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Fı´sica Experimental III
SALAS 413 e 415
2017–1
Conteu´do
I Experimentos – Roteiros 3
1 Introduc¸a˜o a`s medidas ele´tricas 4
2 Noc¸o˜es de circuitos ele´tricos 22
3 Circuitos resistivos com onda senoidal 36
4 Transientes em circuitos RC 44
5 Circuitos RC com corrente alternada 54
6 Circuitos RC e filtros de frequeˆncia 63
7 Circuitos RL 71
8 Circuitos RLC com onda quadrada 82
9 Circuitos RLC com corrente alternada: ressonaˆncia 91
II Relato´rios 109
Introduc¸a˜o
Esta apostila contem o material completo para o curso de Fı´sica Experimental III (FIN 231),
oferecido pelo Instituto de Fı´sica - UFRJ. O material inclui os roteiros para os procedimen-
tos experimentais, os pre´-relato´rios e os relato´rios. O curso pretende ser complementar ao
curso de Fı´sica III, que tem como objeto de estudo os fenoˆmenos ele´tricos e magne´ticos.
Este curso experimental tem um escopo um pouco mais restrito (pore´m na˜o menos inte-
ressante), tendo por objetivo o estudo de circuitos ele´tricos simples.
Ele aborda conceitos relacionados a` medic¸a˜o de grandezas ele´tricas e a` observac¸a˜o de
propriedades ba´sicas de alguns elementos simples usados em circuitos ele´tricos, tais como
resistores, capacitores e indutores, bem como as caracterı´sticas ba´sicas de circuitos resisti-
vos simples (circuitos RC, RL e RLC).
O que se espera ao final desse curso e´ que os estudantes sejam capazes de montar circui-
tos ele´tricos simples e realizar medidas sobre eles, e que tenham assimilado os principais
conceitos relacionados ao seu funcionamento, tanto do ponto de vista teo´rico, como do
ponto de vista experimental.
Este material faz parte de um amplo processo de reformulac¸a˜o das disciplinas ba´sicas
de Fı´sica Experimental, iniciado no final de 2012 pela Coordenadoria do Ciclo Ba´sico. Os
responsa´veis por este material sa˜o os professores Irina Nasteva e Kazu Akiba, a quem
correc¸o˜es e sugesto˜es devem ser enviadas, pelos enderec¸os kazu@if.ufrj.br e irina@if.ufrj.br.
PARTE I
EXPERIMENTOS – ROTEIROS
1
Introduc¸a˜o a`s medidas ele´tricas
1.1 Material
• Oscilosco´pio digital;
• Gerador de func¸o˜es.
1.2 Objetivos dessa aula
1. Familiarizac¸a˜o com instrumentos de medida;
2. Operac¸a˜o de fontes de tensa˜o;
3. Familiarizac¸a˜o com o gerador de sinais e oscilosco´pio;
4. Aprender como realizar uma medida de voltagem;
5. Aprender como realizar uma medida de tempo;
6. Explorar alguns recursos de medida do oscilosco´pio.
1.3 Introduc¸a˜o
Ao longo dessa disciplina utilizaremos diversos componentes eletroˆnicos, fontes de
tensa˜o constante, geradores de sinais que variam no tempo e o oscilosco´pio ou multı´metro
para medir as tenso˜es. Nesta aula teremos um breve guia pra´tico de como efetuar medidas
no laborato´rio.
Utilizaremos o gerador de sinais para gerar tenso˜es varia´veis com o tempo. O osci-
losco´pio digital e´ utilizado para observar e medir as tenso˜es como func¸a˜o do tempo.
1.4 Voltagem 5
1.4 Voltagem
A voltagem, tensa˜o ou diferenc¸a de potencial entre dois pontos, e´ o custo em energia, ou
seja, o trabalho necessa´rio para mover uma carga unita´ria de um ponto com um potencial
ele´trico mais baixo a outro de potencial ele´trico mais alto.
A voltagem entre dois pontos, portanto, e´ a diferenc¸a de potencial ele´trico que existe
entre esses pontos. Fica claro que so´ ha´ entido em definir voltagem entre dois pontos.
O trabalho realizado ao se mover uma carga de 1 coulomb atrave´s de uma diferenc¸a de
potencial de 1 volt e´ de 1 joule. A unidade de medida de diferenc¸a de potencial e´ o volt
representado por V, e frequentemente e´ expressa em mu´ltiplos, tais como o quilovolt (1
kV = 103 V), ou em submu´ltimplos, como o milivolt (1 mV = 10−3 V) e o microvolt (1 µV =
10−6 V).
1.4.1 A onda quadrada
Figura 1.1: Forma de onda quadrada com perı´odo T = 1 ms e amplitude V0 = 1 V.
A figura 1.1 mostra o gra´fico desta forma de onda, com o tempo no eixo horizontal e a
voltagem no eixo vertical. A primeira caracterı´stica que podemos observar e´ que se trata
de um sinal perio´dico, isto e´, um sinal que se repete apo´s um dado intervalo de tempo. A
segunda caracterı´stica e´ que a voltagem da onda oscila entre dois valores, simetricamente
dispostos em torno de seu valor me´dio Vmed = 0. Uma onda quadrada pode ser inteira-
mente definida por 2 paraˆmetros:
- o perı´odo T : e´ o intervalo de tempo necessa´rio para que a onda se repita. Sua unidade
SI e´ o segundo (s) e neste curso sera˜o comuns seus submu´ltiplos, como o milissegundo (1
ms = 10−3 s) e o microssegundo (1 µs = 10−6 s);
- a amplitude V0: e´ o valor ma´ximo de voltagem que a onda assume, medido em relac¸a˜o
ao valor Vmed = 0. Sua unidade SI e´ o Volt (V) e neste curso sera´ comum um de seus
submu´ltiplos, o milivolt (1 mV = 10−3 V).
Uma terceira grandeza, diretamente relacionada ao conceito de perı´odo, e´ a frequeˆncia
1.5 Gerador de sinais 6
f , o nu´mero de oscilac¸o˜es que ocorrem num dado intervalo de tempo. A partir desta
definic¸a˜o, e´ fa´cil perceber que a frequeˆncia e´ o inverso do perı´odo:
f =
1
T
. (1.1)
A unidade SI para a frequeˆncia e´ o hertz (Hz), definido como 1 Hz = 1 s−1.
Ale´m da amplitude V0, podemos tambe´m definir a tensa˜o pico-a-pico Vpp como sendo
a diferenc¸a (em mo´dulo) entre o valor ma´ximo e o valor mı´nimo de voltagem do sinal.
Como os patamares superior e inferior da onda quadrada esta˜o simetricamente dispostos
em torno do valor Vmed = 0 V, a tensa˜o pico-a-pico e´ o dobro da amplitude da onda:
Vpp = 2V0. (1.2)
Na figura 1.1, temos a representac¸a˜o gra´fica de uma onda quadrada com perı´odo T = 1
ms e amplitude V0 = 1 V. Alternativamente, esta onda pode ser descrita como possuindo
uma frequeˆncia f = 1 kHz e uma tensa˜o pico-a-pico Vpp = 2 V.
1.5 Gerador de sinais
O gerador de sinais, de ondas, ou de func¸o˜es, e´ um aparelho que gera voltagens Vg
varia´veis como func¸a˜o do tempo t, Vg(t). Nos aparelhos disponı´veis no laborato´rio, e´
possı´vel selecionar:
• A forma de sinal desejado: triangular, senoidal ou quadrada;
• A frequeˆncia de repetic¸a˜o do sinal;
• A amplitude do sinal;
• O nivel ao redor do qual o sinal oscila (tambe´m chamado de DC offset).
Diversos valores de frequeˆncias e amplitudes de voltagens podem ser ajustados. Em
muitos modelos existe um um visor digital que mostra o valor de frequeˆncia ajustado. A
figura 1.2 mostra uma imagem do painel frontal de um gerador de sinais tı´pico, semelhante
aos que utilizaremos no curso.
1.5.1 Operac¸a˜o ba´sica
Ao ligarmos o gerador de sinais devemos selecionar a forma de sinal desejado: quadrado,
senoidal ou triangular (boto˜es 3 na figura 1.2).
1.5 Gerador de sinais 7
Figura 1.2: Painel frontal de um gerador de sinais tı´pico.
Para ajustar a frequeˆncia devemos selecionar uma faixa de valores selecionando com o
bota˜o correspondente (boto˜es 2 na figura 1.2) e em seguida ajustar o valor da frequeˆncia e
amplitude.
A variac¸a˜o da amplitude do sinal de saı´da e´ feita atrave´s de outro bota˜o de ajuste, que
pode ser chamado “Output level” (bota˜o 4 na figura 1.2) ou “Amplitude”.
Para conectar o sinal produzido pelo gerador a um circuito ou a um instrumento de
medida utilizamos um cabo coaxial com um conector do tipo BNC.
1.5.2 Representac¸a˜o do gerador em um diagrama
Num circuito, representamos o gerador de func¸o˜es pelo sı´mbolo indicado na figura 1.3. O
sı´mbolo dentro do cı´rculo representa a forma de onda gerada. No exemplo da figura 1.3 a
forma de onda gerada e´ quadrada. GND na figura 1.3 representa o terra.
A fim de obter familiaridade com o gerador de func¸o˜es e o oscilosco´pio iremos conecta´-
los e a partir de exemplos de aplicac¸a˜o os efeitos dos va´rios controles nas saı´das das formas
de onda fornecidos pelo gerador de func¸o˜es e dos recursos de medic¸a˜o do oscilosco´piopodem ser observados.
Figura 1.3: Representac¸a˜o esquema´tica de um gerador de func¸o˜es num circuito ele´trico. Neste caso
o sinal gerado e´ uma onda quadrada.
1.6 Oscilosco´pio digital 8
1.6 Oscilosco´pio digital
O oscilosco´pio e´ um instrumento empregado para visualizar voltagens que variam com
o tempo, mostrando um gra´fico com a voltagem no eixo vertical e o tempo no eixo hori-
zontal. Ele e´ um instrumento de medida utilizado para a determinac¸a˜o de amplitudes e
frequeˆncias dos sinais de voltagem, bem como para comparac¸a˜o entre sinais diferentes.
A figura 1.4 mostra o esquema do painel frontal de um oscilosco´pio que usaremos como
exemplo. Este painel esta´ dividido em 4 a´reas importantes: a tela, os controles verticais
(voltagem), os controles horizontais (tempo) e o controles de “trigger” (gatilho).
Trigger 
Patamar 
de tensão 
do trigger 
Autoset 
Medidas Automáticas Cursores 
Seletor multiuso 
Ex: move os cursores 
Escala 
horizontal 
(tempo) 
 
Controle 
da posição 
horizontal 
do sinal 
 
Controle da 
posição vertical do sinal 
Entrada do canal 1: 
Cabo coaxial 
Botão seletor 
do canal 2 
Escala 
vertical 
(tensão) 
Figura 1.4: Painel frontal do oscilosco´pio mostrando as principais a´reas funcionais.
1.6.1 Tela do oscilosco´pio
Ale´m de exibir as formas de onda, a tela apresenta muitas informac¸o˜es sobre os sinais ob-
servados e sobre as configurac¸o˜es de controle do oscilosco´pio. Os oscilosco´pios utilizados
neste curso possuem 2 canais de entrada, o que significa que ate´ 2 sinais ele´tricos indepen-
dentes podem ser visualizados ao mesmo tempo. Uma imagem tı´pica observada na tela
do oscilosco´pio esta´ representada na figura 1.5.
