Relatório: Transitórios em Circuitos RL (Resistor-Indutor)

Prévia do material em texto

Transitórios em Circuitos RL
Introdução
O avanço da complexidade na
análise de circuitos elétricos rumo a
características transitórias de circuitos
reais, exigem o conhecimento de
conceitos e relações desenvolvidas
desde circuitos mais simples, como
circuitos RC (resistor-capacitor) e RL
(resistor-indutor), como abordaremos
neste presente relatório.
Um circuito RL é composto
unicamente por uma fonte, resistores
e indutores. Nesse documento,
analisaremos o caso mais básico, um
circuito RL série, com apenas um
resistor e um indutor.
Através das características
construtivas de um indutor, sabemos
que a equação que relaciona tensão e
corrente em seus terminais é:
equação (1)𝑣
𝐿
(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖
𝐿
(𝑡)
𝑑𝑡
Assim, aplicando as leis de
Kirchhoff para o circuito RL série
(ilustrado na figura 1 abaixo), e
resolvendo a equação diferencial
envolvida, encontramos uma equação
que determina a variável de maior
interesse para um circuito do tipo
série, a corrente (equação 2).
Figura 1. Circuito RL série.
equação (2)𝑖
𝐿
(𝑡) =
𝑉
𝑖𝑛
𝑅 · (1 − 𝑒
− 𝑡τ )
Sendo a constante de tempoτ
, a tensão da fonte e aτ = 𝐿𝑅 𝑉𝑖𝑛 𝑅
resistência em série.
Objetivos
Com base em conhecimentos
prévios - desenvolvidos em cursos
anteriores de análise de circuitos I -
devemos ser capazes de analisar,
quantificar e relacionar grandezas de
relevante importância para as
configurações de circuitos mostrados
a seguir, com o auxílio de ferramentas
que potencializam a análise confiável
e detalhada de circuitos básicos
cotidianos da vida de um engenheiro
eletricista.
Materiais
01 Gerador de sinais (com
função onda quadrada ou pulse);
01 Osciloscópio;
Resistores;
Indutores;
O presente relatório foi
elaborado no sistema de ensino
remoto emergencial, assim,
componentes e ferramentas utilizadas
são disponibilizadas em software de
simulação de circuitos, LTspice.
Métodos
Para satisfazer as
especificações de projeto, o circuito
análogo ao da figura 1, é composto
por uma indutância em𝐿 = 1. 5 𝑚𝐻
série com uma resistência ,𝑅 = 270 Ω
de tal forma que temos .τ ≈ 5. 56 µ𝑠
Figura 2. Esquemático para o projeto de
circuito RL série.
Novamente, para um projeto de
um gerador de uma onda quadrada
com e período igual a ,4 𝑉𝑝𝑝 20τ
temos e , além𝑉
𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙
= 0𝑉 𝑉
𝑜𝑛
= 4𝑉
de período
, como𝑇 = 20 · 5. 56 µ𝑠 = 111. 2 µ𝑠
ilustrado a seguir (figura 3).
Figura 3. Gráfico de para𝑉
𝑖𝑛
aproximadamente 5 ciclos (
)𝑇
𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑔𝑒𝑚
= 5 · 20τ = 556 µ𝑠
Para o período 𝑇 = 111. 2 µ𝑠
temos uma frequência associada de
aproximadamente ,𝑓 = 9 𝑘𝐻𝑧 (𝑓 = 1𝑇 )
cujo gráfico correspondente das
variáveis de interesse é mostrado
abaixo.
Figura 4. Gráficos de , e ,𝑉
𝑖𝑛
𝑉
𝐿
(𝑡) 𝐼
𝐿
(𝑡)
para , e janela de𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 120·τ = 9 𝑘𝐻𝑧
observação igual a 5 períodos.
As características construtivas
do indutor impedem a variação brusca
da corrente, de forma que quando o
circuito se depara com uma entrada
degrau (rising edge de um ciclo da
onda quadrada), este componente tem
sua tensão com valor
aproximadamente igual ao valor da
fonte, de tal forma que a tensão sobre
o resistor seja aproximadamente nula,
permitindo que apenas uma mínima
corrente circulante, no instante .𝑡 = 0+
Para que não haja descontinuidades
na curva da corrente ,𝐼
𝐿
(𝑡)
gradativamente a tensão do indutor
diminui, permitindo o aumento de
corrente.
