Introdução à estatística

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Disciplina 
Introdução à Estatística 
 
 
Coordenador da Disciplina 
Prof. José Valter Lopes Nunes 
 
 
5ª Edição 
 
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Créditos desta disciplina 
 
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Coordenador da Disciplina 
Prof. José Valter Lopes Nunes 
Conteúdo 
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Programação 
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Gerentes 
Audiovisual: Andréa Pinheiro 
Desenvolvimento: Wellington Wagner Sarmento 
Suporte: Paulo de Tarso Cavalcante 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 01: Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 01 
 Tópico 01: Introdução ............................................................................................................................ 01 
 Tópico 02: Variável ................................................................................................................................ 04 
 Tópico 03: População e Amostra ........................................................................................................... 05 
 
Aula 02: Organização de Dados em Tabelas .......................................................................................... 07 
 Tópico 01: Tabelas ................................................................................................................................. 07 
 Tópico 02: Tabela de Distribuição de Frequências .............................................................................. 12 
 
Aula 03: Organização de Dados em Gráficos ......................................................................................... 19 
 Tópico 01: Gráfico de Barras ................................................................................................................. 19 
 Tópico 02: Gráfico de Linhas ................................................................................................................. 24 
 Tópico 03: Gráfico de Setores ................................................................................................................ 26 
 Tópico 04: Distribuição de Frequências ................................................................................................. 27 
 
Aula 04: Medidas de Tendência Central ................................................................................................ 32 
 Tópico 01: Média ................................................................................................................................... 32 
 Tópico 02: Moda .................................................................................................................................... 37 
 Tópico 03: Mediana ............................................................................................................................... 39 
 
Aula 05: Medidas de Dispersão ............................................................................................................... 44 
 Tópico 01: Introdução ............................................................................................................................ 44 
 Tópico 02: Amplitude ............................................................................................................................ 45 
 Tópico 03: Variância .............................................................................................................................. 46 
 Tópico 04: Desvio Padrão ...................................................................................................................... 51 
 Tópico 05: Coeficiente de Variação Relativo ........................................................................................ 52 
 Tópico 06: Aplicações do Desvio Padrão .............................................................................................. 54 
 
Aula 06: Índices ......................................................................................................................................... 57 
 Tópico 01: Percentagem ......................................................................................................................... 57 
 Tópico 02: Outros Índices ...................................................................................................................... 61 
 
TÓPICO 01: INTRODUÇÃO
Estatística constitui-se basicamente na: 
Constatamos sua utilização, por exemplo:
• No cálculo e registro do número de habitantes, número de nascimentos 
e mortes por regiões de um país ou estado; 
• No estudo dos efeitos de diversos tipos de alimentação e medicamentos; 
• Na previsão das taxas de preferência de um produto por parte da 
população ou índices de intenção de voto face a uma eleição; 
• Na apresentação de índices de repetência e evasão escolar, de índices 
relativos a escolaridade da população e na avaliação de técnicas de ensino 
e aprendizagem; 
• No acompanhamento da evolução dos dados econômicos de um país ou 
estado. 
Sendo assim o nosso contato com estatística dá-se quase que 
diariamente, ao ouvirmos rádio, ao assistirmos televisão, ao lermos jornal ou 
revista, ao visitarmos páginas da internet, etc. Necessitamos de suas técnicas 
para efetuarmos previsão do tempo, previsão orçamentária, previsão de 
investimentos, previsão do número de turmas a serem ofertadas no ano 
seguinte, previsão das doses de um determinado remédio a serem prescritas, 
etc. 
Daremos agora uma breve explicação sobre as quatro etapas que 
compõem o levantamento de dados estatísticos e que foram citadas no início 
deste capítulo: 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 01: CONCEITOS BÁSICOS
1
COLETA
Etapa em que os dados são obtidos através de um levantamento feito 
por coletores de informação. Nesta etapa necessitamos do trabalho de um 
profissional com conhecimento de técnicas para obtenção de dados. 
Citemos o exemplo de uma pesquisa para obter informações sobre o 
nível de popularidade de um determinado programa de governo. Neste 
exemplo é necessário saber o que perguntar, como perguntar e a quem 
perguntar para que o resultado não seja tendencioso.
A pergunta:“Você acha que este dispendioso programa de governo 
deve ser encerrado?”é inválida, pois ela já sugere que o programa de 
governo é no mínimo muito caro, e tende a induzir uma resposta negativa 
do entrevistado. 
Um outro exemplo ocorre quando pretende-se obter a reação dos 
consumidores sobre determinado alimento de preparo rápido, onde o 
entrevistador visita casa por casa, de uma lista pré-determinada,não 
havendo, entretanto, previsão de retorno quando não há ninguém em casa. 
Com certeza esta pesquisa falhará em obter a resposta daqueles que mais 
provavelmente apreciariam o produto: solteiros ou casais nos quais os dois 
trabalham fora. 
PROCESSAMENTO
Fase em que os dados são organizados através de uma classificação ou 
de uma ordenação para permitir sua análise e apresentação posterior.
É comum dizer que nesta fase os dados são compilados.
No exemplo da pesquisa para obter a preferência da população sobre 
os candidatos em uma eleição, pode-se aproveitar e fazer perguntas acerca 
da idade, escolaridade, profissão e sexo dos entrevistados. Após uma 
análise destes dados, pode-se traçar um perfil do eleitor que vota no 
candidato A, no candidato B, e assim por diante. Tal análise é impossível 
de ser feita a menos que os dados sejam previamente organizados e 
classificados. 
2
INTERPRETAÇÃO
Fase em que os dados são analisados, previsões anteriores são confir-
madas ou são desfeitas, novas previsões são efetuadas, dados são 
confrontados. Nesta fase os dados são analisados e podemos encontrar 
justificativas para as medidas encontradas. 
Como um exemplo bem simples analise a situação:
Suponha que, após um levantamento, os números 
8,9, 9, 8,10, 9,10, 10,9, 8,9, 8, 8,8, 17,10, 
sejam as idades de 16 alunos de uma classe de segundo ano do ensino 
fundamental. 
Temos aí um caso atípico: um aluno com 17 anos entre alunos cujas 
idades variam entre 8 e 10 anos. O cálculo da média das idades destes 
alunos será, então, bastante içlnfluenciado pela idade de 17 anos, o que por 
várias razões pode não ser o desejado. Após uma análise podemos 
descartar esta idade para obtenção da média. 
APRESENTAÇÃO
Esta é a fase em que os dados são mostrados, na maioria das vezes 
através de tabelas e gráficos. Veja a tabela 1:
Fonte [2]
Esta tabela é um exemplo do produto final de um levantamento 
estatístico. Ela só foi possível de ser confeccionada após a realização das 
três tarefas anteriores: coleta, processamento e interpretação das 
informações.
Nestas notas será dada atenção somente às fases de processamento, 
interpretação e apresentação de dados estatísticos.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
2. http://datafolha.folha.uol.com.br/
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3
TÓPICO 02: VARIÁVEL
Toda informação devidamente coletada é um dado estatístico. O 
conjunto de valores que um dado estatístico pode assumir é o que nós 
chamamos de variável.
EXEMPLO
• Para o dado “sexo” temos dois resultados possíveis: masculino e 
feminino. Neste caso a variável correspondente ao sexo de um indivíduo 
pode assumir dois valores. 
• Para o dado “idade” os resultados possíveis encontram-se no 
conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... }.
• Para o dado “grau de instrução” temos como resultados possíveis: 1° 
Grau, 2° Grau e 3° Grau. 
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Número de filhos; taxa de evasão escolar; nota, idade, altura e peso de 
uma pessoa; população de uma cidade, de um estado ou de um país. 
VARIÁVEIS QUALITATIVAS
Nome de um estado, de um país ou de uma cidade; nome, cor de pele e 
cor de cabelo de uma pessoa situação civil; grau de instrução. 
EXERCITANDO
Classifique as variáveis abaixo como qualitativas ou quantitativas: 
◾ Renda familiar
◾ Religião
◾ Jornada semanal de trabalho
◾ Livro mais retirado de uma biblioteca
◾ Candidato de sua preferência
◾ Nível de escolaridade
◾ Taxa de evasão escolar de uma escola no ano de 2009
◾ Formação profissional
◾ Velocidade de um carro em uma via pública
◾ Tempo de duração de uma pilha.
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INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 01: CONCEITOS BÁSICOS
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TÓPICO 03: POPULAÇÃO E AMOSTRA
POPULAÇÃO
Entende-se por população um conjunto formado por elementos que têm 
em comum uma certa característica ou que satisfazem uma mesma 
propriedade. 
Como exemplo: o conjunto dos eleitores de um estado, o conjunto dos 
alunos de uma universidade, o conjunto dos professores de uma cidade, o 
conjunto dos livros de uma biblioteca, etc. 
AMOSTRA
Uma amostra é um subconjunto finito da população.
Veja que neste caso o termo população é mais abrangente do que o 
usado na linguagem comum, o qual significa o conjunto dos habitantes de 
um certo lugar.
Antes de uma eleição, todas as pesquisas de opinião para eleição de um 
prefeito são feitas sobre um subconjunto da população. A amostra neste caso 
é formada pelos eleitores que foram entrevistados e a população é o conjunto 
de todos os eleitores da cidade. A única pesquisa feita sobre a população é a 
própria eleição, onde todos os eleitores devem dar a sua opinião (voto) sobre 
quem deve ser o prefeito. 