A tela do oscilosco´pio e´ dividida num conjunto de retı´culos chamados de gratı´cula,
utilizados para fazer medidas sobre a forma de onda. Ao longo do eixo vertical ela e´ nor-
malmente composta por 8 ou 10 diviso˜es, enquanto ao longo do eixo horizontal podemos
ver 10 diviso˜es; nos dois eixos as diviso˜es possuem 5 subdiviso˜es, ou seja representando
20% de uma gratı´cula.
1.6 Oscilosco´pio digital 9
 
Figura 1.5: Imagem tı´pica da tela de um oscilosco´pio.
1.6.2 Operac¸a˜o ba´sica do oscilosco´pio
Ao conectarmos um sinal perio´dico qualquer numa das entradas do oscilosco´pio, sua tela
passara´ a mostrar um gra´fico da voltagem do sinal em func¸a˜o do tempo. Os controles ver-
ticais permitem alterar a maneira como o sinal e´ mostrado na tela: ele pode ser ampliado
ou diminuı´do, ajustando-se a escala. Os controles horizontais definem o perı´odo de tempo
medido pelo oscilosco´pio, que deve ser ajustado conforme a medida a ser realizada.
O oscilosco´pio sincroniza sinais perio´dicos na tela atrave´s do conceito de trigger. O
trigger determina o inı´cio de uma varredura (perı´odo de tempo medido) quando o sinal
medido cruza um nı´vel de voltagem ajustado pelo usua´rio. Desse modo sinais perio´dicos
parecem “parados” na tela, pois os sinais sa˜o continuamente redesenhados a partir do
mesmo instante de refereˆncia.
Caso o nı´vel de trigger esteja mal ajustado, pode ocorrer que a tela mostre va´rias ondas
simultaˆneas (que ficam “correndo” pela tela do oscilosco´pio, impedindo qualquer tipo de
medida) ou que nenhuma forma de onda seja mostrada.
1.6.2.1 Controles verticais
A Figura 1.6 mostra os boto˜es disponı´veis para o controle da escala vertical. Os controles
verticais permitem habilitar ou desabilitar a apresentac¸a˜o das formas de onda na tela e
1.6 Oscilosco´pio digital 10
ajustar a escala e a posic¸a˜o verticais. A forma de onda do sinal conectado ao canal 1 e´
representada pela cor amarela e azul para o canal 2.
Figura 1.6: Comandos disponı´veis para controle da escala vertical.
- bota˜o de escala: seleciona fatores de escala de voltagem e assim amplia ou reduz a re-
presentac¸a˜o do sinal de entrada do canal. Ao girar o bota˜o o valor em Volts representado
por cada divisa˜o vertical, a escala, aumenta ou diminui sendo mostrada na parte inferior
da tela do oscilosco´pio (figura 1.5).
- bota˜o de posic¸a˜o: determina em nı´vel horizontal sera´ desenhada a posic¸a˜o de 0 V da
forma de onda. Ao girar o bota˜o para a direita ou esquerda a forma de onda e´ deslocada
para cima ou para baixo, uma vez que a posic¸a˜o do zero volts e´ alterada. Cada canal pos-
sui um indicador na tela do oscilosco´pio mostrando a posic¸a˜o de seu 0 V (seta na lateral
esquerda da tela, figura 1.5). Atenc¸a˜o, pois se voceˆ deslocar excessivamente a forma de
onda ela pode sair da tela do oscilosco´pio.
- boto˜es “1” e “2” (Menu): a func¸a˜o primordial destes boto˜es e´ habilitar ou desabilitar a
exibic¸a˜o do respectivo canal (ha´ um menu para cada canal). Quando apertado, se a forma
de onda esta´ sendo exibida ela desaparece da tela.
- opc¸o˜es do Menu de canal:
i. Acoplamento: cada canal pode ter 3 tipos de acoplamento: GND, CC e AC.
• CC (corrente contı´nua) - o sinal e´ mostrado sem nenhum processamento, com todos
os componentes AC (dependentes do tempo) e DC (constantes no tempo).
• CA (corrente alternada) - o sinal e´ submetido a um filtro, que corta as frequeˆncias
1.6 Oscilosco´pio digital 11
inferiores a 10 Hz; como resultado os componentes DC do sinal sa˜o eliminados e na˜o
sa˜o mostrados na tela do oscilosco´pio.
• GND - o sinal de entrada e´ desconectado, e um sinal de voltagem de refereˆncia (terra)
e´ aplicado; o oscilosco´pio exibe uma linha horizontal (voltagem constante de 0 V).
ii. Limite da Largura de Banda: deve estar normalmente desligado.
iii. Ganho varia´vel: se a opc¸a˜o “Grosso” estiver selecionada, ao girar o bota˜o de escala
so´ podemos selecionar as escalas 5 V, 2 V, 1 V, 500 mV, 200 mV, 100 mV, 50 mV, 20 mV, 10
mV, 5 mV e 2 mV. Na opc¸a˜o “Fino”, e´ possı´vel selecionar escalas intermedia´rias, como 1.02
V, 1.04 V, etc.
iv. Sonda: aplica um fator multiplicativo a` voltagem do sinal de entrada. Pode ser
utilizado quando se deseja medir um sinal muito baixo, e e´ preciso estar atento com as
configurac¸o˜es automa´ticas (como aquelas obtidas usando o bota˜o “Autoset”), ja´ que todos
os valores de voltagem medidos estara˜o multiplicados pelo fator escolhido; neste curso
devemos usar sempre a opc¸a˜o “1X Voltagem”.
v. Inverter: quando esta´ ligada a forma de onda e´ invertida em relac¸a˜o ao nı´vel de V =
0 V.
1.6.2.2 Controles de “Trigger” ou de gatilho
O sistema de gatilho (“trigger”) determina a condic¸a˜o para que o oscilosco´pio inicie a var-
redura para exibir uma forma de onda. O objetivo e´ que cada vez que a forma de onda for
desenhada na tela do oscilosco´pio, ela o seja da mesma maneira, de modo que as sucessi-
vas formas de ondas mostradas na tela aparec¸am como uma imagem parada. Para fazer
este sincronismo, utilizamos um sinal ele´trico (chamado de sinal de “trigger”), que e´ con-
tinuamente monitorado pelo oscilosco´pio: ao finalizar a exibic¸a˜o de uma forma de onda,
a varredura so´ e´ reiniciada quando este sinal atinge um certo valor; cada vez que a varre-
dura terminar, ela so´ sera´ reiniciada quando o sinal de“trigger” atingir este mesmo valor.
Desta maneira, cada varredura desenhara´ sempre o mesmo gra´fico e a forma de onda
aparecera´ “parada” na tela. Se quisermos observar um sinal perio´dico no oscilosco´pio, a
escolha natural para o sinal de “trigger” e´ o pro´prio sinal que queremos observar. Sempre
que desejarmos observar um ou mais sinais no oscilosco´pio, e´ preciso escolher um sinal
de “trigger” adequado para disparar a varredura; normalmente sera´ um dos dois sinais de
entrada (canal 1 ou 2).
- bota˜o de nı´vel: este e´ o bota´o que define o nı´vel do “trigger”, isto e´, o valor do sinal de
“trigger” que uma vez atingido inicia a varredura. Este valor e´ mostrado no canto inferior
direito da tela e e´ tambe´m indicado por uma seta na lateral direita (figura 1.5). Se utiliza-mos uma onda quadrada como sinal de “trigger”, o nı´vel deve estar ajustado de maneira
que fique contido entre os patamares superior e inferior da onda, como mostrado na fi-
gura 1.5. Caso o nı´vel do “trigger” esteja ajustado acima do patamar superior ou abaixo
1.6 Oscilosco´pio digital 12
Figura 1.7: Comandos disponı´veis para controle de “trigger”.
do patamar inferior da onda quadrada, a aquisic¸a˜o ocorrera´ de maneira automa´tica (com
as formas de onda rolando na tela) ou simplesmente na˜o ocorrera´.
- bota˜o do menu de “trigger”: ao apertar este bota˜o as opc¸o˜es do menu do “trigger”
sa˜o exibidas na lateral direita da tela. Sa˜o elas:
i. Tipo: deve ser sempre “Borda”;
ii. Origem: define qual o sinal que sera´ utilizado como “trigger”; sera´ o canal 1 (“CH1”)
ou o canal 2 (“CH2”). Mesmo quando este menu esta´ desabilitado, o sinal utilizado como
“trigger” e´ indicado no canto inferior direito da tela (figura 1.5).
iii. Inclinac¸a˜o: digamos que escolhemos uma onda quadrada de amplitude V0 = 1 V
como sinal de “trigger” e colocamos o nı´vel do “trigger” exatamente na “metade” da onda
quadrada, em 0 V. Ora, num perı´odo uma onda quadrada passa pelo zero 2 vezes, quando
passa do patamar inferior para o superior e quando passa do superior para o inferior, o que
resultaria num disparo do “trigger” a cada meio-perı´odo. O ajuste de inclinac¸a˜o define se
o “trigger” ocorre quando o nı´vel e´ atingido na subida ou na descida. A opc¸a˜o selecionada
tambe´m e´ indicada no canto inferior direito da tela (figura 1.5).
iv. Modo: no modo automa´tico, ao fim de cada varredura o oscilosco´pio espera por
um certo intervalo de tempo (chamado de tempo de espera ou “holdoff”); ao fim deste
perı´odo, mesmo que a condic¸a˜o de “trigger” na˜o tenha sido satisfeita a varredura sera´
reiniciada. Neste modo, mesmo que o “trigger” esteja mal ajustado, sempre havera´ uma
forma de onda sendo exibida (e´ claro que no caso do “trigger” mal ajustado as formas de
onda estara˜o “correndo” pela tela...). No modo normal, a varredura so´ e´ reiniciada quando
a condic¸a˜o de “trigger” for detetada; enquanto isso na˜o ocorrer, nenhuma forma de onda
sera´ exibida (a tela exibira´ somente a u´ltima forma de onda adquirida).
1.6 Oscilosco´pio digital 13
v. Acoplamento: permite filtrar o sinal que sera´ transmitido ao circuito de “trigger”. O
acoplamento CC na˜o realiza nenhuma filtragem e deve ser utilizado sempre que possı´vel.
As opc¸o˜es CA, Rej. de Ruı´do e Rej. AF podem ser utilizadas caso o ajuste do “trigger” na˜o
consiga resultar na exibic¸a˜o de formas de onda esta´veis.
- bota˜o “Set To 50%”: o oscilosco´pio ajusta automaticamente o nı´vel do “trigger” para
a metade entre os nı´veis ma´ximo e mı´nimo do sinal utilizado como “trigger”.
- bota˜o “Force Trig”: caso o sistema esteja aguardando um “trigger” (como no modo
“Normal”) faz a aquisic¸a˜o do sinal, independente de um sinal de “trigger” ter sido rece-
bido.
- bota˜o “Trig View”: enquanto pressionado, exibe o nı´vel do “trigger” como uma linha
tracejada e o sinal utilizado para o “trigger” como uma forma de onda na cor azul escuro.
1.6.2.3 Controles horizontais
A figura 1.8 mostra os boto˜es disponı´veis para o controle da escala horizontal. Mesmo
quando 2 formas de onda esta˜o sendo exibidas, a escala horizontal (base de tempo) e´ a
mesma para ambas; na˜o e´ possı´vel usar bases de tempo independentes para cada uma
delas. Os controles horizontais permitem ajustar a escala e a posic¸a˜o horizontais, escolher
qual parte da tela sera´ exibida e definir o tempo de espera do “trigger”.
Figura 1.8: Comandos disponı´veis para controle da escala horizontal.
