Relatório - Ondas estacionárias

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2014 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
MATHEUS ALLAN MAIOR 
MATHEUS PIASECKI 
PEDRO VINICIUS DE SIQUEIRA 
 
 
 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOLEDO/PR 
2014 
Relatório entregue como requisito 
parcial de avaliação da disciplina de 
Física Geral e Experimental II do curso 
de Engenharia Química da 
Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – Campus Toledo. 
 
Prof Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-
Quiñones. 
 
1. RESUMO. 
 
 Este experimento teve como objetivo a observação de ondas 
estacionárias, a identificação das características de uma onda estacionária e a 
determinação do comprimento de onda, da velocidade de propagação e da 
frequência de vibração das mesmas. Para isso, produziu-se ondas 
estacionárias passando-se uma corrente elétrica por um fio de aço com um ímã 
permamente situado sob o fio perto de uma das extremidades, aplicando-se 
uma tensão no fio por meio de pesos até encontrar os modos de vibração 
desejados, utilizando-se seis fios de aço com espessuras diferentes. Tendo-se 
a densidade linear do fio, determinou-se o comprimento de onda de cada fio 
para cada modo de vibração, determinando-se também a velocidade de 
propagação das ondas. Por fim, determinou-se a frequência de vibração das 
ondas por meio de gráficos de velocidade em função do comprimento de onda, 
encontrando-se uma frequência média de 53,239 Hz, que apresenta uma 
discrepância em relação à frequência fornecida pela rede elétrica do 
laboratório, de 60 Hz. Isso pode se dever à incertezas na medida das tensões, 
que contribuíram para um resultado díspar, ou à falha na rede elétrica do 
laboratório durante o experimento, que poderia estar fornecendo uma 
frequência menor do que a nominal. 
 
 
2. INTRODUÇÃO. 
 
 Fundamentalmente, uma onda é uma oscilação ou perturbação que se 
propaga no espaço, carregando apenas energia, não havendo transporte de 
matéria (KNIGHT, 2009). 
 Em se tratando de ondas mecânicas, aquelas que precisam de um meio 
material para poderem se propagar, pode-se diferenciá-las quanto à direção de 
propagação das ondas ou quanto à direção da vibração das ondas (HALLIDAY, 
2003). 
 Quanto à direção da vibração, pode-se ter ondas transversais, que são 
causadas por propagações perpendiculares à propagação da onda, e ondas 
longitudinais, que são causadas por vibrações com mesma direção da 
propagação. 
 Quanto à direção da propagação, as ondas ainda podem ser 
classificadas como uni, bi e tridimensionais, de acordo com o número de 
dimensões em que ela transmite energia. 
Ao caracterizar uma onda são importantes três características físicas: a 
velocidade de propagação da onda, a qual depende exclusivamente das 
propriedades físicas do meio, e outros dois parâmetros relacionados com a 
periodicidade da onda, tanto espaciais como temporais chamados de 
comprimento de onda e frequência, respectivamente. 
O comprimento de onda é definido como a menor distância entre dois 
pontos consecutivos que estão em concordância de fase e é representado por 
 , sendo inversamente proporcional ao número de onda k (Equações 1 e 2). 
 
 
A frequência é a taxa de variação temporal na qual a perturbação se 
repete e é representada por , sendo o inverso do período (Equação 3). 
 
 
 
 
 (3) 
 
Onde é o tempo que um ponto qualquer da onda leva para fazer uma 
oscilação completa. 
Outra característica a ser equacionada é a velocidade de propagação da 
onda que é representada por , sendo dependente essencialmente das 
propriedades do meio (Equação 4). 
 (4) 
 
As ondas mecânicas em uma corda são ondas unidimensionais do tipo 
transversal que se propagam ao longo da corda. A onda mecânica 
unidimensional é governada pela Equação da Onda, de acordo com a Equação 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 (5) 
 
Onde a função de onda representa a evolução espaço-temporal 
da onda no meio, que no caso de um ponto qualquer, mostra o deslocamento 
dele em relação à sua posição de equilíbrio. Soluções desta equação podem 
ser do tipo progressiva à direita ou esquerda, assim como uma superposição 
delas (interferência). O perfil da onda depende da fonte de oscilação do tipo 
harmônico. 
Esta equação dá uma completa descrição do movimento da onda, e a 
partir dela pode-se derivar uma expressão para a velocidade de propagação da 
onda. 
Quando se tem uma corda presa e tensionada nas suas extremidades e 
nela aplica-se uma força, produz-se uma onda que irá se deslocar com uma 
velocidade (Figura 1). 
 