No censo demográfico também são consultadas, em princípio, todas as 
residências de um país. A coleta dos dados é feita sobre a população. Porém, 
mesmo neste caso, como podemos verificar no último recenseamento 
brasileiro, existe um conjunto de informações que são coletadas sobre um 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 01: CONCEITOS BÁSICOS
5
subconjunto da população, pois de dez em dez casas o número de perguntas 
a serem feitas é maior do que o normal. Temos aí duas coletas em uma 
mesma pesquisa: uma sobre a população e uma sobre uma amostra. 
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 1, com os colegas ou com o professor tutor, 
as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 1. Lembre que 
sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo EXERCICIOS_AULA_1 (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.) para abrir a Lista de Exercícios desta aula. 
Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente 
ou em grupo. Os exercícios 2, 3, 4 e 5 correspondem ao trabalho dessa aula 
que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na 
Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc, docx ou 
pdf) ou manuscrito e escaneado.”
FONTES DAS IMAGENS
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TÓPICO 01: TABELAS
Em geral dados estatísticos não podem ou não devem ser 
apresentados da maneira como foram colhidos. É necessário antes 
organizá-los como um conjunto de medidas estruturadas que podem ser 
usadas para extrair informações rápidas e seguras. Na maioria dos casos 
isto se consegue com a confecção de tabelas e gráficos a partir dos dados 
obtidos.
Uma tabela é essencialmente um quadro que apresenta um conjunto de 
dados dispostos em linhas e colunas.
Uma tabela é constituída pelos seguintes elementos: título, cabeçalho, 
corpo, coluna indicadora e fonte. A definição de cada um destes elementos 
será dada tomando como exemplo a tabela abaixo: 
VERSÃO TEXTUAL
Conceitos
Titulo
Define o tipo de dado que a tabela contém, sua natureza e data 
que foram colhidos.
Cabeçalho
Define o tipo de dado contido em cada coluna.
Corpo
É constituído pelos dados dispostos em linhas e colunas.
Coluna Indedificadora
Indeficar a origem das informações que cada linha contém . No 
Caso da tabela 2 os dados pentencem aos estados da região Nordeste.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 02: ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM TABELAS
7
Fonte
É a entidade resposável pelo fornecimento dos dados. O dados 
apresentados na tabela 2 foram fornecidos Pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatistica, IBGE. 
Tabela Completa:1.1 SÉRIES ESTATÍSTICAS
Chamamos de série estatística toda tabela que apresenta os dados 
distribuídos em função do tempo, do local ou da categoria a que eles 
pertencem. 
De acordo com a variação dos dados podemos classificar as séries 
estatísticas em quatro tipos: cronológica, geográfica, categórica e mista.
SÉRIE CRONOLÓGICA
Também conhecida como série temporal. Os dados variam em 
função do tempo. A tabela abaixo apresenta o número de telefones no 
Brasil desde 1997 até 2003.
Tabela 3: Número de linhas telefônicas no Brasil por 100 habitantes. 
Previsão até o ano 2003.
8
SÉRIE GEOGRÁfiCA
Também conhecida como série de localização. Os dados são 
descritos em função de regiões geográficas. Observe o exemplo dado pela 
tabela abaixo, onde o preço da gasolina é relacionado para onze países: 
Tabela 4: Preço, em dólares, do litro de gasolina por país.
SÉRIE CATEGÓRICA
Apresenta os dados distribuídos por diferentes categorias em 
determinado tempo e local. A tabela abaixo apresenta a distribuição da 
população brasileira por cor no ano de 1980:
Tabela 5: População residente no Brasil segundo a cor de acordo com o 
censo demográfico Brasileiro de 1980.
SÉRIE MISTA
Podemos, muitas vezes por necessidade, apresentar combinações dos 
três tipos de séries. Como exemplo, observe a tabela abaixo: 
Tabela 6: Terminais Telefônicos em Serviço.
Na tabela acima vemos a combinação dos tipos geográfica e 
cronológica. Os dados são descritos em função da região e do ano. 
9
No próximo exemplo temos a combinação dos tipos geográfica e 
categórica:
Tabela 7: População residente no Brasil por sexo, segundo a região, de 
acordo com o censo demográfico de 1980.
Os dados da tabela 7 são apresentados de acordo com a região do país 
e com o sexo.
1.2 DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS
A tabela abaixo mostra a distribuição dos alunos da Organização 
Educacional São Santo Santíssimo pelas séries do ensino médio:
Tabela 8: Contagem das Matrículas da Organização Educacional São 
Santo Santíssimo -1999.
Os dados representando o número de alunos por cada série estão em 
valores absolutos. Não foi realizada nenhuma operação sobre eles, a não ser 
a coleta e contagem desses dados. 
Os dados apresentados sem nenhuma operação prévia sobre eles, 
exceto a coleta e a contagem, são chamados de DADOS ABSOLUTOS.
Para efeito de comparação é melhor apresentar este dados em termos 
relativos. Para isso calculemos agora as percentagens de alunos por cada 
série.
Com estes valores podemos formar uma nova tabela:
Tabela 9: Contagem das Matrículas da Organização Educacional São 
Santo Santíssimo -1999.
10
A tabela 9 indica que de cada 100 alunos, 52 frequentam a 1ª série, 36 
frequentam a 2ª série e 12 frequentam a 3ª série. Desta forma vemos de 
maneira direta a contribuição de cada parte no todo. Dados absolutos 
expressam os resultados de uma coleta de maneira exata e fiel mas não 
conseguem, de maneira imediata, evidenciar as relações de tamanho entre as 
grandezas apresentadas. Com este objetivo usamos os dados relativos.
Os DADOS RELATIVOS são obtidos dividindo-se as medidas das 
partes pela medida do todo. Temos assim uma forma rápida de fazer 
comparações entre as partes. 
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TÓPICO 02: TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Nesta seção veremos como organizar dados numéricos provenientes 
de uma amostra muito grande ou mesmo de toda uma população, quando 
estes se referem a uma única variável quantitativa, tal como: salário dos 
funcionários de uma empresa; nota dos alunos de uma escola; idade, 
altura ou peso de um grupo de pessoas; tempo de duração de um 
conjunto de peças; número de filhos de um grupo de famílias; contagem 
diária do número de carros que passam por uma via pública.
Suponha que os dados abaixo se referem às notas de 52 alunos de uma 
escola.
Percorrendo o conjunto de valores fica fácil encontrar que a menor nota 
é 2, a maior nota é 8 e os valores observados são 2, 3, 4, 5, 6, 7, e 8. 
Escrevendo cada valor observado uma única vez segundo uma coluna, 
obtemos a tabela abaixo: 
Percorrendo novamente a tabela contamos o número de vezes que cada 
valor se repete. Chamamos este número de frequência do valor. Deste modo 
a frequência do valor 2 é 4, do valor 3 é 8, do valor 4 é 8, do valor 5 é 12, do 
valor 6 é 10, do valor 7 é 6 e do valor 8 é 4. Acrescentando, à última tabela, 
uma nova coluna contendo as frequências de cada valor obtemos a tabela a 
seguir:
TABELA 11: NOTAS DOS ALUNOS. 
A tabela acima apresenta os valores de forma mais organizada e nos 
fornece de maneira imediata informações tais como: menor valor (2), maior 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 02: ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM TABELAS
12
valor (8) e o valor que ocorre mais vezes (5). Além disso, ao final da 
confecção desta tabela, os valores encontram-se ordenados. Este é um 
exemplo de uma tabela de distribuição de frequências.
Em uma tabela de distribuição de frequências cada linha contém um 
valor seguido do número de vezes que este valor se repete. A primeira 
coluna é chamada coluna dos valores e a segunda coluna das frequências. 
Convém observar que em uma tabela de distribuição de frequências a 
soma de todas as frequências é necessariamente igual ao número total de 
dados (tamanho da amostra). Para o nosso exemplo temos
4 + 8 + 8 + 12 + 10 + 6 + 4 = 52.
2.1 ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM CLASSES
No exemplo que acabamos de descrever, as notas variam entre os 
números 2 e 8 e assumem somente valores inteiros, isto faz com que a tabela 
resultante tenha no máximo sete linhas. Isto nem sempre é o que ocorre. 
Suponha que o conjunto de valores dados abaixo são as notas de 52 alunos 
de uma classe, cada nota com no máximo uma casa decimal.
Como podemos verificar, estas notas podem assumir qualquer valor 
decimal entre 2,0 (menor nota) e 8,9 (maior nota). Se organizarmos estas 
notas numa forma semelhante à da tabela 11, poderemos ter de confeccionar 
uma tabela com um número razoavelmente grande de linhas, o que pode ser 
inconveniente. Neste caso a melhor coisa a fazer é organizar os dados em 
intervalos (faixas) de valores. Sendo assim, em vez de contar quantos alunos 
tiraram nota 2,0, quantos alunos tiraram nota 2,1, nós contamos quantos 
alunos tiraram nota entre 2,0 e 2,9 por exemplo. Agrupando estas notas nos 
intervalos
ficaremos com a seguinte distribuição:
TABELA 12 
Notas por Intervalo.