Já para o falling edge em 𝑡 = 𝑡
0
, em temos um valor significativo𝑡
0
−
de corrente circulante, de forma que
em (onde a tensão da fonte se𝑡
0
+
anula), a tensão do indutor deve ser
igual em módulo porém oposta em
sinal a tensão do resistor, de forma
que sua tensão se torna
instantaneamente negativa, e a
medida que o módulo da corrente
diminui, esta tende a zero.
Alterando o valor da frequência
do sinal de entrada para 𝑓 = 100 𝑘𝐻𝑧 
e depois para , obtemos as200 𝑘𝐻𝑧
formas de onda mostradas a seguir:
Figura 5. Gráfico gerado pelo
oscilador digital para , para𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 100 𝑘𝐻𝑧
uma janela de observação de .40 µ𝑠
Figura 6. Gráfico gerado pelo
oscilador digital para , para𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 200 𝑘𝐻𝑧
uma janela de observação de .20 µ𝑠
Note que .𝑉
𝐿
(𝑡) = 𝑉
𝑖𝑛 
− 𝑉
𝑅
Assim, no gráfico acima e em todos os
posteriores, a curva característica de
é dada pelo sinal V(Vin,Vr).𝑉
𝐿
(𝑡)
De forma análoga, para
ocorre o𝑓 = 100 𝑘𝐻𝑧 𝑒 200 𝑘𝐻𝑧
mesmo fenômeno nas bordas de
subida e descida de para𝑉
𝑖𝑛
. A diferença consiste em𝑓 = 9 𝑘𝐻𝑧
que para estas frequências, a corrente
não se anula em cada período, como
na primeira simulação.
Sabendo que a constante de
tempo de um circuito RC ou RL
corresponde ao tempo necessário
para uma variável (corrente ou tensão)
alcançar 63.21% do valor final,
podemos determinar a constante de
tempo através do gráfico fornecido
pelo osciloscópio. Para isso,
utilizaremos o osciloscópio digital do
LTspice.
Resultados
Figura 7. Osciloscópio apontando
valor assintótico da corrente em
aproximadamente , para𝐼(∞) = 14. 81 𝑚𝐴
primeira montagem ( ).𝑓 = 9 𝑘𝐻𝑧
Para determinar de forma
gráfica a constante de tempo,
inicialmente temos que determinar a
corrente de estado estacionário, ou
seja, . Como o sinal de entrada𝐼
𝐿
(∞)
não é um degrau, e sim um pulso, o
valor de é aproximado pelo valor𝐼
𝐿
(∞)
instantaneamente anterior ao falling
edge, desde que essa seja a curva
completa assintótica, como mostrado
na figura 7 (ou seja, a curva
exponencial não esteja “cortada”,
como na figura 5).
Essa corrente de estado
estacionário é caracterizada pela
não-influência do indutor, pois sob
tensão de entrada constante, após o
sinal degrau quando , o indutor𝑡 → ∞
se comporta como um curto, tornando
o circuito RL em apenas R. Assim:
𝐼(∞) =
𝑉
𝑖𝑛
𝑅 =
4 𝑉
270 Ω = 14. 815 𝑚𝐴
A equação acima pode ser
encontrada tanto tomando o limite da
equação 2, quando , ou𝑡 → ∞
simplesmente eliminando o indutor do
circuito da figura 2.
Sabendo que a constante de
tempo de um circuito RC ou RL
corresponde ao tempo necessário
para uma variável (corrente ou tensão)
alcançar 63.21% do valor final,
podemos determinar a constante de
tempo através do gráfico fornecido
pelo osciloscópio, para um ciclo
qualquer.