 
 
 (1) 
 
 
 
 (2) 
 
Figura 1: Tensão aplicada nas extremidades de uma corda (ESPINOZA-
QUIÑONES, 2011). 
 
Sabe-se que a velocidade depende das propriedades físicas do meio, 
sendo elas as propriedades elásticas e inerciais. 
A propriedade elástica é a intensidade de força de tensão T, e a 
propriedade inercial é a relação entre a massa e o comprimento da corda, 
chamada de densidade linear da massa (Equação 6). 
 
 
 
 
 (6) 
 
Assim, a velocidade da onda não depende da amplitude da onda gerada 
(Equação 7). 
 √
 
 
 (7) 
 
Numa corda, pode-se ter ondas progressivas propagando-se num 
sentido (para a direita ou para a esquerda) enquanto tais ondas não atingem as 
extremidades da corda. Ao atingir uma extremidade, uma onda progressiva 
num sentido é geralmente refletida, gerando outra progressiva em sentido 
oposto (Figura 2). Em geral, têm-se simultaneamente ondas progressivas 
propagando-se nos dois sentidos, como demonstrado na Equação 8. 
 
 (8) 
 
 
Figura 2: Descrição do movimento de reflexão de uma onda progressiva 
(ESPINOZA-QUIÑONES, 2011). 
 
Num fio condutor, de comprimento finito L, sob tensão e com seus 
extremos fixos, podem ser geradas ondas estacionárias, que são obtidas pela 
superposição de duas ondas idênticas, de mesma amplitude, mesma 
frequência, mesmo comprimento de onda e que se movem na mesma direção 
e sentidos opostos. A Equação 9 descreve o comportamento das ondas 
estacionárias. 
 
 (9) 
 
A condição de que as duas extremidades da corda permaneçam fixas se 
exprime pelas condições de contorno, seguindo a Equação 10 para qualquer . 
 
 (10) 
 
Isso implica que , se é um número inteiro isto só será 
satisfeito quando: 
 
 
 
 (11) 
 
Combinando as Equações (1) e (11), obtêm-se os valores de 
associados aos modos normais de vibração da corda, obtendo-se assim a 
Equação (12). 
 
 
 
 (12) 
 
A Figura 3 representa algumas ondas que podem ser obtidas variando-
se os modos de vibração. 
 
Figura 3: Relação entre comprimento de onda e os modos de vibração 
(ESPINOZA-QUIÑONES, 2011). 
 
A partir dessas ondas pode-se estabelecer que a onda estacionária de 
comprimento exibe exatamente semi-comprimentos de onda para o modo 
de ordem . O número de ventres ou antinodos é exatamente e o número de 
nos é , incluindo os extremos. 
É importante ressaltar que para que seja possível observar ondas 
mecânicasnuma corda são necessários 3 parâmetros: uma fonte de 
perturbação, um meio que possa ser perturbado e alguma conexão física que 
sirva de elo entre partículas do meio. 
 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS. 
 
3.1. Materiais utilizados. 
 
 Para a prática, foram utilizados fios de aço encapados com nylon de 20, 
30, 40, 50 e 60 lb, pesos de bronze com respectivas cestas, além de régua 
metálica e uma balança de precisão. 
 Foi utilizado um módulo experimental composto por um suporte fixo na 
bancada, contendo uma ponta de fixação em uma das extremidades, e uma 
roldana metálica na outra extremidade, pela qual o fio é passado. O módulo 
ainda contém uma fonte de tensão de 60 Hz de frequência, ligada à rede 
elétrica do laboratório, uma chave liga-desliga com bornes e um amperímetro, 
com o fio fechando o circuito. Um ímã permanente em formato de U localizado 
próximo de uma das extremidades do fio completa o módulo. 
 