13
De posse da tabela acima podemos, caso seja necessário, ordenar as 
notas de maneira mais rápida e fácil, bastando ordená-las por cada linha. 
Feito isso obtemos 
TABELA 13 
Notas Ordenadas por Intervalo.
o que nos dá automaticamente a seguinte ordenação para o conjunto de 
notas:
Em estatística, os intervalos acima mencionados, recebem 
genericamente o nome de classes de frequência ou simplesmente classes.
Classes são intervalos de variação de uma variável. Chamamos de 
extremos ou limites da classe os valores que delimitam o intervalo da 
classe. 
Substituindo na tabela 12 ou tabela 13 a coluna de notas pela coluna 
contendo o número de notas em cada classe obtemos a tabela abaixo:
TABELA 14 
Distribuição das Notas.
Este é um exemplo de uma tabela de distribuição de frequências por 
classes.
14
OBSERVAÇÃO
Em uma tabela de distribuição de FREQUÊNCIAS POR CLASSES cada 
linha contém uma classe seguida da frequência desta classe. A 
FREQUÊNCIA DE UMA CLASSE é o número de valores que pertencem a 
esta classe. 
Em uma tabela de distribuição de frequências com classes ganhamosem 
concisão e simplicidade mas perdemos em detalhes, por exemplo: de posse 
somente da tabela 14 nós sabemos que 10 alunos tiraram notas entre 6,0 e 
6,9, mas não sabemos de fato quais são estas notas; não sabemos nem 
responder se algum aluno tirou nota 6,5. 
2.2 LIMITES DE CLASSE
No que diz respeito aos limites de uma classe, o símbolo indica que 
os limites direito e esquerdo pertencem à classe. Entretanto, o símbolo 
indica que somente o limite esquerdo pertence à classe, o limite direito 
pertence somente à classe seguinte. Já o símbolo indica que o limite direito 
pertence mas o limite esquerdo não pertence à classe em questão. Considere, 
por exemplo, as tabelas abaixo: 
TABELA 15 
Altura (em cm) dos Alunos da 8a Série do Ensino Fundamental do 
Colégio 6 de Agosto.
Esta tabela nos diz que 6 alunos têm altura entre 164 cm e 168 cm, 
podendo algum destes alunos medir 164 cm mas nenhum desses alunos 
mede 168 cm. Se algum dos alunos da classe mede 168 cm, então ele faz 
parte do grupo de 11 alunos que tem altura entre 168 cm e 172 cm. A 
indicação nos informa que um valor igual ao extremo direito de uma 
classe, quando existe, entra na contagem da classe seguinte e não da classe 
em questão, ao contrário do limite esquerdo.
TABELA 16 
Já o símbolo indica que o limite direito pertence mas o limite 
esquerdo não pertence à classe em questão. 
Observe a tabela abaixo:
PESO (EM QUILOS) DOS ALUNOS DA 8A SÉRIE DO ENSINO
FUNDAMENTAL DO COLÉGIO 6 DE AGOSTO.
15
Esta tabela nos diz que se um aluno pesa 76 Kg então ele faz parte do 
grupo dos 11 alunos que pertencem à classe 72 76, e se algum aluno pesa 72 
Kg então ele faz parte do grupo de 6 alunos que pertencem à classe 68 72. 
Mas um aluno que pesa 72,09Kg (72 quilos e 90 gramas) faz parte dos 11 
alunos que pertencem à classe 72 76.
2.3 FREQUÊNCIA RELATIVA
As tabelas de distribuição de frequências podem conter além das 
frequências, as frequências relativas.
Calculamos as FREQUÊNCIAS RELATIVAS dividindo a frequência de 
cada valor ou a frequência de cada classe pelo tamanho total da amostra.
Vamos calcular agora as frequências relativas para os dados da tabela 11:
Como o total é 52, a
Obtemos então a seguinte tabela:
TABELA 17
Notas dos Alunos.
16
2.4 FREQUÊNCIA ACUMULADA
Observe a tabela 15. O tamanho da amostra para esta tabela é 
2 + 7 + 6 + 11 + 8 + 6 + 1 = 41.
Se quisermos saber quantos desses 41 alunos medem menos de 164 cm 
basta somar o número de alunos que medem entre 156 cm e 160 cm com o 
número de alunos que medem 160 cm e 164 cm. Neste caso temos que 9 
alunos do grupo medem menos de 164 cm. Em estatística dizemos que 9 é a 
frequência acumulada da segunda classe 160 164. 
A frequência acumulada de uma classe é a soma da 
frequência dessa classe com as frequências das classes anteriores.
Para a tabela 15 a frequência acumulada da terceira classe é 
2 + 7 + 6 = 15;
A frequência acumulada da quarta classe é 
2 + 7 + 6 + 11 = 26; 
e assim por diante. 
Convém ressaltar que a frequência acumulada da primeira classe é a 
frequência dessa classe pois não existem classes anteriores à primeira. Por 
outro lado a frequência da última classe é igual ao tamanho total da amostra, 
pois para obtê-la somamos todas as frequências.
Acrescentando à tabela 15 uma nova coluna com as frequências 
acumuladas obtemos a seguinte tabela: 
TABELA 18
Altura (em cm) dos Alunos da 8a Série do Ensino Fundamental do 
Colégio 6 de Agosto.
Esta tabela nos diz, por exemplo, que 34 alunos medem menos de 
176 cm.
17
EXERCITANDO
(a) Identifique e destaque o título, o cabeçalho, o corpo, a coluna 
indicadora e a fonte da tabela abaixo: 
(b) Esta tabela é uma série estatística de que tipo? 
(c) Quais cursos apresentaram maior e menor número de matrículas 
em 1995? E em 1996? 
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 2, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 2. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo exercícios-1 (questões: 3, 5 e 6) (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.) e exercícios 2 (questões: 3 e 4) da aula 2. (Visite 
a aula online para realizar download deste arquivo.) da aula 2 para abrir a 
Lista de Exercícios desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios 
que puder, individualmente ou em grupo. Os arquivo exercícios-1 
(questões: 1, 2 e 6) (Visite a aula online para realizar download deste 
arquivo.) e exercícios 2 (questões: 1 e 3) (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.) da aula 2 correspondem ao trabalho dessa aula 
que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na 
Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc, docx ou 
pdf) ou manuscrito e escaneado.” 
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TÓPICO 01: GRÁfiCO DE BARRAS
Neste capítulo veremos como expor em gráficos os dados 
apresentados em tabelas. A diferença entre as duas apresentações reside 
no fato de que enquanto as tabelas apresentam os dados de forma mais 
precisa e abrangente, os gráficos dão uma visão mais direta e resumida dos 
dados numéricos coletados e das razões de tamanho entre eles. 
O gráfico de barras é usado para representar séries cronológicas, 
geográficas e categóricas.
Confeccionaremos a seguir alguns gráficos de barras referentes aos 
dados da tabela abaixo. 
TABELA 20
Número de Instituições de Ensino Superior 
no Brasil por Região e Dependência Administrativa -1996.
MEC/INEP/SEEC.
Como exemplo, o primeiro gráfico de barras descreverá a distribuição do 
total de instituições de ensino superior por região. Neste caso escrevemos ao 
longo de um eixo horizontal os valores que se encontram na coluna 
indicadora, como no gráfico 1. 
Como estamos querendo representar o número total de instituições por 
região, construímos barras verticais cujas alturas são determinadas pelos 
valores 34, 97, 575, 122 e 94. Para ajudar na confecção do gráfico é melhor 
começar desenhando a barra correspondente ao maior valor, no caso 575 que 
é o número total de instituições da região Sudeste. Escolhida a altura da 
maior barra, para manter a proporção, usamos regra de três simples para 
determinar a altura correta das outras barras: se a altura da maior barra é 10 
cm então a altura x da barra da região Norte é encontrada por 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 03: ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM GRÁfiCOS
19
Calculando desta forma, as alturas das regiões Nordeste, Sul e Cento-
Oeste serão respectivamente1,68 cm ≈ 17 mm, 2,12 cm ≈ 21 mm e 1,63 cm ≈ 
16 mm. “ no primeiro quadro,deixando no segundo quadro apenas a 
expressão “Colocando título obtemos a figura abaixo: 
GRÁFICO 2: DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE INSTITUIÇÕES DE ENSINO SUPERIOR NO BRASIL POR REGIÃO - 
1996
Todas as barras devem ter a mesma largura e ficar afastadas umas das 
outras. Neste exemplo colocamos o valor correspondente à cada região no 
topo de sua barra, mas isto não é obrigatório.” no segundo quadro, deixando 
no terceiro apenas “Podemos, ao invés disso, usar um eixo vertical 
numerado, como no gráfico 3, onde os valores de cada região podem ser 
extraídos a partir da altura das barras. Note que neste caso o valor 
encontrado para a altura é um valor aproximado, mas isto não é problema 
desde que o objetivo do gráfico seja dar uma visão global e resumida dos 
valores observados e da relação de grandeza entre eles. 
GRÁFICO 3: DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE INTITUIÇÕES DE ENSINO SUPERIORNO BRASIL POR REGIÃO - 
1996.
Podemos ainda fazer como no gráfico abaixo, onde o eixo vertical é 
substituído por linhas horizontais, cada uma com um valor de altura 
associado.