- bota˜o de escala: similar aos boto˜es de escala do controle vertical, este bota˜o seleciona
fatores de escala horizontais. Desta forma podemos mostrar na tela um intervalo mais
longo ou mais curto da evoluc¸a˜o temporal do sinal medido: a forma de onda se “contraira´”
1.6 Oscilosco´pio digital 14
ou se “expandira´” em torno da posic¸a˜o do “trigger” (ver abaixo). Ao girar o bota˜o para a
esquerda ou direita, veremos que o fundo de escala (o valor em segundos representado por
cada divisa˜o horizontal da gratı´cula) aumenta ou diminui gradativamente, ate´ os valores
ma´ximo e mı´nimo possı´veis. A escala de tempo selecionada aparece na parte inferior da
tela (figura 1.5). O fundo de escala horizontal e´ tambe´m conhecido como base de tempo
ou velocidade de varredura.
- bota˜o de posic¸a˜o: este bota˜o seleciona a posic¸a˜o horizontal a partir de onde a forma
de onda sera´ desenhada, ou seja, onde sera´ o inı´cio da contagem do tempo. Tem funciona-
mento bastante intuitivo: quando girado para a direita a forma de onda e´ deslocada para
direita, e quando girado para a esquerda a forma de onda e´ deslocada para a esquerda. A
posic¸a˜o do “trigger” e´ indicada por uma pequena seta vertical no topo da tela e seu valor e´
mostrado tambe´m acima da tela (figura 1.5): um valor positivo indica que o “trigger” esta´
a` esquerda do centro da tela, enquanto um valor negativo indica que ele esta´ a` direita.
- bota˜o de menu horizontal: ao apertar este bota˜o as opc¸o˜es do menu horizontal sa˜o
exibidas na lateral direita da tela.
- bota˜o “Set to Zero”: faz com que a posic¸a˜o horizontal do “trigger” volte ao centro da
tela.
1.6.3 Representac¸a˜o do oscilosco´pio em um diagrama
Num circuito, representamos o oscilosco´pio pelo sı´mbolo indicado na figura 1.9. Ao contra´rio
das medidas de voltagem realizadas com um multı´metro, em que podemos fazer medidas
entre quaisquer dois pontos do circuito, os oscilosco´pios sempre realizam medidas entre
um ponto e o terra do circuito (que deve estar no mesmo potencial que o terra da rede
ele´trica).
Figura 1.9: Representac¸a˜o esquema´tica de um oscilosco´pio num circuito ele´trico. As setas indicam
onde devem ser conectados os sinais dos canais CH1 e CH2.
Como exemplo de uso do oscilosco´pio para medidas de amplitudes e perı´odos de sinais
perio´dicos no tempo, considere que o mostrador do oscilosco´pio seja aquele apresentado
na figura 1.10, e que tenham sido utilizadas a escala vertical 1 DIV = 5 V e a escala horizon-
tal 1 DIV = 1ms. Vemos que a forma de onda e´ senoidal. Para determinarmos o perı´odo
e a amplitude dessa forma de onda, utilizamos o reticulado da tela do oscilosco´pio como
1.7 Procedimentos Experimentais 15
re´gua. Observe que cada retı´culo, ou seja, cada DIV esta´ subdivido em 5 diviso˜es menores.
Assim temos para este caso que a amplitude V0 = (1, 7 ± 0,1) DIV, ou seja, V0 = (8,5 ± 0,5)
V. Tambe´m temos que o perı´odo T = (5,1 ± 0,1) DIV, ou seja, T = (5,1 ± 0,1) ms.
Figura 1.10: Exemplo de sinal na tela do oscilosco´pio que e´ discutido no texto.
1.7 Procedimentos Experimentais
Esta sec¸a˜o apresenta uma se´rie de exemplos de aplicac¸o˜es. Esses exemplos simplifica-
dos destacam alguns dos recursos do oscilosco´pio e do gerador de sinais e da˜o ide´ias de
como usa´-los para solucionar seus pro´prios problemas de testes e medidas.
1.7.1 Procedimento I: selec¸a˜o dos paraˆmetros da forma de onda no gera-
dor de func¸o˜es e medida de amplitude
1. Monte o circuito da figura 1.11. Observe que esse circuito corresponde a escolher a
forma de onda quadrada e a ligar diretamente a saı´da do gerador de sinais ao canal
CH1. Este sera´ o circuito utilizado para todos os procedimentos experimentais desta
aula.
2. Ligue o gerador de sinais e selecione a forma de onda quadrada atrave´s do bota˜o
correspondente.
3. Ajuste a frequeˆncia do gerador para 1 kHz. Para tanto voceˆ deve selecionar o bota˜o
de faixa de frequeˆncia para “1K” ou “10K” e em seguida ajustar o valor desejado de
frequeˆncia. Se o gerador de sinais utilizado for equipado com um frequencı´metro
e um visor, utilize-o para fazer o ajuste inicial da frequeˆncia, mas sempre utilize a
leitura de frequeˆncia feita pelo oscilosco´pio para fazero ajuste fino do valor desejado.
Se o gerador na˜o possuir um visor, ajuste a frequeˆncia diretamente a partir da leitura
de seu valor na tela do oscilosco´pio.
4. Ajuste a amplitude do sinal de saı´da para que seu valor esteja pro´ximo de 4 V, ob-
servando a forma de onda na tela do oscilosco´pio. Utilize os controles verticais de
1.7 Procedimentos Experimentais 16
Figura 1.11: Circuito a ser montado com um gerador de sinais e um oscilosco´pio.
posic¸a˜o e escala do canal 1 para exibir os patamares superior e inferior da onda qua-
drada na tela. Utilizando a rede de gratı´culas, mec¸a a amplitude da onda quadrada.
Indique tambe´m a escala vertical utilizada.
1.7.2 Procedimento II: ajuste automa´tico e controle de “trigger”
O bota˜o Auto Set e´ bastante u´til quando se deseja visualizar rapidamente uma dada forma
de onda no oscilosco´pio. O oscilosco´pio identifica a forma de onda e ajusta seus controles
para garantir uma exibic¸a˜o u´til do(s) sinal (sinais) de entrada.
1. Pressione o bota˜o “Auto Set” e espere ate´ que a forma de onda esteja esta´vel na tela.
2. Pressione o bota˜o que habilita a exibic¸a˜o do menu do canal 1 na tela, e anote as opc¸o˜es
selecionadas para o canal 1; descreva o queˆ cada uma delas significa.
3. Pressione o bota˜o que habilita a exibic¸a˜o do Menu de “trigger”. A indicac¸a˜o do nı´vel
de “trigger” estara´ ajustada aproximadamente no valor me´dio da forma de onda do
canal 1. Com o bota˜o de nı´vel, aumente o nı´vel do “trigger” ate´ ele ficar acima do
patamar superior da onda quadrada. O que ocorre? Explique.
Retorne o nı´vel do “trigger” ate´ o valor me´dio da forma de onda para prosseguir
com as medidas.
4. Anote a escala vertical da voltagem e a base de tempo selecionadas automaticamente.
1.7.3 Procedimento III : execuc¸a˜o de medidas com diferentes escalas
Com o ajuste automa´tico, o oscilosco´pio define automaticamente as escalas vertical e hori-
zontal. Se voceˆ deseja alterar ou otimizar a exibic¸a˜o da forma de onda, ajuste manualmente
esses controles.
1.7 Procedimentos Experimentais 17
Utilize as escalas de voltagem de 1 V e 5 V por divisa˜o e fac¸a a leitura das amplitu-
des. Apresente os valores na tabela 1. Estas medidas devem ser feitas pelo sistema de
gratı´culas, atrave´s da leitura do nu´mero de diviso˜es e posterior multiplicac¸a˜o pelo valor
da escala. Neste caso, as incertezas das medidas feitas sera˜o calculadas como metade da
menor divisa˜o das gratı´culas, o que na pra´tica corresponde a 10% do valor da escala.
Tabela 1
Escala vertical V0 ± σV (V) σV/V
1,0 V/DIV
5,0 V/DIV
Altere as escalas de tempo para 0,1 ms e 0,5 ms por divisa˜o e apresente os valores do
perı´odo e da frequeˆncia na tabela 2. Novamente as medidas devem ser feitas pelo sistema
das gratı´culas, e as incertezas sera˜o metade da menor divisa˜o, ou seja, 10% do valor da
escala.
Tabela 2
Escala horizontal T ± σT (ms) σT/T
0,1 ms/DIV
0,5 ms/DIV
Quais escalas de voltagem e de tempo proporcionam uma medida com menor incerteza
relativa?
1.7.4 Procedimento IV: utilizando o menu de medidas
Uma alternativa a` medida “visual”, pelo sistema de gratı´culas, e´ configurar o oscilosco´pio
para fazer medic¸o˜es automa´ticas. Ha´ va´rios tipos disponı´veis de medic¸o˜es, tanto de volta-
gens quanto de tempo, como perı´odo, frequeˆncia, tensa˜o pico-a-pico, amplitude, etc..
Pressionando o bota˜o do menu de medidas automa´ticas, “Measure”, voceˆ podera´ esco-
lher em qual sinal sera´ feita a medida, se no do canal 1 ou no do canal 2, e que tipo de
1.7 Procedimentos Experimentais 18
medida sera´ realizada. Tambe´m e´ possı´vel realizar medidas na forma de onda resultante
de operac¸o˜es matema´ticas que tenham sido feitas entre as ondas dos canais 1 e 2.
E´ importante notar que as medidas sa˜o realizadas na forma de onda que aparece na
tela. Assim sendo, para medidas da estrutura temporal do sinal, e´ preciso que ao menos
um perı´odo da onda esteja sendo mostrado. Para medidas de voltagem, os limites inferior
e superior da forma de onda devem estar visı´veis, e para medidas de valores me´dios de
voltagem, e´ preciso ajustar na tela do oscilosco´pio mu´ltiplos inteiros de um comprimento
de onda.
NOTA: se aparecer um ponto de interrogac¸a˜o (?) na leitura de valor, o sinal estara´
fora da faixa de medic¸a˜o. Ajuste a escala vertical do canal adequado para ou altere a
configurac¸a˜o da escala horizontal, ate´ que o ponto de interrogac¸a˜o deixe de ser mostrado
ao lado do valor medido.
Mec¸a a frequeˆncia, o perı´odo, a voltagem pico-a-pico, o tempo de subida e a largura
positiva do sinal quadrado inicial e complete a tabela 3 com valores medidos.
Tabela 3
Grandeza Valor ± σ
f
T
V0
Vpp
Lpos
1.7.5 Procedimento V: usando os cursores
Os cursores sa˜o pares de linhas que podem ser exibidos na tela para facilitar a medic¸a˜o de
grandezas de voltagem (cursores horizontais) ou de tempo (cursores verticais). A figura
1.12 representa os cursores de amplitude e de tempo.
Como exemplo de aplicac¸a˜o dos cursores, vamos medir o meio perı´odo da onda trian-
gular.
1.7 Procedimentos Experimentais 19
Figura 1.12: cursores do tipo “Amplitude” (a` esquerda) e do tipo “Tempo” (a` direita).
Figura 1.13: Figura que deve ser observada para medida do meio perı´odo de oscilac¸a˜o.
1. Selecione a onda triangular no gerador de func¸o˜es e ajuste a frequeˆncia para cerca de
1400 Hz. Ajuste a escala de tempo ate´ poder observar a onda como na figura 1.13).
Ajuste a amplitude da onda para um valor que seja observa´vel no oscilosco´pio.
2. Pressione o bota˜o “Cursor” do oscilosco´pio. Utilizando os boto˜es aoi lado da tela
selecione a opc¸a˜o “Tempo”. Note que barras verticais, como na figura 1.13 aparecem
na tela.
3. Para mover os cursores e´ necessa´rio selecionar um deles de cada vez. Isso e´ feito
atrave´s dos boto˜es ao lado direito da tela. Use o bota˜o girato´rio seletor “multi-uso”
(acima e a` direita da tela), para mover cada um dos cursores. Note que o tempo
medido por cada cursor e´ referente ao instante de trigger.