Utilizando novamente o gráfico
da figura 7, e apenas alterando a
posição do cursor, buscamos o ponto
em que o mesmo assume 63% do
valor final:
63. 21% · 𝐼(∞) = 9. 36 𝑚𝐴
Buscando tal ponto no gráfico,
encontramos:
Figura 8. Osciloscópio digital
LTspice informando 63% do valor teórico
final da corrente em aproximadamente
𝑡 = 5. 563 µ𝑠
Logo, temos
. O valor deτ = 𝑡
63%
= 5. 563 µ𝑠
corrente 9.367 mA foi escolhido por
estar suficientemente próximo do valor
buscado (9.36 mA), e possuir menor
erro absoluto que o menor valor
adjacente (9.32 mA), informado pela
resolução limitada do simulador
LTspice.
Assim, um erro inferior a 1%
(0.08%) correspondente ao ponto de
escolha (9.367 mA ao invés de 9.36
mA), produz novamente um erro
inferior a 1% (0.05%) na constante de
tempo do circuito RL, utilizando a
equação 3 a seguir.
equação𝑒𝑟𝑟𝑜
%
=
|𝐼
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
−𝐼
𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
|
𝐼
𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
× 100
(3)
Essa equação pode ser
estendida para qualquer variável,
apenas substituindo a variável e
mantendo os subscritos, como
utilizado para determinar o erro
percentual da constante de tempo.
Novamente, vamos analisar as
consequências da alteração da
frequência de , para três valores𝑉
𝑖𝑛
distintos de , de acordo com𝑡
𝑝
. São eles:𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 12𝑡
𝑝
a) 𝑡
𝑝
= 5 · τ = 27. 8 µ𝑠
Figura 9 . Gráfico gerado pelo
oscilador digital para .𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 18 𝑘𝐻𝑧
b) 𝑡
𝑝
= 25 · τ = 139 µ𝑠
Figura 10. Gráfico gerado pelo
oscilador digital para .𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 3. 6 𝑘𝐻𝑧
c) 𝑡
𝑝
= 0. 5 · τ = 2. 78 µ𝑠
Figura 11. Gráfico gerado pelo
oscilador digital para .𝑓
𝑉
𝑖𝑛
= 180 𝑘𝐻𝑧
Analisando as mesmas formas
de onda anteriores, mas para um
resistência em série de 𝑅 = 560 Ω,
obtemos, :τ = 𝐿𝑅 =
1.5×10−3
560 ≈ 2. 68 µ𝑠
a) 𝑡
𝑝
= 5 · τ = 13. 4 µ𝑠
Figura 12. Gráfico geradopelo
oscilador digital para .𝑓
𝑉
𝑖𝑛
≈ 37. 31 𝑘𝐻𝑧
b) 𝑡
𝑝
= 25 · τ = 67 µ𝑠
Figura 13. Gráfico gerado pelo
oscilador digital para .𝑓
𝑉
𝑖𝑛
≈ 7. 46 𝑘𝐻𝑧
c) 𝑡
𝑝
= 0. 5 · τ = 1. 34 µ𝑠
Figura 14. Gráfico gerado pelo
oscilador digital para .𝑓
𝑉
𝑖𝑛
≈ 373. 13 𝑘𝐻𝑧
Conclusão
Com todo desenvolvimento
analítico encontrado, fomos capazes
de cumprir o objetivo do experimento,
verificando e compreendendo a
resposta transitória de circuitos RL,
além de determinar com base em
sinais reais (simulados), o valor da
constante de tempo do circuito com
bastante precisão, resultando em um
erro inferior a 1%.
A análise do osciloscópio nos
proporcionou também verificar, de
forma prática, a influência da
constante de tempo nas curvas das
variáveis de circuito, a partir do
acréscimo no valor de e𝑅
consequente redução em , permitindoτ
uma resposta mais rápida do circuito.
Comparando o circuito RC
discutido anteriormente com o atual
circuito RL, ambos na configuração
série, vemos em primeira instância, a
diferença dos comportamentos em
estado estacionário ( ), uma vez𝑡 → ∞
que o capacitor se comporta como
circuito aberto, e o indutor como um
curto circuito. Já para a seção
transiente (transitória). Para o instante
, temos o capacitor se𝑡 = 0+
comportando como um curto, e o
indutor como um circuito aberto, e
vemos através dos gráficos, a
transição dos estados inicial para final,
de cada grandeza.