GRÁfiCO 4: DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE INSTITUIÇÕES DE ENSINO SUPERIOR NO BRASIL POR REGIÃO
-1996.
20
A tabela 20 contém outras informações além do número total de 
instituições por região. Ela também apresenta o número de instituições por 
dependência administrativa. Mas não é necessário um novo gráfico para cada 
conjunto de valores. Se quisermos podemos apresentar estes valores 
simultaneamente como no gráfico a seguir. Faz-se necessário uma cor de 
barra para cada conjunto de valores. No nosso exemplo as barras 
correspondentes ao número de instituições públicas são mais claras do que 
as barras que indicam o número de instituições privadas. Esta junção de 
barras é útil quando se deseja fazer comparação entre os dados obtidos. 
Gráficos deste tipo são chamados de gráficos de barras múltiplas.
GRÁFICO 5: DISTRIBUIÇÃO DO NÚMERO DE INSTITUIÇÕES POR DE-PENDÊNCIA ADMINISTRATIVA, 
SEGUNDO AS REGIÕES - 1996
O gráfico 6 apresenta um outro exemplo de gráfico de barras múltiplas. 
Neste caso utilizamos a sobreposição de barras para mostrar num mesmo 
gráfico três conjuntos de dados: os valores das escolas municipais, 
particulares e estaduais. A expressão mil alunos significa que em 1987 
haviam aproximadamente 1.300 ×1.000 = 1.300.000 alunos matriculados na 
pré-escola em colégios municipais. 
GRÁFICO 6: MATRICULA INICIAL POR DEPENDÊNCIA ADMINISTRATIVA NA PRÉ-ESCOLA (MIL ALUNOS)- 
BRASIL - 1987 / 1998.
Os gráficos mostrados até agora recebem o nome de gráficos de barras 
verticais. Podemos também apresentar gráficos de barras horizontais, como 
mostra o gráfico 7 a seguir. 
21
GRÁFICO 7: PERCENTUAL DE CRIANÇAS, ENTRE 4 E 6 
ANOS,MATRICULADAS NA PRÉ - ESCOLA 1998.
Ano Percentual
Recife 77
Fortaleza 76
Salvador 72
Rio de Janeiro 71
São Paulo 57
Belo Horizonte 56
Curitiba 42
Porto Alegre 41
Neste caso colocamos os dados referentes à coluna indicadora dispostos 
segundo um eixo vertical, e as barras são desenhadas na posição horizontal. 
Apenas para efeito de comparação entre os dois tipos gráficos ( barra 
horizontal e vertical ) vamos construí-los para os dados percentuais da tabela 
21 abaixo. 
TABELA 21
Pessoas Analfabetas na População de 15 anos ou mais.Números 
absolutos e Números relativos - 1920/1996.
IBGE
Os dois gráficos a seguir apresentam os números percentuais (terceira 
coluna) em função dos anos (série cronológica). No gráfico 8 usamos barras 
verticais e no gráfico 9 usamos barras horizontais. É mais comum o uso de 
barras verticais, no entanto quando a coluna indicadora tem muitos nomes e 
estes são longos, é preferível o uso de barras horizontais, pois assim 
podemos escrevê-los em posição horizontal e sem o uso de abreviações, 
como é o caso do gráfico 7 (série geográfica). 
22
FONTES DAS IMAGENS
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23
TÓPICO 02: GRÁfiCO DE LINHAS
O gráfico de linhas é usado para representar séries cronológicas. Usamos 
uma linha poligonal para mostrar a evolução da série. Como um exemplo 
considere os dados percentuais da tabela 21 ilustrada no tópico anterior.
VERSÃO TEXTUAL
1-Usamos dois eixos perpendiculares
2-No eixo horizontal colocamos as datas e no eixo vertical 
numeramos de acordo com as medições, no nosso caso as 
percentagens
3-Para cada ano construa um ponto no plano cuja altura 
corresponda ao valor da percentagem deste ano. A altura dos pontos 
devem estar em proporção com as medições, como no gráfico de 
barras. Neste caso se 70 corresponde a 7 cm então a altura x do 
primeiro ponto (ano 1920) é 6,49 cm ≈6,5 cm, a altura do segundo 
ponto (1940) é 5,6 cm, a altura do terceiro ponto é 5,05 cm ≈5,1 cm, e 
assim por diante.
4-Unimos os pontos por segmentos de retas 
5-Obtemos o seguinte gráfico de linhas
GRÁFICO 10: PERCENTUAL DE PESSOAS ANALFABETAS NA
POPULAÇÃO DO BRASIL COM 15 ANOS OU MAIS - 1920 A 1996.
É comum também o não uso do eixo vertical auxiliar. Sendo assim as 
medições correspondentes as datas são colocadas ao longo da linha 
poligonal, como no gráfico a seguir. Neste caso é aconselhável, para facilitar 
a visualização, o uso de linhas verticais ligando o ano ao ponto 
correspondente na linha poligonal.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 03: ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM GRÁfiCOS
24
Podemos também usar um mesmo gráfico de linhas para representar a 
evolução de duas variáveis ao longo do tempo. O gráfico seguinte mostra a 
evolução do número de matrículas por dependência administrativa ao longo 
dos anos. Vemos rapidamente que o número de matrículas nas escolas 
municipais vem tendo um aumento considerável em relação ao número de 
matrícula na rede particular e na rede estadual, onde observamos uma 
estabilização e uma queda respectivamente. 
FONTES DAS IMAGENS
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25
TÓPICO 03: GRÁfiCO DE SETORES
Usamos gráfico de setores para representar dados relativos. O total é 
representado pelo círculo (100%) e os setores representam as partes. 
Considere a tabela abaixo. 
MEC, INEP, SEEC
Podemos obter a medida do ângulo em graus de cada setor por meio de 
uma regra de três simples e direta. Vejamos o valor das matrículas em 
instituições federais. 
Portanto o número de matrículas nas instituições federais será 
representado por um setor que mede aproximadamente 76º. Descobrindo o 
ângulo dos setores para os demais valores podemos construir o gráfico de 
setores abaixo. Para uma maior clareza colocamos as taxas (percentagens) de 
matrículas de cada instituição nos setores correspondentes (gráfico 13). Se o 
objetivo é fazer apenas um comparação entre os valores obtidos isto não é 
necessário e podemos apresentar simplesmente o gráfico 14. 
FONTES DAS IMAGENS
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 03: ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM GRÁfiCOS
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26
TÓPICO 04: DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Os dados organizados em tabelas de distribuição de frequências 
também podem ser apresentados em gráfico de barras (histograma) ou 
gráfico de linhas (polígono de frequências).
Para distribuição de frequências os gráficos de barras são chamados 
histogramas e os gráficos de linhas são chamados polígonos de 
frequências. 
4.1 HISTOGRAMAS
A tabela a seguir representa uma distribuição de frequências sem 
intervalos de classes. 
Para construir o histograma desta tabela...
•Dispomos os valores (número de filhos) segundo um eixo horizontal e 
usamos barras (retângulos) com bases neste eixo para representar as 
frequências.
•As barras devem estar afastadas umas das outras e devem possuir a 
mesma largura.
•Os pontos médios das suas bases devem corresponder aos valores e suas 
alturas devem ser proporcionais aos valores das frequências 
correspondentes. 
Procedendo desta forma obtemos o seguinte histograma para a tabela 
23.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 03: ORGANIZAÇÃO DE DADOS EM GRÁfiCOS
27
Para uma distribuição de frequências com INTERVALOS DE CLASSES
procedemos de maneira semelhante, mas neste caso as barras ficam juntas. 
Além disso a largura de cada barra deve ser igual a largura da classe. Isto faz 
com que o ponto médio da classe coincida com o ponto médio da base da 
barra. 
Veja por exemplo a tabela abaixo.
Construindo o histograma para esta tabela obtemos o gráfico 16.
Na tabela acima as classes têm o mesmo comprimento.
COMO PROCEDER ENTÃONO CASO EM QUE AS CLASSES NÃO
POSSUEM UM MESMO COMPRIMENTO? 
A tabela 25 exemplifica este caso. Na construção do histograma desta 
tabela as áreas das barras é que devem ser proporcionais às frequências das 
classes correspondentes. Portanto a altura de cada barra será proporcional 
ao quociente entre a frequência e o comprimento da classe, que é o que 
chamamos de densidade de frequência.
A densidade de frequência da classe é obtida dividindo-se a frequência 
da classe pelo comprimento da classe. 
Por exemplo, a densidade de frequência da primeira e da segunda classe 
são
respectivamente. A densidade de frequência das demais classes nós 
calculamos de modo análogo. 
28
Como as alturas devem ser proporcionais às densidades de frequências, 
nós colocamos na terceira coluna os valores das densidades multiplicados 
por 200.
Por que 200? Apenas para facilitar a marcação das alturas das barras. 
Nós podíamos ter multiplicado por 100, ou por 300, ou por 150. Veja 
que com a multiplicação por 200, a altura da primeira barra pode ser 10 cm, 
a da segunda barra 12,5 cm, a da terceira barra 15,0 cm, e assim por diante. 
