma. Um estudo observacional verificam-se e medem-se características específicas, mas nã o se tenta ma nipular ou modificar os elementos a serem estudados . Por exemplo, \u201cPeso total bruto d e caminhões trafegando numa rodovia: 25t; 20t; 12t; 8t; 23t\u201d Em um experimento aplica-se determinado tratamento e passa-se a observar seus efeitos a serem pesquisados . Exemplo \u201cTeore s de determinada subst ância na urina de paci entes su bmetidos a tratamento: 60mg/ml; 56 mg/ml; 80 mg/ml\u201d. Ou seja, é uma condição não natural, houve um tratamento que podia ou não ter alterado os teores normais. Uma am ostra aleatória os elementos da população são escolhido s de tal forma que cada um deles tenh a igual chance de figurar na amostra . Exemplo, num tanque perfei tamente agitado, 100ml de líquido são retirados a título de amostra. Como é um granel misturado , pode-se considerar uma amostra aleat ória. Outro exemplo, num tanque com uma população de peixes, uma re de é lançada e captura 3 peixes para exames. Supõe -se que os peixes estejam nadando aleatoriamente. Uma amo stragem estratificada é uma amostragem que a população é subdividida em no mínimo duas subpopulações que compartilham das mesmas cara cterísticas e em seguida se extrai uma amostra aleatóri a de cada extra to . Por e xemplo, os computadores da Receita Federal separam as declarações de renda de pessoas físicas em faixa s de renda e sorteiam algumas d e cada faixa para escrutínios dos fiscais. Uma amostragem por co nglomerados é uma estratificada em que o espaço amostral é um dos conglomerados /extratos . Repetin do o exemplo anterior, os computadores da Rece ita Federal separam as declarações de IR PF em faixas de re nda, mas especificamente os fiscais se interessam n o escrutínio de amostras aleatórias na faixa de re nda superior do estudo. A banca FGV considerou esta como uma definição de amostragem por conglome rados: \u201c na amo stragem por conglomerado a população é ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 8 dividida em difer entes gr upos, extraindo -se uma amostra ap enas dos conglomerados selecionados \u201d Uma am ostragem sistemática escolhemos um po nto de partida e selecionamos um elemento a cada determinada dis tância ou frequência . E xemplo, uma tecelagem extrai uma amostra para análise de fio a cada 10000m de fio p roduzido. Um erro amostral é a diferença entre o s resultados amostrais e o verdadeiro resultado populacional ; tais e rros resultam de flutuações amostrais aleatórias. Exemplo, uma linha de produção envasa um silo de 200t de dolomita em 2 00.000 sacos de 1000g por hora. Em uma amostra de 5 sacos retirados aleatoriamente dos produzidos, a média de peso foi de 995g. Este 5g é o e rro amostral. Se todos os s acos, ie, a população pu desse ser medida, o peso médio seria de 1000g. Um erro não amostral ocorre quando os dados amostrais são coletados, registrados ou analisados incorretamente , é um erro que não se atribui à variação amostral aleatória, como a escol ha de uma amostra não aleatória e tendenciosa ou a util ização de um ins trumento de mensuração defeituoso. Por exemplo, no caso da l inha de produção acima, os ci nco sacos de amostra podem ser medidos numa balança descalibrada que dá méd ia de peso deles de 9 75g. 25 g é um erro não amostral. No caso, o amostrador também proposita da mente podia ter escolhido o s sacos mais murchos para retirar de amostra e subavaliar d e caso pensado o peso do envase. Todas as definições acima deram preci sas definições do que ver emos ao longo do curso e das questões de estatística. 