 
3.2. Metodologia aplicada. 
 
 Primeiramente, obteve-se a massa e o comprimento de cada fio 
utilizado, a fim de determinar-se a densidade linear dos mesmos. Fixou-se os 
extremos desencapados do fio condutor ao suporte metálico, conectando-se a 
cesta de pesos de bronze no final do fio, após a roldana. Com a régua 
metálica, mediu-se a distância entre os dois pontos extremos do módulo pelo 
qual o fio passa. 
 Após ligar-se a chave liga-desliga e a fonte elétrica, verificou-se se havia 
a passagem de corrente pelo fio. Havendo corrente elétrica, foi-se adicionando 
pesos de bronze na cesta a fim de criar uma tensão no fio, até visualizar-se o 
efeito de ondas estacionárias. Tendo-se encontrada a tensão que produz as 
ondas estacionárias, determinou-se o modo de vibração que a tensão aplicada 
produzia, contando-se o número de nós no fio inteiro e tomando-se nota. Por 
fim, desligou-se a chave liga-desliga e pesou-se os pesos de bronze utilizados. 
O experimento foi realizado até encontrar-se os modos de vibração 2, 3 4 e 5 
para cada um dos fios. 
 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO. 
 
4.1. Determinação da densidade linear dos fios. 
 
 A partir dos dados coletados de massa e comprimento dos fios 
utilizados, determinou-se a densidade linear dos mesmos, empregando-se a 
equação (6), com o erro sendo calculado pela equação (A) do Anexo I. A 
Tabela 1 expõe os valores de massa, comprimento e densidade linear, com 
suas devidas incertezas. 
 
Tabela 1: Dados de massa, comprimento e densidade linear para os fios 
empregados. 
Fio 
Massa (± 
0,005 g) 
Comprimento (± 
5x10-4 m) 
Densidade linear (x10-4 
kg/m) 
20 lb 1,37 1,779 7,701 ± 0,028 
30 lb 1,65 1,790 9,218 ± 0,028 
40 lb 2,01 1,795 11,198 ± 0,028 
50 lb 2,10 1,782 11,785 ± 0,028 
60 lb 2,70 1,786 15,116 ± 0,027 
 
 É válido ressaltar que os valores de comprimento correspondem à 
extensão total dos fios, e foram utilizados apenas na determinação da 
densidade linear. O parâmetro L utilizado na determinação do comprimento de 
onda está condicionado ao ponto de fixação e à roldana do módulo 
experimental, tendo sempre um valor fixo. 
 
4.2. Determinação do comprimento de onda. 
 
 No módulo experimental, mediu-se a distância entre o ponto de fixação 
do fio e a roldana pela qual o fio passa, determinando-se o comprimento L em 
que ocorrerão as ondas estacionárias. Com os dados coletados de tensão 
aplicada no fio, determinou-se o comprimento de onda para cada modo de 
vibração encontrado, usando para isso a equação (12), sendo os valores 
expostos na Tabela 2. A incerteza na medida do comprimento de onda foi 
determinada pela equação (B) do Anexo I. 
 
Tabela 2: Características físicas dos modos de vibração para cada fio. 
Fio 
Comprimento 
(m) 
Modo de 
vibração 
Tensão (± 
0,05 N) 
Número 
de nós 
Comprimento 
de onda (m) 
20 lb 1,646 ± 0,0005 
2 5,8 3 1,646 ± 0,0005 
3 3,2 4 1,097 ± 0,0003 
4 1,6 5 0,823 ± 0,0002 
5 1,1 6 0,658 ± 0,0002 
30 lb 1,646 ± 0,0005 
2 7,0 3 1,646 ± 0,0005 
3 3,3 4 1,097 ± 0,0003 
4 1,9 5 0,823 ± 0,0002 
5 1,1 6 0,658 ± 0,0002 
40 lb 1,646 ± 0,0005 
2 9,2 3 1,646 ± 0,0005 
3 4,6 4 1,097 ± 0,0003 
4 2,1 5 0,823 ± 0,0002 
5 1,3 6 0,658 ± 0,0002 
50 lb 1,646 ± 0,0005 
2 10,0 3 1,646 ± 0,0005 
3 4,7 4 1,097 ± 0,0003 
4 2,7 5 0,823 ± 0,0002 
5 1,3 6 0,658 ± 0,0002 
60 lb 1,646 ± 0,0005 
2 12,3 3 1,646 ± 0,0005 
3 5,0 4 1,097 ± 0,0003 
4 3,2 5 0,823 ± 0,0002 
5 2,1 6 0,658 ± 0,0002 
 