Observamos mais uma vez que o objetivo principal de um gráfico não é 
descrever os dados de forma precisa, mas apresentá-los de uma maneira tal 
que possamos ter uma visão geral destes e que sejamos capazes de fazer 
comparações diretas e rapidas.
O gráfico a seguir mostra o histograma para a tabela 25. 
GRÁFICO 17 
OBSERVAÇÃO
Observe mais uma vez que, num gráfico como este, a frequência de 
cada classe deve ser proporcional a área da barra e não à altura 
da mesma. É com este objetivo que ele é confeccionado.
POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS
O polígono de frequências é utilizado para representar graficamente 
uma distribuição de frequências com classes. Não faz sentido falar em 
polígono de frequências para uma distribuição de frequências sem classes.
Um polígono de frequências de uma distribuição com classes 
é um gráfico de linhas no qual as frequências devem ser marcadas 
29
sobre perpendiculares ao eixo horizontal, traçadas a partir do 
ponto médio da classe e com comprimento proporcional à 
frequência desta classe.
O gráfico 18 mostra esta marcação para a tabela 24. Observe por este 
gráfico que se faz necessário a marcação de dois pontos auxiliares:
◾ O ponto médio de uma classe imaginária anterior à primeira classe
◾ O ponto médio de outra classe imaginária posterior à última classe.
Isto é obrigatório para que o gráfico seja uma poligonal fechada. Em 
seguida unimos estes pontos e obtemos então o polígono de frequências 
como mostrado no gráfico 19. Veja que não devemos colocar, no eixo 
horizontal do gráfico final, o valor do ponto médio das classes imaginárias.
EXERCITANDO
Jogue um dado 30 vezes e anote a ocorrência dos números. Repita a 
experiência mais duas vezes. Faça então um gráfico de barras para mostrar 
o resultado nas três experiências. Faça o mesmo com uma moeda. 
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 3, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 3. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
30
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe para 
abrir a Lista de Exercícios desta aula. Resolva a quantidade máxima de 
exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2, 3, 6,8 
e 9 (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)
correspondem ao trabalho desa aula que deve ser postado no Portfólio 
Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num 
único documento de texto (doc, docx ou pdf) ou manuscrito e escaneado.”
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31
TÓPICO 01: MÉDIA
A descrição e a apresentação de um conjunto de dados numéricos 
podem ser feita desde uma forma muito completa e elaborada até uma 
forma bastante concisa e resumida, dependendo do objetivo a que estes 
dados se propõem. Podemos apresentar os dados de maneira crua, isto é, 
da forma como eles foram colhidos, ou utilizando tabelas e gráficos ou 
mesmo usando um simples número que seja até certo ponto um 
representante do conjunto de dados em questão. 
Muitas vezes se faz necessário a apresentação resumida de um 
conjunto de dados numéricos através de um único número que possa, em 
um certo sentido, descrever o conjunto inteiro. O tipo de número a ser 
escolhido depende do tipo de característica do conjunto que nós desejamos 
descrever.
MÉDIA
A média ou média aritmética é a medida de tendência central mais 
utilizada. Suponha, por exemplo, que os números abaixo
8, 48, 87, 56, 59, 28, 26, 57, 3
sejam as notas em matemática de um aluno durante um semestre letivo. 
Usamos como nota semestral desse aluno o número obtido pela divisão por 8 
da soma de todas as notas, ou seja,
O número 7,8 é o que chamamos de média do aluno no semestre. É o 
número a ser utilizado para representar todas as 8 notas durante o semestre 
e dirá se o aluno está ou não aprovado. 
De maneira geral temos a seguinte definição:
A média de um conjunto com n números é a soma dos números 
dividida por n
EXEMPLO
Vejamos um outro exemplo: 
Em 12 meses de 2000, o departamento de polícia de uma certa cidade 
obteve os seguintes números de roubos à mão armada
20 27 35 33 28 26 29 32 34 26 27 31.
Assim a média do número de roubos à mão armada durante o ano foi
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 04: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
32
Portanto ocorreram, à cada mês, em média, 29 roubos à mão armada 
durante esse ano.
De maneira geral, para n números quaisquer 
a média, comumente indicada por será
1.1 MÉDIA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
A tabela abaixo apresenta a distribuição dos pesos de 50 alunos de uma 
classe.
Como nos demais casos, a média dos pesos será a divisão por 50 da 
soma de todos os pesos.
OBSERVAÇÃO
Observe que a soma dos pesos NÃO É
55 + 57 + 60 + 62 + 65 + 68 + 71 + 75.
É um erro comum, observando a tabela, achar que tal soma é a soma de 
todos os pesos. Veja que temos que somar 50 pesos e não 8 como acima. Na 
soma temos que colocar o peso 55 como parcela 2 vezes, o peso 57 como 
parcela 4 vezes, o peso 60 como parcela 7 vezes e assim por diante, obtendo 
assim a soma dos 50 pesos (50 = 2 + 4 + 7 + 9 + 11 + 8 + 6 + 3). Sendo assim 
a média dos pesos para a tabela 26 é 
O peso médio dos 50 alunos é então 64,52 Kg.
EXEMPLO
Vejamos um outro exemplo:
33
A tabela abaixo apresenta a nota de 100 alunos que prestaram um 
certo exame.
A média das notas dos 100 alunos é então
De maneira geral, para uma tabela de distribuição de frequências como 
a tabela 28, a média é calculada pela fórmula
ou seja, a média é a divisão, pela soma das frequências, da soma dos 
produtos de cada valor por sua respectiva frequência.
É comum, no cálculo da média, estender a tabela original colocando 
uma terceira coluna onde aparecem os produtos de cada valor por sua 
respectiva frequência. Colocamos então, abaixo da segunda coluna, a soma 
das frequências e, abaixo da terceira coluna, a soma dos produtos de cada 
valor por sua frequência, originando assim a tabela a seguir.
A extensão da tabela 27 é dada pela tabela
34
TABELA 30
1.2 MÉDIA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM CLASSES
Em uma tabela de distribuição de frequências com classes substituímos 
cada classe pelo seu ponto médio, o qual é a média aritmética dos extremos 
da classe, e então procedemos como na secção anterior, como se os valores 
fossem de fato os pontos médios das classes.
OBSERVAÇÃO
Observe que é impossível calcular o valorexato da média dos valores a 
partir de uma tabela de distribuição de frequências com classes. Olhando 
para a tabela 31 sabemos que temos, por exemplo, 7 alturas entre 160 cm e 
164 cm, mas não podemos dizer precisamente quais são os valores dessas 
alturas. O que fazemos sempre é assumir que todos os valores em uma 
classe sejam iguais ao ponto médio da classe (o que não é necessariamente 
verdade) e assim estipulamos a média usando os pontos médios de todas 
as classes.
EXEMPLO
Vejamos um outro exemplo:
A tabela a seguir apresenta as notas de 40 alunos de uma turma 
distribuídas em 5 classes.
35
Acrescentando a coluna contendo o ponto médio das classes e a 
coluna contendo o produto dos pontos médios das classes pelas 
respectivas frequências, obtemos a tabela 
A média da turma é então
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36
TÓPICO 02: MODA
Fonte [1]
Uma outra medida que é usada para descrever o centro de um conjunto 
de dados numéricos é a moda.
A moda de um conjunto de dados numéricos é o valor que ocorre o 
maior número de vezes.
26 25 28 23 25 24 24 21 23 26 28 26 24 32 25 27 24 23 24 22
Para calcular a moda desses valores é aconselhável ordená-los antes. 
Feito isso obtemos:
2.1 MODA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Em uma tabela de distribuição de frequências, a frequência de cada 
valor é o número de vezes que tal valor ocorre no conjunto. Portanto, para 
encontrar a moda, basta verificar qual a maior frequência. Sendo assim a 
moda para a tabela 26 é 65, que é o peso com maior frequência (11). A moda 
para a tabela 27 é 6,0, que é a nota com maior frequência (30). 
No caso em que a maior frequência ocorre em dois valores distintos, 
dizemos que não existe moda. Sendo assim, o conjunto de dados abaixo não 
possui moda.
OBSERVAÇÃO
Os valores 23 e 24 são os que ocorrem mais vezes e com a mesma 
frequência (4). Portanto tal conjunto não tem moda.
2.2 MODA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM CLASSES
No caso de uma distribuição de frequências com classes, como não é 
possível exibir os valores exatos que ocorrem em cada classe, dizemos 
simplesmente que a classe que possui o maior número de valores é a CLASSE
MODAL. 
De fato existe uma fórmula matemática para estipular a moda neste 
caso, mas esta não será deduzida e nem mostrada neste texto. 
Para a tabela 31 a classe modal é 168 172, que possui a maior 
frequência (11). 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 04: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
37
Para a tabela 33 a classe modal é 4 6, a qual possui o maior número de 
notas (12). No caso da maior frequência ocorrer em duas classes distintas, 
dizemos que o conjunto de dados não possui classe modal.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://1.bp.blogspot.com/_8zi9Gqb33bU/SHJ9FlI-
V6I/AAAAAAAAAdA/oNO0XNB6yT0/S220/lupa.jpg
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38
TÓPICO 03: MEDIANA
Estando o conjunto de dados numéricos ordenados, a mediana é o valor 
que se encontra no centro. 
