CDI 2 2016 problemas5

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PROBLEMAS DE CDI 2/AM2 - SE´RIE 5 1
5 Derivac¸a˜o impl´ıcita, func¸o˜es impl´ıcitas
5.1. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem de qualquer func¸a˜o z =
z(x, y) de classe C1, definida implicitamente nalgum domı´nio aberto pela condic¸a˜o
2x2 + 3y2 − 2z2 = 9.
5.2. Verificar que ha´ um nu´mero ǫ > 0 e uma func¸a˜o deriva´vel f :]1− ǫ, 1+ ǫ[→ R
tal que f(1) = 2 e
y = f(x) ⇒ x2y2 − x3y = 2.
Calcular f ′(1) e f ′′(1).
5.3. A equac¸a˜o
x tan(xy) + x+ sin(y − 1) = 0
admite uma curva de soluc¸o˜es (x(y), y), parametrizada por y, de modo que x(1) = 0
e a func¸a˜o x(y) e´ C1 num intervalo aberto centrado em 1. Explicar porque e´ que
existe ε > 0 tal que
1 < y < 1 + ε⇒ x(y) < 0; 1− ε < y < 1⇒ x(y) > 0.
5.4. Ha´ uma func¸a˜o ϕ de classe C∞ definida num intervalo da forma ] − a, a[
(a > 0) tal que
ϕ(0) = 1; ∀x ∈]− a, a[ y = ϕ(x) ⇒ e+ 2xy = ey.
Calcular ϕ′(0) e ϕ′′(0). (exame 2016)
5.5. Ha´ uma func¸a˜o z = ϕ(x, y) de classe C1 definida, numa certa bola centrada
em (0, 2), pelas condic¸o˜es z = ϕ(x, y) ⇒ zx + y
z2
= 2, e ϕ(0, 2) = 1. A derivada
direccional ∂ϕ
∂~n
(0, 2) atinge um valor ma´ximo em certo vector unita´rio ~n. Qual dos
seguintes vectores e´ paralelo a ~n?
(2, 2); (2,−1); (1,−2); (2,−2)
(exame 2016)
5.6. O sistema de equac¸o˜es 

x2 + y2 + z2 = 3t2
xt = 1
xyt = 1
admite uma curva de soluc¸o˜es (x(t), y(t), z(t), t) com x(t), y(t) e z(t) definidas e
C1 num intervalo aberto centrado em t0 = 1, tal que (x(1), y(1), z(1)) = (1, 1, 1).
Qual e´ a velocidade escalar de (x(t), y(t), z(t)) neste ponto?
PROBLEMAS DE CDI 2/AM2 - SE´RIE 5 2
5.7. Verificar que o sistema de equac¸o˜es{
u =
√
x2 + y2 − x
v =
√
x2 + y2 + x
define uma func¸a˜o (x, y) 7→ (u.v) invert´ıvel no semiplano y > 0, explicitando (x, y)
em func¸a˜o de (u, v).
5.8. * Pode-se provar que a curva de n´ıvel x4 + xy + y4 = 0 e´ limitada. Em
consequeˆncia do teorema de Weierstrass, que referiremos mais tarde, tem pontos
de ordenada ma´xima e mı´nima. Determinar o seu ponto de ordenada ma´xima.
(SUGESTA˜O: Num tal ponto na˜o e´ poss´ıvel uma representac¸a˜o local da forma
x = φ(y) com φ de classe C1 num intervalo aberto.)
Repetir o problema com a curva de n´ıvel x4 + xy + y4 = 1.
5.9. Determinar a equac¸a˜o vectorial da recta tangente, no ponto (0, 1, 0), a` curva
que e´ intersecc¸a˜o da esfera x2+y2+z2 = 1 com o hiperbolo´ide (x−2)2+y2−z2 = 5.
5.10. Seja f uma func¸a˜o C1 em R2 tal que a intersecc¸a˜o da curva de n´ıvel
f(x, y) = c
com um certo rectaˆngulo (i.e. produto de intervalos abertos I×J) e´ representa´vel
nas duas formas
x = φ(y), y ∈ J ; y = ψ(x), x ∈ I
em que φ e ψ sa˜o C1 em J e I, respectivamente. Que relac¸a˜o ha´ entre φ′(y) e
ψ′(φ(y))?
5.11. Seja f uma func¸a˜o C1 em R3 tal que a intersecc¸a˜o da superf´ıcie de n´ıvel
f(x, y, z) = c
com certo paralelep´ıpedo (i.e. produto de intervalos abertos I × J ×K) e´ repre-
senta´vel em cada uma das treˆs formas
x = x(y, z), y = y(z, x), z = z(x, y)
onde as func¸o˜es intervenientes sa˜o C1 respectivamente em J ×K, K × I, I × J .
Sendo (x0, y0, z0) um ponto daquela intersecc¸a˜o, mostrar que
∂x
∂y
(y0, z0)
∂y
∂z
(z0, x0)
∂z
∂x
(x0, z0) = −1.
5.12. * Para que valores de c e´ a intersecc¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 + (z− c)2 = 1
e x+2y+3z = 0 reduzida a um ponto? Que interpretac¸a˜o geome´trica admite este
facto?
5.13. * Para que valores de d ha´ um plano tangente comum ao elipso´ide x2+ y
2
4
+
z2
2
= 1 e a` esfera x2 + (y − 1)2 + (z − d)2 = 1? (NOTA: os ca´lculos podem ser
tecnicamente complicados.)