 Analisando-se a Tabela, percebe-se que, uma vez que o comprimento L 
é fixo, o comprimento de onda depende apenas do modo de vibração n. Como 
os modos de vibração utilizados são os mesmos para todos os fios, como 
resultado obteve-se os mesmos valores de comprimento de onda (respectivo a 
cada modo de vibração) em todos os fios. 
 Plotando-se um gráfico do comprimento de onda em função do inverso 
do modo de vibração, pode-se perceber que o coeficiente angular do ajuste 
linear (3,292 ± 9,77x10-4) corresponde a duas vezes o valor de L, concordando 
com a equação (12). A Figura 4 indica o gráfico plotado. 
 
 
Figura 4: Comprimento de onda em função do inverso do modo de vibração. 
 
4.3. Determinação da velocidade de propagação. 
 
 Com os valores de densidade linear e da tensão do fio, determinou-se a 
velocidade de propagação da onda a partir da equação (7). As incertezas 
associadas foram determinadas pela equação (C) do Anexo I. Montou-se, 
então, a Tabela 3, que expõe os valores determinados. 
 
Tabela 3: Velocidade de propagação da onda para cada modo de vibração e 
cada fio. 
Fio 
Densidade linear 
(x10-4 kg/m) 
Modo de 
vibração 
Tensão 
(± 0,05 N) 
Velocidade (m/s) 
20 lb 7,701 ± 0,028 
2 5,8 86,8 ± 0,40 
3 3,2 64,5 ± 0,51 
4 1,6 45,6 ± 0,71 
5 1,1 37,8 ± 0,86 
30 lb 9,218 ± 0,028 
2 7,0 87,1 ± 0,33 
3 3,3 59,8 ± 0,46 
4 1,9 45,4 ± 0,60 
5 1,1 34,5 ± 0,78 
40 lb 11,198 ± 0,028 
2 9,2 90,6 ± 0,27 
3 4,6 64,1 ± 0,36 
4 2,1 43,3 ± 0,52 
5 1,3 34,1 ± 0,66 
50 lb 11,785 ± 0,028 
2 10,0 92,1 ± 1,12 
3 4,7 63,2 ± 0,82 
4 2,7 47,9 ± 0,72 
5 1,3 33,2 ± 0,75 
60 lb 15,116 ± 0,027 
2 12,3 90,2 ± 0,86 
3 5,0 57,5 ± 0,61 
4 3,2 46,0 ± 0,56 
5 2,1 37,3 ± 0,56 
 
 Com os dados da Tabela 3, plotou-se gráficos de quadrado da 
velocidade em função da tensão no fio, representados nas Figuras 5-9. 
 
 
Figura 5: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 
20 lb. 
 
 
Figura 6: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 
30 lb. 
 
 
Figura 7: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 
40 lb. 
 
 
Figura 8: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 
50 lb. 
 
 
Figura 9: Quadrado da velocidade em função da tensão aplicada para o fio de 
60 lb. 
 
 Pode-se perceber, a partir do ajuste linear, que o valor do coeficiente 
angular das retas é o inverso da densidade linear de cada fio. A Tabela 4 
compara os valores do inverso do coeficiente angular da reta e das densidades 
lineares determinadas anteriormente. Tal relação concorda com a equação (7) 
empregada na determinação da velocidade de propagação. 
 