A mediana de um conjunto de valores numéricos ordenados é o valor 
que separa o conjunto em dois outros com o mesmo número de elementos, 
segundo a ordenação. 
EXEMPLO 1
Considere o conjunto com 9 valores abaixo
14 24 10 19 24 10 5 12 8.
Após ordená-lo obtemos 
5 8 10 10 12 14 19 24 24.
Vemos que o valor 12 encontra-se no centro do conjunto ordenado 
pois o divide em dois subconjuntos com 4 elementos cada, a saber: 
5 8 10 10 e 14 19 24 24.
A mediana então é o valor 12 e sua ordem é 5 =(9 + 1) ÷ 2. Veja que 
neste caso o conjunto possui um valor que se encontra no meio do conjunto 
apenas por que seu número de elementos é ímpar (9). Se um conjunto 
ordenado tiver 27 elementos a mediana será o valor de ordem 14 =(27 + 1) 
÷ 2, se um conjunto ordenado tiver 35 elementos a mediana será o valor de 
ordem 18 =(35 + 1) ÷ 2. 
De modo geral quando um conjunto ordenado tem n 
elementos e n é ímpar, a sua mediana é o termo de ordem (n 
+ 1) ÷2.
EXEMPLO 2
Vejamos agora o conjunto de dados com 12 valores
13 21 17 12 13 21 3 13 21 19 24 7.
Ordenando-o obtemos 
3 7 12 13 13 13 17 19 21 21 21 24.
Como o número de elementos é par (12) o conjunto não possui um 
valor que se encontra na posição central. Existem dois valores centrais: 13 
que é o termo de ordem 6 = 12 ÷2 e 17 que é o termo de ordem 7 = 12 ÷2 + 
1. Neste caso dizemos que a mediana é a média aritmética dos dois valores 
centrais. Assim a mediana deste conjunto será 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 04: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
39
Perceba que 15, sendo um valor entre 13 e 17, separa o conjunto de 12 
valores em dois conjuntos com 6 elementos cada, a saber:
3 7 12 13 13 13 e 17 19 21 21 21 24.
O primeiro contendo os 6 valores menores ou iguais a 15 e o segundo 
contendo os 6 valores maiores ou iguais a 15. Se um conjunto ordenado 
tiver 26 elementos a sua mediana é a media aritmética dos 2 valores 
centrais, que são os termos de ordem 13 = 26 ÷2e 14 = 26 ÷2 + 1. Se um 
conjunto ordenado tiver 68 elementos a sua mediana é a media aritmética 
dos termos de ordem 34 = 68 ÷2 e 35 = 68 ÷2 + 1.
De modo geral quando um conjunto ordenado tem n 
elementos e n é par, a sua mediana é a média aritmética dos 
dois termos centrais, que são os termos de ordem n ÷2 e 
ordem n ÷2 + 1 respectivamente.
EXEMPLO 3
Para o conjunto ordenado com 11 valores
12 15 15 16 17 17 17 19 21 22 22,
a sua mediana é 17, o termo de ordem 6 =(11 + 1) ÷2. Para o conjunto 
ordenado com 14 valores
5 6 12 15 15 17 17 17 18 23 25 25 28 29,
a sua mediana é
a média aritmética dos termos de ordem 7 = 14 ÷2 e ordem 8 = 14 ÷2 
+ 1. Neste último caso, como os dois termos centrais são iguais, a mediana 
pertence ao conjunto.
OLHANDO DE PERTO
Quando o número de elementos do conjunto é ímpar, a mediana é um 
dos valores do conjunto. Quando o número de elementos do conjunto é 
par, a mediana será um valor do conjunto se e somente se os dois termos 
centrais forem iguais. 
Perceba a distinção enfatizada no texto e existente entre a mediana e a 
ordem da mediana. 
3.1 MEDIANA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Para achar a mediana de um conjunto de valores descritos por uma 
distribuição de frequências precisamos, como nos demais casos, encontrar a 
ordem do termo central (número de elementos ímpar) ou a ordem dos dois 
termos centrais (número de elementos par) como explicado anteriormente.
Vejamos agora alguns exemplos.
40
EXEMPLO 1
A tabela 26 apresenta a distribuição de 50 pesos. 
Portanto o peso mediano é a média aritmética dos valores centrais de 
ordem 25 =(50÷2) e ordem 26 =(50 ÷2+1). Uma boa forma de encontrar 
esses valores centrais é formar a tabela estendida contendo uma terceira 
coluna, com as frequências acumuladas, como a seguir. 
Vemos assim que o 25º termo é 65 e o 26º termo é também 65. 
Portanto o peso mediano é 
EXEMPLO 2
A tabela abaixo apresenta a distribuição dos números de filhos de 64 
famílias.
Para esta distribuição os termos de ordem 32 =(64 ÷2) e 33 =(64 ÷2 + 
1) são os centrais. Olhando para a frequência acumulada concluímos que o 
32º termo é 2 e o 33° termo é 3. Sendo assim a mediana do número de 
filhos é
EXEMPLO 3
A tabela a seguir apresenta a distribuição das notas de 91 alunos.
A mediana das notas é o termo de ordem 46 =(91 + 1)/2. Olhando a 
coluna das freqüências acumuladas vemos que o termo de ordem 46 é 7. 
Portanto a nota mediana é 7.
41
3.2 MEDIANA E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM
CLASSES
Em uma distribuição de frequências com classes não é possívelexibir os 
valores exatos que ocorrem em cada classe. Portanto não podemos calcular a 
mediana de forma exata. Existem fórmulas para estipular a mediana nesses 
casos mas elas não serão estudadas neste texto.
EXERCITANDO
A tabela abaixo apresenta a distribuição das estaturas de 100 alunos 
de uma classe.
Determinar a estatura média, a classe modal e a classe da mediana.
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 4, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 4. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo dos exercícios exercícios-1 (questões: 3, 4 e 8) (Visite a aula online 
para realizar download deste arquivo.) e exercícios 2 (questões: 3 e 6) 
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para abrir a 
Lista de Exercícios desse tópico da aula 4. Resolva a quantidade máxima 
de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 
exercícios-1 (questões: 3, 4 e 8) (Visite a aula online para realizar 
download deste arquivo.) e exercícios 2 (questões: 3 e 6) (Visite a aula 
online para realizar download deste arquivo.) da aula 4 são as respectivas 
42
questões do trabalho dessa aula a ser postado no Portfólio Individual do 
ambiente Solar.”
FONTES DAS IMAGENS
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43
TÓPICO 01: INTRODUÇÃO
Dado um conjunto de valores numéricos, uma medida de tendência 
central dá o centro do conjunto, isto é, o número em torno do qual os valores 
estão distribuídos. No entanto uma medida de tendência central não fornece 
nenhuma informação adicional sobre como os valores encontram-se 
distribuídos (dispersos, espalhados) em torno do valor central.
Admita, por exemplo, que os valores abaixo são as notas obtidas por 
quatro equipes de oito alunos durante um ano letivo.
A média das quatro equipes é 7. 
Entretanto as notas das quatro equipes apresentam variações distintas.
As notas da equipe A não apresentam dispersão.
As notas da equipe B apresentam pouca dispersão.
As notas da equipe C apresentam dispersão maior que as anteriores.
As notas da equipe D apresentam a maior dispersão.
Vemos claramente neste exemplo que conjuntos com médias idênticas 
podem apresentar variações (dispersões) diferente. Apresentaremos neste 
capítulo medidas que indicam a dispersão dos valores de um conjunto 
numérico.
Estas medidas são: amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente 
de variação relativo
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AULA 05: MEDIDAS DE DISPERSÃO
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TÓPICO 02: AMPLITUDE
Dado um conjunto de valores, a amplitude é a diferença entre o maior e 
o menor valor.
Para o exemplo anterior temos
◾ A amplitude das notas da equipe A é 7−7 = 0.
◾ A amplitude das notas da equipe B é 8−6 = 2.
◾ A amplitude das notas da equipe C é 9−5 = 4.
◾ A amplitude das notas da equipe D é 10−4 = 6.
A amplitude de um conjunto de valores numéricos é a diferença entre 
o maior e o menor valor do conjunto.
A amplitude é a medida de variação mais simples pois somente dois 
valores do conjunto de dados são necessários para o seu cálculo. Este é, 
entretanto, o motivo que limita sua utilidade. Os conjuntos abaixo 
apresentam as alturas (em cm) de dois grupos de oito pessoas.
Os dois grupos apresentam a mesma amplitude: 170−160= 10 cm. Mas o 
grupo 2 apresenta uma maior dispersão nas alturas. Concentrando-se em 
apenas dois valores de uma distribuição, o maior e o menor valor, a 
amplitude não dá informação sobre a dispersão dos demais valores. 
Precisamos de medidas de dispersão que levem em conta todos os valores do 
conjunto em questão.
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TÓPICO 03: VARIÂNCIA
Estando os dados dispersos em torno da média, uma medida que 
indique a dispersão deve levar em conta o desvio de cada valor em relação à 
média (a diferença entre cada valor e a média).
A variância é uma medida de dispersão que considera este fato.
OBSERVAÇÃO
Para calcular a variância de um conjunto de valores:
◾ Primeiro calculamos a média desse conjunto.
◾ Então subtraímos a média de cada valor e elevamos cada resultado ao 
quadrado. 