2. TABELAS DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS Este tema é querido às bancas. Ele é bem básico, mas por que não tirar pontos preciosos dele? Só requer experiência para no dia da pressão da prova manipular os dados e extrair o ponto. Uma tabela de fre quências relaciona categorias (ou classes) de valores juntamente com contagens (ou frequências) do n úmero de valores que se enquadram em cada categoria. Vamos ao exemplo: Um grande fabricante de peças dividiu se us clientes em classes de faturamento anual de pedidos para determinar o nível de atendimento, pós-venda e assistência técnica a c ada um deles. ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 9 Classe de cliente Pedidos anuais # clientes Padrão Até R$ 100.000 80 Preferencial de R$ 100.000 até R$ 200.0 00 20 Premium de R$ 200.000 até R$ 300.000 5 Nesta tabela, os limites inferiores de classe são os menores números que podem efetivamente pertencer a cada classe. No caso , 0 (hipoteticamente. Quem fez R$0 de pedido não é cliente); 10 0.000 e 200.00 0 . Os limites superiores de classe são os maiores números que p odem efetivamente pertencer a cada classe. Ou seja, 100.000; 200.000 e 300.000. Uma questão que sempre pode surgir é o que fazer nas fronteiras. No caso, a tabela já explicou usando o de... até. \u201cDe\u201c pertence à classe, \u201caté\u201d não é da classe. Por exemplo, um cliente que tenha pedido R$ 200.000,00 exatos é cliente Premium, porque a categoriam Premium é \u201cde 20 0.000\u201d enquanto a Preferencial é \u201caté 200.000\u201d. Em li nguagem matemática, 100.000 0 O aluno ta mbém e ncontrará as segu intes notações nos enunciados, todas análogas: \uf076 100.000 \uf076 100.000 [ ---------------- [ 200.000 \uf076 100.000 |----------------- 200.000 \uf076 100.000 200.000 Todas elas significam a mes ma coisa. Que 100.000 está incluso no intervalo, mas 200.000 não faz parte. Marcas de Classe ou Pontos Médios de Classe é auto e xplicativo, é o ponto médio da c lasse. No caso, P adrão 50.000; Preferencial 150 .000; Premium 250.000. Finalmente, am plitude de class e é a diferença entre dois limites de classe. Na tabela é de R$ 1 00.000. O exemplo apresentou amplitudes iguais, mas nem sempre é assim. A empresa poderia ter dito que os Premiu m iam d e 200.000 até 1.000.000. Ou até infinito, oras, alguém que quises se fazer um bilhão em pedido seria um t remendo cliente Premium, não? Usualmente, a amplitud e de classe para uma boa construção de classes é dada pela amplitude dos dados dividido pelo número de classes desejada. Amplitude é o maior menos o menor valor dos dados. A regra prática de histogramas é que o número de classes seja a raiz quadrada do número de ESTATÍSTICA PARA ANALISTA D O TESOURO Aula 0 Prof. André L. Santos www.passe icursos.com.br 10 valores. Sendo assim, para 50 valores termos 7 classes é um bom número a se trabalhar ( \ue3be \ue377\ue372 =7,071067...) Finalmente, podemos montar o famoso gráfico de colunas de frequências por classes tão venerado da estatística chamado de HI STOGRAMA . Enquanto você ouvir falar de estatística na sua vida você ouvi rá dos histogramas. Uma outra modalidade de tabela de frequência muito usada é a de frequência relativa. Ela te m a vantagem que os dados dela podem ser usados para cálculos de probabilid ade, se desejar. Frequência relativa = frequência da classe / frequênci a total No exemplo dos clientes, a frequência total é a soma tória do número de clientes, ie, 105 clientes. Dividindo cada classe de cliente pela somatória Classe de cliente Pedidos anuais # clientes Freq. Relativa Padrão Até R$ 100.000 80 0,76 Preferencial de R$ 100.000 até R$ 200.000 20 0,19 Premium de R$ 200.000 até R$ 300.000 5 0,05 Soma clientes 105 1,00 Também o histograma pode ser feito com frequênci as relativas 80 20 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Padrão Preferencial Premium Hist ogr ama de clientes R$ 100.000 R$ 200.000 R$ 300.000 R$ 0

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