4. Mec¸a o tempo de subida da voltagem. Para isto posicione o cursor 1 em um vale da
oscilac¸a˜o, e posicione o cursor 2 no pico seguinte da oscilac¸a˜o (como na figura 1.13).
A leitura da diferenc¸a de tempo da leitura de cada cursor, ∆t, dara´ meio perı´odo,
enquanto a leitura de 1/∆t dara´ o valor correspondente ao dobro da frequeˆncia desta
onda triangular. Anote os valores e preencha a Tabela 4. Note que a incerteza dos
valores medidos e´ relativa a` escolha feita ao posicionar os cursores, ou seja, pelo
usua´rio. Estime a incerteza usando posic¸o˜es do cursor que ainda sa˜o compatı´veis
com a as medidas de vale e pico da onda.
1.7 Procedimentos Experimentais 20
Tabela 4
Tipo Tempo - frequeˆncia de oscilac¸a˜o
Cursor 1 Cursor 2 ∆t 1/∆t
5. Selecione agora o tipo “Amplitude” para os cusores. Aparecem duas linhas horizon-
tais na tela.
6. Mec¸a a amplitude pico-a-pico (Vpp) da onda triangular posicionando o cursor 1 no
topo de um pico e o cursor 2 em um dos vales da onda. Agora no menu “Curso-
res” fac¸a a leitura da grandeza ∆V, a diferenc¸a de voltagem entre as duas linhas dos
cursores.
7. Anote todos este valores e preencha a Tabela 5. Na˜o esquec¸a de estimar as incertezas
como na medida anterior.
Tabela 5
Tipo Amplitude - amplitude dos picos da oscilac¸a˜o
Cursor 1 Cursor 2 ∆V
1.7.6 Procedimento VI: observac¸a˜o de 2 formas de onda simultaneamente
Como mencionado anteriormente, os oscilosco´pios disponı´veis no laborato´rio teˆm a a ca-
pacidade de mostrar simultaneamente 2 formas de ondas independentes. Vamos utilizar
essa capacidade para observar 2 formas de onda produzidas pelo gerador de ondas.
1. Conecte com um cabo coaxial a saı´da principal do gerador de func¸o˜es (pode estar
identificada como “Output” ou “Main”, dependendo domodelo utilizado) ao canal
2 do oscilosco´pio.
2. Conecte com um outro cabo coaxial a saı´da auxiliar do gerador de func¸o˜es (pode
estar identificada como “TTL/CMOS” ou “Sync”, dependendo do modelo utilizado)
ao canal 1 do oscilosco´pio.
3. Selecione uma forma de onda senoidal, e ajuste a frequeˆncia e a amplitude do sinal
para 1 kHz e 4 V, respectivamente.
1.7 Procedimentos Experimentais 21
4. Caso as 2 formas de onda na˜o estejam aparecendo na tela do oscilosco´pio, use o
ajuste automa´tico (bota˜o “Autoset”). O aluno deve ver 2 formas de onda diferen-
tes, cada uma mostrada com uma cor. Selecione uma base de tempo que permita a
visualizac¸a˜o de ao menos um perı´odo completo da onda quadrada.
5. Pressione o bota˜o que habilita a exibic¸a˜o do Menu de “trigger”. No lado esquerdo
da tela, veja qual sinal esta´ sendo utilizado como “trigger” (e´ a opc¸a˜o “Origem”).
Selecione o sinal do canal 1 como o sinal do “trigger” (caso esta opc¸a˜o ja´ na˜o esteja
selecionada). Note que a seta que indica o nı´vel do “trigger” na tela tem a cor do
sinal selecionado como origem.
6. Varie o valor do nı´vel do “trigger”, sem no entanto leva´-lo acima (abaixo) do pata-
mar superior (inferior) da onda quadrada. As formas de onda se deslocam horizon-
talmente na tela?
7. Selecione agora o sinal do canal 2 como o sinal do “trigger”. Novamente varie o
valor do nı´vel do “trigger”, sem no entanto leva´-lo acima (abaixo) do valor ma´ximo
(mı´nimo) da onda senoidal. Desta vez as formas de onda se deslocam horizontal-
mente na tela? Explique.
1.7.7 Procedimento VII: adicionando valores constantes aos sinais
Os geradores de func¸e˜s permitem que se some um valor constante (“offset”) a`s formas de
onda produzidas. Normalmente o operador pode escolher o valor deste “offset”.
1. Mantendo o mesmo arranjo do procedimento anterior, selecione uma forma de onda
quadrada e, no oscilosco´pio, desabilite a exibic¸a˜o do canal 1.
2. Aperte o bota˜o “DC Offset” e varie o valor somado ao sinal perio´dico com o bota˜o gi-
rato´rio “DC Offset”; dependendo do modelo do gerador, voceˆ devera´ puxar o bota˜o
“DC Offset’ e enta˜o gira´-lo. Ajuste o valor do “offset” de maneira que o patamar
inferior da onda quadrada esteja sobre a linha de 0 V.
3. Agora habilite a exibic¸a˜o do menu do canal 2 e, na opc¸a˜o “Acoplamento”, selecione
a opc¸a˜o “CA”. O queˆ ocorre com a forma de onda? Explique.
2
Noc¸o˜es ba´sicas de circuitos ele´tricos e Lei de Ohm
2.1 Material
• resistores de 10 kΩ e 2,2 kΩ.
2.2 Introduc¸a˜o
Ale´m da voltagem, frequentemente e´ necessa´rio medir a corrente ele´trica para com-
pletamente caracterizer os dispositivos eletronicos. Assim como a voltagem, a corrente
tambe´m pode ser constante ou variar no tempo. A relac¸a˜o de proporcionalidade entre
voltagem e corrente e´ denominada de resisteˆncia. Essas quantidades sa˜o definidas mais
claramente nas pro´ximas sec¸o˜es.
2.3 Corrente ele´trica
Usualmente identificada pelo sı´mbolo i, a corrente e´ o fluxo de carga ele´trica que passa
por um determinado ponto. A unidade de medida de corrente e´ o ampe`re (1 A = 1 cou-
lomb/segundo). O ampe`re, em geral, e´ uma unidade muito grande para as aplicac¸o˜es do
dia-a-dia. Por isso, as correntes sa˜o geralmente expressas em mili-ampe`res (1 mA = 10−3
A), micro-ampe`res (1 µA = 10−6 A) ou nano-ampe`res (1 nA = 10−9 A). Por convenc¸a˜o, os
portadores de corrente ele´trica sa˜o cargas positivas que fluem de potenciais mais altos para
os mais baixos (embora o fluxo de ele´trons real seja no sentido contra´rio).
2.4 Resisteˆncia
Para que haja fluxo de cargas ele´tricas sa˜o necessa´rios dois ingredientes ba´sicos: uma
diferenc¸a de potencial e um meio por onde as cargas ele´tricas possam circular. Para uma
dada voltagem, o fluxo de cargas dependera´ da resisteˆncia do meio por onde essas car-
2.4 Resisteˆncia 23
gas devera˜o passar. Quanto maior a resisteˆncia, menor o fluxo de cargas para uma dada
diferenc¸a de potencial.
Os materiais sa˜o classificados, em relac¸a˜o a` passagem de corrente ele´trica, em treˆs cate-
gorias ba´sicas: os isolantes, que sa˜o aqueles que oferecem alta resisteˆncia a` passagem de
cargas ele´tricas; os condutores, que na˜o oferecem quase nenhuma resisteˆncia a` passagem
de corrente ele´trica; e os semicondutores que se situam entre os dois extremos menciona-
dos anteriormente.
Usamos a letraR para indicar a resisteˆncia de um material, e a unidade de medida desta
grandeza e´ o ohm (Ω). O sı´mbolo para indicar uma resisteˆncia em um circuito ele´trico e´
mostrado na figura 2.1.
R
A B
Figura 2.1: Representac¸a˜o esquema´tica de um resistor colocado entre os pontos A e B de um dado
circuito.
As diferenc¸as de potencial sa˜o produzidas por geradores, que sa˜o dispositivos que re-
alizam trabalho de algum tipo sobre as cargas ele´tricas, levando-as de um potencial mais
baixo para outro mais alto. Isso e´ o que ocorre em dispositivos como baterias (energia
eletroquı´mica), geradores de usinas hidrele´tricas (energia potencial da a´gua armazenada
na represa), ce´lulas solares (conversa˜o fotovoltaica da energia dos fo´tons da luz incidente),
etc. A resisteˆncia de um material condutor e´ definida pela raza˜o entre a voltagem V apli-
cada aos seus terminais e a corrente i passando por ele:
R =
V
i
. (2.1)
A equac¸a˜o 2.1 e´ uma das representac¸o˜es da Lei de Ohm, e sera´ muito utilizada nesta
disciplina. Atrave´s dela vemos que no SI a unidade de resisteˆncia e´ definida por 1 Ω = 1
V/A.
Na montagem de circuitos ele´tricos e eletroˆnicos dois tipos de associac¸o˜es de elementos
sa˜o muito comuns: associac¸o˜es em se´rie e em paralelo.
2.4.1 Associac¸a˜o de resistores em se´rie
Elementos de um circuito ele´trico (como por exemplo resistores) sa˜o ditos ligados em se´rie
se conduzem a mesma corrente.
Na figura 2.2 mostramos uma associac¸a˜o em se´rie dos resistores R1 e R2. Num circuito
2.4 Resisteˆncia 24
ele´trico os dois resistores ligados em se´rie teˆm o mesmo efeito de um resistor equivalente
de resisteˆncia Rs.
Na associac¸a˜o em se´rie de resistores, a corrente i1 passando por R1 e a corrente i2 por
R2 sa˜o a mesma corrente i passando pela associac¸a˜o:
i = i1 = i2. (2.2)
As voltagens no resistor R1, V1 = VAB, e no resistor R2, V2 = VBC, somadas sa˜o iguais a`
voltagem da associac¸a˜o VAC:
VAC = VAB + VBC = V1 + V2. (2.3)
Para a associac¸a˜o em se´rie de resistores temos enta˜o:
R = R1 +R2. (2.4)
R1
A B
R2
C
Rs
A C
a)
b)
Figura 2.2: a) Associac¸a˜o em se´rie de resistores. b) Resistor equivalente.
2.4.2 Associac¸a˜o de resistores em paralelo
Elementos de um circuito ele´trico sa˜o ditos ligados em paralelo, se esta˜o ligados entre o
mesmo par de no´s, e portanto teˆm a mesma tensa˜o em seus terminais.
Na figura 2.3 mostramos uma associac¸a˜o em paralelo dos resistores R1 e R2. Num cir-
cuito ele´trico os dois resistores ligados em paralelo teˆm o mesmo efeito de um resistor
equivalente de resisteˆncia Rp. Na associac¸a˜o em paralelo de resistores, soma da corrente i1
passando por R1 e da corrente i2 por R2 e´ a corrente total i passando pela associac¸a˜o:
i = i1 + i2. (2.5)
As voltagens nos resistores R1, V1, e R2, V2, sa˜o a mesma voltagem da associac¸a˜o VAB:
VAB = V1 = V2. (2.6)
2.5 Leis de Kirchhoff 25
Para a associac¸a˜o em paralelo de resistores, a resisteˆncia equivalente Rp sera´:
1
Rp
=
1
R1
+
1
R2
. (2.7)
R1
A
B
R2 Rp
A
C
a) b)
Figura 2.3: a) Associac¸a˜o em paralelo de resistores. b) Resistor equivalente.