◾ Finalmente computamos a média desses quadrados e obtemos o que 
chamamos de variância do conjunto.
Vejamos como exemplo as notas da equipe B citadas anteriormente:
Equipe B: 6; 7; 8; 6; 7; 7; 8; 7.
A média da equipe B é:
Subtraímos agora a média de cada uma das notas. É conveniente 
agrupar esses valores em uma tabela. Os desvios estão dispostos na segunda 
coluna da tabela 38. Calculamos agora os quadrados dos desvios e os 
colocamos na terceira coluna da tabela 38.
Calculando a média dos valores da terceira coluna (média dos 
quadrados) obtemos a variância.
Confira os resultados da Variância das demais equipes:
Da mesma maneira que para equipe B, e sendo a média da equipe C 
igual a 7, obtemos a tabela 39 para equipe C.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 05: MEDIDAS DE DISPERSÃO
46
A variância da equipe C é então
Para a equipe D, obtemos a tabela 40, cuja média é 7.
Portanto a variância da equipe D é
Finalmente para equipe A temos a tabela 41 que, como esperado, da 
variação nula para as notas da equipe
Temos então que:
◾ A variância das notas da equipe A é 0.
◾ A variância das notas da equipe B é 0,5.
◾ A variância das notas da equipe C é 3,25.
◾ A variância das notas da equipe D é 7,75.
Portanto, quanto maior a variância maior a dispersão.
Observe, por estes exemplos, que a soma dos desvios é sempre zero. Isto 
é um fato e não uma coincidência particular a estes exemplos. Para qualquer 
47
conjunto de dados a soma dos desvios é sempre zero e, assim, não podemos 
usá-la para obter a medida da dispersão. Portanto, em vez da soma dos 
desvios, usamos a soma dos quadrados dos desvios, que é sempre um 
número positivo, para obter a variância.
Dado um conjunto com n valores o desvio de cada valor é a diferença 
entre o valor e a média do conjunto. A variância do conjunto é a média dos 
quadrados dos desvios.
Vejamos agora a variância para os grupos 1 e 2 de alturas. 
GRUPO 01
Para o grupo 1, cuja média é 165, obtemos a tabela 42. Portanto a 
variância do grupo 1 é:
GRUPO 02
Para o grupo 2, cuja média também é 165, temos a tabela 43. A 
variância deste grupo é então dada por:
Constatamos agora através da variância o que já tínhamos observado: 
as idades do segundo grupo têm maior dispersão que as idades do primeiro 
grupo.
3.1 VARIÂNCIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
48
No caso em que os dados estão agrupados devemos levar em 
consideração, assim como no cálculo da média, o valor de cada frequência. 
Por exemplo, a tabela 44 apresenta a distribuição dos pesos (em Kg) de 40 
alunos de uma classe. 
Inicialmente calculamos a média como mostrado no capítulo. Para isso é 
conveniente acrescentar outras colunas à tabela 44 para inclusão de valores a 
serem utilizados no cálculo da média e da variância. Tais extensões são 
apresentadas na tabela 45. Acrescentamos nesta tabela uma terceira coluna 
contendo o produto da cada valor por sua respectiva frequência. Portanto a 
média para esta distribuição é:
Acrescentamos uma quarta coluna contendo os desvios e uma quinta 
coluna contendo os quadrados dos desvios.
Observe que no cálculo davariância precisamos da soma de todos os 
quadrados dos desvios, que neste caso são 40 quadrados e não 8. Portanto 
NÃO BASTA SOMAR OS VALORES DA QUARTA COLUNA. Acrescentamos 
uma sexta coluna contendo o produto de cada quadrado pela respectiva 
frequência. A soma dos valores desta coluna é que será usada no cálculo da 
variância.
Portanto a variância para esta distribuição de pesos é dada por
49
EXEMPLO
CONFIRA MAIS UM EXEMPLO DE DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA
A tabela 46 apresenta a distribuição de frequências em classes 
das notas de 70 alunos. Novamente convém estender esta tabela 
acrescentando novas colunas com valores a serem utilizados para 
cálculo da média e da variância. Obtemos a tabela 47 onde a terceira 
coluna contém os pontos médios das classes e a quarta coluna 
contém os produtos de cada ponto médio por sua respectiva 
frequência. A média para a distribuição da tabela 46 é então
A quinta coluna da tabela 47 contém o desvio de cada ponto 
médio e a sexta coluna contém o quadrado de cada desvio.
Finalmente acrescentamos uma sétima coluna contendo o 
produto do quadrado de cada desvio por sua respectiva frequência. 
A variância para a distribuição da tabela 46 será então dada por
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TÓPICO 04: DESVIO PADRÃO
O fato de trabalharmos com os quadrados dos desvios, no cálculo da 
variância, cria um descompasso entre a medida obtida (variância) e as 
unidades de medida do conjunto. Por exemplo: se as medidas do conjunto 
são alturas e estão em centímetro (cm), então a unidade de medida da 
variância é centímetro ao quadrado (cm2). Para correção deste fato 
introduzimos o desvio padrão, que é definido como a raiz quadrada da 
variância. Desta forma a unidade de medida do desvio padrão é a mesma 
unidade de medida dos valores do conjunto.
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância.
Desta forma temos:
O desvio padrão das notas da equipe A é DP = √0 = 0 
O desvio padrão das notas da equipe B é DP = √ 0,5 = 0,707 
O desvio padrão das notas da equipe C é DP = √ 3,25 = 1,803 
O desvio padrão das notas da equipe D é DP = √ 7,75= 2,784 
O desvio padrão das alturas do Grupo 1 é DP = √ 7,75 = 2,784 
O desvio padrão das alturas do Grupo 2 é DP = √ 14,75 = 3, 841 
O desvio padrão para os pesos dos 40 alunos da tabela 44 é DP = √ 3,94 = 
1,985 
O desvio padrão para os pesos dos 70 alunos da tabela 46 é DP = √ 4,99 = 
2,234 
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TÓPICO 05: COEFICIENTE DE VARIAÇÃO RELATIVO
Os dois conjuntos abaixo contêm as idades de dois grupos de pessoas
A média de idade do grupo de crianças é
e a média de idade do grupo de adultos é
Portanto a variância e o desvio padrão das idades do grupo de crianças 
são respectivamente
e a variância e o desvio padrão das idades do grupo de adultos são 
respectivamente
Portanto temos dois grupos distintos com a mesma variância e 
consequentemente mesmo desvio padrão, ou seja, os dois grupos têm a 
mesma dispersão. Mas, observando a natureza dos grupos podemos ver que 
uma diferença de 4 anos no grupo de crianças tem muito mais relevância do 
que uma diferença de 4 anos nas idades do grupo de adultos. As diferenças 
físicas entre duas crianças de 4 e 8 anos são muito mais visíveis do que as 
diferenças físicas entre dois adultos de 53 e 57 anos. Estes detalhes não são 
capitados pela variância, pois esta medida leva em conta apenas os desvios 
dos conjuntos de dados, e não leva em conta as dimensões das grandezas 
envolvidas. Para corrigir este fato definimos o coeficiente de variação 
relativo (CVR) como sendo a razão entre o desvio padrão e a média. O 
coeficiente de variação relativo para as idades do grupo de crianças é
Como efetuamos uma divisão do desvio padrão pela média, o coeficiente 
de variação relativo reflete a relação entre a variação nos dados de um 
conjunto e as dimensões das grandezas envolvidas e, escrevendo em forma 
de percentagem, o temos como uma percentagem da média: no grupo das 
crianças é 19,9% da média e no grupo dos adultos é 2,1% da média. Isto nos 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 05: MEDIDAS DE DISPERSÃO
52
diz que a dispersão relativa no grupo de crianças é maior que a dispersão 
relativa no grupo de adulto, o que já era esperado por causa das observações 
anteriores. Quando as dimensões dos dados envolvidos são relevantes, 
principalmente para efeito de comparação de variações, a medida de 
dispersão a ser utilizada deve ser o coeficiente de variação relativo.
O coeficiente de variação relativo (CVL) e a razão entre o desvio 
padrão e a média.
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TÓPICO 06: APLICAÇÕES DO DESVIO PADRÃO
Na definição da variância e do desvio padrão, a inspiração foi usar o fato 
de que a dispersão de um conjunto de valores é grande quando estes 
encontram-se muito espalhados em torno de um valor central e, a dispersão 
é pequena, quando todos os valores encontram-se próximos de um valor 
central. Podemos dizer agora que, se o desvio padrão de um conjunto de 
valores é pequeno então tais valores encontram-se distribuídos muito 
próximos da média e, se o desvio padrão é grande, então os valores 
encontram-se espalhados com respeito a média, isto é, possivelmente não 
todos mas uma boa parte dos valores estão razoavelmente distantes da 
média.
As observações anteriores são expressas de forma mais precisa através 
do teorema enunciado a seguir e devido ao matemático russo P. L. 
Chebyshev (1821-1894).
Tal resultado é conhecido como TEOREMA DE CHEBYSHEV.Vejamos 
agora uma aplicação. 
EXEMPLO
Suponha que um conjunto de valores tem média 42 e desvio padrão 
2,5. Então, usando c = 2, concluímos que pelo menos
dos valores do conjunto estão entre os números 
42−3×2,5 = 34,5 e 42+3×2,5 = 49,5.