Tabela 4: Comparação entre o inverso do coeficiente angular da reta e a 
densidade linear para os fios utilizados. 
Fio 
Coeficiente angular da 
reta (m/kg) 
Inverso do coeficiente 
angular (x10-4 kg/m) 
Densidade linear 
do fio (x10-4 kg/m) 
20 lb 1298,54 ± 9,66x10-13 7,701 7,701 ± 0,028 
30 lb 1084,84 ± 6,64x10-13 9,218 9,218 ± 0,028 
40 lb 893,03 ± 6,27x10-13 11,198 11,198 ± 0,028 
50 lb 848,57 ± 5,54x10-13 11,785 11,785± 0,028 
60 lb 661,48 ± 3,75x10-13 15,118 15,116 ± 0,027 
 
4.4. Determinação da frequência de vibração da onda. 
 
 A partir dos dados expostos nas Tabelas 2 e 3, plotou-se gráficos de 
velocidade de propagação em função do comprimento de onda para cada 
modo de vibração e para cada fio. Os gráficos estão representados nas Figuras 
10-14. 
 
 
Figura 10: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para 
o fio de 20 lb. 
 
 
Figura 11: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para 
o fio de 30 lb. 
 
 
Figura 12: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para 
o fio de 40 lb. 
 
 
Figura 13: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para 
o fio de 50 lb. 
 
 
Figura 14: Velocidade de propagação em função do comprimento de onda para 
o fio de 60 lb. 
 
 A Tabela 5 expõe os valores do coeficiente angular da reta 
determinados, de modo a compará-los. 
 
Tabela 5: Valores do coeficiente angular dos gráficos de velocidade x 
comprimento de onda. 
Fio Coeficiente angular (s-1) 
20 lb 49,824 ± 0,284 
30 lb 51,543 ± 1,374 
40 lb 57,400 ± 0,142 
50 lb 53,813 ± 0,847 
60 lb 53,616 ± 0,116 
Média 53,239 ± 2,543 
 
 A partir da equação (4), pode-se inferir que os coeficientes angulares 
dos gráficos de velocidade de propagação em função do comprimento de onda 
correspondem à frequência de vibração das ondas. 
 Sabendo-se que a fonte de tensão do laboratório tem 60 Hz de 
frequência, pode-se perceber que as ondas vibravam em uma frequência 
menor do que a fornecida pela fonte, com discrepância de aproximadamente 
11%. Isso pode ser devido à incerteza propagada na medida da tensão 
aplicada no fio, somando-se ainda o atrito entre o fio e a roldana, que 
influenciam na determinação da tensão necessária para o aparecimento de 
ondas estacionárias. 
 Entretanto, a frequência da fonte de tensão do laboratório pode estar 
sujeita à variações na rede elétrica do local, o que pode ter reduzido a 
frequência fornecida durante o experimento. 
 
 
5. CONCLUSÃO. 
 
 A partir do experimento realizado, pode-se concluir que a prática atingiu 
o seu objetivo de forma satisfatória, servido de grande exemplo para ilustrar o 
conteúdo aprendido em sala de aula. Pode-se criar ondas estacionárias nos 
fios de aço empregados, conseguindo-se identificar com facilidade o número de 
nós, ventres e meia-ondas para cada modo de vibração utilizado, apesar da 
dificuldade de se encontrar a tensão necessária para o aparecimento das 
ondas. 
 Conseguiu-se, também, determinar o comprimento de onda, a 
velocidade de propagação de forma satisfatória, determinando-se então a 
frequência de vibração das ondas, cujo valor encontrado foi menor do que o da 
fonte de tensão do laboratório, com discrepância de aproximadamente 11%. 
Tal discrepância pode estar associada à propagação de incerteza ou à falhas 
na rede elétrica do laboratório. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
ESPINOZA-QUIÑONES, F.R. Apostila de aulas práticas – Ondas 
Estacionárias, Toledo, 2014. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Física 2. Quinta edição. Rio de 
Janeiro: Editora LTC, 2003. 
 
KNIGHT, R. D. Física, Uma abordagem estratégica. Vol.2, 2a edição. Porto 
Alegre: Editora Bookman, 2009. 
 
 
 
ANEXOS 
 
Anexo I – Equações para determinação de incertezas. 
 
 √(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (A) 
 
 
 
 (B) 
 
 
 
√(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 (C)