Lista 08 dinâmica de rotação

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F´ısica Geral I
8a lista de exerc´ıcios – Dinaˆmica de rotac¸a˜o
Sec¸a˜o 1: Cinema´tica da rotac¸a˜o
1. A roda de uma bicicleta possui velocidade angular de 1,50 rad/s. (a) Se sua acele-
rac¸a˜o angular e´ constante e igual a 0,300 rad/s2, qual e´ sua velocidade angular para
t = 2,50 s? (b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t = 0 e t = 2,50 s?
2. Um carro de corrida percorre uma pista circular com raio de 250 m. Supondo que ele
se mova com velocidade constante de 45,0 m/s, encontre (a) sua velocidade angular
e (b) o mo´dulo e direc¸a˜o de sua acelerac¸a˜o.
3. Na figura 1, a roda maior, de 30 cm de raio, transmite seu movimento a` menor,
de 20 cm de raio, atrave´s da correia C, que permanece sempre bem esticada e sem
deslizamento. A roda maior, partindo do repouso com acelerac¸a˜o angular uniforme,
leva 1 min para atingir sua velocidade de regime permanente, e efetua um total de
540 rotac¸o˜es durante esse intervalo. Calcule a velocidade angular da roda menor e
a velocidade linear da correia uma vez atingido o regime permanente.
Figura 1
4. Uma propaganda afirma que uma centr´ıfuga precisa somente de 0,127 m para pro-
duzir uma acelerac¸a˜o radial de 3000g para 5000 rpm. Calcule o raio necessa´rio dessa
centr´ıfuga. A afirmac¸a˜o da propaganda e´ via´vel?
Sec¸a˜o 2: Conservac¸a˜o da energia no movimento de rotac¸a˜o
5. Um bloco de massa m, que pode deslizar com atrito desprez´ıvel sobre um plano
inclinado de inclinac¸a˜o θ em relac¸a˜o a` horizontal, esta´ ligado por um fio, que passa
sobre uma polia de raio R e massa M , a uma massa m′ > m suspensa (figura 2). O
sistema e´ solto do repouso. Calcule, por conservac¸a˜o de energia, a velocidade v de
m′ apo´s cair de uma altura h.
Figura 2
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6. Um objeto de massa m1 = 15,0 kg e outro de massa m2 = 10,0 kg esta˜o suspensos,
ligados por um fio que passa sobre uma polia de raio R = 10,0 cm e massa M = 3,00
kg (figura 3). O fio tem massa desprez´ıvel e na˜o desliza sobre a polia. A polia gira
em torno de seu eixo sem atrito. Os objetos partem do repouso, separados por uma
distaˆncia inicial de 3,00 m. Considere a polia como um disco uniforme, e determine
a velocidade dos dois objetos assim que eles passam um pelo outro.
Figura 3
7. Na figura 4, uma bola macic¸a rola suavemente a partir do repouso (comec¸ando na
altura H = 6,0 m) ate´ deixar a parte horizontal no fim da pista, a uma altura h =
2,0 m. A que distaˆncia horizontal do ponto A a bola toca o cha˜o?
Figura 4
8. Uma barra uniforme de comprimento L e massa M e´ livre para girar em um pino
sem atrito passando por uma extremidade figura 5. A barra e´ liberada do repouso
na posic¸a˜o horizontal. (a) Qual a velocidade angular da barra, quando esta alcanc¸a
sua posic¸a˜o mais baixa? Determine (b) a velocidade tangencial do centro de massa
e (c) a velocidade tangencial da extremidade livre da barra, quando a barra estiver
na posic¸a˜o vertical.
Sec¸a˜o 3: Torque
9. Determine o torque resultante na roda mostrada na figura 6, em relac¸a˜o ao eixo que
passa por O, considerando a = 10,0 cm e b = 25 cm.
