YOHANNA 269 23i

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Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
CM-005J Álgebra Linear
Professor: Carlos Roberto Vianna
Aluno(a): Yohanna Baracuy Lacerda, GRR20120814
PROVA 3
Página 269
23) Veri�car quais das seguintes matrizes são ortogonais e, destre estas,
veri�car quais apresentam rotações:
i.
cosθ 0 −senθ0 1 0
senθ 0 cosθ

* Uma matriz A é ortogonal se AA
T
= A
T
A = I
**Uma matriz é de rotação se preserva a norma do vetor (matriz-coluna).
A =
cosθ 0 −senθ0 1 0
senθ 0 cosθ

AA
T
=
cosθ 0 −senθ0 1 0
senθ 0 cosθ
 cosθ 0 senθ0 1 0
−senθ 0 cosθ

=
 cos2θ + sen2θ 0 senθcosθ0 1 0
senθcosθ − cosθsenθ 0 sen2θ + cos2θ

=
1 0 00 1 0
0 0 1

É fácil veri�car que A
T
A também é a identidade:
A
T
A =
 cosθ 0 senθ0 1 0
−senθ 0 cosθ
 cosθ 0 −senθ0 1 0
senθ 0 cosθ

=
 cos2θ + sen2θ 0 −senθcosθ + senθcosθ0 1 0
−senθcosθ + senθcosθ 0 (−senθ)2 + cos2θ

=
1 0 00 1 0
0 0 1

Portanto, A é ORTOGONAL.
Dado u =
xy
z
 ∈R3 , ||u|| = √x2 + y2 + z2
Au =
cosθ 0 −senθ0 1 0
senθ 0 cosθ
 xy
z

=
xcosθ − zsenθy
xsenθ + zcosθ

||Bu|| =
√
(xcosθ − zsenθ)2 + y2 + (xsenθ + zcosθ)2
=
√
x2cos2θ − 2xzsenθcosθ + z2sen2θ + y2 + x2sen2θ + 2xzcosθsenθ + z2cos2θ
1
=
√
x2(cos2θ + sen2θ) + y2 + z2(sen2θ + cos2θ)
=
√
x2 + y2 + z2 = ||u||
• B preserva norma
• B é de rotação
2