2.5 Leis de Kirchhoff
Para enunciar as leis de Kirchhoff para circuitos e´ necessa´rio darmos algumas definic¸o˜es
da teoria de circuitos:
• Elemento de circuito – um componente que tem dois terminais e pode ser descrito em
termos de tensa˜o e corrente. Ha´ cinco elementos ba´sicos ideaisde circuitos: resistor,
capacitor, indutor, fonte de tensa˜o, e fonte de corrente.
• Circuito – a ligac¸a˜o entre elementos de circuitos, de modo que formem pelo menos
um caminho fechado para a corrente fluir.
• No´ – o ponto em qual dois ou mais elementos se unem.
• Ramo – um caminho entre dois no´s consecutivos. Segmentos de condutor na˜o con-
tam como elementos ou ramos.
• Lac¸o (loop) – um caminho fechado simples num circuito passando somente uma vez
em cada no´ e voltando ao no´ de partida.
• Malha (mesh) – um lac¸o que na˜o conte´m nenhum outro lac¸o dentro.
2.5.1 Lei das correntes de Kirchhoff
A primeira lei de Kirchhoff, ou lei das correntes (LCK), afirma que a soma alge´brica de
todas as correntes em qualquer no´ de um circuito e´ igual a zero: isaı´da + ientrada = 0.
2.5 Leis de Kirchhoff 26
Essa lei pode ser entendida como uma lei de conservac¸a˜o das cargas, ou que na˜o ha´
acu´mulo de carga numa junc¸a˜o e cargas na˜o sa˜o perdidas nem criadas: a carga total en-
trando num no´ e´ exatamente igual a` carga deixando o no´.
Vamos ilustrar a LCK usando o exemplo de no´ mostrado na Fig. 2.4 a). Aqui, definimos
o sentido de refereˆncia para a corrente da seguinte maneira: a`s correntes que entram no no´
(i1, i3 e i5) sa˜o atribuı´dos sinais alge´bricos positivos e a`s correntes que saem do no´ (i2 e i4)
sa˜o atribuı´dos sinais negativos. Logo,
i1 − i2 + i3 − i4 + i5 = 0 .
Para que a corrente flua dentro ou fora de um no´ de um caminho de circuito fechado deve
existir. No´s podemos usar a LCK ao analisar circuitos em paralelo.
Figura 2.4: Exempos das Leis de Kirchhoff: a) Lei das correntes. b) Lei das tenso˜es.
2.5.2 Lei das tenso˜es de Kirchhoff
A segunda Lei de Kirchhoff, a lei das tenso˜es (LTK), tambe´m chamada de lei das malhas,
afirma que a soma alge´brica de todas as tenso˜es ao longo de qualquer caminho fechado
em um circuito e´ igual a zero. Esta lei de Kirchhoff e´ baseada na conservac¸a˜o de energia.
Para aplicar a LTK, devemos escolher o sentido em que vamos percorrer o lac¸o (hora´rio
ou anti-hora´rio). Optamos pelo sentido hora´rio e sempre vamos percorrer os caminhos
neste sentido. Definimos o sentido de refereˆncia para as tenso˜es: vamos atribuir sinal
positivo a`s quedas de tensa˜o, e sinal negativo aos aumentos de tensa˜o.
No exemplo mostrado na Fig. 2.4 b), percorrendo o lac¸o no sentido hora´rio, a LTK da´
VAB + VBC + VCD + VDA = 0 .
Note que VDA = −VAD, ou seja invertendo os pontos de medida, a tensa˜o troca de sinal.
Podemos sempre usar a LTK ao analisar circuitos em se´rie.
2.6 Uso dos equipamentos 27
2.6 Uso dos equipamentos de medida da bancada
Um ponto importante, e que diz respeito diretamente ao nossa disciplina, e´ que para
verificar as relac¸o˜es entre as diversas grandezas que participam de um circuito ele´trico
devemos medi-las. Mais precisamente, devemos conhecer as correntes e as voltagens que
ocorrem no circuito.
Para isso, existem diversos instrumentos, como o voltı´metro e o amperı´metro, que nos
permitem realizar essas medidas. Esses instrumentos indicam o valor medido atrave´s
do movimento de uma agulha ou ponteiro em uma escala (mostradores analo´gicos), ou
por um mostrador digital. Um outro instrumento, mais versa´til, que vamos utilizar e´ o
oscilosco´pio. Com ele podemos ver voltagens em func¸a˜o do tempo em um ou mais pontos
de um circuito.
Inicialmente vamos nos restringir a correntes e voltagens que na˜o variam no tempo, ou
seja, que possuem um valor constante. Elas sa˜o classificadas como contı´nuas. Usamos o
termo gene´rico corrente contı´nua (CC, ou DC) quando nos referimos a voltagens e correntes
que na˜o variam no tempo. Para as voltagens e correntes que variam no tempo damos o
nome gene´rico de corrente alternada (AC).
Os equipamentos disponı´veis para nossas medidas na aula de hoje sa˜o o multı´metro e
uma fonte de alimentac¸a˜o DC (corrente contı´nua). Ha´ ainda uma bancada com diversos
resistores e capacitores que sera˜o utilizados nas montagens experimentais.
2.6.1 Fonte de alimentac¸a˜o DC
A fonte de alimentac¸a˜o DC (corrente direta do termo original em ingleˆs) na bancada e´ um
equipamento utilizado para transformar a corrente alternada que existe na rede normal
de distribuic¸a˜o em corrente contı´nua. As fontes utilizadas nesta disciplina sera˜o fontes de
tensa˜o varia´vel, ou seja, a voltagem nos terminais pode ser variada entre 0 V e algumas
dezenas de volts. A voltagem desejada pode ser ajustada no painel frontal da fonte, e
pode ser usada nos circuitos apenas conectando os cabos nos conectores de saı´da da fonte,
identificados como saı´da positiva (potencial mais alto) e negativa (potencial mais baixo).
Representamos uma fonte de tensa˜o contı´nua pelo sı´mbolo mostrado na Figura 2.5,
onde a seta inclinada indica que a tensa˜o por ela produzida e´ varia´vel.
Num circuito ele´trico a fonte DC e´ um elemento polarizado, isto significa que a corrente
sai de seu terminal positivo (B) e entra em seu terminal negativo (A). Se a polaridade na˜o
for respeitada, alguns componentes do circuito podem ser danificados.
Veja na Figura 2.6 um diagrama esquema´tico de como utilizar o a fonte de tensa˜o DC
de bancada para as medidas efetuadas no laborato´rio.
2.6 Uso dos equipamentos 28
+
-
VB
Figura 2.5: Representac¸a˜o de uma fonte DC cuja tensa˜o pode ser ajustada.
Figura 2.6: Diagrama esquema´tico da fonte de tensa˜o de bancada. Note que o GND e´ um potencial
”terra”de referencia. A tensa˜o e´ fornecida como uma diferenc¸a de potencial entre os terminais “+”
e “−”.
2.6.2 Amperı´metro
Medidas de correntes ele´tricas podem ser feitas com o uso de amperı´metros. Os primeiros
amperı´metros construı´dos eram aparelhos analo´gicios e seu funcionamento se baseava em
um instrumento chamado galvanoˆmetro.
Galvanoˆmetro e´ o nome gene´rico de um instrumento capaz de acusar a passagem de
uma corrente ele´trica. Seu princı´pio de funcionamento e´ baseado nos efeitos magne´ticos
das correntes ele´tricas. Ao fazermos passar uma corrente ele´trica por um condutor, gera-
mos um campo magne´tico a` sua volta. Se este condutor for enrolado na forma de uma
2.6 Uso dos equipamentos 29
espira (ou va´rias delas), podemos verificar que ele se comporta exatamente como um
ima˜, ou como uma agulha de uma bu´ssola, causando e sofrendo forc¸as e torques devido a
interac¸o˜es com outros ima˜s, ou campos magne´ticos externos.
Este e´ o princı´pio de funcionamento ba´sico do galvanoˆmetro: uma bobina muito leve
formada por muitas espiras de fio de cobre, com diaˆmetro da ordem da espessura de um
fio de cabelo, e´ montada de tal maneira que quando passa uma corrente por ela, um tor-
que e´ gerado fazendo com que haja a deflexa˜o de uma agulha. A deflexa˜o da agulha e´
proporcional a` corrente ele´trica que passa pela bobina.
O amperı´metro e´ baseado em um galvanoˆmetro montado em paralelo com uma re-
sisteˆncia de desvio. Ele e´ polarizado e deve ser inserido em se´rie no ponto do circuito
onde se deseja medir a corrente. O sı´mbolo mostrado na Figura 2.7 e´ utilizado frequente-
mente para indicar um medidor de corrente.
+
-
Figura 2.7: Representac¸a˜o esquema´tica de um medidor de corrente, ou amperı´metro.
2.6.3 Voltı´metro
O voltı´metro, como o nome diz, e´ um instrumento que mede voltagens ou diferenc¸as de
potencial. Sua construc¸a˜o tambe´m e´ baseada no princı´pio do galvanoˆmetro, em se´rie com
uma resisteˆncia de valor alto. O voltı´metro deve ser ligado em paralelo com o elemento
de circuito cuja tensa˜o estamos medindo.
Como sabemos, quando duas resisteˆncias sa˜o ligadas em paralelo, a diferenc¸a de poten-
cial em cada resisteˆncia e´ a mesma da associac¸a˜o e a corrente que passa em cada uma das
resisteˆncias dependera´ do valor da resisteˆncia. Sendo a resisteˆncia do voltı´metro muito
alta, a corrente passando por ele sera´ pequenae na˜o afetara´ o funcionamento do circuito.
Esta corrente podera´ ser medida pelo galvanoˆmetro e convertida em tensa˜o usando o valor
conhecido da resisteˆncia em se´rie (usando a lei de Ohm).
+
-
V
Figura 2.8: Representac¸a˜o usual de voltı´metros em circuitos ele´tricos.
O sı´mbolo apresentado na Figura 2.8 e´ frequentemente utilizado para representar um
voltı´metro em circuitos ele´tricos.
2.6 Uso dos equipamentos 30
2.6.4 Multı´metro digital: medidas de tensa˜o e corrente
Figura 2.9: Diagrama esquema´tico do multı´metro digital de bancada.
Os voltı´metros e amperı´metros das formas descritas acima apresentam muitas limitac¸o˜es
substituı´dos gradualmente por aparelhos digitais que apresentam algumas vantagens ex-
tremamente importantes. Em primeiro lugar, a resisteˆncia interna do voltı´metro passa de
algumas dezenas de kΩ para alguns TΩ (T significa tera, 1 tera = 1012, ale´m do prefixo
tera usamos tambe´m com frequeˆncia o giga = 109 e o mega = 106), o que o torna um ins-
trumento ideal para as medidas usuais de diferenc¸as de potencial. O princı´pio de medida
tambe´m e´ diferente, pois ao inve´s de interac¸o˜es entre correntes e campos magne´ticos, como
no caso dos instrumentos analo´gicos, usam-se conversores analo´gico-digitais para detectar
diferenc¸as de potencial.
Veja na Figura 2.9 um diagrama esquema´tico de como utilizar o multı´metro digital de
bancada para as medidas efetuadas no laborato´rio.
O multı´metro digital e´ um instrumento que permite medir digitalmente voltagens, cor-
rentes e diversas outras grandezas derivadas, com alto grau de precisa˜o e acura´cia. Trata-
se de um equipamento sensı´vel e com o qual se deve tomar, na sua utilizac¸a˜o, os mesmos
cuidados observados com os instrumentos analo´gicos. Com este instrumento podemos
medir voltagem contı´nua, voltagem alternada, corrente contı´nua, resisteˆncia ele´trica, ca-
pacitaˆncia, entre outros.