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Figura 5
Figura 6
10. A figura 7 mostra dois blocos de massa m suspensos nas extremidades de uma haste
r´ıgida, sem massa, de comprimento L1 + L2, com L1 = 20 cm e L2 = 80 cm. A
haste e´ mantida na posic¸a˜o horizontal mostrada na figura e, enta˜o, solta. Calcule
(a) a acelerac¸a˜o angular da haste, quando o sistema e´ solto do repouso, e (b) as
acelerac¸o˜es (em m/s2) dos dois blocos quando o sistema comec¸a a girar.
Figura 7
11. Um disco de raio R = 0,5 m e massa M = 20 kg pode girar livremente ao redor de
um eixo horizontal fixo que passa pelo seu centro. Um bloco de massa m = 1 kg
e´ pendurado por um fio enrolado em torno do disco, e solto do repouso (figura 8).
Calcule (a) a acelerac¸a˜o angular do disco, e (b) a velocidade angular apo´s 5 s.
12. A figura 9 mostra um disco uniforme, de massa M = 2,5 kg e raio R= 20 cm,
montado em um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 1,2 kg esta´ pendurado
por uma corda de massa desprez´ıvel que esta´ enrolada na borda do disco. Determine
(a) a acelerac¸a˜o do bloco em queda, (b) a acelerac¸a˜o angular do disco e (c) a tensa˜o
na corda. A corda na˜o escorrega e na˜o existe atrito no eixo.
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Figura 8
Figura 9
13. Treˆs corpos de densidade uniforme: uma esfera so´lida, um cilindro so´lido e um
cilindro oco, sa˜o colocados no topo de uma ladeira (figura 10). Todos sa˜o liberados
do repouso na mesma elevac¸a˜o e no mesmo instante, e rolam sem deslizar. (a) Qual
corpo chega a` base primeiro? (b) Qual chega por u´ltimo? (c) O resultado depende
das massas e dos raios dos corpos? (Dica: Calcule a acelerac¸a˜o com que cada corpo
desce a ladeira).
Figura 10
Sec¸a˜o 4: Equil´ıbrio de um corpo r´ıgido
14. Uma viga de 9,0 m de comprimento e massa 30,6 kg repousa simetricamente sobre
dois suportes separados por uma distaˆncia de 5,0 m (figura 11). Um adolescente,
com massa 61, 2 kg parte do ponto A e caminha para a direita. (a) Represente o
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diagrama das forc¸as que atuam sobre a viga. (b) Ate´ que distaˆncia a` direita do
ponto B o adolescente pode caminhar sem que a viga tombe? (c) Qual sera´ a forc¸a
exercida pelos suportes sobre a viga neste caso?
Figura 11
15. Uma escada uniforme de comprimento l e massa m, apoiada sobre o cha˜o, com
coeficiente de atrito esta´tico µs = 0,40, esta´ encostada a uma parede lisa (atrito
desprez´ıvel), formando um aˆngulo θ com o cha˜o (figura 12). Determine o aˆngulo
mı´nimo θmin, para o qual a escada na˜o escorrega.
Figura 12
16. Um mo´bile e´ constru´ıdo com barras leves, cordas leves e lembranc¸as da praia, como
mostrado na figura 13. Se m4 = 12,0 g, encontre os valores para (a) m1, m2 e m3.
Figura 13
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17. O brac¸o na figura 14 pesa 41,5 N. A forc¸a gravitacional sobre ele age no ponto A.
Determine os mo´dulos das forc¸as de tensa˜o ~Ft no mu´sculo delto´ide e ~Fs exercida pelo
ombro sobre o u´mero (osso do antebrac¸o) para manter o brac¸o na posic¸a˜o mostrada.
Figura 14
Sec¸a˜o 5: Conservac¸a˜o do momento angular
18. Uma haste r´ıgida, leve, de comprimento l = 1,00 m, une duas part´ıculas, com massas
m1 = 4,00 kg e m2 = 3,00 kg, em suas extremidades. O conjunto gira no plano xy
em torno de um pino que passa pelo centro da haste (figura 15). Determine o
momento angular do sistema em torno da origem quando a velocidade escalar de
cada part´ıcula e´ 5,00 m/s
Figura 15
19. Um gira-gira de parquinho de raio R = 2,00 m tem um momento de ine´rcia I =
250 kg·m2 e esta´ roadando a 10,0 rpm em torno de um eixo vertical sem atrito. De
frente para o eixo, uma crianc¸a de 25,0 kg salta no gira-gira e consegue se sentar na
beirada. Qual e´ a nova velocidade angular do gira-gira?
