Prova 3

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PROVA 3 de Cálculo Diferencial e Integral II - 07/06/2014
Aluno(a):
Turma: D Professor: Rogério de Aguiar
Instruções para realização da Prova
1. Leia com muita atenção o enunciado de cada questão; Identifique-se em todas as folhas;
2. Deixe bem claro qual questão está sendo resolvida, marcando claramente o número e o item de cada questão;
3. Justifique suas respostas com cálculos e argumentações baseados na teoria.
BOA PROVA!
1. (2 pontos) Calcule as integrais (trocando a ordem de integração ou o sistema de coordenadas, se necessário):
(a) I =
∫ 9
0
∫ 3
√
x
x2 cos(y7)dydx.
(b) I =
∫ √2
2
0
∫ √1−y2
y
2x+ 4y√
x2 + y2
dxdy.
2. (3 pontos) Seja S o sólido simultaneamente interior a x2 + y2 + z2 = 2z e z =
√
x2 + y2. Escreva a(s)
integral(is) que permite(m) calcular o volume desse sólido em:
(a) coordenadas esféricas
(b) coordenadas cilíndricas
(c) coordenadas cartesianas
3. (3 pontos) A figura abaixo mostra o sólido S cujo volume pode ser calculado pela expressão
V =
∫ 2pi
0
∫ pi
6
0
∫ √3
0
ρ2 sinφdρdφdθ +
∫ 2pi
0
∫ pi
2
pi
6
∫ 1
2
cosφ
(sinφ)2
0
ρ2 sinφdρdφdθ
(a) Encontre e identifique as equações das superfícies que delimitam esse sólido, bem como a curva de
interseção dessas superfícies.
(b) Reescreva o volume de S em coordenadas cartesianas
(c) Reescreva o volume de S em coordenadas cilíndricas
4. (2 pontos) Construa e calcule o volume do sólido delimitado inferiormente por z = 2
√
x2 + y2 e superiormente
por 2z = x2 + y2 + 3.
FORMULÁRIO:

x = ρ sinφ cos θ
y = ρ sinφ sin θ
z = ρ cosφ
tanφ =
√
x2+y2
z
tan θ = yx
 cos
2 θ = 12 +
cos(2θ)
2
sin2 θ = 12 − cos(2θ)2