Por questo˜es de seguranc¸a, quando vamos efetuar uma medida de uma grandeza des-
2.7 Procedimentos Experimentais 31
conhecida, temos que tomar um certo cuidado para na˜o submeter o aparelho a grandezas
cujas intensidades sejam demasiadamente grandes e que podem danifica´-lo. Por isso, uma
boa regra e´ mantermos o aparelho ligado sempre na MAIOR escala possı´vel e irmos dimi-
nuindo o valor da escala ate´ obtermos a medida com menor incerteza possı´vel.
2.6.5 Protoboard
Figura 2.10: Diagrama esquema´tico do protoboard.
Um dos equipamentos que vamos utilizar durante todo a disciplina sera´ o protoboard.
E´ nele que ligamos os componentes eletroˆnicos e os instrumentos de medic¸a˜o. O proto-
board conte´m alguns pontos que sa˜o interligados entre si e outros pontos independentes.
Os pontos independentes servem para inserir um componente de um ponto ao outro do
circuito e desta maneira completar a ligac¸a˜o. Veja a Figura 2.10.
2.7 Procedimentos Experimentais
2.7.1 Procedimento I: Lei de Ohm
O objetivo desse experimento e´ confirmar a lei de Ohm, comprovando a relac¸a˜o:
V = Ri (2.8)
Vamos montar um circuito formado por um resistor (R1 = 10 kΩ ), uma fonte de tensa˜o,
um amperı´metro e um voltı´metro (ambos multı´metros digitais).
2.7 Procedimentos Experimentais 32
Figura 2.11: Circuito a ser montado para o Procedimento I.
1. Ligue a fonte de tensa˜o. O valor da voltagem e´ fornecido entre os terminais “+” e
“−”. Certifique-se que a tensa˜o e´ 0 (zero).
2. Monte o circuito indicado na Figura 2.11. Conecte o voltı´metro entre os terminais do
resistor de modo a medir a voltagem entre os pontos A e B. Conecte o amperı´metro ao
circuito de modo a medir a corrente que passa porR1 no ponto B. Utilize a Figura 2.12
como guia. O resistor na˜o possui polaridade e podera´ ser usado sem preocupac¸a˜o
quanto ao sentido da corrente que o atravessa.
3. Vamos variar a voltagem fornecida pela fonte, medir a voltagem com o voltı´metro e
medir a corrente passando pelo circuito com o amperı´metro. Ajuste a voltagem da
fonte para 1 V. Mec¸a os valores de i e VAB e anote-os na Tabela 1. Observe que VAB e´
a voltagem aplicada pela fonte.
4. Inverta as posic¸o˜es do amperı´metro e resistor. Note que agora a corrente esta´ sendo
medida antes do resistor, ou seja, no ponto A. Faz alguma diferenc¸a na medida a
posic¸a˜o em que voceˆ insere o amperı´metro? Por queˆ?
5. Utilize a fonte regula´vel (bota˜o girato´rio) para variar a voltagem no resistor. Escolha
valores de voltagem entre 1 e 2 V. Anote o valor de VAB medido pelo voltı´metro e
seu correspondente valor da corrente i medido pelo amperı´metro. Na˜o se esquec¸a
de anotar tambe´m os valores das incertezas de suas medidas. Complete a Tabela 1
com outros cinco pares de pontos (i, VAB).
6. Mec¸a o valor da resisteˆncia de R1 e sua incerteza usando um multı´metro digital.
7. Fac¸a um gra´fico de VAB (eixo y) contra i (eixo x). Determine graficamente (isto e´, sem
o uso de computadores) o coeficiente angular da reta que melhor se ajusta aos seus
pontos experimentais, e a partir dele o valor da resisteˆncia R. Estime tambe´m a sua
incerteza σR.
Tenha atenc¸a˜o com as unidades de medida dos valores usados no ajuste da reta. Sera´
feito o ajuste da func¸a˜o V = Ri, onde V deve estar em volts e i em ampe`res, para que
tenhamos R em ohms.
2.7 Procedimentos Experimentais 33
Figura 2.12: Como montar o circuito da Figura 2.11 no protoboard. Note que se o amperı´metro, ou
o voltı´metro tiverem seus terminais invertidos, o valor dado no mostrador trocara´ de sinal.
2.7.2 Procedimento II: Lei das tenso˜es de Kirchhoff e associac¸a˜o em se´rie
Vamos verificar experimentalmente a lei das tenso˜es de Kirchhoff fazendo medidas de
voltagem e corrente numa montagem de resistores em se´rie.
Figura 2.13: Circuito a ser montado para o procedimento 2.7.2.
No circuito da Figura 2.13 temos que:
VAB + VBC + VCA = 0 ,
ja´ que a soma de todas as tenso˜es num circuito fechado deve ser nula. Dessa mesma forma,
a corrente que atravessa todos os elementos desse circuito deve ser a mesma. Note que
VCA = −VAC , o que depende do ponto de medida do multimetro. Para comprovar esta
2.7 Procedimentos Experimentais 34
suposic¸a˜o vamos realizar o procedimento abaixo.
1. Ligue a fonte de tensa˜o e ajuste a voltagem para VB = 0 V antes de iniciar a monta-
gem do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura 2.13. Tome como exemplo o
diagrama do protoboard da Figura 2.14.
2. Ajuste o valor da voltagem na fonte para VB = 5 V, usando o voltı´metro.
3. Mec¸a as correntes nos pontos A e B e as voltagens VAB (entre A e B), VBC (entre B e
C) e VAC (entre A e C). Complete as Tabelas 2 e 3 com estes valores e suas respectivas
incertezas.
Figura 2.14: Guia de montagem do procedimento 2.7.2. Note que ao inverter o lugar do am-
perı´metro com o de R1, medimos a corrente no ponto A. Da mesma forma, trocando a posic¸a˜o
do amperı´metro com R2, medimos a corrente no ponto C.
2.7.3 Procedimento III: Lei das correntes de Kirchhoff e associac¸a˜o em
paralelo
Vamos verificar experimentalmente a lei das correntes de Kirchhoff fazendo medidas de
voltagem e corrente numa montagem de resistores em paralelo.
1. Ligue a fonte de alimentac¸a˜o e ajuste a voltagem para VB = 0 V antes de iniciar a mon-
tagem do circuito. Monte o circuito mostrado na Figura 2.15. Tome como exemplo o
diagrama do protoboard da Figura 2.16.
2. Ajuste o valor da voltagem na fonte para VB = 2 V, usando o voltı´metro.
2.7 Procedimentos Experimentais 35
Figura 2.15: Circuito a ser montado para o procedimento 2.7.3.
Figura 2.16: Guia de montagem do procedimento 2.7.3. Os elementos J1, J2, J3 sa˜o conectores de
junc¸a˜o para fechar o circuito e as setas das correntes teˆm tamanhos diferentes para mostrar que
suas magnitudes sa˜o tambe´m diferentes. Nessa montagem o amperı´metro esta´ medindo apenas
iD. O que acontece se invertermos as posic¸o˜es dos resistores?3. Mec¸a as correntes nos pontos A, B e D e as voltagens VAC, VBC e VDE. Complete as
Tabelas 4 e 5 com estes valores e suas respectivas incertezas.
3
Circuitos resistivos alimentados com onda senoidal
3.1 Material
• resistores de 1 kΩ e 100 Ω.
3.2 Introduc¸a˜o
Nas aulas anteriores estudamos o comportamento de circuitos resistivos com tensa˜o
constante. A partir desta aula, estudaremos tambe´m o comportamento de circuitos quando
submetidos a voltagens senoidais, ou seja, voltagens que variam no tempo descrevendo
uma func¸a˜o seno.
3.2.1 Sinais senoidais
Quando estamos lidando com circuitos ele´tricos, sinais senoidais sa˜o voltagens que variam
no tempo descrevendo uma func¸a˜o do tipo seno´ide. Esses sinais podem ser produzidos
por um gerador de func¸o˜es (como aquele utilizado no primeiro experimento) e sa˜o repre-
sentados em sua forma mais geral por uma func¸a˜o do tipo
VG(t) = V0 sen(ωt+ θ), (3.1)
onde V0 e´ o que chamamos de amplitude da forma de onda. V0 e´ o valor da voltagem
quando a func¸a˜o seno e´ igual a` unidade, ou seja, e´ o valor ma´ximo da voltagem gerada. A
amplitude tambe´m e´ chamada de “valor de pico” da func¸a˜o, e seu valor e´ sempre positivo.
Quando a func¸a˜o seno atinge o valor −1, a voltagem tem seu valor mı´nimo −V0. Por-
tanto um sinal senoidal oscilara´ entre os valores extremos −V0 e +V0 e a diferenc¸a entre
esses valores e´ o que chamamos de “valor pico-a-pico” da voltagem, normalmente repre-
3.2 Introduc¸a˜o 37
	
  
Figura 3.1: Figura que mostra os paraˆmetros que definem uma forma de onda senoidal. No exem-
plo apresentado, temos V0 = 5 V, (o que significa que VPP = 10 V) e T = 1 ms (o que equivale a
dizer que f = 1 kHz). Note que θ = 0.
sentado por VPP. A partir dessa definic¸a˜o, fica o´bvio que
VPP = 2V0 . (3.2)
Para determinarmos a amplitude de um sinal senoidal utilizando um oscilosco´pio, e´
preciso medir a diferenc¸a (em mo´dulo) entre o ma´ximo valor que a voltagem assume e
o “zero” da func¸a˜o (o “zero” do canal ao qual o sinal esta´ conectado). Alternativamente,
pode-se simplesmente medir a diferenc¸a (tambe´m em mo´dulo) entre os valores ma´ximo e
mı´nimo da func¸a˜o (que vem a ser a tensa˜o pico-a-pico) e dividir o valor por dois. A figura
3.1 ilustra essas definic¸o˜es.
O sı´mbolo ω representa a frequeˆncia angular da seno´ide e e´ definida por
ω = 2pif, (3.3)
onde f e´ a frequeˆncia linear (ou simplesmente frequeˆncia) da seno´ide, representando o
nu´mero de oscilac¸o˜es realizadas por unidade de tempo. Como o perı´odo T da onda repre-
senta o tempo necessa´rio para a realizac¸a˜o de uma oscilac¸a˜o completa, obtemos a relac¸a˜o
entre frequeˆncia e perı´odo:
f =
1
T
. (3.4)
O argumento da func¸a˜o seno (ωt+θ) e´ chamado de fase da seno´ide, e θ e´ denominado de
constante de fase. Esta e´ uma constante arbitra´ria que e´ utilizada para determinar o valor
3.2 Introduc¸a˜o 38
	
  
Figura 3.2: Voltagens que possuem a mesma amplitude e frequeˆncia, mas com diferenc¸as de fase
entre si. Tomando o sinal representado pela linha contı´nua como refereˆncia, a linha pontilhada (V1)
representa um sinal com uma defasagem de −pi/4 radianos, enquanto o sinal representado pela
linha tracejada (V2) possui uma defasagem de +pi/4 radianos.
da func¸a˜o em t = 0 (a partir da equac¸a˜o 3.1 veˆ-se imediatamente que V (t = 0) = V0 sen θ).
Em nossos procedimentos experimentais definiremos a func¸a˜o que representa o sinal
produzido pelo gerador como aquela representada pela linha so´lida da Figura 3.2; esta sera´
nossa func¸a˜o de refereˆncia. Isso significa que para esse sinal escolhemos arbitrariamente
θ = 0 na equac¸a˜o 3.1. Na pra´tica o valor da constante de fase so´ e´ relevante se estivermos
comparando duas (ou mais) func¸o˜es senoidais. Nesse caso a constante de fase θ serve
essencialmente para determinar a diferenc¸a de tempo que uma seno´ide leva para chegar a`
mesma fase de outra seno´ide tomada como refereˆncia. Portanto se representamos o sinal
de refereˆncia como V01 sen(ωt), o sinal representado por V02 sen(ωt+θ) possui uma diferenc¸a
de fase θ.