20. Dois astronautas (figura 16), cada um com massa de 75,0 kg, esta˜o conectados por
uma corda de 10,0 m e massa desprez´ıvel. Eles esta˜o isolados no espac¸o, orbitando
seu centro de massa com velocidades de 5,00 m/s. Tratando os astronautas como
part´ıculas, calcule (a) o mo´dulo do momento angular do sistema de dois astronautas
e (b) a energia rotacional do sistema. Ao pouxar a corda, um astronauta encurta
a distaˆncai entre eles para 5,00 m. (c) Qual o novo momento angular do sistema?
(d) Quais as novas velocidades escalares dos astronautas? (e) Qual e´ a nova energia
rotacional do sistema? (f) Quanta energia potencial qu´ımica no corpo do astronauta
foi convertida em energia mecaˆnica no sistema quando ele encurtou a corda?
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Figura 16
21. Um bloco de madeira de massa M esta´ em repouso sobre uma superf´ıcie horizontal
sem atrito, preso a` extremidade de um fio r´ıgido de comprimento l e massa despre-
z´ıvel (figura 17). O basta˜o pode girar livremente em torno da outra extremidade.
Uma bala de massa m que viaja paralelamente a` superf´ıcie horizontal, e perpendi-
cularmente ao fio, com velocidade v, atinge o bloco,ficando presa a ele. (a) Qual o
momento angular do sistema bloco-bala? (b) Qual a velocidade angular do sistema,
apo´s a bala entrar em repouso dentro do bloco? (c) Que frac¸a˜o da energia da bala
e´ perdida na colisa˜o?
Figura 17
22. Um pa´ssaro de 500,0 g esta´ voando horizontalmente a 2,25 m/s, quando inadver-
tidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo-a 25,0 cm abaixo do topo
(figura 18). A barra homogeˆnea com 0,750 m de comprimento e massa de 1,50 kg
esta´ presa por uma dobradic¸a na sua base. A colisa˜o atordoa o pa´ssaro, que cai ao
cha˜o em seguida. Qual e´ a velocidade angular da barra (a) logo apo´s ser atingida
pelo pa´ssaro e (b) assim que atinge o solo?
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Figura 18
Respostas:
1) (a) 2,25 rad/s (b) 4,69 rad
2) (a) 0,180 rad/s ; (b) 8,10 m/s2 radialmente para dentro
3) 1620 rpm; 33,9 m/s
4) 10,7 cm; na˜o
5) v =
√
2ghm
′−msenθ
m′+m+M
2
6) 2,36 m/s
7) 4,8 m
8) (a)
√
3g/L; (b) 12
√
3gL; (c)
√
3gL
9) –3,55 N·m
10) (a) 8,64 rad/s2; (b) 1,72 m/s2; 6,81 m/s2
11) (a) 1,80 rad/s2 (b) 9,0 rad/s.
12) (a) 4,8 m/s2; (b) 24 rad/s2; (c)6,0 N.
13) (a) a esfera; (b) o cilindro oco; (c) na˜o.
14) (b) ate´ 8, 25 m do ponto A. (c) 900 N
15) θmin = 51
◦
16) m1 = 9,00 g; m2 = 52,5 g; m3 = 49,0 g
17) Ft = 724 N; Fl = 716 N.
18) 17,5kˆ kg·m2/s
19) 7,14 rpm
20) (a) 3750 kg·m2/s, (b) 1,88 kJ, (c) 3750 kg·m2/s, (d) 10,0 m/s, (e) 7,50 kJ (f) 5,62 kJ
21) (a) mvl; (b)
(
m
m+M
)
v
l ; (c)
M
m+M
22) (a) 2,00 rad/s; (b) 6,57 rad/s
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