Avaliação Final (Discursiva) - Individual (Cálculo Diferencial e Integral III - Uniasselvi)

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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual (Cod.:1024164)
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Prova 98451527
Qtd. de Questões 2
Nota 7,00
O Teorema de Stokes pode ser visto como uma extensão do Teorema de Green, em que a principal diferença reside no número de variáveis envolvidas: enquanto o Teorema de Green se aplica a campos vetoriais 
bidimensionais, o Teorema de Stokes aborda campos vetoriais tridimensionais, enfatizando a relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e uma integral de superfície sobre a superfície 
delimitada por essa curva.
Dessa forma, para a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (2x², 3x, y²) onde C é o paraboloide z = 16 - x² - y² e o plano z = 0 orientado para baixo, determine:
a) (2 pontos) O rotacional do campo vetorial F.
b) (2 pontos) O vetor normal sobre a superfície.
c) (1 ponto) O produto escalar do rotacional e do vetor normal.
d) (2 pontos) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superfície.
e) (3 pontos) A resolução da integral pelo método de Stokes.
Observação: apresentar todo o raciocínio e desenvolvimento na resolução da questão.
Resposta esperada
d) (2 pontos) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superfície.
Usando o resultado do item C e o fato do bordo da superfície ser uma circunferência de raio igual a 4, podemos aplicar a mudança para coordenadas polares com x = rcos(θ) e y = rsin(θ). Logo, a integral fica
assim definida:
e) (3 pontos) A resolução da integral pelo método de Stokes.
Como todo o desenvolvimento feito até o item D já estrutura a resolução da integral de linha pelo método de Stokes, devemos apenas resolver a integral dupla.
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09/05/2025, 08:14 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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Prezado acadêmico, sua resposta contemplou poucos elementos da questão com base nos materiais disponibilizados. Poderia ter aprofundado mais os conteúdos fundamentais da disciplina, com base em seus
estudos.
Para determinar o centro de massa de uma região bidimensional com densidade variável, utilizamos os momentos Mx e My. Esses momentos são calculados separadamente e são dados por:
Em que δ(x, y) é a função densidade da massa e R é a região de integração. A massa total M é então calculada como:
O centro de massa (x, y) é então obtido por:
Esses cálculos permitem encontrar a posição média da massa na região.
Fonte: SILVA, F. J.; GARCIA, M. P. Introdução ao Cálculo de Várias Variáveis. 2. ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.
Considere então uma chapa R, definida no plano XY, pela imagem a seguir:
Sabendo que a sua função densidade é descrita por δ(x, y) = 2xy², determine:
a) (3 pontos) A massa da chapa.
b) (3 pontos) O momento em x.
c) (3 pontos) O momento em y.
d) (1 ponto) As coordenadas x e y para o centro de massa.
Observação: lembre-se de apresentar todo o desenvolvimento e simplificar as frações.
Resposta esperada
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