O Teorema de Chebyshev nos dá informação sobre a localização dos 
valores de um conjunto em torno da média e aplica-se a qualquer coleção de 
dados. Ele afirma que pelo menos uma parte dos valores estão situados 
dentro de uma região. Na prática percebe-se que, em geral, a quantidade de 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 05: MEDIDAS DE DISPERSÃO
54
valores situados dentro dos limites especificados é bem maior do que a 
percentagem estabelecida pelo Teorema de Chebyshev. De fato, podemos 
afirmar em geral que, dado um conjunto.
Tais resultados são empíricos pois são verificados na prática, ao 
contrário do Teorema de Chebyshev, o qual possui uma demonstração 
matemática rigorosa e que não será dada neste texto devido ao nível de 
matemática necessário a sua demonstração.
Como aplicação suponha agora que a média das notas de todos os 
alunos de uma classe é 6,5 e que o desvio padrão do conjunto de notas foi 2. 
Então podemos afirmar, com base nos resultados empíricos, que cerca de 
68% dos alunos tiraram nota entre 4,5 e 8,5 e cerca de 95% dos alunos 
tiraram nota entre 2,5 e 10,0 (Admitindo que não existe nota superior a 10).
EXERCITANDO
Em 12 dias uma escola registrou o seguinte número de faltas
Manhã: 23; 24; 18; 19; 21; 25; 26; 19; 20; 22; 17; 19.
Tarde: 14; 15; 13; 16; 16; 17; 18; 11; 14; 15; 15; 17.
Qual turno apresenta maior dispersão relativa no número de faltas?
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 5, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 5. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e notade avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo dos exercícios-1 (questões: 5, 9 e 10) (Visite a aula online para 
realizar download deste arquivo.) e exercícios 2 (questões: 2 e 5) (Visite a 
aula online para realizar download deste arquivo.). Resolva a quantidade 
máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os 
exercícios exercícios-1 (questões: 5, 9 e 10) (Visite a aula online para 
realizar download deste arquivo.) e exercícios 2 (questões: 2 e 5) (Visite a 
aula online para realizar download deste arquivo.)da aula 5 são as 
55
respectivas questões do trabalho dessa aula a ser postado no Portfólio 
Individual do ambiente Solar.”
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56
TÓPICO 01: PERCENTAGEM
Atualmente é bastante comum o uso de índices (em particular 
percentagens) para indicar as características populacionais de uma região, 
indicar a evolução dos dados econômicos, entre outras aplicações. Neste 
capítulo daremos algumas dicas de como alguns desses índices são 
calculados.
Nesta seção faremos uma revisão sobre percentagem, veremos qual o 
seu significado, como calcular percentagem de um determinado valor e como 
representar um valor como uma percentagem de um outro valor.
Primeiro devemos entender que:
Uma percentagem é nada mais nada menos que uma fração.
Tome por exemplo 25%, que lê-se vinte e cinco por cento e que é a 
fração com numerador 25 e denominador 100 (razão por que se diz por 
cento), ou seja
e também
Desta forma temos:
CLIQUE AQUI PARA VER ALGUNS EXEMPLOS
Como o cálculo de percentagens é uma multiplicação de frações, 
podemos utilizar todas as regras de simplificação que são possíveis para 
obter o produto de duas frações.
1.1 VALOR RELATIVO E VALOR ABSOLUTO
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 06: ÍNDICES
57
Uma percentagem, sendo uma fração, é um valor relativo. Quando 
dizemos que 75% dos alunos de uma classe tem mais de 15 anos de 
idades, não estamos dando o número de alunos com mais de 15 anos (valor 
absoluto). Para descobrir o número de alunos com mais de 15 anos 
precisamos saber qual o número total de alunos da classe. Supondo que a 
classe tem 48 alunos então a quantidade de alunos com idade superior a 15 
anos é
Perceba então a distinção entre
Até agora em todos os exemplos citados nos foi dado o valor relativo 
(percentagem) e foi calculado o valor absoluto. Veremos agora como fazer o 
contrário: calcular o valor relativo a partir do valor absoluto. Primeiro 
vejamos como transformar um fração ordinária em uma percentagem, 
digamos 2/5. É simples, basta observar que um número não se altera 
quando o multiplicamos e o dividimos por 100 (ou por qualquer outro 
número).
Sendo assim temos
Analogamente temos:
CLIQUE AQUI PARA VER ALGUNS EXEMPLOS
Refletindo bem a respeito das contas anteriores concluímos que para 
transformar qualquer número em percentagem basta multiplicar por 100 e 
58
colocar no final o sinal %. 
Assim temos
1.2 CÁLCULO DE VALOR RELATIVO
Em muitas ocasiões o valor relativo é mais importante do que o valor 
absoluto. Considere um exemplo de duas cidades onde a primeira tem uma 
população de 8.000 habitantes, sendo que 4.500 desses estão alfabetizados, 
e a segunda tem uma população de 20.000 habitantes, sendo que 7.500 
desses estão alfabetizados. Em valores absolutos a segunda cidade tem mais 
pessoas alfabetizadas do que a primeira. Entretanto a fração das pessoas 
alfabetizadas na primeira cidade é (dividindo a parte pelo todo)
e a fração das pessoas alfabetizadas na segunda cidade é
Portanto na área de educação a primeira cidade tem, em termos 
relativos, um desempenho melhor do que a segunda cidade. Mais da metade 
da população da primeira cidade está alfabetizada enquanto menos da 
metade da população da segunda cidade está alfabetizada.
É um fato que, em termos de indicadores sociais, os valores relativos são 
mais importantes do que os valores absolutos.
Vejamos um outro exemplo:
VEJA
Em uma escola com 640 alunos, 224 alunos estudam pela manhã, 
240 estudam à tarde e 176 estudam à noite. Portanto a fração dos 
alunos da escola que estudam pela manhã é 
a fração dos alunos que estudam à tarde é
59
e a fração dos alunos que estudam à noite é
Portanto 35% dos alunos desta escola estudam pela manhã, 37,5% 
estuda à tarde e o estante, 27,5%, estuda à noite.
A tabela a seguir apresenta o desempenho de quatro escolas no 
vestibular. Qual a percentagem e aprovação de cada escola? Qual escola 
obteve melhor desempenho relativo?
Calculando a fração de aprovados para cada escola temos:
VERSÃO TEXTUAL
FONTES DAS IMAGENS
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60
TÓPICO 02: OUTROS ÍNDICES
2.1 ÍNDICE DE EVASÃO ESCOLAR
Um índice bastante importante no âmbito da educação de um 
município, estado ou país é o índice de evasão escolar, que é sempre 
utilizado como uma das medidas de eficiência de um determinado sistema de 
ensino. 
Para calcular o índice de evasão escolar em um determinado período, 
fazemos a diferença entre o número de estudantes matriculados no início do 
período e o número de estudantes que efetivamente estão presentes em sala 
de aula no final deste período, isto nos dá o número de estudantes que 
abandonaram a escola no período. Dividimos a diferença pelo total de alunos 
matriculados no início. O resultado é o índice de evasão escolar. 
Vejamos um exemplo. 
EXEMPLO
Suponha que um município tem 2435 alunos matriculados no ensino 
fundamental no início do ano 2000. No final do ano 2000 verificou-se que 
o total de alunos que efetivamente concluíram o período foi de 2138 
alunos. O índice de evasão escolar em 2000 será então
Veja que 297 é o número de estudantes que abandonaram a escola. 
Este valor corresponde a 12,19% do número de estudantes matriculados 
no início do ano.
Fonte [1]
2.2 ÍNDICE RELATIVO DE PREÇO
O índice relativo de preço de um produto é a razão entre o preço do 
produto em determinado instante e o preço do produto em um instante 
base. Multiplicando esta razão por 100 temos o índice relativo de preço em 
percentagem.
A tabela 48 mostra os preços de um produto fictício no período de 1997 
a 2001.
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA
AULA 06: ÍNDICES
61
Tomando como base o ano de 1998 temos que o índice relativo de preços 
do produto A
em 1997 é igual a 
 = 99,25%
em 1998 é igual a 
 = 100%
em 1999 é igual a 
 = 102,97%
em 2000 é igual a 
 = 120,14%
em 2001 é igual a 
 = 153,41%
Podemos assim montar a tabela 49 com os preços e o índice relativo de 
preços do produto A.
EXERCITANDO
Um produto é vendido por apenas três empresas em um determinado 
mercado. Em certo ano, para um total de 18.000 unidades vendidas, 
tivemos a seguinte distribuição das vendas. 
Encontre a distribuição percentual de vendas.
62
FÓRUM
Discuta, no Fórum da Aula 6, com os colegas ou com o professor 
tutor, as dúvidas sobre os exercícios ou sobre a matéria da Aula 6. Lembre 
que sua participação no Fórum vale presença e nota de avaliação.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o 
arquivo dos exercícios-1 (questões: 2, 4 e 7) e exercícios 2 (questões: 1 e 2) 
da aula 6 (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para 
abrir a Lista de Exercícios desta aula. Resolva a quantidade máxima de 
exercícios que puder, individualmente ou em grupo. . Os exercícios 
exercícios-1