A tı´tulo de exemplo, sejam V1(t) e V2(t) duas voltagens que variam senoidalmente
em func¸a˜o do tempo com a mesma frequeˆncia. Se elas atingem seus respectivos valo-
res ma´ximos em instantes de tempo diferentes e´ porque existe uma diferenc¸a de fase entre
elas. A figura 3.2 mostra duas func¸o˜es defasadas em relac¸a˜o a um sinal VG(t) tomado
como refereˆncia, uma apresentando uma defasagem de +pi/4 radianos (ou + 45◦) e a outra
apresentando uma defasagem de − pi/4 radianos (ou − 45◦)
Na figura 3.2 a linha contı´nua representa a voltagem de refereˆncia, que assume o va-
lor zero em t = 0. Quando VG(t) passa pela linha de zero volt com derivada positiva
(isto e´, crescendo) V2(t) tem um valor positivo e V1(t) tem um valor negativo. Dizemos
enta˜o que a fase de V2(t) esta´ adiantada, enquanto a fase de V1(t) esta´ atrasada (ambas em
relac¸a˜o ao sinal de refereˆncia). Essas treˆs func¸o˜es podem ser representadas pelas seguintes
3.2 Introduc¸a˜o 39
expresso˜es:
VG(t) = V0 sen(ωt), (3.5)
V1(t) = V0 sen(ωt− pi/4), (3.6)
V2(t) = V0 sen(ωt+ pi/4), (3.7)
com V0 = 5 V e T = 1 ms.
Voltagens do tipo senoidal sa˜o as mais simples de serem produzidas, e tambe´m as mais
simples de serem tratadas matematicamente. Por isso sa˜o as formas de onda mais comu-
mente encontradas: a voltagem presente nas tomadas das resideˆncias e´ senoidal, e por
isso chamada de “corrente alternada”. A eletricidade produzida por geradores em usinas
hidrele´tricas e´ resultado de voltagens induzidas pela rotac¸a˜o de turbinas, voltagens essas
descritas por func¸o˜es senoidais.
Uma das grandes vantagens da utilizac¸a˜o de senos (ou cossenos) para representar sinais
ele´tricos vem do fato que essa classe de func¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais
que descrevem muitos fenoˆmenos encontrados na natureza, incluindo circuitos ele´tricos
lineares.
O instrumento ideal para a observac¸a˜o e medida de sinais ele´tricos alternados e´ o osci-
losco´pio. Entretanto voltı´metros (ou multı´metros digitais) tambe´m podem ser utilizados,
uma vez que se conhec¸a suas limitac¸o˜es. Como um sinal alternado possui um valor me´dio
nulo, quando utilizamos a opc¸a˜o “V a.c.” de um voltı´metro, o sinal passa por um dis-
positivo chamado “retificador de onda completa”, que transfoma a func¸a˜o V0 sen(ωt) em
V0 |sen(ωt)|, que so´ assume valores positivos. Nesse caso o valor medido para a volta-
gem e´ chamado de valor eficaz, que e´ definido como a raiz quadrada do valor me´dio do
quadrado de V (t):
Vef =
{
1
T
∫ T
0
[V0 sen(ωt)]
2 dt
} 1
2
=
V0√
2
. (3.8)
Por exemplo, o valor da voltagem na rede ele´trica dome´stica e´ 127 V. Esse e´ o valor
eficaz, o queˆ significa que a amplitude da tensa˜o na rede e´ V0 = 179, 6 V.
Multı´metros sempre medem valores eficazes de tensa˜o, e sa˜o geralmente calibrados
para a frequeˆncia de 60 Hz (frequeˆncia da rede ele´trica). Portanto suas medidas so´ sa˜o
confia´veis para sinais com frequeˆncias pro´ximas deste valor.
3.2.2 Resistores em corrente alternada
Circuitos lineares, como o pro´prio nome indica, sa˜o aqueles nos quais as voltagens e cor-
rentes se relacionam de forma linear. E´ o caso de resistores, para os quais a Lei de Ohm
(estudada na primeira aula) mostra que a tensa˜o aplicada e´ proporcional a` corrente, com
a constante de proporcionalidade sendo chamada de resisteˆncia. Isso foi verificado no ex-
3.2 Introduc¸a˜o 40
	
  
Figura 3.3: Voltagem (linha so´lida) e corrente (linha tracejada) para um resistor de R = 1 kΩ sub-
metido a uma tensa˜o alternada com 5 V de amplitude e 1 kHz de frequeˆncia.
perimento anterior, para resistores submetidos a tenso˜es constantes; mas a Lei de Ohm
tambe´m vale para os casos em que os resistores esta˜o sujeitos a tenso˜es alternadas. Consi-dere um resistor com uma resisteˆncia R submetido a uma tensa˜o VG(t) = V0 sen(ωt). Pela
Lei de Ohm a corrente no resistor sera´ dada por:
i(t) =
VG(t)
R
=
V0
R
sen(ωt) = i0 sen(ωt), (3.9)
onde definimos a amplitude da corrente, i0 ≡ V0/R. A equac¸a˜o 3.9 mostra alguns fatos
interessantes: a corrente que atravessa o resistor tambe´m e´ uma sinal senoidal, e que oscila
com a mesma frequeˆncia da tensa˜o aplicada. Essas sa˜o caracterı´sticas de circuitos lineares.
Ale´m disso, podemos notar que na˜o ha´ nenhuma diferenc¸a de fase entre a voltagem e a
corrente. A figura 3.3 mostra os gra´ficos para corrente e voltagem em func¸a˜o do tempo,
para um sinal com amplitude V0 = 5 V e perı´odo T = 1 ms.
Note que a partir da definic¸a˜o de i0, podemos calcular a resisteˆncia em termos das am-
plitudes de tensa˜o e corrente:
R =
V0
i0
. (3.10)
A equac¸a˜o 3.10 mostra que a amplitude de corrente na˜o depende da frequeˆncia do si-
nal aplicado; este e´ um resultado extremamente importante, pois nos permite determinar
a amplitude de corrente num circuito simplesmente medindo a amplitude de tensa˜o no
resistor e dividindo este valor pela resisteˆncia.
3.3 Procedimentos experimentais 41
	
  
Figura 3.4: Circuito a ser utilizado no Procedimento I.
3.3 Procedimentos experimentais
3.3.1 Procedimento I: uso do multı´metro e do oscilosco´pio para medidas
de tensa˜o alternada
Selecione a forma de onda senoidal com amplitude de 4 V no gerador de sinais e conecte
sua saı´da ao canal 1 do oscilosco´pio. Conecte tambe´m o multı´metro digital de bancada ao
gerador para medir sua voltagem, de acordo com a figura 3.4. Selecione uma frequeˆncia
pro´xima de 60 Hz e fac¸a as seguintes medidas com o sinal produzido:
1. mec¸a a frequeˆncia do sinal senoidal com o oscilosco´pio (lembre-se que isso pode ser
feito de 2 maneiras: usando o sistema de gratı´culas para medir o perı´odo e utili-
zar a equac¸a˜o 3.4 ou enta˜o utilizar o menu “Medidas”); lembre-se tambe´m que a
frequeˆncia mostrada pelo gerador de func¸o˜es representa apenas uma indicac¸a˜o de
frequeˆncia;
2. mec¸a a amplitude do sinal senoidal com o oscilosco´pio (seja utilizando o sistema de
gratı´culas ou o menu “Medidas”);
3. mec¸a a voltagem com o multı´metro (selecione a opc¸a˜o “Voltagem AC”);
Repita agora essas medidas para uma frequeˆncia de 3 kHz, apresente seus resultados
na Tabela 1 e comente os resultados obtidos. Ao mudar a frequeˆncia, verifique pelo osci-
losco´pio se a amplitude do sinal do gerador continua igual a 4 V e, caso ela tenha mudado,
corrija para o valor inicial.
Tabela 1
f ± σf V0 ± σV0 (V) V ± σV (V)
3.3 Procedimentos experimentais 42
	
  
Figura 3.5: Circuito a ser utilizado no Procedimento II.
3.3.2 Procedimento II: circuitos resistivos com tensa˜o senoidal
Neste procedimento estamos interessados em verificar que a Lei de Ohm de fato se aplica
a um resistor quando submetido a voltagens e correntes senoidais. A ide´ia e´ realizar com
o oscilosco´pio medidas simultaˆneas das amplitudes de tensa˜o e corrente e verificar grafi-
camente se existe uma relac¸a˜o linear entre V0 e i0, como previsto pela equac¸a˜o 3.10. Caso
essa relac¸a˜o seja observada, sera´ possı´vel obter o valor da resisteˆncia e comparar com outra
medida (como aquela obtida utilizando um multı´metro digital, por exemplo).
Lembre-se que o oscilosco´pio mede voltagens, portanto para medir a amplitude de cor-
rente utilizamos um expediente muito comum, que e´ inserir um segundo resistor em se´rie,
medir a amplitude de tensa˜o sobre ele e calcular a corrente como i(t) = V (t)/R.
1. Monte o circuito da figura 3.5, usando os resistores R1 = 1 kΩ e R2 = 100 Ω. R1
e´ o resistor para o qual desejamos verificar a Lei de Ohm enquanto R2 e´ utilizado
para calcular a amplitude de corrente. Mec¸a os valores das duas resisteˆncias com o
multı´metro, e anote seus valores com as respectivas incertezas.
2. Selecione um sinal senoidal no gerador de func¸o˜es, com uma frequeˆncia pro´xima de
500 Hz. Voceˆ deve observar uma figura semelhante a` figura 3.3. Com o oscilosco´pio
mec¸a a frequeˆncia do sinal do gerador, com sua incerteza. O sinal da corrente possui
frequeˆncia igual ou diferente? Ha´ diferenc¸a de fase entre esses dois sinais?
3. Ajuste a amplitude da tensa˜o no gerador de modo que a amplitude de tensa˜o sobre
o resistor R2 (medida no canal 2) seja V0R2 = 0, 30 V e com esse valor calcule a
amplitude de corrente como i0 = V0R2/R2. Note que o sinal medido no canal 1 e´
a tensa˜o do gerador (com amplitude V0G, medida no canal 1) e para construirmos o
gra´fico desejado precisamos da amplitude de tensa˜o sobre o resistorR1, que pode ser
calculada simplesmente como a diferenc¸a
V0R1 = V0G − V0R2 . (3.11)
3.3 Procedimentos experimentais 43
4. Repita agora a medida para outros cinco valores de V0R2, sempre ajustando a ampli-
tude de voltagem no gerador para que a amplitude V0R2 aumente em intervalos de
0,10 V. Complete a Tabela 2 com esses dados.
5. Fac¸a um gra´fico de V0R1 versus i0 e comente sobre o comportamento observado. Ob-
tenha o valor de R1 a partir desse gra´fico e compare com o valor obtido na medida
direta com o multı´metro, comentando seu resultado. Este resultado seria diferente se
a frequeˆncia do sinal do gerador fosse diferente de 500 Hz?
Tabela 2
V0R2 ± σV0R2 i0 ± σi0 (A) V0G ± σV0G (V) V0R1 (V) σV0R1 (V)
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
4
Transientes em circuitos RC: Tempo de carga de um
capacitor
4.1 Material
• capacitores de 100 nF e 1 µF;
• resistores de 56 Ω e 10 kΩ.
4.2 Introduc¸a˜o
O objetivo desta aula e´ estudar o comportamento de capacitores acoplados a circuitos
resistivos em tensa˜o constante. Sera˜o realizadas medidas das constantes de tempo para o
circuito RC (resistor e capacitor em se´rie).
4.3 Capacitores
Sabemos que podemos armazenar energia sob a forma de energia potencial de diversas
formas. Podemos armazenar em uma mola estendida, comprimindo um ga´s ou elevando
um objeto com uma determinada massa. Uma outra maneira de armazenar energia na
forma de energia potencial e´ atrave´s de um campo ele´trico, e isso se faz utilizando um
dispositivo chamado capacitor.
O capacitor (ou condensador) e´ um dispositivo formado por duas placas condutoras,
contendo um material diele´trico entre elas, cuja caracterı´stica principal e´ o fato que quando
aplicamos uma dada diferenc¸a de potencial entre esta placas, ha´ o acu´mulo de uma quan-
tidade de cargas ele´tricas nelas, positivas (+q) em uma e negativas (−q) na outra. A quan-
tidade de carga ele´trica acumulada q e´ proporcional a` diferenc¸a de potencial aplicada. A
constante de proporcionalidade entre a carga adquirida e a diferenc¸a de potencial aplicada
e´ chamada de capacitaˆncia e depende das dimenso˜es do capacitor (como a a´rea das placas
4.4 Circuitos RC 45
condutoras e a separac¸a˜o entre elas) e da permissividade ele´trica do isolante. Podemos
enta˜o escrever a equac¸a˜o caracterı´stica do capacitor como:
q = CVC . (4.1)
Essa definic¸a˜o pode ser considerada como uma definic¸a˜o esta´tica ou instantaˆnea, rela-
cionando a voltagem no capacitor em um dado momento e o mo´dulo da carga acumulada
em cada uma de suas placas. Como, em geral, medimos voltagens e correntes, podemos
reescrever a equac¸a˜o acima em func¸a˜o da corrente que passa no circuito do capacitor. Basta
lembrarmos que
i =
dq
dt
. (4.2)
Substituindo a equac¸a˜o 4.1 na equac¸a˜o 4.2 temos:
i = C
dVC
dt
. (4.3)
A equac¸a˜o 4.3 mostra que somente teremos corrente no circuito se houver uma variac¸a˜o
da voltagem no capacitor V. Dito em outros termos, se o capacitor estiver se carregando
ou descarregando teremos corrente circulando. Num circuito ele´trico, usamos dois seg-
mentos de reta paralelos, representando duas placas paralelas condutoras, como sı´mbolo
do capacitor (figura 4.1).C
Figura 4.1: Representac¸a˜o esquema´tica de um capacitor.
A unidade de capacitaˆncia no sistema internacional e´ o farad, representado pela letra F.
O farad e´ uma unidade muito grande e por isso os dispositivos disponı´veis comercial-
mente sa˜o designados por submu´ltiplos do farad, como o picofarad (1 pF = 10−12 F), nano-
farad (1 nF = 10−9 F), o microfarad (1 µF = 10−6 F) e o milifarad (1 mF =10−3 F).
4.4 Circuitos RC
Como foi mencionado anteriormente, se conectarmos uma bateria aos terminais de um
capacitor, aparecera´ uma corrente ele´trica no circuito enquanto a diferenc¸a de potencial
aplicada ao capacitor estiver variando no tempo, ou seja, enquanto o capacitor estiver se
carregando (equac¸a˜o 4.3). Isso ocorrera´ durante o breve intervalo de tempo em que a
4.4 Circuitos RC 46
bateria estiver sendo conectada. Esse tempo no jarga˜o da eletroˆnica consiste de um “tran-
siente”. Apo´s o transiente, a voltagem se torna constante e a corrente sera´ nula.
Isso corresponde ao caso ideal. Na pra´tica, um capacitor nunca e´ utilizado isolada-
mente. Sempre existe um resistor associado em se´rie com ele, mesmo que seja a resisteˆncia
interna da bateria ou da fonte de alimentac¸a˜o. Por isso, o capacitor na˜o se carregara´ “ins-
tantaneamente”, mas levara´ um certo tempo, que dependera´ das caracterı´sticas ele´tricas
do circuito. Alia´s, a utilidade pra´tica do capacitor baseia-se no fato de podermos controlar
o tempo que ele leva para se carregar totalmente e a carga que queremos que ele adquira.
Esse controle e´ obtido associando-se um resistor em se´rie no circuito do capacitor, como
mostrado na figura 4.2.
+
-
VB
R
C
A
B
Figura 4.2: Diagrama de um circuito RC.
Se conectarmos a chave na posic¸a˜o “A”, o capacitor se carregara´. Pela lei das tenso˜es de
Kirchhoff, que e´ equivalente a` lei da conservac¸a˜o da energia no circuito, teremos:
VB = VR + VC . (4.4)
Qualitativamente ocorrera´ o seguinte: se o capacitor estiver completamente descarre-
gado no instante inicial (o instante em que a chave e´ virada para a posic¸a˜o “A”), VC = 0 V
e, portanto, VB = VR = R i0, onde i0 e´ a corrente no circuito no instante t = 0 s. A` medida
que o tempo passa VC vai aumentando, pois o capacitor estara´ se carregando, e VR conse-
quentemente vai diminuindo (equac¸a˜o 4.4). Isso significa que no instante inicial (t = 0 s),
o valor de VC e´ mı´nimo (VC = 0 V) e o valor de VR e´ ma´ximo (VR = VB). Essa defasagem
entre voltagem e corrente no capacitor tem um papel fundamental na teoria dos circuitos
ele´tricos, o que ficara´ claro quando estudarmos circuitos com excitac¸a˜o senoidal.
Se a chave ficar ligada na posic¸a˜o “A” por um tempo relativamente longo (o signifi-
cado de “relativamente longo” logo ficara´ claro), ao final desse tempo o capacitor estara´
totalmente carregado e teremos VC = VB, VR = 0 V e a corrente cessara´ de passar. Se nesse
momento passarmos a chave para a posic¸a˜o “B”, havera´ um refluxo das cargas acumula-
das no capacitor, a corrente invertera´ o sentido e o capacitor se descarregara´. Nesse caso,
como na˜o existe bateria ligada no circuito, VB = 0 V e, pela lei das malhas, VR + VC = 0, ou
VR = − VC . A voltagem no capacitor, no caso, variara´ de VB ate´ zero.
4.4 Circuitos RC 47
Substituindo as expresso˜es para VR e VC por suas equac¸o˜es caracterı´sticas, a equac¸a˜o 4.4
se torna:
VB = Ri+
q
C
= R
dq
dt
+
q
C
= RC
dVC
dt
+ VC, (4.5)
que pode ser integrada, tendo como soluc¸a˜o geral
VC(t) = VC(∞) + [VC(0)− VC(∞)] e− tτ , (4.6)
onde VC(∞) e´ a voltagem no capacitor quando o tempo tende a infinito (capacitor comple-
tamente carregado), VC(0) e´ a voltagem no capacitor no instante t = 0 e τ = RC. No caso
da equac¸a˜o diferencial descrita pela equac¸a˜o 4.5, VC(∞) = VB. Assumindo que a voltagem
nas placas do capacitor e´ nula em t = 0, encontramos
VC(t) = VB
(
1− e− tτ
)
, (4.7)
onde novamente
τ = RC . (4.8)
A equac¸a˜o 4.7 mostra que o tempo necessa´rio para o capacitor se carregar dependera´ do
produto RC. Quanto maior for esse produto, mais longo sera´ esse tempo. O produto RC e´
conhecido como constante de tempo do circuito RC e inclui todas as resisteˆncias presentes
no mesmo.
Usando a lei das tenso˜es de Kirchhoff, obtemos o valor de VR:
VR(t) = VB − VC = VB e− tτ . (4.9)
Para o estudo da descarga do capacitor temos que resolver a equac¸a˜o diferencial descrita
na equac¸a˜o 4.5, fazendo VB = 0 e assumindo que o capacitor esta´ completamente carregado
no instante inicial t = 0. Encontramos:
VC(t) = VB e
− t
τ (4.10)
e
VR(t) = −VB e− tτ . (4.11)
A constante de tempo que caracteriza o circuito pode ser obtida experimentalmente de
algumas maneiras diferentes. A primeira delas decorre diretamente da sua definic¸a˜o: e´ o
tempo necessa´rio para o argumento da exponencial se tornar “−1”, e teremos para a carga:
VC(τ) = VB(1− e−1) = VB(1− 0, 37) = 0, 63VB, (4.12)
ou seja, τ e´ o tempo necessa´rio para que a voltagem em um capacitor, inicialmente descar-
regado, atinja 63 % do valor final da tensa˜o da fonte que o carrega.
4.4 Circuitos RC 48
Para a descarga, teremos algo semelhante:
VC(τ) = VB e
−1 = 0, 37VB . (4.13)
Isto significa que na descarga τ e´ o tempo necessa´rio para o capacitor atingir 37% do valor
inicial da voltagem (isto e´, em t = 0).
Somente podemos determinar a constante de tempo no processo de carga se o capacitor
estiver descarregado para t = 0 s e conhecermos a priori o valor de VB. Caso contra´rio, seria
necessa´rio esperar um tempo muito longo para VC chegar ate´ VB, tempo esse que, eventu-
almente, na˜o dispomos. O processo e´ bastante simplificado na descarga do capacitor, pois
nesse caso podemos definir a origem do tempo (t = 0) e VB e´ a voltagem que o sistema
possui naquele momento. Por isso, em geral usamos a equac¸a˜o 4.13 para a determinac¸a˜o
de τ .
Uma outra maneira de obtermos τ consiste em determinarmos um outro tempo carac-
terı´stico, que ocorre em todos os processos exponenciais, chamado de meia-vida do sis-
tema, t1/2. Ele e´ definido como o tempo necessa´rio para a grandeza medida cair a` metade
do seu valor inicial. No caso presente, sera´ o tempo necessa´rio para a voltagem do capa-
citor atingir, tanto na carga como na descarga, a metade do valor de VB. Por exemplo, no
processo de carga teremos:
VC(t1/2) =
VB
2
= VB
[
1− exp(−t1/2
τ
)
]
(4.14)
ou
1
2
= exp(−t1/2
τ
). (4.15)
Aplicando-se logaritmos naturais a ambos os lados dessa equac¸a˜o, encontramos:
t1/2 = τ ln 2 . (4.16)
A constante de tempo tambe´m pode ser obtida no processo de descarga, determinando-
se o tempo necessa´rio para o valor inicial da voltagem cair a` metade, ou seja:
VC(t1/2) =
VB
2
= VB exp(−t1/2
τ
) (4.17)
ou
t1/2 = τ ln 2, (4.18)
e a equac¸a˜o 4.16 e´ novamente obtida, mostrando que tanto na carga como na descarga a
constante de tempo pode ser obtida a partir do tempo de meia-vida a partir da equac¸a˜o
τ =
t1/2
ln 2
. (4.19)
Utilizaremos elementos de circuito com valores de capacitaˆncia e resisteˆncia que levam
4.5 Procedimentos experimentais 49
a tempos de relaxac¸a˜o da ordem de milissegundos. Assim, para observarmos a variac¸a˜o da
voltagem sera´ necessa´rio chavear o circuito da posic¸a˜o “A” para a posic¸a˜o “B”, e vice-versa,
com uma frequeˆncia muito grande, da ordem de kilohertz. Isso e´ possı´vel se utilizarmos
um gerador de sinais, escolhendo a forma de onda quadrada para simular o chaveamento
do circuito. Nesse caso, de acordo com a figura 4.2, o patamar superior da onda quadrada
(VB = V0) ira´ representar o circuito com a chave na posic¸a˜o “A”, e o patamar inferior (VB =
0 V) ira´ representar o circuito com a chave na posic¸a˜o “B”.
4.5 Procedimentos experimentais
4.5.1 Procedimento I: medidas de τ e t1/2
1. Monte o circuito da figura 4.3 a seguir